Ecuaciones_diferenciales_ordinarias_Una_introducción_Mesa_F__Acosta

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FERNANDO MESA
Licenciado en matemáticas, graduado de 
la Universidad Tecnológica de Pereira con 
honores. Tiene estudios de posgrado en 
Matemáticas, Instrumentación Física y 
Docencia Universitaria. Con experiencia de 
más de 20 años, profesor titular del 
Departamento de Matemáticas de la 
Universidad Tecnológica de Pereira en 
donde se ha destacado como directivo e 
investigador. E-mail: femesa@utp.edu.co
ALEJANDRO MARTÍNEZ ACOSTA
Licenciado en Educación, Especialidad 
Matemática de la Universidad del Cauca. 
Candidato a magíster en Enseñanza de las 
Matemáticas de la Universidad Tecnológica 
de Pereira. Actualmente, se desempeña 
como docente asociado en el Departa-
mento de Matemáticas de la Universidad 
Tecnológica de Pereira; es investigador en 
las áreas de Ecuaciones diferenciales y 
Educación matemática. E-mail: 
amartinez@utp.edu.co.
JOSÉ RODRIGO GONZÁLEZ GRANADA
Matemático, con Maestría en Matemáticas y 
doctorado en Matemáticas. Investigador en 
matemáticas puras y aplicadas con resulta-
dos originales en la teoría de bifurcación, 
deformación y deducción de la teoría de 
micro-deformación. Investigador en ecuacio-
nes diferenciales parciales. Profesor asociado 
de la Universidad Tecnológica de Pereira.
mail: jorodryy@gmail.com.
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Mesa, Fernando
 Ecuaciones diferenciales ordinarias : una introducción / Fernando Mesa, 
Alejandro Martínez Acosta, José Rodrigo González Granada. – 1ª. ed. -- Bogotá : 
Ecoe Ediciones, 2012.
 2 p. – (Ciencias exactas. Matemáticas)
Incluye bibliografía e índice alfabético
ISBN 978-958-648-774-0
 1. Ecuaciones diferenciales I. Martínez Acosta, Alejandro II. González 
Granada, José Rodrigo III. Título IV. Serie
CDD: 515.352 ed. 20 CO-BoBN– a802301
Colección: Ciencias Exactas
Área: Matemáticas
Primera edición: Bogotá, D.C., 2012
ISBN: 978-958-648-774-0
© Fernando Mesa
 e-mail: femesa@utp.edu.co
© Alejandro Martínez Acosta
 e-mail: amartinez@utp.edu.co.
© José Rodrigo González Granada
 e-mail: jorodryy@gmail.com.
 Universidad Tecnológica de Pereira
 Vereda La Julita - Pereira - Risaralda
© Ecoe Ediciones Ltda. 
 E-mail: correo@ecoeediciones.com
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 Carrera 19 No. 63C-32, Pbx. 2481449, Fax. 3461741 - Bogotá D.C.
Coordinación editorial: Alexander Acosta Quintero
Carátula: Edwin Penagos Palacio
Impresión: Imagen Editorial Impresores
e-mail: imagenimvega@yahoo.com
Impreso y hecho en Colombia.
Catalogación en la publicación – Biblioteca Nacional de Colombia
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Contenido
Presentación iv
1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 1
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definiciones y terminoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Soluciones y problemas de valor inicial . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Ecuación diferencial de una familia de curvas . . . . . . . . . . 12
1.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 19
2.1 Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Factores integrantes especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Transformaciones y sustituciones . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Trayectorias ortogonales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7 Ecuación diferencial de primer orden en coordenadas polares . 48
2.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8.1 Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8.2 Modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
i
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CONTENIDO
3 Ecuaciones diferenciales de orden superior 59
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1.1 Introducción: sistema masa-resorte . . . . . . . . . . . 59
3.1.2 Operadores diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.3 Soluciones fundamentales de ecuaciones homogéneas . . 63
3.1.4 Reducción de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Ecuaciones de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Teoŕıa básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2 Ecuaciones lineales con coeficientes constantes . . . . . 75
3.2.3 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2.4 Operadores anuladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.5 Variación de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Ecuación de Cauchy–Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.4 Algunas aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 Transformada de Laplace 115
4.1 Definición y transformadas básicas . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4 Los teoremas de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5 Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.6 Función delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.7 Función de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5 Sistemas de ecuaciones diferenciales 155
5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
5.2 Teoŕıa preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3 Métodos de solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3.1 Método de eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.3.2 Solución mediante transformada de Laplace . . . . . . 170
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CONTENIDO
5.4 Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes . . . 171
5.5 Sistemas lineales no homogéneos . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.5.1 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.5.2 Variación de los parámetros . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.6 Matriz exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6 Solución de ecuaciones diferenciales mediante series 193
6.1 Introducción y preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.2 Solución mediante series de potencias . . . . . . . . . . . . . . 197
6.2.1 Solución en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . 198
6.2.2 Solución en torno a puntos singulares: método de Fro-
benius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.3 Ecuaciones y funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.3.1 Ecuación de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
6.3.2 Ecuación de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.3.3 Ecuación hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
Respuestas 219
Bibliograf́ıa 229
Índice alfabético 230
iii
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Presentación
Esta obra ha sido realizada para que sea usada como texto gúıa en los cur-
sos de ecuaciones diferenciales, que se ofrecen en las diferentes universidades
en los distintos programas de ingenieŕıas y tecnoloǵıas. En particular, en la
Universidad Tecnológica de Pereira en su programa de licenciatura en ma-
temáticas y f́ısica.
Esta edición es el resultado de varios años de trabajo y dedicación, lo que
permitió basados en la experiencia, mejorar los distintos borradores quefue-
ron utilizados como notas de clase de quienes somos sus autores.
Se desarrollaron seis caṕıtulos, en los que sin perder de vista la formalidad
de los contenidos, el lector podrá encontrarse con una presentación senci-
lla, práctica y amena haciendo posible un primer acercamiento al estudio de
las ecuaciones diferenciales ordinarias. Es aśı como en los caṕıtulos 1 y 2 se
presentan los aspectos relacionados a las ecuaciones diferenciales de primer
orden, tema que corresponde a la unidad I del programa oficial del curso de
matemáticas IV que se orienta en la Universidad Tecnológica de Pereira. El
siguiente caṕıtulo coincide con la unidad II del programa de matemáticas
IV en el que se desarrollan los elementos más importantes de las ecuaciones
diferenciales de orden superior. En el caṕıtulo 4 se lleva a cabo el desarrollo
de la transformada de Laplace y sus diferentes usos en la solución de sis-
temas de ecuaciones y otras aplicaciones. Por último en el caṕıtulo final de
v
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Presentación
esta obra está dedicado a desarrollar lo referente a la solución de ecuaciones
diferenciales mediante el método de Series de Potencias.
Es de anotar que en cada uno de estos caṕıtulos nos preocupamos por entregar
una gran variedad de ejemplos, los que le permiten al estudiante desarrollar
los ejercicios y problemas que se proponen; casi en su totalidad con su res-
puesta.
Por último, queremos manifestar que junto con el propósito inicial, también
deseamos hacer un aporte para que la complejidad de las matemáticas se pre-
sente sin perder rigurosidad pero estando cada vez más al alcance de todos.
Nos hacemos responsables de los errores que pueden llegarse a filtrar en esta
primera edición, y agradecemos de antemano las sugerencias y observaciones
que pudieran hacernos llegar.
Los autores.
vi
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Caṕıtulo 1
Introducción a las ecuaciones
diferenciales
1.1 Introducción
En las ciencias y en la ingenieŕıa se desarrollan modelos matemáticos para
entender mejor los fenómenos f́ısicos. A menudo, estos modelos conducen a
una ecuación que contiene algunas derivadas de una función desconocida.
Esta ecuación se denomina una ecuación diferencial.
Comenzamos esta sección con unos ejemplos, los cuales dan origen a ecua-
ciones diferenciales.
Ejemplo 1.1 (Cáıda libre). Un ob-
jeto de masa m se deja caer desde una
altura h (por encima del suelo) y cae
por la fuerza de gravedad, (Fig. 1.1).
Determine la ecuación diferencial que
describe la trayectoria del objeto.
h
y
mg
Nivel del suelo
t = 0, v = 0
Figura 1.1. Cuerpo en cáıda libre
1
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución.
Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece
que la masa de un objeto por su aceleración es igual a la fuerza total que
actúa sobre él. Esto conduce a la ecuación
m
d2y
dt2
= −mg,
donde m es la masa del objeto, y es la altura sobre el suelo, d
2y
dt2
es su acelera-
ción, g es la aceleración gravitacional (constante) y −mg es la fuerza debida
a la gravedad.
Esta es una ecuación diferencial que contiene la segunda derivada de la al-
tura desconocida y como función del tiempo. Al hacer v = dy
dt
, se obtiene la
ecuación diferencial de primer orden en la incógnita v:
m
dv
dt
= −mg
Ejemplo 1.2 (Vaciado de un tanque). La ley de Torricelli establece que la
rapidez v de flujo (o salida) del agua a través de un agujero de bordes agudos
en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad)
h, es igual a la rapidez de un objeto que cae libremente desde una altura
h, en este caso v =
√
2gh, donde g es la aceleración de la gravedad, (figura
1.2). Deduzca una ecuación diferencial que exprese la altura h en cualquier
momento t, que hay en el tanque.
h h
V (t)
A0
Figura 1.2. Vaciado de un tanque
2
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1.1. INTRODUCCIÓN
Solución. Si el área transversal del agujero es A0, y la rapidez del agua que
sale del tanque es v =
√
2gh, el volumen del agua que sale por unidad de
tiempo está dado por A0v = A0
√
2gh. Aśı, si V (t) representa el volumen del
agua en el tanque a una profundidad h en cualquier instante t, entonces
dV
dt
= −cA0
√
2gh, 0 < c < 1 (1.1)
donde el signo menos indica que V está disminuyendo. Si no se tiene en
cuenta la fricción en el agujero, lo cual causará una reducción en la tasa de
flujo, entonces c = 1. Si el tanque es tal que el volumen en cualquier instante
t se expresa como V = V (h) con h = h(t) donde h es la profundidad en el
instante t, entonces por la regla de la cadena, dV
dt
= dV
dh
dh
dt
. Al sustituir esta
última ecuación en (1.1) y despejar, se obtiene
dh
dt
= −c A0
dV/dh
√
2gh.
Ejemplo 1.3 (Circuito RLC). Determine la ecuación diferencial para el
circuito LRC dado en la figura 1.3.
E
L
C
R
Figura 1.3. Circuito RLC
Solución. Los principios f́ısicos que rigen los circuitos eléctricos fueron es-
tablecidos por G. R. Kirchhoff en 1859. Los principios son los siguientes:
1. Ley de la corriente de Kirchhoff. La suma algebraica de las corrientes
que fluyen en cualquier punto de unión (nodo) debe ser cero.
3
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
2. Ley del voltaje de Kirchhoff. La suma algebraica de los cambios ins-
tantáneos del potencial (cáıdas de voltaje) en torno a cualquier lazo ce-
rrado (bucle) debe ser cero.
Para aplicar la ley del voltaje, se debe conocer la cáıda de voltaje a través
de cada elemento del circuito.
(a) De acuerdo con la ley de Ohm, la cáıda de voltaje ER a través de un
resistor es proporcional a la corriente i que pasa por el resistor:
E
R
= Ri.
La constante de proporcionalidad R se conoce como resistencia.
(b) Se puede mostrar mediante las leyes de Faraday y Lenz que la cáıda de
voltaje EL a través de un inductor es proporcional a la razón de cambio
instantánea de la corriente i:
E
L
= L
di
dt
.
La constante de proporcionalidad L se conoce como inductancia.
(c) La cáıda de voltaje E a través de un capacitor es proporcional a la carga
eléctrica q que aparece en las placas del capacitor:
E
C
=
1
C
q.
La constante C se llama capacitancia.
Suponemos que una fuente de voltaje, suma voltaje o enerǵıa potencial al
circuito. Si E(t) indica el voltaje que se proporciona al circuito en el instante
t, entonces la ley de Kirchhoff implica
E
L
+ E
R
+ E
C
= E(t). (1.2)
Al sustituir en (1.2) las expresiones para E
L
, E
R
y E
C
se tiene
L
di
dt
+Ri+
1
C
q = E(t) (1.3)
4
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1.2. DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA
La corriente es la razón de cambio instantánea de la carga, es decir i = dq
dt
.
Por lo tanto, podemos expresar (1.3) como
L
d2q
dt
+R
dq
dt
+
1
C
q = E(t) (1.4)
En la mayor parte de las aplicaciones interesa determinar la corriente i(t).
Al derivar (1.3) con respecto a t, suponiendo que E es diferenciable, y susti-
tuyendo i en lugar de dq
dt
, se obtiene:
L
d2i
dt
+R
di
dt
+
1
C
i =
dE
dt
(1.5)
1.2 Definiciones y terminoloǵıa
Definición 1.2.1. Una ecuación que contiene las derivadas de una o más
variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es
una ecuación diferencial.
Ejemplo 1.4. En la ecuación
d2x
dt2
+ a
dx
dt
+ kx = 0, (1.6)
t es la variable independiente y x es la variable dependiente. Las constantes
a k se llaman coeficientes de la ecuación.
Ejemplo 1.5. En la ecuación
∂u
∂x
− ∂u
∂y
= x− 2y, (1.7)
x y y son las variables independientes, mientras que u es la variable depen-
diente.
Clasificación
1. Según el tipo: Una ecuación que sólo contiene derivadas ordinarias con
respecto de una sola variable independiente, es una ecuación diferencial
5
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ordinaria (EDO). Una ecuación diferencial que contiene derivadas parcia-
les conrespecto de más de una variable independiente, es una ecuación
diferencial parcial (EDP). La ecuación (1.5) es una EDO, mientras que la
ecuación (1.7) es una EDP.
2. Según el orden: El orden de una ecuación diferencial es el orden de las
derivadas de orden máximo que aparecen en ella. Las ecuaciones (1.5) y
(1.6) son ecuaciones de segundo orden. La ecuación (1.7) es una EDP de
primer orden.
3. Según la linealidad o no linealidad: Una ecuación diferencial ordinaria
de orden n es lineal si tiene la forma
an(x)
dny
dxn
+ an−1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x). (1.8)
Si una ecuación diferencial no es lineal, entonces se dice que es no lineal.
Ejemplo 1.6. Las ecuaciones (2x − y)dx + 4xdy = 0, y′′ − 3y′ + 2y = 0 y
x3 d
3y
dx3
− 2x dy
dx
+ 6y = 0 son ecuaciones lineales de primero, segundo y tercer
orden respectivamente.
Ejemplo 1.7. Las ecuaciones (1 + y)y′ + 2y = ex, d
2y
dx2
+ (sen y)y = 0 y
d4y
dx4
+ y2 = 0 son ecuaciones no lineales de primero, segundo y cuarto orden
respectivamente.
1.3 Soluciones y problemas de valor inicial
Una ecuación diferencial ordinaria general de orden n se representa mediante
cualquiera de las expresiones
F
(
x, y, y′, . . . , y(n)
)
= 0 (1.9a)
y(n) = f
(
x, y, y′, . . . , y(n−1)
)
(1.9b)
6
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1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Definición 1.3.1 (Solución expĺıcita). Una función φ tal que al sustituirla
en lugar de y en la ecuación (1.9a) o en (1.9b) satisface la ecuación para toda
x en un intervalo I es una solución expĺıcita de la ecuación en I. Una solución
expĺıcita que es idéntica a cero en I, se llama solución trivial.
Ejemplo 1.8. Muestre que φ(x) = x2 − x−1 es una solución expĺıcita de
x2 d
2y
dx2
= 2y en (0,∞).
Solución. Las funciones
φ(x) = x2 − x−1, φ′(x) = 2x+ x−2 y φ′′(x) = 2− 2x−3
están definidas para toda x > 0. Al sustituir φ(x) y sus derivadas en la
ecuación se tiene
x2(2− 2x−3) = 2(x2 − x−1) = 2φ(x).
Como esto es válido para cualquier x �= 0, la función φ(x) = x2 − x−1 es una
solución expĺıcita en (0,∞) y también en (−∞, 0).
Ejemplo 1.9. Muestre que para cualquier elección de la constante c ≥ 0, la
función y = (
√
x + c)2 es una solución expĺıcita de la ecuación dy
dx
=
√
y
x
en
(0,∞).
Solución. Calculamos dy
dx
=
√
x+c√
x
, la cual está definida para toda x > 0. Al
sustituir en la ecuación se tiene
√
x+ c√
x
=
√
(
√
x+ c)2
x
,
la cual es una igualdad válida para toda x > 0.
Definición 1.3.2 (Solución impĺıcita). Se dice que una relación G(x, y) =
0 es una solución impĺıcita de la ecuación (1.9a) o (1.9b) en el intervalo I
si define una o más soluciones expĺıcitas en I.
Ejemplo 1.10. Muestre que xy2 − x3y = 8 es una solución impĺıcita de
dy
dx
= 3x
2y−y2
2xy−y3 en el intervalo (0,∞).
7
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Solución. Al despejar y se tiene y = x
3±√x6+32x
2x
, obteniéndose dos funcio-
nes, φ1(x) =
x3+
√
x6+32x
2x
y φ2(x) =
x3−√x6+32x
2x
en (0,∞). La sustitución de la
función φ1(x) o φ2(x) y su derivada es un poco tediosa, aśı que se usará de-
rivación impĺıcita. Al derivar impĺıcitamente con respecto a x la ecuación
xy2 − x3y = 8 se tiene
y2 + 2xy
dy
dx
− 3x2y − x3 dy
dx
= 0.
Al despejar dy
dx
se obtiene
dy
dx
=
3x2y − y2
2xy − y3 .
En muchos casos, no es posible despejar y en términos de x. Sin embargo,
para cada cambio en x se requiere un cambio en y, de modo que se espera
que la relación defina de manera impĺıcita al menos una función y(x). Esto es
dif́ıcil de demostrar directamente, pero puede verificarse con rigor mediante
el teorema de la función impĺıcita del cálculo avanzado, el cual garantiza
la existencia de tal función y(x) y que además es diferenciable. Una vez que
se sabe que y es una función diferenciable de x, se puede usar la técnica de
derivación impĺıcita.
Familia de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial de primer or-
den, F (x, y, y′) = 0, por lo general se obtiene una solución con una constante
arbitraria, o parámetro c. Una solución con una constante arbitraria represen-
ta un conjunto G(x, y, c) = 0 de soluciones y se llama familia uniparamétri-
ca de soluciones. Al resolver una ecuación diferencial de orden n (1.9a) o
(1.9b), se busca una familia n−paramétrica de soluciones y = φ(x, c1 , . . . , cn)
o G(x, y, c1 , . . . , cn) = 0. Una solución de una ecuación diferencial que no
tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular.
Ejemplo 1.11. Verificar que x2+4y2 = c, donde c ≥ 0 es una constante, pro-
porciona una familia uniparamétrica de soluciones impĺıcitas de la ecuación
4y dy
dx
+ x = 0 y graficar varias soluciones.
8
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1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
Solución. Al derivar impĺıcitamente con respecto a x la expresión x2+4y2 = c
se tiene 8y dy
dx
+ 2x = 0, que es equivalente a 4y dy
dx
+ x = 0. Algunas curvas
se muestran en la figura 1.4.
x
y
c = 1c = 4
c = 9 c = 16
Figura 1.4. Familia de curvas x2 + 4y2 = c
Soluciones singulares. En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una
solución que no puede obtenerse particularizando alguno de los parámetros
en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular .
Ejemplo 1.12. Verifique que y = cx + c2 es una familia uniparamétrica
de soluciones de la ecuación y = xy′ + (y′)2. Muestre que y = −x2
4
es una
solución singular.
Solución. Derivando y = cx+ c2 se tiene y′ = c. Al sustituir en la ecuación
diferencial se obtiene
cx+ c2 = xc+ c2,
que es válida para toda x .
1
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4
x
y
Figura 1.5. Curvas y = cx+ c2 y solución singular y = −x
2
4
9
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ahora se deriva y = −x2
4
para obtener y′ = −x
2
. Al reemplazar en la ecuación
se tiene
−x
2
4
= x
−x
2
+
x2
4
,
que es verdadera para toda x. Además, y = −x2
4
no se puede obtener de la
familia de soluciones asignando algún valor al parámetro c. Luego, y = −x2
4
es una solución singular, (ver figura 1.5).
Problema de valor inicial (PVI)
Definición 1.3.3. Un problema de valor inicial (PVI) consiste en:
Resolver F (x, y, y′, . . . , y(n)) = 0
Sujeto a y(x0) = y0 , y
′(x0) = y1 , . . . , y
(n−1)(x0) = yn−1
(1.10)
donde x0 ∈ I y y0 , y1 , . . . , yn−1 son constantes dadas.
Ejemplo 1.13. Muestre que y = c1e
x + c2e
−2x es una familia de soluciones
de y′′+y′−2y = 0. Halle una solución particular que satisfaga las condiciones
iniciales y(0) = 1, y′(0) = 2.
Solución. Dejamos al lector la verificación. Para hallar las constantes c1 y c2 ,
calculamos y′ para obtener y′ = c1e
x−2c2e−2x. Al sustituir en las condiciones
iniciales obtenemos el sistema de ecuaciones
c1 + c2 = 1
c1 − 2c2 = 2.
Al resolver este sistema se obtiene c1 =
4
3
, c2 = −13 . Por lo tanto, la solución
del PVI es y(x) = 4
3
ex − 1
3
e−2x, gráfica en ĺınea continua.
10
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1.3. SOLUCIONES Y PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
1
2
3
−1
1 2 3−1−2−3
x
y
y = 4
3
ex − 1
3
e−2x
y = 4
3
ex
y = − 1
3
e−2x
Figura 1.6. Algunos miembros de la familia y = c1e
x + c2e
−2x
Teorema 1.3.1 (Existencia y unicidad de soluciones). Dado el proble-
ma de valor inicial
dy
dx
= f(x, y); y(x0) = y0 ,
supóngase que f(x, y) y ∂f
∂y
(x, y) son funciones continuas en un rectángulo
R = {(x, y) | a < x < b, c < y < d} que contiene al punto (x0 , y0). Entonces
el problema de valor inicial tiene una única solución φ(x) en algún intervalo
I tal que x0 − h < x < x0 + h, donde h es un número positivo, (Fig. 1.7).
x
y
�
c
d
y0
a bx0x0 − h x0 + h
(x0 , y0)
y = φ(x)
Figura 1.7. Existencia y unicidad de soluciones
11
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Ejemplo 1.14. Para el problema de valor inicial
dy
dx
= 3x− 3
√
y − 1; y(1) = 1,
¿implica el teorema (1.3.1) la existencia de unasolución única?
Solución. En este caso, f(x, y) = 3x− 3√y − 1 y dy
dx
= − 1
3 3
√
y−1 .
Por desgracia, dy
dx
= − 13√y−1 no es continua, ni siquiera está definida en y = 1.
Luego, no hay un rectángulo que contenga al punto (1, 1) donde f y ∂f
∂x
sean
continuas. Como no se cumplen las hipótesis del teorema (1.3.1), no podemos
usarlo para determinar si el problema con valor inicial tiene o no una solución
única.
Ejemplo 1.15. Determine una región R del plano xy para la cual la ecuación
diferencial
dy
dx
= (x− 1)e yx−1
tenga una solución única que pase por un punto (x0 , y0) en la región.
Solución. f(x, y) = (x − 1)e yx−1 no está definida para x = 1 y tampoco lo
está ∂f/∂y. Por lo tanto, el problema de valor inicial tendrá solución única
para cualquier punto (x0 , y0) en una región R tal que x0 < 1 o x0 > 1.
1.4 Ecuación diferencial de una familia de
curvas
En esta sección se determinará una ecuación diferencial para una familia n
paramétrica de curvas F (x, y, c1 , c2 , . . . , cn) = 0 para n = 1, 2, . . . , n. Empe-
zamos con una familia uniparamétrica F (x, y, c) = 0.
1. Dada una familia uniparamétrica de curvas F (x, y, c) = 0, donde c es
una constante, se puede determinar una ecuación diferencial para dicha
familia de cualquiera de las siguientes maneras:
12
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1.4. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UNA FAMILIA DE CURVAS
Método 1. Se deriva impĺıcitamente la expresión F (x, y, c) = 0 con res-
pecto a x, se despeja y′ = dy/dx y se elimina la constante c para obtener
y′ = f(x, y) o M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0.
Método 2. Se despeja la constante c en la forma G(x, y) = c y se usa la
regla de derivación impĺıcita
dy
dx
= −Gx
Gy
o Gxdx+Gydy = 0. (1.11)
En la figura 1.8 se muestran algunas curvas de la familia F (x, y, c) = 0 y
una recta tangente a una de dichas curvas. Recuérdese que la pendiente
de la recta tangente a una curva en un punto P (x0 , y0) está dada por la
derivada m =
dy
dx
∣∣∣
(x0 ,y0 )
.
x
y
�P
Figura 1.8. Familia de curvas F (x, y, c) = 0
Ejemplo 1.16. Encuentre una ecuación diferencial para la familia de
ćırculos (x− h)2 + y2 = h2 − 1, |h| ≥ 1.
Solución. Despejando la constante se tiene
G(x, y) =
x2 + y2 + 1
x
= 2h.
Al usar la expresión dada por (1.11) y simplificar se obtiene la ecuación
diferencial de primer orden
(x2 − y2 − 1) dx+ 2xy dy = 0.
13
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6−1−2−3−4−5−6−7
x
y
Figura 1.9. Familia (x− h)2 + y2 = h2 − 1, |h| ≥ 1
2. Dada una familia n paramétrica de curvas F (x, y, c1 , c2 , . . . , cn) = 0, donde
c1 , c2 , . . . , cn son constantes, se deriva n veces y se eliminan todas las cons-
tantes para obtener una ecuación diferencial de orden n.
Ejemplo 1.17. Encuentre una ecuación diferencial para la familia de
curvas y = c1e
2x + c2e
−2x.
Solución. Como hay dos constantes, derivamos dos veces y eliminamos
las constantes.
y = c1e
2x + c2e
−2x, y′ = 2c1e
2x − 2c2e−2x, y′′ = 4c1e2x + 4c2e−2x.
Ahora procederemos a eliminar las constantes.
y′ + 2y = 4c1e
2x (A)
y′′ + 2y′ = 8c1e
2x (B)
Restando dos veces la ecuación (A) de la ecuación (B) se obtiene
y′′ − 4y = 0,
que es la ecuación diferencial para la familia de curvas.
14
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1.5. EJERCICIOS
1.5 Ejercicios
En los ejercicios 1 a 8, clasifique cada una de las ecuaciones diferenciales
como ordinaria (EDO), parcial (EDP), proporcione el orden e indique las
variables independientes y dependientes. Si la ecuación es ordinaria, indique
si es lineal o no lineal.
1. 3
d2x
dt2
+ 4
dx
dt
+ 9x = 2 cos 3t, Vibraciones mecánicas
2.
d2y
dx2
− 2xdy
dx
+ 2y = 0, Ecuación de Hermite
3.
dy
dx
=
y(2− 3x)
x(1− 3y) , Especies en competencia
4.
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0, Ecuación de Laplace
5.
dx
dt
= (a− x)(b− x), Reacciones qúımicas
6.
√
1− y d
2y
dx2
+ 2x
dy
dx
= 0, Ecuación de Kidder
7.
∂N
∂t
=
∂2N
∂t2
+
1
r
∂N
∂r
+ kN , Fisión nuclear
8.
d2y
dx2
− 0.1(1− y2)dy
dx
+ 9y = 0, Ecuación de Van der Pol
En los ejercicios 9 y 10, escriba una ecuación diferencial que se ajuste a
la descripción f́ısica.
9. La razón de cambio de la población N de bacterias en el instante t es
proporcional a la población en el instante t.
10. La razón de cambio en la temperatura T del café en el instante t es
proporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instante
t y la temperatura del café en el instante t.
15
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
11. Alison y Kevin participan en una carrera de “piques”. Parten del reposo y
luego aceleran a una razón constante. Kevin cubre la última cuarta parte
del recorrido en 3 segundos, mientras que Alison cubre la última tercera
parte de la distancia en 4 segundos. ¿Quién gana la carrera y por cuánto
tiempo?
12. Muestre que φ(x) = x|x| es una solución expĺıcita de dy
dx
= 2
√|y| en
(−∞,∞).
13. Muestre que φ(x) = ex − x es una solución expĺıcita en (−∞,∞) de la
ecuación diferencial dy
dx
+ y2 = e2x + (1− 2x)ex + x2 − 1.
14. Muestre que xy3 − xy3 sen x = 1 es una solución impĺıcita en (0, π
2
)
de la
ecuación dy
dx
= (x cosx+senx−1)y
3x(1−senx)
En los ejercicios 15 a 18, determine si la función o relación es una solución
expĺıcita o impĺıcita de la ecuación dada.
15. y = sen x+ x2;
d2y
dx2
+ y = x2 + 2
16. exy + y = x− 1; dy
dx
=
e−xy − y
e−xy + y
17. y − ln y = x2 + 1; dy
dx
=
2xy
y − 1
18. x = 2e3t − e2t, d
2x
dt2
− 4dx
dt
+ 3x = e2t
19. Verifique que x2 + cy2 = 1, donde c es una constante no nula, es una
familia uniparamétrica de soluciones impĺıcitas de dy
dx
= xy
x2−1 y grafique
varias curvas solución usando los mismos ejes.
20. Si c > 0 demuestre que la función φ(x) = (c2 − x2)−1 es una solución del
problema de valor inicial dy
dx
= 2xy2, y(0) = 1
c2
en (−c, c). Analice esta
solución cuando x tiende a ±c.
16
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1.5. EJERCICIOS
21. Muestre que la ecuación
(
dy
dx
)2
+ y2 + 3 = 0 no tiene solución con valores
reales.
22. Determine los valores de m para los cuales la función φ(x) = emx es una
solución de la ecuación d
2y
dx2
+ 6 dy
dx
+ 5y = 0.
23. Determine los valores de m para los cuales la función φ(x) = xm es una
solución de la ecuación x2 d
2y
dx2
− x dy
dx
− 3y = 0.
24. Verifique que φ(x) = c1e
x + c2e
−2x es una solución de d
2y
dx2
+ dy
dx
− 2y = 0
para cualquier elección de las constantes c1 y c2 . Determine de c1 y c2 de
modo que satisfaga las condiciones iniciales y(0) = 2, y′(0) = 1.
25. Para el problema de valor inicial dy
dx
= 3y2/3, y(2) = 0, muestre que
φ1(x) = 0 y φ2(x) = (x − 2)3 son soluciones. Explique por qué esto no
contradice el Teorema 1.3.1, página 11.
26. El movimiento de un conjunto de part́ıculas a lo largo del eje x está dado
por dx/dt = t3 − x3, donde x(t) denota la posición de la part́ıcula en el
instante t.
a) Si una part́ıcula está en x = 1 cuando t = 2, ¿cuál es su velocidad
en ese instante?
b) Muestre que la aceleración de una part́ıcula está dada por
d2x
dt2
= 3t2 − 3t3x2 + 3x5.
c) Si una part́ıcula está en x = 2 cuando t = 2.5, ¿puede llegar a la
posición x = 1 en un instante posterior?
27. Muestre que la ecuación diferencial |y′| − 1 = 0 no tiene una familia
uniparamétrica de soluciones en (−∞,∞).
28. Considere la ecuación diferencial y′ = 1 + y2.
a) Halle una región R del plano xy, para la cual la ecuación diferencial
tenga solución única que pase por un punto (x0 , y0) en R.
17
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CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
b) Muestre que y = tan x satisface el PVI y′ = 1 + y2, y(0) = 0; pero
explique por qué no es solución del problema de valor inicial y′ =
1 + y2, y(0) = 0 en el intervalo (−2, 2).
c) Determine el mayor intervalo I de validez, para el que y = tan x sea
solución del problema de valor inicial en la parte b).
29. Muestre que y =
2(1+c1e4x)
1−c1e4x
es una familia de soluciones de la ecuación
diferencial dy
dx
= y2 − 4. Mediante simple inspección, halle una solución
singular.
30. Determine una ecuación diferencial para cada una de las familias de cur-
vas. Dibuje algunas curvas para los casos c) y d).
a) x2 + (y − k)2 = k2 + 1
b) x2 − 2kxy + y2 = 4
c) y = c1e
2x + c2e
−x
d) y = c1x
2 + c2x
2 ln x
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3−1−2−3−4
x
y
k > 0
k < 0
(a) x2 + (y − k)2 = k2 + 1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4 5−1−2−3−4−5
x
y
k > 0
k
=
0
k < 0
(b) x2 − 2kxy + y2 = 4
Figura 1.10. Gráficas ejercicio 30
18
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Caṕıtulo 2
Ecuaciones diferenciales de
primer orden
Con frecuencia, para resolver las ecuaciones diferenciales se tendrá que inte-
grar y quizá la integración requiera alguna técnica especial. Es conveniente
que el estudiante dedique un poco de su tiempo al repaso de dichas técnicas
antes de empezar a estudiar este caṕıtulo.
Una ecuación diferencial de primer orden se puede escribir en cualquiera de
las siguientes formas:
F (x, y, y′) = 0, Forma general (2.1a)
y′ =
dy
dx
= f(x, y) Forma estándar (2.1b)
M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 Forma diferencial (2.1c)
2.1 Ecuaciones de variables separables
En esta sección se considera un caso especial de la ecuación (2.1b), en la que
f(x, y) = g(x)/h(y), y una de las más fáciles de resolver (por lo menos en
teoŕıa). Al escribir p(y) = 1/h(y) se tiene la siguiente:
19
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Definición 2.1.1. La ecuación (2.1b) es separable si f(x, y) = g(x)p(y). Es
decir, una ecuación de primer orden es separable si se puede escribir en la
forma
dy
dx
= g(x)p(y) =
g(x)
h(y)
. (2.2)
Método para resolver ecuaciones separables.
Para resolver la ecuación (2.2), se multiplica por h(y) en ambos lados, obte-
niéndose
h(y)dy = g(x)dx.
Luego se integra en ambos lados para obtener∫
h(y)dy =
∫
g(x)dx
H(y) = G(x) + C,
en dondeH(y) es una antiderivada particular de h(y), G(x) es una antideriva-
da particular de g(x) y C es una constante. La última expresión proporciona
una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial.
Ejemplo 2.1. Resolver dy
dx
= 1
xy3
Solución. De acuerdo con el método, se separan las variables para escribir
la ecuación diferencial en la forma
y3dy =
1
x
dx
Al integrar se tiene ∫
y3dy =
∫
1
x
dx
y4
4
= ln x+ C, si x > 0
obteniendo una solución impĺıcita de la ecuación diferencial, que es válida en
cualquier intervalo que no contenga al origen.
20
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2.1. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES
Ejemplo 2.2. Resolver el PVI
dy
dx
= (1 + y2) tan x; y(0) =
√
3
Solución. Separando variables e integrando se tiene∫
dy
1 + y2
=
∫
tan xdx
arctan y = ln(sec x) + C, −π/2 < x < π/2
y = tan(ln(sec x) + C), −π/2 < x < π/2
Para determinar C se usa la condición inicial y(0) =
√
3.
√
3 = tan(ln(sec 0) + C),
de donde C = π/3. Entonces, la solución del PVI es
y = tan(ln(sec x) + π/3); −π
2
< x <
π
2
.
Ejemplo 2.3. Un objeto que pesa 4 lb cae desde una gran altura partiendo
del reposo. Si el aire ejerce una resistencia de 1
2
v lb, donde v es la velocidad
en pies/seg, figura 2.1. Hallar la velocidad v(t) y la distancia recorrida y(t)
a los t segundos.
Solución. Tomamos la dirección positiva hacia abajo.
De acuerdo con la segunda Ley de Newton se tiene
m
dv
dt
= F1 − F2,
pero m = w
g
= 4
32
= 1
8
, F1 = 4, F2 =
1
2
v.
Reemplazando se obtiene la ecuación diferencial
1
8
dv
dt
= 4− 1
2
v o
dv
dt
= 32− 4v.
La condición inicial obvia es v(0) = 0.
21
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
y
h
F1 = mg
F2
Nivel del suelo
t = 0, v = 0
Figura 2.1. Cáıda de un cuerpo
Al separar variables e integrar se tiene
dv
8− v = 4dt ⇒
∫
dv
8− v =
∫
4dt
⇒ − ln(8− v) = 4t+ C1.
Al usar la condición inicial se obtiene C1 = − ln 8. Luego, al sustituir este
valor de C1 y despejar v se tiene
v = v(t) = 8(1− e−4t).
Para hallar y se resuelve el PVI
dy
dt
= 8(1− e−4t); y(0) = 0.
Al separar variables e integrar se obtiene
y(t) = 8(t+
1
4
e−4t) + C0
La condición inicial y(0) = 0 proporciona C0 = −2. Por lo tanto
y = y(t) = 8(t+
1
4
e−4t)− 2.
22
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2.2. ECUACIONES LINEALES
Observación. La técnica de separación de variables conlleva a reescribir la
ecuación diferencial efectuando ciertas operaciones algebraicas en ella. Es-
cribir dy
dx
= g(x)p(y) como h(y)dy = g(x)dx equivale a dividir ambos lados
entre p(y). Se deben tener en cuenta los ceros o ráıces de p(y) en la ecuación
separable dy
dx
= g(x)p(y), ya que estos proporcionan soluciones constantes de
la ecuación diferencial.
2.2 Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal de primer orden en forma normal o canónica es una
ecuación de la forma
dy
dx
+ p(x)y = q(x) (Lineal en y) (2.3a)
ó también
dx
dy
+ p(y)x = q(y) (Lineal en x) (2.3b)
Factor Integrante
Para resolver (2.3a) se multiplica en ambos lados por un factor μ = μ(x),
de modo que el lado izquierdo se transforme en una expresión que sea la
derivada de un producto:
d
dx
(μy) = μ
dy
dx
+ y
dμ
dx
. (2.4)
De esta manera se tiene
μ(x)
dy
dx
+ μ(x)p(x)y = μ(x)q(x). (2.5)
Igualando el lado izquierdo de (2.5) con (2.4) se tiene
μ(x)
dy
dx
+ μ(x)p(x)y = μ(x)
dy
dx
+ y
dμ
dx
.
23
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
De donde
dμ
dx
= μ(x)p(x).
Al separar variables e integrar se tiene
μ = μ(x) = e
∫
p(x)dx. (2.6)
De este modo (2.5) se convierte en
d
dx
(
μ(x)y(x)
)
= μ(x)q(x),
cuya solución es
y = y(x) = [μ(x)]−1
[∫
μ(x)q(x)dx+ C
]
. (2.7)
Puesto que C es una constante arbitraria, la expresión (2.7) proporciona una
familia uniparamétrica de (2.3a), la cual se llama solución general.
Ejemplo 2.4. Resuelva la ecuación diferencial
sen x
dy
dx
+ 2y cos x = 4x sen x.
Solución. Reescribiendo la ecuación en la forma normal se tiene
dy
dx
+
2 cos x
sen x
y = 4x.
Identificando p(x) = 2 cosx
senx
, se obtiene el factor integrante
μ(x) = e
∫
p(x)dx = sen2 x; 0 < x < π.
Al multiplicar la ecuación por este factor se tiene
sen2 x
dy
dx
+ 2y sen x cos x = 4x sen2 x = 2x− 2x cos 2x
d
dx
(y sen2 x) = 2x− 2x cos 2x.
Integrando y despejando se obtiene
y = y(x) =
(
x2 − 1
2
)
csc2 x− 2x cot x+ 1 + C csc2 x; 0 < x < π.
24
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2.2. ECUACIONES LINEALES
Ejemplo 2.5. Resolver
3x
dy
dx
− (x2 − 9)y = −1
x
; ĺım
x→∞
y(x) = 0.
Solución. La forma normal de la ecuación es
dy
dx
−
(x
3
− 3
x
)
y = − 1
3x2
.
Se tiene que p(x) = −x
3
+ 3
x
, un factor integrante es
μ(x) = e
∫
p(x)dx = x3e−x
2/6.
Luego,
x3e−x
2/6 dy
dx
− x3e−x2/6
(x
3
− 3
x
)
y = −1
3
xe−x
2/6
d
dx
(x3e−x
2/6y) = −1
3
xe−x
2/6,
de donde
y = y(x) =
1
x3
+
C
x3
ex
2/6.
Al usar la condición ĺım
x→∞
y(x) = 0 se obtiene C = 0. La solución es
y = y(x) = 1
x3
.
Problemas de mezclas
En los problemas de mezclas se desea calcular la cantidad de una sustancia
x(t) que hay en un recipiente (o en un recinto cerrado) en cualquier instante
t. La tasa de cambio de la sustancia presente en la mezcla satisface la relación
dx
dt
= R1 −R2 , (2.8)
donde
R1 = Tasa de entrada de la sustancia
R2 = Tasa de salida de la sustancia.
Estas cantidades están dadas por
R1 = q1c1 y R2 = q2c2 ,
25
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
siendo
q1 = velocidad de flujo entrante, c1 = concentración de entrada
q2 = velocidad de flujo saliente, c2 = concentración de salida =
x
V
,
donde x = x(t) y V = V (t) son la cantidad de sustancia presente y el volumen
en el tiempo t, respectivamente.
Se distinguen tres casos
1. q1 = q2 . El volumen es constante
2. q1 > q2 . El volumen aumenta
3. q1 < q2 . El volumen disminuye
El volumen en el tanque está dado por
V = V0 + (Δq) t, donde Δq = q1 − q2 .
V
0
V, q
1
= q
2
V, q
1
> q
2
V, q
1
< q
2x(t)
x(0) = x0
Ejemplo 2.6 (Mezclas). Un tanque con capacidad de 400 litros contiene
inicialmente 200 litros de una mezcla de sal y agua (salmuera) con 30 gramos
de sal disueltos. Le entra una solución con 1 gramo de sal por litro a una tasa
de 4 l/min; la mezcla se mantiene uniforme mediante agitación y de él sale
a una tasa de 2 l/min. Calcule la cantidad de gramos de sal en el tanque al
momento de desbordarse.
Solución. Sea A(t) la cantidad de sal (en gramos) en el tanque en cualquier
momento t antes de desbordarse. La rapidez con que cambia A(t) es:
dA
dt
= R1 −R2 ,
donde,
R1 = (4l/min)(1gr/l) = 4gr/min;
R2 = (2l/min)(A gr/min) = 2A/V gr/min,
26
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2.3. ECUACIONES EXACTAS
donde V es el volumen del tanque en el instante t. Como al tanque le entran
4 l/min y le salen 2 l/min, hay una ganancia neta de 2 l/min. Luego, el
tiempo que tarda en llenarse el tanque es
tf =
Diferencia de volumen
Ganancia neta en el flujo
=
200
2
min = 100min.
Pero V = V (t) = 200 + 2t = 2(100 + t), luego R2 =
A
t+ 100
.
Al sustitur R1 y R2 se obtiene el siguiente PVI
dA
dt
= 4− A
t+ 100
; A(0) = 30.
Resolviendo por ecuaciones lineales se tiene
A(t) = 2(t+ 100) +
C
t+ 100
, 0 ≤ t ≤ 100.
La condición inicial da C = −17000. Por lo tanto, la solución al PVI es
A(t) = 2(t+ 100)− 17000
t+ 100
.
La cantidad de sal al momento de desbordarse es A(100) = 315 gramos.
2.3 Ecuaciones exactas
Recordemos que si z = F (x, y) es una función de dos variables que tiene
primeras derivadas parciales en una región R del plano xy, la diferencial
total de F es
dz =
∂F
∂x
dx+
∂F
∂y
dy
Sabemos que la gráfica de z = F (x, y) es una superficie y z = C, donde C
es una constante, representa una curva de nivel para aquellos valores en que
esté definida z = C. En realidad, tenemos una familia de curvas en las cuales
27
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
dz = 0, de donde podemos hallar la pendiente a dichas curvas en cualquier
punto
dy
dx
= f(x, y) = −Fx
Fy
pero esta es una ecuación diferencial de primer orden, la cual puede escribirse
en la forma
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.9)
llamada forma diferencial.
Ahora, si el lado izquierdo de (2.9) se puede identificar con una diferencial
total
M(x, y)dx+N(x, y)dy =
∂F
∂x
dx+
∂F
∂y
dy = dF (x, y)
entonces sus soluciones están dadas (de manera impĺıcita) por las curvas de
nivel
F (x, y) = C
para una constante “arbitraria” C.
A continuación se dan algunas diferenciales usadas frecuentemente.
1. d(xy) = ydx+ xdy 2. d
(
x
y
)
=
xdy − ydx
x2
3. d
(
x
y
)
=
ydx− xdy
y2
4. d
(
tan−1
y
x
)
=
ydx− xdy
x2 + y2
5. d
(
tan−1
x
y
)
=
xdy − ydx
x2 + y2
Ejemplo 2.7. Resolver la ecuación diferencial
dy
dx
= −2xy
2 + 1
2x2y
.
Solución. Algunas de las opciones diferenciales que corresponden a esta
ecuación son
(2xy2 + 1)dx+ 2x2ydy = 0
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2.3. ECUACIONES EXACTAS
2xy2 + 1
2x2y
dx+ dy = 0
dx+
2x2y
2xy2 + 1
dx = 0
De todas estas opciones, la primera forma es mejor, pues es una diferencial
total de la función F (x, y) = x2y2 + x. en efecto,
(2xy2 + 1)dx+ 2x2ydy = d(x2y2 + x)
=
∂
∂x
(
x2y2 + x
)
dx+
∂
y
(
x2y2 + x
)
dy.
De este modo, las soluciones están dadas de manera impĺıcia por la fórmula
x2y2 + x = C.
Ejemplo 2.8. Resuelva(
3x2y +
y
x2 + y2
)
dx+
(
x3 + 2y − x
x2 + y2
)
dy = 0
Solución. El lado izquierdo de la ecuación se puede reacomodar de la si-
guiente forma
3x2ydx+ (x3 + 2y)dy +
ydx− xdy
x2 + y2
,
el cual se puede ver como la suma de dos diferenciales totales
d
(
x3y + y2
)
+ d
(
tan−1
x
y
)
.
Aśı, las soluciones están dadas de manera impĺıcita por
x3y + y2 + tan−1
(
x
y
)
= C.
Definición 2.3.1. La forma diferencial M(x, y)dx+N(x, y)dy es exacta en
un rectángulo R si existe una función F (x, y) tal que
∂F
∂x
(x, y) = M(x, y) (2.10a)
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
∂F
∂y
(x, y) = N(x, y) (2.10b)
para toda (x, y) ∈ R. Es decir, la diferencial de F satisface
dF (x, y) = M(x, y)dx+N(x, y)dy.
SiM(x, y)dx+N(x, y)dy es una forma diferencial exacta, entonces la ecuación
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
es una ecuación exacta.
Como es de esperarse, en las aplicaciones es poco usual que una ecuación
diferencial esté en la forma diferencial exacta. Para identificar este tipo de
ecuaciones se requiere de
• un criterio para determinar si una forma diferencial Mdx + Ndy es
exacta, y en tal caso
• un procedimiento para determinar la función F (x, y).
El criterio de exactitud surge de la siguiente observación. Si
M(x, y)dx+N(x, y)dy =
∂F
∂x
dx+
∂F
∂y
dy,
entonces el teorema del cálculo relativo a la igualdad de las derivadas parciales
mixtas continuas
∂2F
∂y∂x
=
∂2F
∂x∂y
indica una condición de compatibilidad sobre las funcionesM yN . El siguien-
te teorema indica que la condición de compatibilidad es también suficiente
para que una ecuación sea exacta.
Teorema 2.3.1. Suponga que las primeras derivadas parciales de M(x, y) y
N(x, y) son iguales en un rectángulo R. Entonces
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.11)
30
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2.3. ECUACIONES EXACTAS
es exacta si y sólo si la condición de compatibilidad
∂M
∂y
(x, y) =
∂N
∂x
(x, y) (2.12)
se cumple para toda (x, y) en R.
A continuación se describe el método de solución el cual hace parte de la
demostración del teorema 2.3.1
Método de solución.
(a) Si (2.11) es exacta, en virtud de (2.10a), existe una función F tal que
∂F
∂x
= M(x, y).
Para determinar F se puede integrar con respecto a x para obtener
F (x, y) =
∫
M(x, y)dx+ g(y). (2.13)
(b) Para determinar g(y) calcule la derivada parcial con respecto de y en
ambos lados de (2.13) y sustituya N por
∂F
∂x
(por (2.10b)) y despeje
g′(y).
(c) Integre g′(y) para obtener g(y) sin constante numérica. Al sustituir g(y)
en (2.13) se obtiene F (x, y).
(d) Una familia de soluciones de (2.11) está dada por F (x, y) = C.
En forma alternativa, partiendo de ∂F/∂x = N(x, y), la solución impĺıcita
se puede obtener integrando primero con respecto a y.
Ejemplo 2.9. Resolver
(yexy + 2x)dx+ (xexy − 2y)dy = 0
31
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Solución. En este caso,
M(x, y) = yexy + 2x (∗)
N(x, y) = xexy − 2y. (∗∗)
Como
∂M
d∂y
= xyexy =
∂N
∂x
,
la ecuación es exacta. Integrando con respecto a x la ecuación (∗) se tiene
F (x, y) =
∫
(yexy + 2x)dx = exy + x2 + g(y).
Derivando con respecto a y esta última expresión y usando la ecuación (∗∗)
se tiene
xyexy + g′(y) = xexy − 2y,
de donde g′(y) = −2y. Luego, g(y) = −y2. Por lo tanto,
F (x, y) = exy + x2 − y2
y una familia de soluciones de la ecuación está dada de manera impĺıcita por
exy + x2 − y2 = C.
2.4 Factores integrantes especiales
Retomando la ecuación diferencial lineal en forma normal
dy
dx
+ p(x)y = q(x)
y escribiéndola en la forma diferencial
[p(x)y − q(x)] dx+ dy = 0, (2.14)
M(x, y) = p(x)y− q(x) y N(x, y) = 1. Como ∂M
∂y
= p(x) �= 0 = ∂N
∂x
, entonces
la ecuación (2.14) no es exacta. Ahora multiplicamos por un factor μ(x) la
Ec. (2.14) de modo que la ecuación resultante sea exacta
μ(x) [p(x)y − q(x)] dx+ μ(x)dy = 0
32
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2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES
y la condición de compatibilidad implica
μ(x)p(x) = μ′(x),
de donde se obtiene el factor integrante
μ(x) = e
∫
p(x)dx.
Definición 2.4.1. Si la ecuación en forma diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.15)
no es exacta, pero
μ(x, y)M(x, y)dx+ μ(x, y)N(x, y)dy = 0 (2.16)
es exacta, se dice que μ(x, y) es un factor integrante de la Ec. (2.15)
Ejemplo 2.10. Muestre que μ(x, y) = 1
x2y
es un factor integrante de la
ecuación
−y2dx+ (x2 + xy)dy = 0
y resuelva la ecuación resultante.
Solución. Sean M(x, y) = −y2 y N(x, y) = x2 + xy = x(x+ y). Como
∂M/∂y = −2y �= ∂N/∂x = 2x+ y,
la ecuación no es exacta. al multiplicar por μ(x, y) = 1
x2y
se obtiene
(
− y
x2)
dx+
(
1
x
+
1
y
)
dx = 0.
Para esta ecuación se tiene P (x, y) = − y
x2
y Q(x, y) = 1
x
+ 1
y
. Como
∂P
∂y
= − 1
x2
= ∂Q
∂x
, la nueva ecuación es exacta. Luego, existe una función
F (x, y) tal que
∂F
∂x
= − y
x2
y
∂Q
∂y
=
1
x
+
1
y
.
33
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Luego,
F (x, y) = −
∫
y
x2
dx =
y
x
+ g(y).
Al derivar con respecto a y e igualar con Q(x, y) = 1
x
+ 1
y
se tiene
1
x
+ g′(y) =
1
x
+
1
y
o g′(y) =
1
y
Integrando, salvo constantes, se tiene g(y) = ln y. Por lo tanto, una famila
de soluciones impĺıcitas está dada por
y
x
+ ln y = C.
¿Cómo hallar un factor integrante?
Caso I: μ(x, y) = xnym, donde n y m se encuentran usando (2.12) aplicada
a P = μM y Q = μN .
Ejemplo 2.11. Encuentre un factor integrante de la forma μ(x, y) = xnym
y resuelva la ecuación diferencial resultante si (xy + y2) dx− x2 dy = 0.
Solución. Se tiene que M(x, y) = xy + y2 y N(x, y) = −x2. La ecuación
diferencial no es exacta porque My = x+ 2y �= Nx = −2x. Ahora, sean
P (x, y) = μM = xnym(xy + y2) = xn+1ym+1 + xnym+2
Q(x, y) = μN = xnym(−x2) = −xn+2ym
Luego
Py = (m+ 1)x
n+1ym + (m+ 2)xnym+1
Qx = −(n+ 2)xn+1ym
La condición de compatibilidad implica que
−(n+ 2)xn+1ym = (m+ 1)xn+1ym + (m+ 2)xnym+1.
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2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES
Al igualar coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones lineales
Coeficientes de xn+1ym : −(n+ 2) = m+ 1
Coeficientes de xnym+1 : 0 = m+ 2
cuya solución es n = −1, m = −2. Se deja como ejercicio para el lector
resolver la ecuación diferencial resultante.
Caso II: Ahora consideramos el caso general. Si μ(x, y) es un factor inte-
grante de la ecuación (2.15) con primeras derivadas parciales continuas, para
verificar la exactitud de la ecuación (2.16) se debe tener
∂
∂y
(μ(x, y)M(x, y)) =
∂
∂x
(μ(x, y)N(x, y))
M
∂μ
∂y
+ μ
∂M
∂y
= N
∂μ
∂x
+ μ
∂N
∂x
.
Es decir,
N
∂μ
∂x
−M∂μ
∂y
=
(
∂N
∂x
− ∂M
∂y
)
μ. (2.17)
Resulta que para encontrar un factor integrante de la ecuación (2.12)
tenemos que resolver una ecuación en derivadas parciales, que en general es
más dif́ıcil.
Como el caso general es un problema dif́ıcil, consideraremos la siguiente sus-
titución
μ = μ(z), z = h(x, y)
para alguna función h dada.
Para hallar dicho factor integrante, se usa la condición (2.12) y la regla de la
cadena:
μx =
∂μ
∂x
=
dμ
dz
∂z
∂x
(2.18a)
μy =
∂μ
∂y
=
dμ
dz
∂z
∂y
(2.18b)
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Al reemplazar (2.18a) y (2.18b) en (2.17) y despejar
dμ
μ
, se obtiene
N
dμ
dz
zx −Mdμ
dz
zy = (My −Nx)μ
dμ
μ
= R(z) dz donde R(z) =
My −Nx
zxN − zyM , z = h(x, y).
Aśı, un factor integrante para (2.12) tiene la forma
μ(z) = e
∫
R(z)dz donde R(z) =
My −Nx
zxN − zyM , z = h(x, y)
Algunos casos especiales para z son: (i) z = x, (ii) z = y, (iii) z = x+ y, (iv)
z = x− y, (v) z = ax+ by, a �= 0 o b �= 0, (vi) z = xy, (vi) z = x2 + y2, (vii)
z = x2 − y2 y (viii) z = ax2 + by2, a �= 0 o b �= 0.
A continuación se consideran los casos especiales (i) – (iii).
(i) μ = μ(z), z = x; μ depende sólo de x. En este caso zx = 1, zy = 0.
Aśı,
μ(z) = μ(x) = e
∫
R(x)dx; donde R(x) =
My −Nx
N
.
(ii) μ = μ(z), z = y; μ depende sólo de x. En este caso zx = 0, zy = 1.
Aśı,
μ(z) = μ(y) = e
∫
R(y)dy; donde R(x) =
My −Nx
−M .
(iii) μ = μ(z), z = x+ y. En este caso, zx = 1, zy = 1. Aśı,
μ(z) = e
∫
R(z) dz; donde R(z) =
My −Nx
N −M .
Los casos que restan se proponen como ejercicio.
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2.4. FACTORES INTEGRANTES ESPECIALES
Ejemplo 2.12. Resuelva (x2+2xy−y2)dx+(y2+2xy−x2)dy = 0 encontrando
un factor integrante de la forma μ = μ(z), z = h(x, y).
Solución. Se tiene
M(x, y) = x2 + 2xy − y2 y N(x, y) = y2 + 2xy − x2.
La ecuación no es exacta, puesto que
∂M
∂y
= 2x− 2y �= 2y − 2x = ∂N
∂x
.
Ahora
∂M
∂y
− ∂N
∂x
= 4x− 4y = 4(x− y).
Es claro que ∂M/∂y−∂N/∂x
N
no depende de x, ni ∂N/∂x−∂M/∂y
M
depende de y.
Ahora,
∂M/∂y − ∂N/∂x
M −N =
−4(x− y)
2x2 − y2 =
−4(x− y)
2(x− y)(x+ y) = −2(x+ y)
−1 = G(z),
el cual depende de z = x+ y. Un factor integrante es
μ(z) = e
∫
G(z)dx = e−2
∫
zdz = e−2 ln z = z−2 = (x+ y)−2.
Al multiplicar la ecuación por este factor se obtiene
x2 + 2xy − y2
(x+ y)2
dx+
y2 + 2xy − y2
(x+ y)2
dy = 0,
la cual ahora es exacta. Luego,
∂F
∂x
=
x2 + 2xy − y2
(x+ y)2
(�)
∂F
∂y
=
y2 + 2xy − x2
(x+ y)2
(��)
Integrando parcialmente con respecto a x la ecuación (�) se tiene
F (x, y) =
∫
x2 + 2xy − y2
(x+ y)2
dx =
∫ (
1− 2y
2
(x+ y)2
)
dx
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
= x+
2y2
(x+ y)
+ g(y).
Derivando con respecto a y y usando la ecuación (��) se tiene
2y2 + 4xy
(x+ y)2
+ g′(y) =
y2 + 2xy − x2
(x+ y)2
,
de donde g′(y) = −1. Integrando, salvo constantes, se obtiene g(y) = −y.
Luego,
F (x, y) = x+
2y2
(x+ y)2
− y = x
2 + y2
x+ y
.
Por lo tanto, una familia de soluciones está dada de manera impĺıcita por
x2 + y2
x+ y
= C.
Observación. En el proceso de multiplicar por un factor integrante, puede
ocurrir que se pierdan o ganen soluciones. En el Ejemplo (2.10), Sec. (2.4),
y = 0 es una solución de la ecuación original que se perdió al multiplicar por
el factor integrante μ(x, y) = 1
x2y
.
2.5 Transformaciones y sustituciones
Puede ocurrir, y con mucha frecuencia, que la ecuación (2.11) no sea sepa-
rable, ni lineal, ni exacta, por lo que los métodos estudiados hasta ahora
no funcionan, pero se podŕıa transformar, mediante algún procedimiento,
en una ecuación que se pueda resolver. Esto es lo que se ha hecho en las
dos secciones precedentes cuando se utiliza un factor integrante para resolver
una ecuación lineal o para transformar una ecuación no exacta en una exacta.
En esta sección, se consideran algunas transformaciones o sustituciones que
permiten llevar una ecuación a una separable o a una lineal. Por ejemplo,
suponga que se quiere transformar la ecuación diferencial dy/dx = f(x, y)
con la sustitución y = g(x, u), donde u se considera como función de x. Si
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2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES
g tiene primeras derivadas parciales, entonces, por la regla de la cadena se
tiene
dy
dx
=
∂g
∂x
(x, u) +
∂g
∂u
(x, u)
du
dx
.
Al sustituir dy/dx, teniendo en cuenta que y = g(x, u) se tiene
∂g
∂x
(x, u) +
∂g
∂u
(x, u)
du
dx
= f(x, g(x, u)),
la cual se puede escribir como
du
dx
= h(x, u)
Si es posible encontrar una solución u = φ(x) de esta nueva ecuación, entonces
una solución de la ecuación original es y = f(x, φ(x)). De manera similar se
puede encontrar una solución en la forma x = F (ϕ(y), y) para una ecuación
dx/dy = F (x, y).
Ejemplo 2.13. Resolver la ecuación
dy
dx
=
2y
x
+ x tan
( y
x2
)
mediante la sustitución y = x2u.
Sol Sea y = x2u. Por la regla de la cadena,
dy
dx
=
d
dx
(x2u) =
∂
∂x
(x2u) +
∂
∂u
(x2u) = 2xu+ x2
du
dx
.
Luego,
2xu+ x2
du
dx
= 2xu+ x tan u o x
du
dx
= tan u.
Al separar variables e integrar se tiene∫
du
tan u
=
∫
dx
x
ln(sen u) = ln(cx)
sen u = cx,
Al reemplazar u = y/x2 y despejar se tiene y = x2 sen−1(cx).
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ecuaciones con coeficientes homogéneos
Cuando una función f tiene la propiedad f(tx, tx) = tαf(x, y), para algún
número real α, se dice que f es una función homogénea de grado α.
Ejemplo 2.14. f(x, y) =
√
x+ y es homogénea de grado 1
2
pues
f(tx, ty) =
√
tx+ ty = t1/2
√
x+ y = t1/2f(x, y).
Definición 2.5.1. La ecuación diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.19)
es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Ejemplo 2.15. La ecuación
x
dy
dx
= y +
√
x2 + y2
es una ecuación homogénea.
Una forma alternativa para determinar si una ecuación diferencial de primer
orden es homogénea, es escribirla en la forma dy/dx = f(x, y) y expresar
f(x, y) como una función del cocientey/x o x/y. Es decir, f(x, y) es una
función homogénea de grado cero. Cuando esto ocurre se dice que (2.19) es
homogénea. La sustitución y = ux o x = vy transforma a (2.19) en una
ecuación separable. En efecto, sea y = ux, entonces
dy
dx
= u+ x
du
dx
Al sustituir dy/dx, y = ux se obtiene
u+ x
du
dx
= f(x, ux) = x0f(1, u),
que se puede escribir como
x
du
dx
= F (u), con F (u) = f(1, u)− u,
40
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2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES
la cual es separable. Al separar variables e integrar se tiene∫
du
F (u)
= ln(cx)
De manera similar, x = vy transforma la ecuación dx/dy = g(x, y) en
y
dv
dy
= G(v), con G(v) = g(v, 1)− v.
Ejemplo 2.16. Resuelva el PVI (x2 + 2y2) dy
dx
= xy; y(−1) = 1.
Solución. Escribiendo la ecuación en forma estándar se tiene
dx
dy
=
x2 + 2y2
xy
=
x
y
+
2y
x
Al hacer la sustitución x = vy,
dx
dy
= v + y
dv
dy
,
v + y
dv
dy
= v +
2
v
o y
dv
dy
=
2
v
Al separar variables e integrar se tiene∫
vdv =
∫
2dy
y
v2
2
= 2 ln y + C.
Regresando a las variables originales se tiene que
x2
y2
= 4 ln y + 2C.
Usando la condición inicial y(−1) = 1 nos da 1 = 4 ln 1 + 2C , de donde
2C = 1. Despejando x, teniendo en cuenta que x < 0, y > 0 por la condición
inicial, se obtiene
x = −y
√
4 ln y + 1,
la cual es válida para y > e−1/4.
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ecuación de Bernoulli
Una ecuación de la forma
dy
dx
+ p(x)y = f(x)yn (2.20)
es una ecuación de Bernoulli. Cuando n = 1, la ecuación (2.20) es separable,
mientras que si n = 0, la Ec. (2.20) es lineal. Si n �= 0 y n �= 1, la sustitución
z = y1−n transforma la Ec. (2.20) en una ecuación lineal. Al derivar con
respecto a x y usando regla de la cadena se tiene
dz
dx
= (1− n)y−n dy
dx
Multiplicando en ambos lados de (2.20) por (1− n)y−n se tiene
(1− n)y−n dy
dx
+ (1− n)p(x)y−n = (1− n)f(x). (2.21)
Al sustituir dz
dx
por (1− n) dy
dx
y z por y1−n en (2.21) se tiene
dz
dx
+ (1− n)p(x)z = (1− n)f(x),
la cual es una ecuación lineal.
Ejemplo 2.17. Resuelva la ecuación x dy
dx
+ y = x4y2.
Solución. Escribiendo la ecuación es forma estándar
dy
dx
+
y
x
= x3y2, (2.22)
vemos que es una ecuación de Bernoulli con p(x) = 1/x, f(x) = x3 y n = 2.
Sean z = y1−2 = y−1, dz
dx
= −y−2 dy
dy
. Multiplicando por −y−2 la ecuación
(2.22) se tiene
−y−2dy
dy
− y
−2
x
= −x3
42
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2.5. TRANSFORMACIONES Y SUSTITUCIONES
dz
dx
− z
x
= −x3
La última ecuación es lineal, dejamos al lector los detalles para encontrar la
solución
y =
3
C1 − x4 .
Ecuaciones de la forma
dy
dx
= G(ax+ by), b �= 0
En este caso, la sustitución z = ax+ by, dz/dz = a− bdy/dx transforma la
ecuación en una separable. Al sustituir en la ecuación y simplificar se obtiene
dz
dx
= a+ bG(z)
Ejemplo 2.18. Resolver dy
dx
= sen2(x− y)
Solución. Sea z = x− y , entonces
dz
dx
= 1− dy
dx
ó
dy
dx
= 1− dz
dx
.
Al sustituir en la ecuación y reacomodar se tiene
dz
dx
= 1− sen2 z = cos2 z.
Seaparando variables, integrando y despejando y se tiene
y = x− tan−1(x+ C).
Ecuaciones con coeficientes lineales
En este apartado consideramos ecuaciones de la forma
(a1x+ b1y + c1)dx+ (a2x+ b2y + c2)dy = 0 con a1b2 �= a2b1 . (2.23)
Si c1 = c2 = 0 , la Ec. (2.23) es homogénea. Si c1 �= c2 , se busca una traslación
de ejes
x = u+ h, y = v + k,
43
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
de modo que a1x + b1y + c1 y a2x + b2y + c2 se transformen en a1u + b1v y
a1u+ b1v respectivamente. Para hallar tal transformación se debe resolver el
sistema de ecuaciones lineales
a1h+ b1k + c1 = 0
a2h+ b2k + c2 = 0
(2.24)
El sistema (2.24) tiene solución única puesto que a1b2 �= a2b1 .
Ejemplo 2.19. Resolver (2x+ y + 4)dx+ (x− 2y + 2)dy = 0.
Solución. Se tiene que 2 · (−2) �= 1 · 1. Sean x = u+ h, y = v + k, donde h
y k se hallan resolviendo el sistema
2h+ k + 4 = 0
h− 2k + 2 = 2
La solución es h = −2, k = 0. Al sustituir x = u− 2, y = v se tiene
(2u+ v)du+ (u− 2v)dv = 0
du
dv
=
2v − u
v + 2u
=
2− u/v
1 + 2u/v
La sustitución u = vz, du/dv = z + vdz/dv transoforma la ecuación en
z +
dz
dv
=
2− z
1− 2z .
Al separar variables, integrar, recuperar variables y simplicar se tiene
(x+ 2)2 + (x+ 2)y − y2 = C.
2.6 Trayectorias ortogonales y oblicuas
En esta sección se estudian las trayectorias ortogonales y oblicuas a una
familia de curvas dadas F (x, y, c) = 0, donde c es una constante.
44
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2.6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS
Definición 2.6.1 (Trayectorias ortogonales). Dos familias uniparamétri-
cas de curvas C1 : F (x, y, c1) = 0 y C2 : G(x, y, c2) = 0 son ortogonales si todas
las curvas de C1 cortan perpendicularmente a todas las curvas de C2 .
Recordemos: si m1 es la pendiente de la recta L1 y m2 es la pendiente de la
recta L2 , y L1 y L2 son perpendiculares, ver figura 2.2, entonces m1m2 = −1.
� �
F (x, y, c
1
) = 0
G(x, y, c
2
) = 0
y
x
Figura 2.2. Trayectorias ortogonales
Asi, si m1 es la pendiente de una recta tangente a cualquier curva de la
familia C1 y m2 es la pendiente de una recta tangente a cualquier curva de
la familia C2 en los puntos de corte con la familia C1 , entonces(dy
dx
)
C2
= −
(dx
dy
)
C1
Para calcular la familia de trayectorias ortogonales a la familia uniparamétri-
ca F (x, y, c1) = 0 se procede de la siguiente manera:
1. Se halla la ecuación diferencial para la familia dada C1 , para obtener
dy
dx
= f(x, y)
2. A continuación se resuelve la ecuación diferencial de la familia C2 .
dy
dx
= − 1
f(x, y)
45
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ejemplo 2.20. Determine las trayectorias ortogonales para la familia de
curvas x2 + 4y2 = c2
1
.
Solución. Primero encontramos la ecuación diferencial para la familia dada
C1 : x2 + 4y2 = c21 . Tomando diferenciales totales se tiene
d(x2 + 4y2) = d(c2
1
)
2xdx+ 4ydy = 0.
De ah́ı se obtiene
dy
dx
= − x
4y
La ecuación diferencial para la familia ortogonal es
dy
dx
=
4y
x
.
Al separar variables e integrar se obtiene la familia
y = c2x
4.
En la figura 2.3 se muestran varios miembros de la familia dada y de la familia
ortogonal.
x2 + 4y2 = c2
1
y = c
2
x4, c
2
> 0
y = c
2
x4, c
2
< 0
y
x
Figura 2.3. Trayectorias ortogonales del ejemplo 2.20
Nota. En un campo electrostático, las ĺıneas de fuerza son ortogonales a las
ĺıneas de potencial constante.
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2.6. TRAYECTORIAS ORTOGONALES Y OBLICUAS
Definición 2.6.2 (Trayectorias obĺıcuas). Dos familias uniparamétricas
de curvas C1 : F (x, y, c1) = 0 y C2 : G(x, y, c2) = 0 son oblicuas o isogonales
si todas las curvas de C1 se cortan formando un ángulo φ �= π/2, con todas
las curvas de C2 .
�
F (x, y, c
1
) = 0
G(x, y, c
2
) = 0
β α
φ
tanα = −Fx
Fy
tanβ = −Gx
Gy
y
x
Figura 2.4. Trayectorias oblicuas
Si F (x, y, c1) = 0 es la familia dada, entonces la pendiente a sus rectas
tangentes es m1 = tanα = f(x, y) y las pendientes de las curvas buscadas es
m2 = tan β. De la figura 2.4, β + φ = α. Luego,
tan β = tan(α− φ) = tanα− tanφ
1 + tanα tanφ
=
f(x, y)− tanφ
1 + tanφf(x, y)
Por lo tanto, una ecuación diferencial para una familia de trayectorias obli-
cuas es
dy
dx
=
f(x, y)− tanφ
1 + tanφf(x, y)
. (2.25)
Ejemplo 2.21. Determine la familia oblicua con ángulo de 45◦ a la familia
y = c1x
2, c1 �= 0.
Solución. En primer lugar determinamos la ecuación diferencial de la familia
dada. Al derivar se tiene
dy
dx
= 2c1x.
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Al eliminar la constante c1 se obtiene
dy
dx
=
2y
x
= f(x, y).
Sustituyendo en (2.25) se obtiene la ecuación diferencial de la familia buscada
dy
dx
=
2y − x
x+ 2y
,
la cual es de coeficientes homogéneos. Usando la sustitución y = ux, se tiene
u+ x
du
dx
=
2ux− x
x+ 2ux
=
2u− 1
1 + 2u
x
du
dx
=
u− 1− 2u2
1 + 2u
Al separar variables e integrar se obtiene
ln(2u2− u+ 1) + 6√
7
arctan
(
4u−1√
7
)
= −2 ln |x|+ c2 .
Al reemplazar u = y/x y simplificar se llega a
ln
(
2y2 − xy + x2)+ 6√
7
arctan
(
4y−x√
7 x
)
= c2 .
2.7 Ecuación diferencial de primer orden en
coordenadas polares
En muchas ocasiones puede resultar más conveniente trabajar en coordenadas
polares debido a las condiciones del problema o a la forma de la ecuación de
una familia de curvas.
Las cordenadas polares de un punto P del plano están dadas por
x = r cos θ, y = r sen θ, (2.26)
donde r es el radio polar y θ es el ángulo polar.
48
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2.7. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE PRIMER ORDEN EN COORDENADAS POLARES
�
Ra
dio
po
lar
θ
α
ψ = α− θ
P
F (x, y, c
0
) = 0
y
x
Figura 2.5. Un miembro de F (x, y, c) = 0 y la recta tangente en P
Sea F (x, y, c) = 0 una familia de curvas en coordenadas cartesianas. Fijando
un valor de c y haciendo el cambio a coordendas polares dadas por (2.26), se
obtiene una nueva expresión de la forma
H(r, θ, c) = F (r cos θ, r sen θ, c) = 0.
Si F (x, y, c) = 0 define impĺıcitamente a y como función de x, y = φ(x), en
un entorno de los puntos P donde Fy �= 0, entonces H(r, θ, c) = 0 también
define impĺıcitamente a r como una función de θ, r = f(θ), en una vecindad
de aquellos puntos en donde Hr �= 0.
Derivando impĺıcitamente y aplicando regla de la cadena se obtiene.
dr
dθ
= −Hθ
Hr
= −−Fxr sen θ + Fyr cos θ
Fx cos θ + Fy sen θ
.
De donde resulta
1
r
dr
dθ
=
Fx sen θ − Fy cos θ
Fx cos θ + Fy sen θ
Ahora, si α es el ángulo de inclinación de la recta tangente en el punto P
entonces y′ = tanα, α = α(x). Como y′ = −Fx/Fy, obtenemos
1
r
dr
dθ
=
1 + tanα tan θ
tanα− tan θ =
1
tan(α− θ) .
49
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Haciendo ψ = α− θ, ver figura 2.27, el ángulo entre el radio polar y la recta
tangente, se llega a
1
r
dr
dθ
=
1
tanψ
o r
dθ
dr
= tanψ. (2.27)
Ejemplo 2.22. Encuentre una familia de curvas en coordenadas polares si
tanψ = k, k constante, k �= 0
Solución. Al sustituir tanψ = k en (2.27), separar variables e integrar, se
tiene
1
r
dr
dθ
=
1
k∫
dr
r
=
1
k
∫
dθ
ln r =
θ
k
+ ln c, c > 0
Al exponenciar se obtiene
r = f(θ) = ceθ/k, c > 0.
Cambiar M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 a polares
En este caso se usan las expresiones dadas por (2.26) y
dx = cos θ dr − r sen θdθ, dy = sen θdr + r cos θdθ,
para obtener
[M1 cos θ +N1 sen θ] dr + r [N1 cos θ −M1 sen θ] dθ = 0, (2.28)
donde M1(r, θ) = M(r cos θ, r sen θ) y N1(r, θ) = N(r cos θ, r sen θ).
Ejemplo 2.23. Transforme la ecuación diferencial (x2 + y2)dx− 2xydy = 0
a coordenadas polares.
Solución. Al reemeplazar x = r cos θ, y = r sen θ, dx = cos θ dr − r sen θdθ
y dy = sen θdr + r cos θdθ se tiene
r2(cos θdr − r sen θdθ)− 2r2 sen θ cos θ(sen θdr + r cos θdθ) = 0
cos θ(1− 2 sen2 θ)dr − r sen θ(1 + 2 cos2 θ)dθ = 0.
50
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2.8. EJERCICIOS
2.8 Ejercicios
2.8.1 Ecuaciones de primer orden
Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales
1.
dy
dx
=
sec2 y
1 + x2
2. x
dv
dx
=
1− 4v2
3v
3. yecosx sen x dx+ y−1dy = 0 4. (1 + e−y)dx+ (1 + e−x)dy = 0
5. (e−y + 1) sen x dx+ (1 + cos x)dy = 0; y(0) = 0
6.
dx
dt
= (a− x)(b− x) 7.
√
4 + y2 dx− y√4− x2 dy = 0
8. (ex + e−x)
dy
dx
= y2 9. (x+
√
x )
dy
dx
= y +
√
y
10.
dy
dx
= (1 + y2) tan x; y(0) =
√
3 11.
dy
dx
=
3x2 + 4x+ 2
2y + 1
; y(0) = 1
12. (x2 + 1)
dy
dx
= x2 + 2x− 1− 4xy 13. (t2 + 1)dy
dt
= t(y + 1)
14. (x2 + 1)
dy
dx
+ xy = (1− 2x)√x2 + 1
15. x sen x
dy
dx
+ (sen x+ x cos x)y = xex
16. sen x
dy
dx
+ y cos x = x sen x; y
(π
2
)
= 2
17.
dy
dx
=
1
2x+ e4y
18.
dy
dx
+
2
x
y = f(x), y(2) = 0; donde f(x) =
⎧⎨
⎩ 3, si 0 < x ≤ 1−3, si x > 1
51
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
19.
dy
dx
+ p(x)y = x, y(1) = 1, donde p(x) =
⎧⎨
⎩ 1/x, si 0 < x ≤ 1−1/x, si x > 1
20. y(ln y − e−xy)dx+ x(1 + ln y − e−xy)dy = 0
21.
dy
dx
=
y sen(2x)− y + y2exy2
x− sen2 x− 2xyexy2
22. Determine el valor de k para (6xy3 + cos y)dx + (kx2y2 − x sen y)dx = 0
sea exacta y resuelva la ecuación resultante
23. Determine la función más general que falta para que la ecuación sea exacta
y resuélvala
a) M(x, y)dx+ (sec2 y − x/y)dy = 0
b) (yexy − 4x3y + 2)dx+N(x, y)dy = 0
24. Resuelva 6xy dx + (9x2 + 4y)dy = 0 buscando un factor integrante de la
forma μ = μ(y)
25. Halle las expresiones para los factores integrantes para las casos μ = μ(z)
con z = x−y, z = ax+by, z = xy, z = x2+y2, z = x2−y2 y z = ax2+by2.
26. Si xM(x, y) + yN(x, y) = 0, determine la solución de la ecuación diferen-
cial M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0.
27. Considere la ecuación diferencial
(5x2y + 6x3y2 + 4xy2)dx+ (2x3 + 3x4y + 3x2y)dy = 0.
a) Muestre que la ecuación no es exacta.
b) Multiplique la ecuación por un factor μ(x, y) = xnym y determine
valores de n y m que hagan exacta la ecuación resultante y resuélvala
28. Resuelva xy′ = 2y + x2 cos (y/x2) mediante la sustitución y = ux2.
29. Resolver el PVI 2x2yy′ + 2xy2 = tan(x2y2); y(1) =
√
π/2, mediante la
sustitución z = x2y2.
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2.8. EJERCICIOS
30.
dy
dx
=
2y − 3xy
x− 3xy
31. (xy′ − y) cos(2y/x) = −3x4
32.
dy
dx
+
y
x− 2 = (x− 2)
√
y 33.
dy
dx
= sen(x− y)
34.
dy
dx
=
x+ y − 2
x+ y + 2
35.
dy
dx
= (x+ y + 2)2
36. (2x− y)dx+ (4x+ y − 3)dy = 0
37. Una ecuación de la forma
dy
dx
= p(x)y2+ q(x)y+ r(x), se llama ecuación
de Ricatti generalizada
a) Muestre que si u(x) es una solución conocida entonces la sustitución
y = u+ 1/z reduce la ecuación de Ricatti a una lineal en z.
b) Dado que u = x es una solución de dy/dx = x3(y− x)2 + y/x, use la
parte a) para encontrar todas las soluciones.
38. Resolver mediante reducción de orden
a) x2y′′ − 2y′ = 3x2 b) y′′ − k2y = 0
2.8.2 Modelado
1. La población de una comunidad crece con una tasa proporcional a la
población en cualquier instante. Su población inicial es 500 y aumenta el
15% en 10 años. ¿Cuál será la población dentro de 30 años?
2. El Pb-209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón pro-
porcional a la cantidad presente en cualquier instante y tiene una vida
media de 3.3 horas. Si al principio hab́ıa 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiem-
po debe pasar para que se desintegre el 90%?
3. Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El área bajo
la curva desde (0, 0) a (x, y) es un tercio del área del rectángulo que tiene
a esos puntos como vértices opuestos. Hallar la curva.
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
4. Un estudiante despistado olvidó la regla del producto para derivadas y
creyó que (fg)′ = f ′g′. Sin embargo contó con suerte y obtuvo la respues-
ta correcta. Si una de las funciones es g(x) = ex
2
, halle la otra función.
5. Un termómetro se lleva de un recinto interior hasta el ambiente exterior
donde la temperatura es de 5oF . Después de un minuto el termómetro
indica 55oF y después de cinco minutos marca 30oF . A los nueve minutos
se introduce nuevamente al recinto. ¿Cuál es la temperatura que marca
el termómetro a los quince minutos?
6. Por razones obvias un anfiteatro se mantiene a una temperatura constante
de 5oC. Mientras se encontraba realizando la autopsia de la v́ıctima de un
crimen, el forense es asesinado y el cuerpo de la v́ıctima robado. A las 10
a.m. el ayudante del forense descubre su cadáver a una temperatura de
23oC . A medio d́ıa su temperatura es 18.5oC. Suponiendo que en vida,
el forense teńıa una temperatura de 37oC, ¿a qué hora fue asesinado?
7. Se aplica una fuerza electromotriz E(t) =
⎧⎨
⎩120 si 0 < t < 200 si t > 20 , a un cir-
cuito en serie LR, en que la inductancia es L = 20 henrios y la resistencia
es R = 2 Ohms. Determine la corriente i(t) si i(0) = 0.
8. Una medicina se inyecta en el torrente sangúıneo de un paciente a un flujo
constante de r gr/seg. Al mismo tiempo, esa medicina desaparece con
una razón proporcional a la cantidad x(t)presente en cualquier instante
t. Halle x(t) si x(0) = 0 y encuentre ĺımx→∞ x(t).
9. Un tanque está parcialmente lleno con 100 galones de salmuera con 10 lb
de sal disueltas. Le entra salmuera con 0.5 libras de sal por galón a un
flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y de él
sale a un flujo de 4 gal/min.
a) Halle la cantidad de libras de sal A(t) a los 30 minutos.
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2.8. EJERCICIOS
b) Si el tanque tiene una capacidad de 300 galones, ¿cuántas libras de
sal habrá cuando empieza a desbordarse?
c) Suponga que el tanque se desborda, que la salmuera continúa en-
trando al flujo de 6 gal/min, que el contenido está bien mezclado
y que la solución sigue saliendo a un flujo de 4 gal/min. Determine
un método para hallar cantidad de libras de sal A(t) que habrá en el
tanque cuando t = 150 minutos. ¿Su respuesta coincide con lo que
cabŕıa esperar?
10. Los rayos luminosos chocan con una curva C en el plano, de tal manera
que todos los rayos L paralelos al eje x se reflejan y van a un punto único,
O. Suponga que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión,
deduzca una ecuación diferencial que describa la forma de la curva y
resuélvala, (Fig. 2.7(a)).
11. Un depósito contiene 10 galones de salmuera con 2 libras de sal disueltas
en ella. Se introduce en el depósito salmuera que contiene disuelta una
libra de sal por galón a razón de 3 gal/min, y la mezcla bien revuelta, sale
a razón de 4 gal/min. Hallar la cantidad de sal x = x(t) en el depósito en
un instante t arbitrario. ¿Cuál es la cantidad máxima de sal en el tanque?
12. A un recinto de 8000 pie3 de volumen entra aire con 0.06% de CO2. El
flujo de entrada es de 2000 pie3/min y sale con el mismo flujo. Si hay una
concentración inicial de 0.2% de CO2, determine la concentración en el
recinto en cualquier instante posterior. ¿Cuál es la concentración a los 10
minutos? ¿Cuál es la concentración del estado estable?
13. Desde el instante t = 0 se bombea agua fresca a razón de 3 gal/min en
un tanque, de 60 galones de capacidad lleno con una solución salina. La
mezcla resultante se desborda con la misma razón en un segundo tanque de
60 galones que inicialmente conteńıa sólo agua pura, y de ah́ı se derrama
al piso. Suponiendo una mezcal perfecta en ambos tanques.
a) ¿En qué momento será más salada el agua del segundo tanque?
55
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
b) ¿Y qué tan salada estará, comparada con la solución original?
14. Un gran tanque de capacidad 500 galones está parcialmente lleno con 300
galones de una solución salina. Le entra salmuera con 1
2
lb de sal por galón
a un flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque está bien mezclado y de
él sale a un flujo de 4 gal/min. Si la cantidad mı́nima de sal es a los 13
minutos, halle la cantidad inicial de sal en el tanque y la cantidad de sal
al momento de desbordarse.
15. Determine las trayectorias ortogonales para las familias de curvas.
a) 2x2 + 3y2 = c1 b) (x− y − 1)ex = c1
c) y2 = c1x d) (1 + c1x)y = x
e) x2 + y2 = c1x f ) e
y = tan x+ c1
g) x2 − 2c1x+ 2y2 = 0 h) x2 − y2 = c1
i) x2 + (y − k)2 = k2 + 1 j ) y2 = c1(c1 − 2x)
16. Las rectas tangentes a una curva desconocida y = f(x) forman con los ejes
coordenados en el primer cuadrante un triángulo de área fija k. Demuestre
que la ecuación diferencial que describe este tipo de curvas está dada por
(xy′)2+2(k−xy)y′+y2 = 0. Resuelva la ecuación derivando parcialmente
con respecto a y′.
�Ta
nge
nte
x
y
θ φ = 2θ
y = f(x)
�
Tangente
(x0 , y0 )
y
x
y = f(x)
A = k
Figura 2.6. Gráficas problemas 10 y 16
17. Curva de persecución. Suponga que un perro P que viaja con velocidad
v parte del punto (a, 0) en el instante t = 0 persiguiendo a un conejo C
56
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2.8. EJERCICIOS
que huye con velocidad w, en la dirección positiva del eje y, y que parte
del origen en el mismo instante.
a) Demuestre que la ecuación diferencial que describe la trayectoria del
perro persiguiendo el conejo es
x
d2y
dx2
= k
√
1 +
(
dy
dx
)2
con k =
w
v
.
b) Haciendo z = dy/dx, mediante separación de variables y con la con-
dición inicial z(a) = 0, muestre que
dy
dx
= z =
1
2
[(x
a
)k
−
(x
a
)−k]
c) Halle la posición y = y(x) del perro para el caso k < 1 y determine
la posición donde el perro alcanza al conejo. La condición inicial es
y(a) = 0.
d) Determine la posición y = y(x) del perro para el caso k = 1. Muestre
que el perro no alcanza al conejo.
18. Un avión que vuela bajo la gúıa de un faro no direccional (NDB) se mueve
de modo que su eje longitudinal apunte siempre hacia el faro. Un piloto
que se encuentra en el punto (a, 0) con a > 0 se dirige con velocidad
constante v, hacia un NDB que está en el origen. El viento sopla de sur a
norte con velocidad constante w y mantiene su dirección.
a) Determine la ecuación diferencial que describe la trayectoria del
avión sobre el suelo.
b) Haga una sustitución adecuada y resuelva dicha ecuación.
c) Use el hecho que x = a, y = 0 cuando t = 0 para determinar el valor
adecuado de la constante arbitraria en la familia de soluciones.
d) Exprese su solución en términos de funciones hiperbólicas
e) Haciendo k = w/v, analice los casos k < 1, k = 1 y k > 1.
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
x
y
P (x, y)
A(a, 0)
Q(0, wt)
s
x
y
�
Viento
O A(a, 0)
P (x, y)
Figura 2.7. Gráficas problemas 17 y 18
19. Encuentre las trayectorias oblicuas con un ángulo de 45◦ a
a) la parábola y = x2, b) la familia de curvas y = Aex.
20. Encuentre una familia de soluciones para la ecuación diferencial dada por
(2.27) para cada uno de los siguientes casos.
a) ψ = θ b) ψ = θ/2
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Caṕıtulo 3
Ecuaciones diferenciales de
orden superior
3.1 Ecuaciones lineales de segundo orden
3.1.1 Introducción: sistema masa-resorte
Un oscilador masa – resorte amortiguado está formado por una masa m unida
a un resorte fijo en un extremo, como se muestra en la figura 3.1.
l l
s
m
l + s
x
m
Posición de
equilibrio
M
o
v
im
ie
n
to
Figura 3.1. Sistema masa-resorte amortiguado
Al aplicar la segunda ley de Newton F = ma y recordando que a = d
2x
dt2
se
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CAPÍTULO 3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
tiene
F = m
d2x
dt2
= mẍ.
Al desplazar la masa m con respecto del equilibrio, el resorte se estira o se
comprime y ejerce una fuerza que resiste al desplazamiento. Para la mayoŕıa
de los resortes, esta fuerza es directamente proporcional al desplazamiento y,
por lo general está dada por
Fresorte = −kx, (3.1)
donde la constante positiva k es la rigidez y el signo negativo refleja su na-
turaleza de oposición de la fuerza. La ley de Hooke, como se conoce a la
ecuación (3.1) sólo es válida para desplazamientos suficientemente pequeños.
En la práctica, todos los sistemas mecánicos experimentan fricción o amor-
tiguamiento; para el movimiento de vibración, esta fuerza se modela por lo
general mediante la ecuación
Ffricción = −bdx
dt
= −bẋ = −bv, (3.2)
donde b es el coeficiente de amortiguamiento y el signo negativo tiene la
misma intención que en la ecuación (3.1). Las otras fuerzas que actúan sobre
el oscilador se consideran por lo general como externas al sistema. Al aplicar
la segunda ley de Newton se tiene
mẍ = −bẋ− kx+ Fexterna o mẍ+ bẋ+ kx = Fexterna.
3.1.2 Operadores diferenciales lineales
Una ecuación lineal de segundo orden que se puede escribir en la forma
a2(x)
d2y
dx2
+ a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x). (3.3)
Vamos a suponer que a0(x), a1(x), a3(x) y g(x) son funciones continuas en
un intervalo I. Cuando a0 , a1 y a2 son constantes se dice que la ecuación
tiene coeficientes constantes; en caso contrario, tiene coeficientes variables.
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3.1. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN
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