Clase 1 Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias AMII UTNFRH

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Clase 1 - Análisis Matemático II - UTN Facultad Regional Haedo 2020 
Introducción a las ecuaciones diferenciales 
Las ecuaciones con las que más familiarizados estamos son las 
denominadas ecuaciones algebraicas. 
Por ejemplo, 
𝟑 + 𝟒𝒙 = −𝟑 
 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 = −𝟏 
 𝒙𝟑 − 𝟏 = 𝟎 
Su solución, si existe, es un valor numérico o un conjunto de 
valores numéricos que satisface la misma. 
Existen otras ecuaciones que son las ecuaciones funcionales, 
aquellas cuya incógnita son funciones. Este tipo de ecuaciones son 
las ecuaciones diferenciales. 
Definamos que es una ecuación diferencial 
 
Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que contiene las 
derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una 
o más variables independientes. 
 
El problema de hallar las curvas tales que en cada punto (𝑥; 𝑦) la 
pendiente de la tangente sea igual a la abscisa 𝑥 nos lleva a la 
ecuación diferencial (ED) 𝑦´ = 𝑥 , o bien, 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 , cuya solución 
es 𝑦 =
1
2
𝑥2 + 𝐶 ( 𝐶 una constante real arbitraria), es decir, una 
familia de infinitas parábolas de eje vertical 𝑦 = 0. 
 
En todo proceso, ya sea físico, biológico o económico, la tasa de 
cambio o rapidez de cambio viene dada por la derivada y puede 
describirse mediante un modelo matemático que conduce a una 
ecuación diferencial. 
Por ejemplo, 
 
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1.- Modelo de caiga libre de un objeto está dado por la ecuación 
diferencial 
𝒅𝟐𝒚(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
= −𝒈 
2.- Modelo logístico de población propuesto en 1837 por el 
matemático belga Pierre Verhulst (1804-1849) se representa 
mediante 
𝒅𝑷(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝒂𝑷(𝒕) − 𝒃𝒑(𝒕)𝟐 
3.- Modelo primario de oscilación de una porción de un puente 
colgante puede representarse como 
𝒅𝟐𝒚(𝒕)
𝒅𝒕𝟐
+ 𝒂
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕
+ 𝒃𝒚(𝒕) + 𝒄(𝒚) = −𝒈 
4.- Modelo epidemiológico SIR (Susceptible-Infectado-Recuperado) 
propuesto en 1927 por los científicos escoceses Kermack-McKendrick 
se corresponde con un sistema de ecuaciones diferenciales cuyas 
incógnitas son las funciones R(t), S(t) y I(t) que dependen de una 
variable t (el tiempo) 
{
 
 
 
 
𝒅𝑹(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝒂𝑰(𝒕) 
𝒅𝑰(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝒂𝑺(𝒕)𝑰(𝒕) − 𝒃𝑰(𝒕)
𝒅𝑺(𝒕)
𝒅𝒕
= −𝒂𝑺(𝒕)𝑰(𝒕) 
 
 
Clasificación de ED por tipo 
 
Existen dos tipos o clases de ecuaciones diferenciales. 
1.- Ecuación diferencial ordinaria (EDO) o con derivadas totales: 
La ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más 
variables dependientes con respecto a una sola variable 
independiente 
Los ejemplos anteriores propuestos se corresponden con este tipo 
particular de ED. 
Otros ejemplos, 
𝒚′(𝒕) = 𝒌 𝒚(𝒕) , donde 𝒚 = 𝒚(𝒕) es la función incógnita 
 
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𝒚′′(𝒙) + 𝟐𝒚′(𝒙) + 𝒚(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏, donde 𝒚 = 𝒚(𝒙) es la función incógnita 
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒙𝟑
− 𝟐
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
+ 𝒚(𝒙) = 𝒆𝒙 , donde 𝒚 = 𝒚(𝒙) es la función incógnita 
 
2.- Ecuación diferencial con derivadas parciales: Es la ED con 
derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o 
más variables independientes. 
 
Este tipo de ED no las estudiaremos en este curso pero muchos 
problemas involucran más de una variable independiente. 
Ejemplos de ecuaciones en derivadas parciales, 
1.- La ecuación de onda unidimensional 𝒄
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒙𝟐
=
𝝏𝟐𝒖
𝝏𝒕𝟐
 
La solución de esta ecuación diferencial es una función 𝑢 que 
depende de las variables 𝑥 y 𝑡 que se corresponde con la expresión 
𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡). Describe la propagación de una variedad de ondas como 
las ondas sonoras, las ondas de luz, las ondas en el agua. 
2.- La ecuación de Laplace (Pierre Simón de Laplace) 
𝝏𝟐𝑭
𝝏𝒙𝟐
+
𝝏𝟐𝑭
𝝏𝒚𝟐
+
𝝏𝟐𝑭
𝝏𝒛𝟐
= 𝟎 
Esta ecuación diferencial (llamada así por James Clark Maxwell) 
surgió del estudio que hacía Laplace de la fuerza gravitatoria con 
que un cuerpo atrae a otro; de ahí que está ecuación se llame 
ecuación de potencial. 
 
Nuestro estudio se basará exclusivamente en las ecuaciones 
diferenciales ordinarias. 
 
Posibles Notaciones 
La notación que utilizaremos para las derivadas que dependen de 
una sola variable son: 
 
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𝒚′(𝒙), 𝒚′′(𝒙), 𝒚′′′(𝒙), . . . , 𝒚(𝒏)(𝒙) (notación de Isaac Newton) 
La notación “Newtoniana” cuando la variable independiente es el 
tiempo 
�̇�, �̈�, �⃛� … 
En forma de diferenciales (notación de Leibniz) 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
,
𝒅𝟐𝒚
𝒅𝒙𝟐
,
𝒅𝟑𝒚
𝒅𝒙𝟑
,
𝒅𝟒𝒚
𝒅𝒕𝟒
, ………… .
𝒅(𝒏)𝒚
𝒅𝒕(𝒏)
 
 
Orden de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) 
Se llama orden de un EDO al mayor orden de derivación que aparece 
en la misma. 
 
Grado de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) 
El grado es el exponente al que está elevada la derivada de mayor 
orden. 
Para determinar el grado, la EDO debe estar racionalizada, es 
decir, escrita en forma polinómica con respecto a las derivadas. 
 
Algunos ejemplos sobre orden y grado, 
1.- 𝒚′(𝒙) + 𝒚(𝒙) = 𝒙 , es de primer orden y grado uno 
2.- (𝒚′(𝒙))𝟐 + 𝒚′𝒗(𝒙) = 𝒚(𝒙), es de orden cuatro y grado uno 
3.- (𝒚′′′(𝒙))
𝟐
= 𝟐𝒙 (𝒚´(𝒙))𝟒 + 𝟏, es de orden tres y grado dos 
4.- (𝒚´)𝟐 = √𝟏 + (𝒚´´)𝟑 → (𝒚´)𝟒 = 𝟏 + (𝒚´´)𝟑 , es de orden dos y grado tres 
 
Ecuación diferencial ordinaria lineal 
 
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Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si es lineal en 𝑦 , 
𝑦´ , 𝑦´´ , ... , 𝑦(𝑛) , es decir, es de primer grado en la variable 
dependiente y en todas sus derivadas. 
Responde a la expresión general: 
𝑎𝑛(𝑥)𝑦
(𝑛) + 𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦
(𝑛−1) +⋯+ 𝑎2(𝑥)𝑦´´ + 𝑎1(𝑥)𝑦´ + 𝑎0𝑦 = 𝛿(𝑥) 
Por ejemplo, 
𝑥2𝑦´´ − 𝑥𝑦´ − 3(𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑦 = 𝑥3 
 
Solución de una ecuación diferencial ordinaria (EDO) 
La solución de una EDO es una relación funcional entre sus 
variables que satisface idénticamente a la ecuación diferencial. 
 
Las soluciones de una EDO se clasifican en: 
Solución general (SG) 
La solución general de un EDO de orden “n” es una relación 
funcional con “n” constantes arbitrarias linealmente 
independientes que satisface a la ecuación diferencial para todos 
los valores de las constantes. 
Ejemplos, 
1.- La EDO 𝑦´ = 𝑥2 + 𝑥 admite como solución general 𝑦 =
1
3
𝑥3 +
1
2
𝑥2 + 𝐶 
2.- La EDO 𝑦´´ − 4𝑦 = 0 admite como solución general 𝑦 = 𝐶1𝑒
2𝑥 + 𝐶2𝑒
−2𝑥 
 
En general, 
 
𝐺(𝑥; 𝑦; 𝑦´) = 0 es una EDO de primer orden y la SG es 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝐶) = 0 
 
𝐺(𝑥; 𝑦; 𝑦´; 𝑦´´) = 0 es una EDO de segundo orden y la SG es 𝐹(𝑥; 𝑦; 𝐶1; 𝐶2) = 0 
 
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𝐺(𝑥; 𝑦; 𝑦´; 𝑦´´; … ; 𝑦(𝑛)) = 0 es una EDO de orden “n” y la SG es 
𝐹(𝑥; 𝑦; 𝐶1; 𝐶2; … ; 𝐶𝑛) = 0 
 
Solución particular (SP) 
Es toda solución de la EDO que se desprende de la solución general 
por una determinación del parámetro. 
Ejemplos, 
1.- La EDO 𝑦´ = 𝑥2 + 𝑥 admite como solución particular 𝑦 =
1
3
𝑥3 +
1
2
𝑥2 −
4
7
 
2.- La EDO 𝑦´´ − 4𝑦 = 0 admite como solución particular 𝑦 = 2𝑒2𝑥 − 5𝑒−2𝑥 
 
Solución singular (SS) 
Toda solución de la EDO que no provenga por una determinación del 
parámetro se denomina solución singular. 
Ejemplo, 
La EDO 𝒚 = 𝒙𝒚´ +
𝟏
𝒚´
 admite como solución general 𝒚 = 𝑪𝒚 +
𝟏
𝑪
 de la cual 
se desprenden infinitas soluciones particulares ∀𝑪 ≠ 𝟎. Por 
ejemplo, 𝑦 = 7𝑦 +
1
7
 es solución particular. 
Por otro lado, ocurre que la curva 𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 es solución singular de 
la EDO dada pues satisface la ecuación diferencial dada y no se 
desprende de la solución general 
Para verificar, 
𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 → 𝟐𝒚𝒚´ = 𝟒 → 𝒚´ =
𝟐
𝒚
 , ∀𝒚 ≠ 𝟎 
Reemplazando convenientemente queda, 
𝒚 = 𝒙
𝟐𝒚
+
𝒚
𝟐
→ 𝒚 =
𝟒𝒙 + 𝒚𝟐
𝟐𝒚
→ 𝟐𝒚𝟐 = 𝟒𝒙 + 𝒚𝟐 → 𝟖𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 → 𝟖𝒙 = 𝟖𝒙 , ∀𝒚 ≠ 𝟎 
 
 
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Otros ejemplos de soluciones de EDO 
 
1.- Dada la EDO 𝒚´´ + 𝒚 = 𝟎 (I), la función 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 es solución de 
(I). 
Veriquemos que es así: 
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 → 𝒚´ = 𝒄𝒐𝒔𝒙 → 𝒚´´ = −𝒔𝒆𝒏𝒙 
Reemplazando en (I), queda: 
−𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝒙 = 𝟎 
Del mismo modo se puede verificar que 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 es también solución 
de la EDO 
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 → 𝒚´ = −𝒔𝒆𝒏𝒙 → 𝒚´´ = −𝒄𝒐𝒔𝒙 
Sustituyendo en (I), también la satisface pues 
−𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟎 
 
Si realizamos la combinación de ambas soluciones resulta: 
𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝑩𝒄𝒐𝒔𝒙 (II) 
Vemos que la combinación lineal (II) verifica la EDO (I) 
𝒚 = 𝑨𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝑩𝒄𝒐𝒔𝒙 → 𝒚´ = 𝑨𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝑩𝒔𝒆𝒏𝒙 → 𝒚´´ = −𝑨𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝑩𝒄𝒐𝒔𝒙 
Reemplazando en (I) queda 
−𝑨𝒔𝒆𝒏𝒙 − 𝑩𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑨𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝑩𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝟎 
A la solución (II) se la llama solución general y su representación 
gráfica es una familia de curvas bi-paramétrica (dos parámetros) 
 
2.- Dada la EDO 𝒚´ = 𝒚 , la solución general responde a la siguiente 
función exponencial 𝒚 = 𝑲𝒆𝒙 
Una solución particular es 𝒚 = 𝒆𝒙 
 
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En el siguiente gráfico (Figura 1), visualizamos la solución 
general que representa un familia de funciones exponenciales 
(color rojo) con la solución particular (curva más “gruesa” de 
color azul) para 𝑲 = 𝟏 
 
Figura 1: Curvas solución de la EDO ejemplo 2 
 
3.- La EDO 𝒚 = 𝒙𝒚´ − (𝒚′)𝟐 tiene como solución general la familia de 
curvas 𝒚 = 𝒄𝒙 − 𝒄𝟐.Si graficamos esta familia de rectas para distinto 
valores del parámetro obtenemos la gráfica de la Figura 2. 
 
Por ejemplo 
Si 𝒄 = 𝟏 resulta como solución particular la recta es 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 
Si 𝒄 = −𝟑 resulta como solución particular la recta es 𝒚 = −𝟑𝒙 − 𝟗 
 
Así, el grafico de la familia de curvas 𝒚 = 𝒄𝒙 − 𝒄𝟐 queda de la 
siguiente manera 
 
2 1 1 2
Eje x
6
4
2
2
4
6
Eje y
 
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Figura 2: Gráfica de la familia de rectas solución de la EDO ejemplo 3 
 
La función 𝒚 =
𝒙𝟐
𝟒
, cuya representación gráfica es una parábola, es 
una solución singular porque no se dedujo a partir de la solución 
general dándole valores al parámetro. Si representamos 
gráficamente esta solución (color rojo), junto con algunos 
miembros de la familia obtenida, esa curva es la envolvente de 
dicha familia. Esta curva tiene la particularidad de ser tangente 
en cada de las curva de la familia obtenida como solución general 
(Figura 3). 
 
Figura 3: Gráfica de la envolvente a la familia de rectas de la SG de la EDO 
ejemplo 3 
15 10 5 5 10 15
Eje x
60
40
20
20
40
Eje y
15 10 5 5 10 15
Eje x
60
40
20
20
40
Eje y