AlgCBC-Prac-5-TranLin19-Ejerc01

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 AlgebraCBC_Practica_5_TransformacionesLineales19.doc 
 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
CBC EXACTAS – INGENIERÍA 
PRÁCTICA 5 
TRANSFORMACIONES LINEALES 
(EN ESTE APUNTE TRANSCRIBIREMOS LA INTRODUCCIÓN TEÓRICA Y LOS TEXTOS DE LOS EJERCICIOS TOMADOS DEL 
APUNTE EDITADO POR LA “FUNDACIÓN ENSEÑAR CIENCIA” A LOS EFECTOS DE ACLARAR LAS DEFINICIONES 
QUE VAMOS A UTILIZAR Y ESTABLECER LA MISMA NOTACIÓN SIMBÓLICA, LOS APUNTES MENCIONADOS LOS PODÉS 
ADQUIRIR EN UBASUR, EVA PERÓN 1265 FRENTE A LA UBA, ¿EN AVELLANEDA?) 
Presentación: aquí vamos a ver sin dibujos ni cosas por el estilo, y con en enfoque lo más estricto posible 
el tema Transformaciones Lineales (que es un tema espinoso porque cada vez se suman más conceptos) 
Recordemos que esto es Álgebra, y el Álgebra se basa en definiciones, son puras definiciones y 
construcciones que no necesariamente representan elementos reales, en muchos casos son puras 
abstracciones. 
Tenés que manejar sin dudas ni baches el tema Espacios Vectoriales, si no, no vale la pena seguir. 
Aclaración: aquí están resueltos solo los problemas típicos y los que entrañan alguna dificultad en 
particular. Si un problema se resuelve como otro anterior, simplemente haremos una referencia al 
problema ya resuelto. 
TRANSFORMACIONES LINEALES (TL) 
Definiciones y Propiedades 
TRANSFORMACIONES LINEALES 
Sean V y W espacios vectoriales sobre R. Una transformación lineal f:V W es una función que satisface 
las siguientes dos propiedades: 
TL: 1 Si u V y v V, f(u+v) = f(u) + f(v). 
TL: 2 Si k R y u V, f(k.u) = k f(u). 
Son TL: 
La función Nula, 0:V W dada por 0(v)=0 ∀ v ∈ a V 
La función Identidad, id:V, dada por id(v)=v, ∀ v ∈ V. 
Propiedades: 
Cualquier TL f:V W satisface: 
a) f(0) = 0 
b) f(-v) = -f(v) 
c) f(v-w) = f(v) – f(w) 
d) f(a1.v1+a2.v2+ . . . +an.vn) = a1.f(v1) + a2.f(v2) + . . . + an.f(vn) 
Notación: 
si f:V W , S T V , T T W , w ∈ W, notamos 
f(S) = {w ∈ W / w =f(s), con s ∈ S} 
f -1(w) = {v ∈ V / f(v) = w} 
f -1(T) = {v ∈ V / f(v) ∈ W T} 
Propiedades: 
Si S es subespacio de V, entonces f(S) es subespacio de W 
Si T es subespacio de W, entonces f -1(T) es subespacio de V. 
Teorema: 
Si {v1,v2, … , vn} es una base de V, w1, w2,…wn son vectores (no necesariamente distintos) en W, 
entonces hay una única TL tal que 
f(v1) = w1, f(v2) = w2, …, f(vn) = wn, 
 
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Este teorema nos dice que una TL está completamente determinada por los valores que toma en una 
base. 
Si f:V W es una TL, llamamos: 
Núcleo de f al conjunto Nu f = {v ∈ V / f(v)=0} 
imagen de f al conjunto Im f = {w ∈ W / w = f(v), con v ∈ V} 
Observación Im f = f(V) 
Propiedades: 
si f:V W es una TL, entonces: 
a) Nu f es un subespacio de V 
b) Im f es un Subespacio de W 
c) Si {v1,v2, … , vn} es un conjunto de generadores de V, entonces: 
{f(v1), f(v2), … , f(vn)} es un conjunto de generadores de Im f. 
d) Si {f(v1), f(v2), … , f(vn)} es linealmente Independiente, entonces v1,v2, … vn es linealmente 
Independiente 
Decimos que un TL f:V W es : 
Monomorfismo si es inyectiva, esto es, si verifica “f(v)=f(w) entonces v=w” 
Epimorfismo 
si es suryectiva, esto es, si Im f L W 
Isomorfismo si es biyectiva , es decir si es Monomorfismo y Epimorfismo 
Propiedades: 
si f:V W es una TL, entonces: 
a) f es Monomorfismo Nu f = 0 
b) Si f es Monomorfismo y {v1, v2, …, vr} es linealmente independiente, entonces {f(v1), f(v2), … 
,f(vr)} es linealmente independiente. 
c) f es Isomorfismo si y sólo si: 
“Si {v1,v2, …, vn} es base de V, entonces {f(v1), f(v2), … f(vn)} es base de W 
Teorema de la Dimensión 
si f:V W es una TL, entonces 
 dim V = dim Nu f + dim Im f 
Propiedades: 
si f:V W y g:W U son TL, la composición gºf:V U dada por (gºf) (v) = g(f(v)), es TL. 
Si f:V W es Isomorfismo, la función inversa f -1:W V , que cumple f º f -1 = idW y f -1 º f= idV, es 
Isomorfismo. 
Si f:V W y g:W U son Isomorfismos (gºf) es Isomorfismo y se verifica: 
(gºf) -1 = f -1ºg -1 
Una TL p:V V es un proyector si pºp=p. 
Propiedad: si p:V V es un proyector, entonces 
V = Nu p ⊕ Im p 
Para todo v ∈ Im p, p(v)=v 
Dadas la TL f:Rn Rm , existe una única matriz A ∈ a Rmxn tal que f puede escribirse en la forma: 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
n
n
x
x
x
Axxxf
...
),....,,( 2
1
21 , ó f(x) = Ax 
Esta matriz tal que f(x) = Ax se denomina Matriz de La Transformación Lineal f, y escribimos A=M(f). 
Propiedad: las columnas de M(f) son un conjunto de generadores de Im f. 
 
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Si A ∈ Rmxn, 
el rango columna de A es la dimensión del subespacio generado por las columnas de A, el rango fila de A 
es la dimensión del subespacio generado por las filas de A. 
Teorema: 
si A ∈ Rmxn, entonces rango fila de A = rango columna de A 
Esta igualdad nos permite hablar de rango de A, que notaremos rg A. 
Propiedad: dim Im f = rg M(f) 
Teorema: 
Si A ∈ Rmxn, la dimensión del subespacio de soluciones de Ax=0 es n - rg A. 
Sean B={v1, v2, … ,vn} una base del espacio vectorial V de dimensión n y B’={w1, w2, … ,wm} base de un 
espacio vectorial W de dimensión m. 
si f:V W es una TL y f(vj) = a1j.w1+ … + amj.wm, 1<= j <= n, 
llamamos matriz asociada a f en las bases B y B’, a la matriz de mxn: 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
n
n
BB
aaa
aaa
aaa
fM
...
.........
...
...
)(
21
22221
11211
' 
Notar que en la columna j de MBB’(f) están las coordenadas de f(vj) en base B’. 
La matriz MBB’(f) es tal que si v ∈ V, MBB’(f).(v)B=(f(v))B’ 
Observación: 
si f:RnYRm y E y E’ son las respectivas bases canónicas. 
MEE’(f) = M(f) 
Notación: Si W=V y B’=B, escribimos MB(f) en lugar de MBB’(f). 
Propiedad: rg MBB’(f) = dim Im f ; de esto se deduce que el rango de una matriz asociada a una 
transformación lineal, no depende de las bases elegidas. 
Propiedad: Matriz de la composición: 
Sean U, V y W espacios vectoriales, y sean B, B’ y B’’ bases de U, V y W respectivamente. 
Si f:UYV y g:VYW son TL, se tiene: 
 MBB’’(gºf).= MB’B’’(g) . MBB’(f) 
Propiedad: si f:V W es un Isomorfismo, y B y B’ son bases de V y W respectivamente, 
 MB’B(f -1).= (MBB’(f))-1 
Si B y B’ son dos bases del espacio vectorial V, llamamos matriz de cambio de base de B a B’, a la 
matriz CBB’ = MBB’(id) 
Propiedad: CB’B = (CBB’)-1 
Propiedad: si f:V V es una TL y B y B’ son bases de V, 
 MB’(f) = CBB’. MB(f) . CB’B 
o en virtud de la propiedad anterior, 
 MB’(f) = (CB’B)-1 . MB(f) . CB’B 
 
EJERCICIOS 
Ejercicio 1: Determinar cuáles de las siguientes funciones son TL : 
a) f:R2YR2 , f(x1,x2) = (0,x1) (expresión analítica) 
Para ser TL debe cumplir las condiciones TL1 y TL2 (ver pág. 1) 
 
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TL1: f(a+b) = f(a) + f(b) 
TL2: f(k.a) = k.f(a) 
sean a y b ∈ R2 … a = (a1,a2) y b=(b1,b2) , a+b = (a1+b1 , a2+b2) y k.a = (k.a1,k.a2) 
Simplemente aplicamos la expresión analítica de f y verificamos que se cumplan TL1 y TL2 
TL1 f(a+b) = f(a) + f(b) 
 (0, a1+b1) = (0, a1) + (0, b1) 
 (0, a1+b1) = (0, a1+b1) Listo 
TL2 f(k.a) = k.f(a) 
 (0,k.a1) = k. (0, a1) 
 (0,k.a1) = (0,k.a1) Listo 
b) f:R2YR2 , f(x1,x2) = (2.x1-5 , x1+,x2) 
TL1 f(a+b) = f(a) + f(b) 
 (2.(a1+b1)-5 , (a1+b1) + (a2+b2) ) = (2.a1-5 , a1+a2 ) + (2.b1-5,b1+b2) 
 (2.a1+2.b1-5 , a1+b1+a2+b2 ) = (2.a1+5+2.b1+5 , a1+a2 + b1 + b2) 
Aquí se ve que no se cumple al primera condición, no es TL 
c) f:R2YR3 , f(x1,x2) = (x1+3.x2 , x2 , x1) (esta “salta a la vista” que es TL) 
TL1 f(a+b) = f(a) + f(b) 
 ((a1+b1)+3.(a2+b2), (a2+b2) , (a1+b1)) = (a1+3.a2, a2, a1) + (b1+3.b2,b2 , b1) 
 ((a1+b1)+3.(a2+b2), (a2+b2) , (a1+b1)) = (a1+b1+3.a2+3.b2, a2+b2 , a1+b1) OK 
TL2 f(k.a) = k.f(a) 
 (k.a1+3.k.a2 , k.a2 , k.a1 ) = k . (a1+3.a2 , a2 , a1 ) OK 
d) f:R2YR , f(x1,x2) = x1.x2 (esta no es TL, comprobalo vos) 
e) f:R2YR3x2 , f(x1,x2) = 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
0
0
1
2
211
x
x
xxx
 trabajaremos con matrices, es similar pero ordenado de 
otra manera, 
sean a y b ∈ R2 … a = (a1,a2) y b=(b1,b2) , a+b = (a1+b1 , a2+b2) y k.a = (k.a1,k.a2) 
TL1 f(a+b) = f(a) + f(b) 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+−
+−
++++
0)(
)(0
11
22
221111
ba
ba
bababa
 = 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
0
0
1
2
211
a
a
aaa
 + 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
0
0
1
2
211
b
b
bbb
 OK 
TL2 f(k.a) = k.f(a) 
 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
0.
.0
...
1
2
211
ak
ak
akakak
 = k . 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
0
0
1
2
211
a
a
aaa
 OK 
Si aplicamos el producto del escalar por la matriz en el segundo miembro vemos que la TL2 se cumple, 
listo. 
f) f:R2x2YR , f(A) = det (A) 
En este caso los elementos sobre los cuales trabajamos son matrices de 2x2 y la transformación lineal 
corresponde al calculo del determinante, es decir que podríamos escribir la expresión analítica de esta 
manera: 
f:R2x2YR , f( ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2221
1211
aa
aa
) = a11.a22-a21.a12 ¿Será un TL? 
veamos con A, B, A+B y kA ∈ R2x2 
TL1 f(A+B) = f(A) + f(B) 
(a11+b11).(a22+b22)-(a21+b21).(a12.b12) = a11.a22 - a21.a12 + b11.b22 - b21.b12 
Esta no se cumple, se hace evidente a poco de operar sobre el primer miembro de la igualdad, entonces 
no es una TL 
g) f:R3YR , f(x) = v•x con v=(2,1,-3) 
 
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Aquí v•x no es otra cosa que el producto escalar de dos vectores, podemos escribir la “expresión 
analítica de f como f(x,y,z) = (2,1,-3)•(x,y,z) = v2x+y-3z 
te dejo a vos comprobar que es una TL (es como el ejercicio c) pero más fácil. 
h) f:R3YR4 , f(x) = A.x , con A ∈ R4x3 
Este es similar al anterior y se resuelve como el c), sólo hay que tener paciencia y ordenar las cosas muy 
bien. Te adelanto que es una TL. 
Planteemoslo de esta manera: 
A ∈ R4x3 es decir que A = 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
434241
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
aaa
A 
Planteando la expresión para f queda: 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
++
++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
==
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zayaxa
zayaxa
zayaxa
zayaxa
z
y
x
aaa
aaa
aaa
aaa
xA
z
y
x
f
...
...
...
...
..
434241
333231
232221
131211
434241
333231
232221
131211
 
Con esta última expresión analítica podemos trabajar como en el caso del ejercicio b) y comprobar que es 
una TL. 
Sea v1=(x1,y1,z1) , v2=(x2,y2,z2) , v1+ v2 = (x1+x2,y1+y2,z1+z2) 
TL1 f(v1+ v2) = f(v1) + f(v2) 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++++
+++++
+++++
+++++
).().().(
).().().(
).().().(
).().().(
214321422141
213321322131
212321222121
211321122111
zzayyaxxa
zzayyaxxa
zzayyaxxa
zzayyaxxa
 = 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
++
++
143142141
133132131
123122121
113112111
...
...
...
...
zayaxa
zayaxa
zayaxa
zayaxa
+
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
++
++
++
++
243242241
233232231
223222221
213212211
...
...
...
...
zayaxa
zayaxa
zayaxa
zayaxa
 
vemos que esta igualdad se cumple. 
La otra condición te la dejo a vos.