AlgCBC-Prac-5-TranLin19-Ejerc09al10

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 AlgebraCBC_Practica_5_TransformacionesLineales19.doc 
 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
Ejercicio 9: 
En cada caso definir una transformación lineal que verifique las condiciones 
enunciadas. En estos ejercicios vamos a plantear una TL genérica y luego le 
aplicaremos las “restricciones” que nos indican y resolveremos el sistema de 
ecuaciones que surge. 
a) f:R3YR3 tal que Nu f = {x ∈ R3 / x1-3.x2+x3=0} 
Lo vamos a resolver de dos maneras: una larga, la primera, y otra un poco más rápida aplicando alguna 
propiedad del Nu f y las TL. 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
321
321
321
3
2
1
...
...
...
xixhxg
xfxexd
xcxbxa
x
x
x
f nuestras incógnitas son a, b, c, d, e…,i 
que deben cumplir la condición 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
++
0
0
0
...
...
...
321
321
321
xixhxg
xfxexd
xcxbxa
 cuando x1-3.x2+x3=0 o x3= -x1+3.x2 
Inserto esta “condición o restricción” en el sistema de ecuaciones 
a.x1+b.x2+c.(3x2-x1)=0 
d.x1+e.x2+f.(3x2-x1)=0 
g.x1+h.x2+i.(3x2-x1)=0 
Recordemos que este sistema de ecuaciones con incógnitas a,b,c,…i debe tener solución para todo x1 y 
x2 (y x3 que cumplan la condición de pertenecer al núcleo) 
Operando en las ecuaciones llegamos a: 
(a-c).x1+(b+3c).x2=0 
(d-f).x1+(e+3f).x2=0 
(g-i).x1+(h+3i).x2=0 
Estas se van a cumplir para todo x1, x2 cuando 
a-c=0 y b+3c=0 
d-f=0 y e+3f=0 
g-i=0 y h+3i=0 
es decir que c=a, f=d e i =g además b=-3a, e=-3d y h=-3g 
la TL quedará 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
321
321
321
3
2
1
..3.
..3.
..3.
xgxgxg
xdxdxd
xaxaxa
x
x
x
f 
Cualquier TL que sea de esta forma cumplirá la condición impuesta. 
Planteado de otra manera: 
Buscaremos una base de Nu f y haremos que los transformados de sus elementos sean el 0 (vector 
nulo), así cualquier combinación lineal de los elementos de la base de Nu f (es decir los elementos del 
Nu f ) se transformarán en el 0 
Avanti. 
en busca de la base pedida…recordemos Nu f = {x ∈ R3 / x1-3.x2+x3=0} 
X=(x1,x2,x3)= (x1 , x2 , -x1+3x2) = (x1 , 0 , -x1) + (0 , x2 , 3x2) = x1 (1, 0 , -1) + x2 (0 , 1 , 3) 
Ya tenemos una base de Nu f ahora planteamos que los transformados de sus elementos deben ser 
(0,0,0) 
f(1,0,-1)=(0,0,0) y f(0,1,3)=(0,0,0) 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−++
−++
−++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− 0
0
0
)1.(0.1.
)1.(0.1.
)1.(0.1.
1
0
1
ihg
fed
cba
f y 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++
++
++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
)3.1.0.
3.1.0.
3.1.0.
3
1
0
ihg
fed
cba
f 
resolviendo estas ecuaciones llegamos al mismo resultado que en el caso anterior. 
b) f:R2YR2 tal que Nu f = <(1,3)> e Im f =<(0,1)> 
Planteamos el hecho que la Im f este generado por (0,1) 
 
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( ) )1,0.(
..
..
, k
ydxc
ybxa
yxf =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
= de esto obtenemos unas condiciones para encontrar a,b,c y d que son 
nuestras incógnitas. 
es decir que a.x+b.y=0 y c.x+d.y = k para todo (x,y) , para obtener un par de ecuaciones más cómodas 
vamos a plantear que el transformado de un punto que no pertenezca al Nu f sea un vector arbitrario por 
ejemplo que f(1,0)=(0,1), con esto podemos plantear que 
a.1+b.0=0 y c.1+d.0 = 1 vemos que a=0 y c=1 
Veamos que pasa con el Nu f …. 
el transformado del elemento de su base debe ser (0,0). 
( ) )0,0(
3.1.
3.1.
3,1 =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
=
dc
ba
f de aquí obtenemos dos ecuaciones 
a+3b=0 y c+3d=0, como habíamos calculado que a=0 y c=1, entonces b=0 y d= -1/3 
La transformación buscada es (aclaremos que hay más posibilidades de TL que cumplan las condiciones 
impuestas, esta es una) 
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
yxyx
yx
yxf
.
0
..1
.0.0
,
3
1
3
1
 
c) f:R3YR2 tal que (1,0,3) ∈ Nu f y f es Epimorfismo 
Si es Epimorfismo, Im f L R2, es decir que dim Im f = 2 . Si (1,0,3) ∈ Nu f entonces f(1,0,3)=(0,0). 
planteamos una TL general 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zfyexd
zcybxa
z
y
x
f
...
...
nuestras incógnitas son a, b, c, d, e y f 
Volcamos en esta las “restricciones” impuestas: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
3.0.1.
3.0.1.
3
0
1
fed
cba
f pues (1,0,3) ∈ Nu f , de aquí obtenemos 2 ecuaciones a+3c=0 y 
d+3f=0. 
Pasamos a la otra que indica que la imagen debe ser de dim 2. 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
β
α
zfyexd
zcybxa
z
y
x
f
...
...
 un elemento de la imagen (a,b) debe ser Combinación lineal de dos 
vectores Linealmente Independientes si Im f es dim 2. entonces: 
(a,b) = (a.x+b.y+c.z , d.x+e.y+f.z) = x.(a,d) + y.(b,e) + z.(c,f) 
Si (a,d), (b,e) y (c,f) fuesen linealmente independientes la Im f sería de dim 3 y no nos serviría, además 
“3 vectores de 2 componentes, Linealmente Independientes no hay”. 
Vamos a incluir las restricciones que surgen del análisis de Nu f , es decir que a=-3c y d=-3f 
(a,b) = x.(-3c,-3f) + y.(b,e) + z.(c,f) = (-3x+z).(c,f) + y.(b,e), ahora tenemos dos vectores (c,f) y (b,e) que 
deben ser Linealmente Independientes. 
triangulando ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
c
fbe
fc
eb
fc
.0; si e-b.f/c K 0 o c.eKb.f , entonces los vectores son Linealmente 
Independientes. 
Concluyendo en una TL de la forma ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
++
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zfyexd
zcybxa
z
y
x
f
...
...
 
donde c.eKb.f y a=-3c y d=-3f se cumplen las condiciones impuestas para el problema. Veamos un 
ejemplo 
 
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⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−
++−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zyx
zyx
z
y
x
f
.1.0.3
.1.2.3
 verificá vos que cumple con las condiciones. 
d) f:R4YR4 tal que Nu f L Im f = <(2,5,-1,0),(0,0,0,1)> 
Con paciencia planteamos una TL general que nos sirva para este ejemplo 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zpyoxnwm
zlykxjwi
zhygxfwe
zdycxbwa
z
y
x
w
f
....
....
....
....
 nuestras incógnitas son “casi todo el alfabeto, de la a a la p” 
Si Nu f = <(2,5,-1,0),(0,0,0,1)>, entonces sus transformados deben ser el (0,0,0,0). 
planteando las ecuaciones que surgen de aquí: 
2a+5b-c=0 d=0 
2e+5f-g=0 h=0 
2i+5j-k=0 l=0 
2m+5n-o=0 p=0 
Ahora vamos a tomar un vector que no pertenezca al Nu f y lo vamos a hacer corresponder con uno de la 
base de Im f, luego buscamos otro Linealmente Independiente del anterior y que no pertenezca a Nu f y 
haremos que su transformado coincida con el otro elemento de la base de Im f, esto nos dará una 
solución particular para este problema, hay infinitas soluciones. Como yo ya hice el ejercicio en papel y 
obtuve una solución, acomodé los vectores elegidos para que den “número redondos” y no utilizar 
fracciones, vos podrías usar otros vectores que los propuestos por mi que son (0,½,0,0) y (0,0,½,0) estos 
no pertenecen al Nu f y son Linealmente independientes entre si. 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
1
5
2
0.0..0.
0.0..0.
0.0..0.
0.0..0.
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ponm
lkji
hgfe
dcba
f y 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
1
0
0
0
0..0.0.
0..0.0.
0..0.0.
0..0.0.
0
0
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
ponm
lkji
hgfe
dcba
f 
de estos planteos obtenemos las ecuaciones: 
½ b=2, ½ f=5, ½ j=-1 y ½ n=0 
½ c=0, ½ g=0, ½ k=0 y ½ o=1 
Resolviendo las ecuaciones planteadas 
a=-10 b=4, c= 0, d=0 
e=-25 f=10, g=0, h=0 
i=5, j=-2, k=0, l=0 
m=1, n=0, o=2,p=0 
y nuestra transformación es 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+−
+−
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
++−
+++−
+++−
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
yw
xw
xw
xw
zyxw
zyxw
zyxw
zyxw
z
y
x
w
f
2
25
1025
410
.0.2.0.1
.0.0.2.5
.0.0.10.25
.0.0.4.10
 
esta TL cumple las condiciones impuestas, no sería mala idea que vos hagas la comprobación 
e) f:R2x2YR2 no nula, tal que I ∈ Nu f y f no es Epimorfismo. 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
10
01
I ∈ Nu f, entonces ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
0
10
01
f 
lo planteamos un TL genérica 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++
+++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++
+++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
0
0.0.
0.0.
10
01
;
....
....
hgfe
dcba
f
zhygxfwe
zdycxbwa
zy
xw
f 
llegamos a las ecuaciones a+d=0 y e+h=0 o lo que es lo mismo d=-a y h=-e 
Ahora analizamos la imagen, nos dicen que no es Epimorfismo, es decir que Im f no debe coincidir con 
R2, debe ser dim Im f = 1, pues si fuera 2, si sería Epimorfismo y si fuese 0, la TL sería nula. 
 
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Vamos a plantear la TL genérica pero con las condiciones surgidas del análisis del núcleo ya 
incorporadas. 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
−++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
g
c
y
f
b
x
e
a
zw
e
a
z
g
c
y
f
b
x
e
a
w
zeygxfwe
zaycxbwa
zy
xw
f ..).(....
....
....
P
ara que Im f sea de dim 1, los vectores (a,e), (b,f), (c,g) deben ser colineales, es decir que: 
α.(a,e)=(b,f) y β.(a,e)=(c,g) o lo que es lo mismo, componente a componente b=a.a, f=a.e, c=mo, 
componente a componente b=α.a, f=α.e, c=β.a y g=β.e, replanteando la ransformación: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
−++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
−++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
)...(
)...(
......
......
zyxwe
zyxwa
zeyexewe
zayaxawa
zy
xw
f
βα
βα
βα
βα
 
Cualquier transformación que tenga esa forma debería cumplir las condiciones impuestas, vamos a 
verificar con un ejemplo: tomaremos a=1, α=2, β=3 y e=4, la TL quedaría 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
−++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−++
−++
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
zyxw
zyxw
zyxw
zyxw
zy
xw
f
.4.12.8.4
.3.2
).3.2.(4
).3.2.(1
 
esta cumple que ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
0
0
10
01
f y además si analizamos la imagen, vemos que es de dimensión 1, no 
es Epimorfismo ni es Nula. 
f) f:R4YR4 tal que Nu f = {x ∈ R4 / x1+x2=x3 y x1+x3=x4}. 
Busco una base de Nu f tratándolo como SEV. 
X=(x1,x2,x3,x4) =(x1,x2,x1+x2,x1+x1+x2) = (x1,x2,x1+x2,2.x1+x2) 
= (x1,0,x1,2.x1) + (0,x2,x2,x2) = x1.(1,0,1,2) + x2.(0,1,1,1) 
Ya tenemos una base de Nu f. 
Planteamos una TL general adecuada y la aplicamos a los elementos de la base de Nu f. 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zpyoxnwm
zlykxjwi
zhygxfwe
zdycxbwa
z
y
x
w
f
....
....
....
....
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
0
0
2.1.0.1.
2.1.0.1.
2.1.0.1.
2.1.0.1.
2
1
0
1
ponm
lkji
hgfe
dcba
f y 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
0
0
1.1.1.0.
1.1.1.0.
1.1.1.0.
1.1.1.0.
1
1
1
0
ponm
lkji
hgfe
dcba
f 
Reescribiendo las ecuaciones 
a+c+2.d=0 y b+c+d=0 de aquí obtenemos d=b-a y c=a-2b 
e+g+2.z=0 y f+g+z=0 de aquí obtenemos z=f-e y g=e-2f 
i+k+2.l=0 y j+k+l=0 de aquí obtenemos l=j-i y k=i-2j 
m+o+2.p=0 y n+o+d=0 de aquí obtenemos p=n-m y o=m-2n 
Cualquier TL de la forma 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+−++
−+−++
−+−++
−+−++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zmnynmxnwm
zijykjixjwi
zefyfexfwe
zabybaxbwa
z
y
x
w
f
).().2(..
).(.)2(..
).().2(..
).().2(..
cumple las condiciones. 
g) f:R4YR3 tal que Nu f + Im g = R4 , donde g:R2YR4 dada por 
g(x1,x2) = (x1+x2,0,x1-x2,x1+x2) 
¡Ahora vamos aver si aprendimos algo de álgebra! 
Veamos primero la Im g y busquemos una base de esa imagen 
g(x1,x2) = (x1+x2,0,x1-x2,x1+x2) = (x1,0,x1,x1) + (x2,0,-x2,x2) = x1.(1,0,1,1) + x2.(1,0,-1,1) = 
Tenemos una base de Im g, ahora vamos a buscar un SEV tal que sumado a Im g nos de R4. No 
necesariamente debe ser una suma directa pero nos conviene que sea así. Vamos abuscar dos vectores 
Linealmente Independientes con los de la base de Im g y entre si. Por ejemplo: 
(0,1,0,0) y (0,0,0,1). 
Verificamos triangulando que son LI. 
 
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 Ing. José Luis Unamuno & Asoc. Tel.: 4255-5424 
entonces tomamos Nu f=<(0,1,0,0),(0,0,0,1)> 
Planteamos una TL general y la aplicamos a los elementos de Nu f. 
Busco una base de Nu f tratándolo como SEV. 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zpyoxnwm
zlykxjwi
zhygxfwe
zdycxbwa
z
y
x
w
f
....
....
....
....
 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
0
0
0.0.1.0.
0.0.1.0.
0.0.1.0.
0.0.1.0.
0
0
1
0
ponm
lkji
hgfe
dcba
f y 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+++
+++
+++
+++
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
0
0
1.0.0.0.
1.0.0.0.
1.0.0.0.
1.0.0.0.
1
0
0
0
ponm
lkji
hgfe
dcba
f 
Resolviendo las ecuaciones 
 b=0, f=0, j=0 , n=0 , d=0, h=0, l=0 y p=0 
Cualquier transformación de la forma 
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
+
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
yowm
ykwi
ygwe
ycwa
z
y
x
w
f
..
..
..
..
Cumple que Nu f =<(0,1,0,0),(0,0,0,1)> 
y además Nu f + Im g = R4 pues la suma de de dim 4. 
Ejercicio 10: 
Calcular di Nu f y dim Im f en los siguientes casos 
Recordemos el teorema de las dimensiones: 
para f:VYW, siempre dim Nu f + dim Im f = dim V 
Además: 
Monomorfismo Y dim Nu f = 0 
Epimorfismo Y W=Im f 
Isomorfismo Y Mono y Epimorfismo 
a) f:R3YR5 y f es Monomorfismo 
Como es Monomorfismo dim Nu f es 0. 
dim V = 3 
por el teorema dim Im f debe ser 3. 
b) f:R6YR5 y f es epimorfismo 
Como es Epimorfismo dim Im f es 5. 
dim V = 6 
por el teorema dim Nu f debe ser 1. 
c) f:R8YR8 y f(x)=x ∀ x ∈ R8 
Vemos el Nu f, f(x)=0 el Nu f=0, es el vector nulo entonces dim Nu f=0. 
La Im f , por el teorema de las dimensiones vemos que al ser dim Nu f=0, y dim V=8, dim Im f = 8. 
Al ser Monomorfismo y epimorfismo es un isomorfismo. 
d) f:R2x3YR3x2 y f(x)=0 ∀ x ∈ R2x3 
Vemos el Nu f, es todo el conjunto de partida V=R2x3, entonces dim Nu f=6, como dim V=6, nos queda 
que dim Im f=0. 
 
 
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e) f:R4YR4 y <(1,2,3,4),(-1,2,1,0)> T Nu f y (1,0,-1,0) ∈ Im f 
Como el SEV generado por 2 vectores (que son Linealmente Independientes) esta incluido en Nu f, la 
dimensión del Núcleo debe ser 2 como mínimo, además la Imagen ontiene al menos un vector no nulo, 
es decir que que su dimensión debe ser como mínimo 1. Entonces, como dim V es 4, nos queda que dim 
Nu f =2 y dim Im f=2 o dim Nu f =3 y dim Im f=1.