AlgCBC-Prac-5-TranLin19-Ejerc07al08

Vista previa del material en texto

Pag. 11 de 18 www.unamuno.com.ar 03/03/2006 
 AlgebraCBC_Practica_5_TransformacionesLineales19.doc 
 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
Ejercicio 7: 
Decidir cuales de las TL del ejercicio anterior son Monomorfismos, 
Epimorfismos e Isomorfismos. 
Recordemos: 
Monomorfismo debe ser dim Nu f = 0 
Epimorfismo 
si f:VYW debe ser Im f L W 
Isomorfismo Mono y Epimorfismo al mismo tiempo 
a) f:R3YR3 , f(x1,x2,x3) = (x1,0,0) 
una base de Nu f es {(0,1,0),(0,0,1)} 
Un base de Im f es {(1,0,0)}, dim Im f es 1 no coincide con R3. 
No es ni Monomorfismo ni Epimorfismo 
b) f:R3YR3 , f(x1,x2,x3) = (x1+2.x2+3.x3, 4.x1+5.x2+6.x3, 7.x1+8.x2+9.x3) 
Es Nu f = 0, entonces es Monomorfismo 
Un base de Im f es {(1,4,7), (2,5,8), (3,6,9)}, como Im f es de dim 3, Im f coincide con el conjunto de 
llegada R3, entonces es Epimorfismo. 
Como es Mono y Epimorfismo, es Isomorfismo 
c) f:R4YR3 / f(x1,x2,x3,x4) = (x2+x3+x4 , x1-x3+x4 , 3.x1+2.x2-x3+5.x4) 
Una base de Nu f es {(1,-1,1,0),(-1,-1,0,1)}, no es Monomorfismo 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
000
000
310
201
, los dos primero vectores son los únicos Linealmente Independientes, es decir constituyen 
una Base de Im f, por lo tanto dim Im f es 2 y la dimensión del conjunto de llegada es 3, no es 
Epimorfismo 
d) f:R2x2YR3x2 / 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
022
222121
121111
2221
1211
a
aaa
aaa
aa
aa
f 
Es Nu f = 0 , por lo tanto es Monomorfismo 
Una base de Im f es 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
01
10
00
,
00
01
00
,
00
00
10
,
00
00
11
, su dimensión es 4 pero la del conjunto de llegada es 6, no es 
Epimorfismo. 
Ejercicio 8: 
Sea f:R2x2YR2x2 , La transformación lineal definida por f(X) = A.X: en cada caso 
determinar si f es Isomorfismo y si A es inversible. 
a) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
13
13
A b) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
13
13
A 
a) Veamos si f es Monomorfismo e Epimorfismo 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
++
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
22122111
22122111
2221
1211
2221
1211
.3.3
.3.3
.
13
13
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
f 
Analicemos su núcleo 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
++
00
00
.3.3
.3.3
22122111
22122111
xxxx
xxxx
 
 
Pag. 12 de 18 www.unamuno.com.ar 03/03/2006 
 AlgebraCBC_Practica_5_TransformacionesLineales19.doc 
 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
Con estas ecuaciones planteamos el Nu f como un SEV (que lo es), y hallamos su dimensión 
Nu f= {X ∈ R2x2 / 3.x11+x21=0 y 3.x12+x22=0} 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
30
10
03
01
.30
0
0.3
0
.3.3 121112
12
11
11
1211
1211
2221
1211 xx
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
X
 
Vemos que dim Nu f es 2, no es Monomorfismo. 
Por el teorema de las dimensiones (dim V = dim Nu f + dim Im f) vemos que 
 dim Im f = dim V – dim Nu f = 4 – 2 = 2 y W es de dim 4, entonces no puede ser Epimorfismo. 
Obviamente no es Isomorfismo. 
b) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=
13
13
A 
Haciendo un planteo similar al caso anterior 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
22122111
22122111
2221
1211
2221
1211
.3.3
.3.3
.
13
13
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
f 
Analicemos su núcleo 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−−
00
00
.3.3
.3.3
22122111
22122111
xxxx
xxxx
 
Con estas ecuaciones planteamos el Nu f como un SEV (que lo es), y hallamos su dimensión 
Nu f= {X ∈ R2x2 / 3.x11-x21=0 y 3.x12-x22=0 y 3.x11+x21=0 y 3.x12+x22=0} 
Analizando el Nu f vemos que es el vector nulo 0 (es Monomorfismo, vamos bien) 
Veamos su imagen 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
22122111
22122111
2221
1211
2221
1211
.3.3
.3.3
.
13
13
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
f 
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++
−−
22
22
21
21
12
12
11
11
22122111
22122111
0
0
0
0
.30
.30
0.3
0.3
.3.3
.3.3
x
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
xxxx
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10
10
.
01
01
.
30
30
.
03
03
. 22211211 xxxx 
Vemos que esos cuatro generadores son Linealmente Independientes, es decir que dim Im f es 4, por lo 
tanto coincide con R2x2. Entonces es Epimorfismo 
Podríamos habernos ahorrado el trabajo aplicando el teorema de las dimensiones pues sabiendo que 
dim V = 4 y que dim Nu f = 0, entonces dim Im f debía ser 4. 
Entonces en este caso por ser Mono y Epimorfismo es Isomorfismo. 
Vemos además que A en este caso es inversible pues det A K 0.