AlgCBC-Prac-5-TranLin19-Ejerc05al06

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 AlgebraCBC_Practica_5_TransformacionesLineales19.doc 
 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
Ejercicio 5: 
Sea f:R2YR2 la TL definida por: f(x1,x2) = (-3.x1+x2,6.x1-2.x2) 
a) ¿Cuál de los siguientes vectores pertenece a Nu f? (5,15) (3,4) (1,1) (0,0) 
Si el vector ∈ Nu f, entonces su transformado debe ser nulo, resolvelo vos… 
b) ¿Cuál de los siguientes vectores w pertenecen a Im f? (1,-2) , (-6,12) , (5,0) 
es decir ¿l v / f(v) = w? Para saber esto, planteamos la TL y resolvemos las ecuaciones: 
f(x1,x2) = (-3.x1+x2,6.x1-2.x2) = (1,-2) 
-3.x1+x2 = 1 
6.x1-2.x2 = -2 
Como el sistema es Compatible (Indeterminado) es decir tiene solución, el (1,-2) pertenece a Im f. 
Los otros analizalos vos 
c) Mostrar 4 vectores que pertenezcan a Im f 
Fácil, elegimos vectores de V y los transformamos. Por ejemplo: 
f(1,0) = (-3.1+0,6.1-2.0)=(-3,6) 
f(0,1) = (-3.0+1,6.0-2.1)=(1,-2) 
… los otros buscalos vos 
d) Mostrar 4 vectores que pertenezcan a Nu f 
Analicemos el Nu f como un SEV / f(x1,x2) = (-3.x1+x2,6.x1-2.x2) = (0,0) 
-3.x1+x2 = 0 y 6.x1-2.x2 = 0 
(x1,x2)=(x1,3.x1) = x1.(1,3) 
El Nu f es un SEV generado por (1,3), para vectores del núcleo tenemos k.(1,3), (1,3), (2,6), (4,12), etc… 
Ejercicio 6: 
Hallar bases de Nu f y de Im f en cada caso 
a) f:R3YR3 , f(x1,x2,x3) = (x1,0,0) 
Veamos Nu f, aplicando su definición: f(x1,x2,x3) = (x1,0,0) = (0,0,0) 
Nu f = {x ∈ R3 / x1=0} 
(x1,x2,x3) = (0,x2,x3) = (0,x2,0) + (0,0,x3) = x2 (0,1,0) + x3 (0,0,1) 
una base de Nu f es {(0,1,0),(0,0,1)} 
Vamos por la Im f, aplicando su definición: f(x1,x2,x3) = (x1,0,0) = x1.(1,0,0) 
Un base de Im f es {(1,0,0)} 
b) f:R3YR3 , f(x1,x2,x3) = (x1+2.x2+3.x3, 4.x1+5.x2+6.x3, 7.x1+8.x2+9.x3) 
Veamos Nu f, aplicando su definición: f(x1,x2,x3) = (0,0,0) , planteamos las ecuaciones 
x1+2.x2+3.x3 = 0 
4.x1+5.x2+6.x3 = 0 
7.x1+8.x2+9.x3 = 0 
Este es un Sistema Homogéneo, con ecuaciones Linealmente Independientes, es decir que la única 
solución que tiene es la trivial (0,0,0) 
entonces Nu f = 0 
Vamos por la Im f, aplicando su definición: 
f(x1,x2,x3) = (x1, 4.x1, 7.x1) + (2.x2, 5.x2, 8.x2) + (3.x3, 6.x3, 9.x3) =x1.(1, 4, 7)+x2.(2,5,8)+x3.(3,6,9) 
Un base de Im f es {(1,4,7), (2,5,8), (3,6,9)} 
c) f:R4YR3 / f(x1,x2,x3,x4) = (x2+x3+x4 , x1-x3+x4 , 3.x1+2.x2-x3+5.x4) 
Veamos Nu f, aplicando su definición: f(x1,x2,x3,x4) = (0,0,0) , planteamos las ecuaciones 
x2+x3+x4 = 0 
x1-x3+x4 = 0 
3.x1+2.x2-x3+5.x4 = 0 
Analizando estas ecuaciones vemos que la tercera es Combinación Lineal de las dos primeras, entonces 
la descartamos. De las dos primeras ecuaciones vemos que: 
x2= -x3-x4 = 0 
x1=x3-x4 = 0 
Entonces el Nu f será (x1,x2,x3,x4)=(x3-x4,-x3-x4,x3,x4)=(x3,-x3,x3,0)+(-x4,-x4,0,x4) 
=x3.(1,-1,1,0)+x4.(-1,-1,0,1) 
 
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 AlgebraCBC_Practica_5_TransformacionesLineales19.doc 
 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
Una base de Nu f es {(1,-1,1,0),(-1,-1,0,1)} 
Veamos la Im f 
f(x1,x2,x3,x4) = (x2+x3+x4 , x1-x3+x4 , 3.x1+2.x2-x3+5.x4) 
 = (0,x1,3.x1) + (x2,0,2.x2) + (x3,-x3,-x3) + (x4,x4,5x4) 
 = x1.(0,1,3) + x2.(1,0,2) + x3.(1,-1,-1) + x4.(1,1,5) 
Veamos en este sistema de generadores cuáles vectores son Linealmente Independientes, y así 
obtendremos una Base de Im f. 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
511
111
310
201
Triangulando 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
000
000
310
201
, los dos primero vectores son los únicos Linealmente 
Independientes, es decir constituyen una Base de Im f. 
d) f:R2x2YR3x2 / 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
022
222121
121111
2221
1211
a
aaa
aaa
aa
aa
f 
Veamos Nu f, aplicando su definición: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
00
00
00
022
222121
121111
2221
1211
a
aaa
aaa
aa
aa
f 
vemos que a11=0, a12=0, a21=0, a22=0, entonces Nu f = 0 
La Im f será: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
0
0
00
00
0
00
00
00
0
00
00
0 22
2221
121111
22
222121
121111
a
aa
aaa
a
aaa
aaa
 
Una base de Im f es 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
01
10
00
,
00
01
00
,
00
00
10
,
00
00
11