2015-04-23 - Eléctrica

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL 
1º PARCIAL ANÁLISIS MATEMÁTICO II Fecha 23-04-2015 
APELLIDO Y NOMBRE...................................................................... 
CARRERA: ……………………….. 
UN EJERCICIO POR HOJA, ENTREGAR TODAS, INCLUYENDO ÉSTA 
TEMA I: Dada la función 
12
),(
2
+
−=
x
xy
yxf 
a) Determinar y graficar el dominio de ),( yxf . 
b) Realizar un mapa de contorno que contenga las curvas de nivel k=4 ; k=0; k=-4 en el recinto [-5;5] x [-5;5] 
c) Calcular ( )
);(lim
0,
2
1
;
yxf
yx 




 −→
 por caminos rectilíneos. Concluya acerca de la continuidad. 
d) ¿Contiene el plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto del domino (2,3,f(2,3)) al punto P(27 ; 4 ; -18)? 
Justifique. 
 
TEMA II: Dada 3223 231;2;3 ttzttyttx +−=+=+= , si es posible: 
a) Muestre que la curva es suave. 
b) Muestre que la curva está contenida en el plano z = 1+2x-3y. 
c) Indique si la recta tangente a la curva en el punto (0,0,1) contiene al punto P(3,2,1). JUSTIFIQUE. 
d) Sabiendo que la gráfica de la curva es una de las siguientes, identifíquela, justificando la elección. 
 
 TEMA III: 
a) Si 0),,( =zyxF define implícitamente a z como función de x e y, entonces 
z
x
F
F
x
z −=
∂
∂
. 
b) Dada la curva cerrada simple, intersección entre las superficies x2+z2=4 e y=x2 . Determinar una 
parametrización de la misma. Escribir una integral que permita calcular su longitud de arco. 
 
TEMA IV 
a) Dada una función vectorial de 
→→→
+= jtgitftr )()()( 
 a-1 Definir )(' tor
→
 e interpretar gráficamente. Encontrar la regla de cálculo. 
a-2 Definir vector tangente unitario y vector normal unitario. Probar que son ortonormales entre sí 
b) Dada una función );( yxf 
b-1 Definir la derivada parcial );( yxf y 
b-2 Muestre que si );( yxf es diferenciable en un punto, entonces es continua en él. 
 
Puntajes 
I II III IV TOTAL 
 25 25 20 30 100