AlgCBC-Prac-5-TranLin19-Ejerc02al04

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 AlgebraCBC_Practica_5_TransformacionesLineales19.doc 
 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
Ejercicio 2: Interpretar geométricamente las transformaciones lineales 
f:R2YR2 
Para resolver estos ejercicios te conviene hacer un grafico de tres o cuatro puntos en un plano x-y y luego 
representar en otro par de ejes los puntos transformados. 
a) f(x1,x2) = (x1,0) 
Esta es una “proyección sobre el eje x1, es decir que los puntos se “aplastan” sobre el eje x1, 
b) f(x1,x2) = (0,x2) 
Esta es una “proyección sobre el eje x2, es decir que los puntos se “aplastan” sobre el eje x2, 
c) f(x1,x2) = (x1, -x2) 
Esta es una “simetría sobre el eje x1” 
d) f(x1,x2) = (x2, x1) 
Esta es una “simetría sobre una recta a 45º o la recta y=x” 
Ejercicio 3: Decidir si existe una transformación lineal f que satisface 
las condiciones dadas: en caso afirmativo, si es única, encontrar la 
expresión de f(x). 
Recordemos que para que la TL sea única, debemos tener los transformados de una base del conjunto V. 
En ese caso podremos hallar la TL que sea única, en otros caso puede no existir la TL o no ser única. 
a) f:R2YR2 , f(2,1) = (1,2) , f(-1,0) = (1,1) 
En este caso vemos que el conjunto de vectores {(2,1),(-1,0)} es una base de V, y tenemos sus 
transformados, quiere decir que debe existir una única TL que cumpla esas condiciones. Para hallarla 
plantearemos un TL general con los elementos adecuados: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ydxc
ybxa
y
x
f
..
..
, nuestras incógnitas son a, b, c y d. Ahora lo aplicamos a los vectores conocidos: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
1
1.2.
1.2.
1
2
dc
ba
f y ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−
+−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
1
1
0.)1.(
0.)1.(
0
1
dc
ba
f 
Me queda el sistema (que lo puedo plantear como dos por separado) 
⎩
⎨
⎧
=−
=+
1
1.2
a
ba
 y 
⎩
⎨
⎧
=−
=+
1
1.2
c
dc
 que son Compatibles Determinados, entonces la TL es única. 
Observá que los vectores filas de los sistemas de ecuaciones surgen de los vectores de la base de V 
que transformamos, de ellos depende que el sistema obtenido sea Compatible o no, si son de una base 
son LI y entonces el sistema es Compatible Determinado. 
b) f:R2YR3 , f(1,3) = (0,0,1) , f(3,1) = (0,0,2) 
Nuevamente tenemos los transformados de dos vectores {(1,3) , (3,1)} que conforman una base de V, 
entonces la TL existe y debe ser única. Planteamos una TL general aplicable a este caso: 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
yfxe
ydxc
ybxa
y
x
f
..
..
..
 aplicándola a los vectores de la base: 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
1
0
0
3.1.
3.1.
3.1.
3
1
fe
dc
ba
f y 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
2
0
0
1.3.
1.3.
1.3.
1
3
fe
dc
ba
f de estos obtendremos tres sistemas de 
ecuaciones todos compatibles determinados, entonces la TL es única: 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
0.3
0.3
ba
ba
 , 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
0.3
0.3
dc
dc
 y 
⎩
⎨
⎧
=+
=+
2.3
1.3
fe
fe
 Resolvelos vos… 
c) f:R3YR2 , f(1,2,1) = (2,0) , f(-1,0,1) = (1,3) y f(0,2,2) = (3,3) 
Los vectores {(1,2,1),(-1,0,1),(0,2,2)} no son LI es decir que no constituyen una base de V, entonces la TL 
no es única. Si planteamos los sistemas de ecuaciones como en los cases anteriores nos darán Sistemas 
Compatibles Indeterminados, es decir que tienen infinitas soluciones. 
 
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 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
d) f:R3YR3 , f(0,1,1) = (1,2,3) , f(-1,2,1) = (-1,0,1) y f(-1,3,2) = (0,2,3) 
Los vectores {(0,1,1),(-1,2,1),(-1,3,2)} no son LI es decir que no constituyen una base de V, entonces la 
TL no es única. Si planteamos los sistemas de ecuaciones como en los cases anteriores nos darán 
Sistemas Compatibles Indeterminados, es decir que x 
En este caso volvemos a tener los transformados de vectores que constituyen una base de V, por lo tanto 
la TL existe y es única. Se resuelve planteando una TL general y armando los sistemas de ecuaciones. 
e) f:R3YR3 , f(1,1,1) = (1,0,0) , f(1,1,0) = (2,4,0) y f(1,0,0) = (1,2,0) 
Los vectores {(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} son LI es decir que constituyen una base de V, entonces la TL es 
única. Si planteamos los sistemas de ecuaciones como en los cases anteriores nos darán Sistemas 
Compatibles. Te lo dejo a vos. 
Ejercicio 4: 
a) Sea f:R3YR2 la TL definida por: 
f(x1,x2,x3) = (x1-x2,x2+x3) y sean v=(2,3) ; S=<(1,2,1)>; T={x ∈ R2 / 3.x1-2.x2=0} 
Describir f(S), f -1(v) y f -1(T) 
con ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
32
21
3
2
1
xx
xx
x
x
x
f analizaremos S=<(1,2,1)> que es un Sub Espacio Vectorial (SEV) generado por 
(1,2,1). Sabemos que la imagen de un SEV es otro SEV, es decir que S’=f(S) será un SEV, este SEV 
será generado por el transformado del generador de S, S’=<f(1,2,1)>, entonces hallo el transformado del 
generador. 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
1
12
21
1
2
1
f , entonces S’=f(S)=<(-1,3)>, es decir: es un SEV generado por (-1,3) 
Veamos ahora f -1(v) con v=(2,3), debemos hallar el vector o vectores que transformado nos de el (2,3) en 
R2. 
Planteamos la transformación: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
2
32
21
3
2
1
xx
xx
x
x
x
f , lo que estamos buscando es un conjunto de R3, tal que x1-x2=2 y x2+x3=3. 
Es un conjunto, (no un SEV) formado por lo vectores (x1,x2,x3) que cumplan esas restricciones (x1=x2+2 y 
x3= -x2 +3), esto no es otra cosa que una recta. Veamos 
(x1,x2,x3)=( x2+2,x2, -x2 +3)= ( x2,x2, -x2) + (2,0,3) = x2.(1,1,-1) + (2,0,3), es decir que los puntos de esta 
recta se proyectan como el vector (2,3). 
Veamos que pasa con T={x ∈ R2 / 3.x1-2.x2=0} al hallar de que conjunto es imagen o f -1(T). 
T es un SEV generado por (2,3), es decir que un vector w ∈ T debe ser de la forma k.(2,3) = (2.k,3.k). 
Ahora vamos a plantear la transformación con esta restricción y la vamos a llevar al espacio de partida V 
o R3. 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
k
k
xx
xx
x
x
x
f
.3
.2
32
21
3
2
1
,Entonces es x1-x2=2.k y x2+x3=3.k, expresando un elemento genérico de V 
con estas restricciones (x1,x2,x3) = (x2+2.k,x2,3.k-x2) = (x2,x2,-x2) + (2.k,0,3.k) = 
(x1,x2,x3) = x2.(1,1,-2) + k.(2,0,3) que no es otra cosa que la ecuación de un plano en R3, es decir, este 
plano se transforma en una recta al aplicarle la TL. 
b) Sea f:R3x3YR2x2 la TL definida por: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
1231
332211
333231
232221
131211 0
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
f y sean 
 
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⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
000
000
100
,
100
000
001
S ; T={(aij) ∈ R2x2 / a11-a12 = a21 = 0} 
Describir f(S) y f -1(T). 
S es un SEV de 2 dimensiones incluido en R3x3, su transformado debe ser un SEV. 
Hallamos los transformados de la base de S. 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
00
03
00
021
100
000
001
f 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
00
00
000
000
100
f 
Resulta que los transformados de la base son dos vectores, uno de ellos nulo, es decir que el 
Transformado de S es un SEV de R2x2 de una dimensión 1. 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00
03
)(Sf 
Veamos ahora f -1(T) 
Analizaremos primero T y vamos a cambiar la a por b para no confundirnos. 
T={(bij) ∈ R2x2 / b11-b12 = b21 = 0}, esto es un SEV, buscaremos una base aplicando las restricciones a un 
elemento genérico 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
00
00
11
0
00
000 221122
1111
22
1111
2221
1211 bb
b
bb
b
bb
bb
bb
 
Es un SEV de dim 2. Veamos ahoraa que corresponden en V estos dos vectores planteando la 
transformación. 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
00
110
1231
332211
333231
232221
131211
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
f 
Aquí se ve que no hay ningún elemento de V que pueda ser transformado y obtener ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
00
11
 
Ya vamos viendo que la Im f no incluye a T. 
Haciendo un planteo similar con el otro vector 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
10
000
1231
332211
333231
232221
131211
aa
aaa
aaa
aaa
aaa
f , vemos que los elementos de V que cumplan 
con a11+a22+a33=0, a31=0 y a12=1 serán los elementos del conjunto (no es un SEV) que se transformen en 
el elemento ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
00
 de la base. 
Hasta acá podemos decir que Im f no incluye a T, tienen una intersección generada por ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
10
00
 
(No sería mala idea verificar esto como ejercicio)