Errores

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Introduccion Sensibilidad Errores de Truncamiento Errores de redondeo punto flotante Épsilon de Máquina Exactitud-Precisión
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el
Análisis de Señales
Docentes: Cavalieri Federico - Contini Liliana
Ayudantes: Tibaldo Fabio - Maciel Martı́n
Análisis de Errores
August 9, 2014
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Cálculo Avanzado-Fundamentos para el Análisis de Señales
mailto:cavafede@gmail.com
Introduccion Sensibilidad Errores de Truncamiento Errores de redondeo punto flotante Épsilon de Máquina Exactitud-Precisión
Análisis de erroes
Recuerde que la velocidad de caı́da del paracaidista se determinó por
métodos analı́ticos y numéricos.
Aunque con la técnica numérica se obtuvo una aproximación a la
solución analı́tica exacta, hubo cierta discrepancia o error, debido a que
los métodos numéricos dan sólo una aproximación.
Para el problema del paracaidista, somos afortunados porque tenemos
la solución analı́tica y esto nos permite calcular el error cometido en
forma exacta.
Pero en muchos problemas de aplicación en ingenierı́a no es posible
obtener la solución analı́tica; por lo tanto, no se pueden calcular con
exactitud los errores en nuestros métodos numéricos.
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¿De dónde provienen los Errores?
1 Error inherente: error de los datos de entrada.
2 Error de redondeo: error asociado a la representación numérica.
3 Error de truncamiento: error debido al uso de procedimiento discretos
y finitos (Algoritmos).
4 Error del modelo matemático y error humano: fuera del alcance del
Análisis Numérico.
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Algunos desastres o inesperados resultados
debido a errores numéricos
Falla del misil Patriot
Explosión del Ariane 5
Hundimiento de la plataforma Sleipner A
Elecciones parlamentarias alemanas
Bolsa de valores de Vancouver
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Supongamos que un número real x̂ es una aproximación a un
número real x. Por ejemplo, x̂ puede ser el número más cerca a x
que puede ser representado con una determinada precisión, por
ejemplo,
x =
√
2 x̂ = 1, 414213562
Entonces definimos:
1 Error Absoluto
Eabs = x̂− x
Una desventaja del error absoluto es que no toma en consideración el
orden de la magnitud del valor que se estima.
2 Error Relativo
Erel =
x̂− x
x
El error ha sido normalizado al valor verdadero. Sin embargo, en las
situaciones reales a veces es difı́cil contar con tal información.
3 Error relativo aproximado
Êrel =
Error aproximado
Valor aproximado
Êrel =
x̂i+1 − x̂i
x̂i+1
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A menudo, cuando se realizan cálculos, no importa mucho el signo
del error, sino más bien que su valor absoluto porcentual sea menor
que una tolerancia porcentual prefijada TOL.
1 Error Absoluto
|Eabs| = |x̂− x| ≤ TOL
2 Error Relativo
|Erel| =
|x̂− x|
|x| ≤ TOL
3 Error relativo aproximado
|Êrel| ≤ TOL
Si se cumple con las relaciones anteriores, entonces se considera
que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable fijado
previamente por TOL.
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Fuentes de aproximación
Supongamos que estamos interesados en resolver un problema, de
aplicación ingenieril, que proviene de un modelo matemático.
Se dice que el problema está bien planteado (well posed) si
1 el problema tiene una única solución.
2 ante pequeñas perturbaciones en los datos, los resultados presentan
pequeñas perturbaciones.
De la primera condición, el proceso de resolver un problema bien
palnetado serı́a equivalente a la evaluación de alguna función F (x)
en algunos valores conocidos x, donde x representan los datos del
problema.
El objetivo del análisis numérico consiste en desarrollar un conjunto
de secuencias (algoritmo), para computar una aproximación a F (x).
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Errores en los datos
Supongamos que la función F (x), diferenciable, representa un
modelo matemático, X es el conjunto de datos y Y es el conjunto de
resultados,
donde x es un valor exacto y x̂ es un valor aproximado. (El análisis
se podrı́a extender al caso en que no sea diferenciable)
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El error en los datos de entrada será
Exabs = |x̂− x| Exrel =
|x̂− x|
|x|
El error absoluto en los datos de entrada se propaga por F
Eyabs = |F (x̂)− F (x)| = |ŷ − y| E
y
rel =
|ŷ − y|
|y|
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Análisis de sensibilidad
La relación entre el error Eyabs y E
x
abs en un problema está gobernada
por su condicionamiento, es decir, por la sensibilidad de la solución a
cambios en los datos iniciales.
κabs =
Eyabs
Exabs
=
|F (x̂)− F (x)|
|x̂− x|
=
|∆F |
|∆x|
|∆F | = κabs|∆x|
donde κabs es el número de condición absoluto.
1 Si κabs > 1 ⇒ pequeños cambios en los datos producen grandes
cambios en los resultados, el error se amplifica. El problema está mal
condicionado.
2 Si κabs ≤ 1 ⇒ el problema esta perfectamente condicionado. El error
no se amplifica.
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Ejemplo
Calcule el número de condición de la función
y(x) = tan(ex)
alrededor de x = 10, por ejemplo: x̂ = 10, 1.
y(10) = 0, 9498 y(10, 1) = −2, 5128
El número de condición será
κabs =
|F (x̂)− F (x)|
|x̂− x|
=
|−0, 9498− 2, 5128|
|0, 1|
= 34, 26
Por lo tanto el problema está mal condicionado.
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Número de condición relativo
El número de condición relativo se define como
κrela =
Eyrel
Exrel
= |
F (x̂)−F (x)
F (x)
x̂−x
x
|
Teniendo en cuenta que ∆x = x̂− x
κrela = |
(F (x + ∆x)− F (x)) x
∆x F (x)
|
y si consideramos que la F (x) es diferenciable, al menos una vez,
κrela = |
F ′(x) x
F (x)
| κrela = |
∂F ({x})
∂xi
xi
F ({x})
|
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Errores de Truncamiento
Los errores de truncamiento representan la diferencia entre una
formulación matemática exacta de un problema y su aproximación
obtenida por un método numérico.
Por ejemplo, la derivada de la velocidad de caı́da de un paracaidista fue
aproximada mediante una ecuación en diferencial finita dividida de la
forma,
dv(t)
dt
∼=
∆v
∆t
=
v(ti+1)− v(ti)
ti+1 − ti
→ v(ti+1) = v(ti)+
dv(t)
dt
(ti+1− ti) (1)
siendo la aproximación de Taylor de primer orden.La Ec.(1) puede predecir un cambio en forma lineal, pero para mejorar
la aproximación se deben agregar términos adicionales a la serie de
Taylor
f(xi+1) = f(xi) + f
′(xi)(xi+1 − xi) +
f ′′(xi)
2!
(xi+1 − xi)2 + . . . +
fn(xi)
n!
(xi+1 − xi) + Rn con Rn =
fn+1(ξ)
(n + 1)!
(xi+1 − xi)n+1
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Sea f : X → Y una función que aproxima a un modelo matemático
F : X → Y , entonces, aparece un error exclusivamente por calcular
los datos de salida por medio de f .
Este es un error de truncamiento que aparece por utilizar f en lugar
de F .
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Errores de redondeo
1 Los errores de redondeo se originan debido a que la computadora
emplea un número determinado de cifras significativas durante un
cálculo.
2 Los números
√
7 o π no pueden exspresarse con un número fijo de
cifras significativas. Por lo tanto, no pueden ser representados
exactamente por la computadora.
3 Además, debido a que las computadoras usan una representación en
base 2, no pueden representar exactamente algunos números en base
10.
Esta discrepancia por la omisión de cifras significativas se llama error
de redondeo.
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Representación del punto-flotante.
Principales limitaciones de la representación de punto flotante.
1 Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la
computadora usando la forma de punto flotante.
2 hay números grandes positivos y negativos que no pueden
representarse. Intentar emplear números fuera del rango aceptable
dará como resultado el llamado error de desbordamiento (overflow).
3 Sin embargo, además de las grandes cantidades, la representación de
punto flotante tiene la limitación adicional de que números muy
pequeños no pueden representarse (underflow).
4 Existe sólo un número finito de cantidades que puede representarse
dentro de un rango.
Para más detalle, consultar con la bibliografı́a propuesta en la
planificación de la materia.
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Épsilon de Máquina
1 La exactitud relativa de la aritmética del computador es representado
por el Épsilon de Máquina εm.
2 La existencia del épsilon de la máquina es una consecuencia de la
precisión finita de la aritmética en coma flotante del ordenado.
Su definición es
εm es el número decimal más pequeño que, sumado a 1, la
computadora nos arroja un valor diferente de 1, es decir, que no es
redondeado.
¿Cuál es el εm de tu calculadora?
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Estimador de amplificación de un algoritmo
Número de condición absoluto de un algoritmo
κalgoabs =
|F (x)− f(x)|
|εm|
Número de condición relativo de un algoritmo
κalgorel =
|F (x)− f(x)|
|εm| F (x)
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Exactitud
Exactitud: indica cuán bien representa un algoritmo al problema
matemático.
F (x)− f(x)
F (x)
≤≤ TOL
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Precisión
Precisión: Cómo responde el algoritmo a pequeñas variaciones en
los datos
f(x)− f(x̂)
f(x)
≤≤ TOL
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