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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE NICARAGUA 
 
“A la Libertad por la Universidad” 
 
GUÍA DE CLASE N° 1 
 
I. DATOS GENERALES: 
 
1.1 Facultad: Ciencias y Tecnología. 
 
1.2 Carrera: Ingeniería en Sistemas de Información 
 
1.3 Modalidad: Sabatino 
 
1.4. Nombre del Componente Curricular: Análisis Numérico 
 1.5. Unidad I: Análisis de Error . 
 
1.6. Tema: Análisis de Error, definiciones básicas. 
 
1.7 Tiempo: 2 h. 
1.8 . Fecha: Sábado 25 de Septiembre.
 
1.9 . Profesor (a): Lic. Benito Nolberto Salazar Delgado 
 
 
Actividades de Desarrollo: 
 
El Análisis Numérico y Análisis de Error 
 
1. Algunas tareas de la matemática numérica 
¿Cómo se puede determinar con una piedra y un cronómetro la profundidad de un pozo? 
¿Qué carrocerías de auto, entre varias de ellas, presenta mayor resistencia al aire? 
¿Qué forma es la más conveniente para la acústica de una sala de conciertos? 
 
Pero está claro que no se puede comenzar con la introducción de datos en una computadora de 
inmediato. No basta conocer el tiempo que tarda la piedra en llegar agua para determinar la 
profundidad del pozo, necesitamos la ayuda de la física para plantear la fórmula para la caída libre. 
 
Notemos que al inicio se debe plantear un modelo, con el que se puedan resumir las relaciones 
más importantes y dejar por un lado las menos importantes. La descripción del modelo por medio 
de las relaciones entre cantidades conocidas y desconocidas da como resultado un modelo 
matemático, un sistema de igualdades y desigualdades algebraicas, integrales o diferenciales. 
 
Las disciplinas orientadas a la teoría como el álgebra o el análisis se ocupan de preguntas como 
¿Tiene una solución el modelo matemático?, ¿existe una o varias soluciones?, ¿cómo se puede 
construir la solución?, ¿cuáles son los pasos para tal construcción?, ¿se puede estimar la solución 
tan exacta como se desee? La matemática numérica se ocupa con el cálculo de la solución y se 
satisface muchas veces con valores aproximados a la solución y estimaciones para el error 
cometido en la aproximación, tomando en cuenta que los errores en los datos de entrada del 
modelo se ven a menudo acrecentado por errores de redondeo o corte, producidos por el hecho de 
que una computadora no puede representar números de manera exacta y los procesos de cálculo 
deben realizarse en una cantidad finita de pasos. 
Así, son tareas de la matemática numérica: 
 Desarrollo de métodos de aproximación en forma de algoritmos o programas de 
computadora 
 Comparación de los métodos respecto a su efectividad (memoria requerida, tiempo de cálculo) 
y estabilidad (sensibilidad respecto a errores en los datos de entrada e intermedios) 
Determinación de cotas para el error en los resultados. 
En sus tareas la matemática numérica se encuentra con problemas de interés para la matemática 
teórica, por lo que una línea de separación entre ambas no es fácil de trazar. Finalmente, el 
matemático debe junto con el usuario verificar que los resultados numéricos tienen sentido en el 
marco del modelo básico o que las cotas de error corresponden con la del error del modelo. 
Indudablemente el desarrollo de la matemática numérica está ligado al desarrollo de los medios de 
computación, los que pueden conducir a nuevas valoraciones de los métodos numéricos 
desarrollados, por ejemplo computadores con multiprocesadores permiten cambiar el tradicional 
orden secuencial de las operaciones por cálculos paralelos. 
 
2. Análisis de error 
 
2.1. Error absoluto y relativo 
Normalmente los datos de entrada para los cálculos numéricos son conocidos de manera 
aproximada, por lo que la exactitud de ellos debe ser estimada mediante lo que llamamos error 
absoluto y error relativo de una aproximación. Surge el error de redondeo al usar una computadora 
o calculadora para cálculos con números reales, dado que dicha máquina solo está capacitada 
para números con cifras de cantidad finita, por consiguiente, los cálculos se realizan con 
representaciones aproximadas de números verdaderos. 
 
Definición 1 (Errores y cifras significativas) 
Sea un número aproximado para o El error absoluto en la aproximación de mediante es la 
diferencia del valor aproximado y el valor exacto esto es o Si se llama cota del error absoluto 
en la aproximación de mediante . o El error relativo en la aproximación de mediante es 
el cociente del error absoluto y el valor exacto , esto es o Si se llama cota de error relativo. 
o Cuando debido a lo cercano entre el error relativo se puede definir también como o 
aproxima a con cifras significativas, si es el mayor entero no negativo para el cual vale 
 
 y el error relativo es , siempre 
con 
, el error absoluto es 0.1 y el error relativo 
es de 
 , el error absoluto es y el error relativo es 
 , el error absoluto es y el error relativo es 
con 3 cifras significativas, entonces o v. Si es una aproximación a con 
cuatro cifras significativas. En la tabla se ilustra el valor de la mínima cota 
 
 
0.1 0.5 100 1000 5000 10000 
 0.00005 0.00025 0.05 0.5 2.5 5 
2.2. Representación de números 
Sistemas de numeración 
Nuestro sistema de numeración es posicional. Un sistema de numeración posicional queda 
caracterizado por la base (B) que debe ser un número natural mayor o igual a 2 y por un 
conjunto de B símbolos que determinan “el alfabeto” del sistema de numeración, debiendo 
representar los mismos los enteros de 0 a B-1. 
 
En nuestro sistema decimal: B=10, y los dígitos son: 0, 1,2,…,9 la representación de un numero 
racional es como sigue: 
 
 x a aMM 1...a a a0, 1 1...a N 0 ai 9 a Ni 
 
M 
n 
 x an10 
n N 
 
Las computadoras representan internamente los números en sistema binario. Aquí los ‘bits’ 
juegan el papel de los factores de las sucesivas potencias de 2 en la descomposición de un 
numero: 
M 
Ejemplo 1 Si es una aproximación de , el error absoluto es 
. Entonces 
i. Si y 
ii. Si 
 
iii. Si y 
 
iv. Si es una aproximación a 
sea 
superior de para distintos valores de 
x a a ...a a a a, ... n 
 M M 1 0 1 1 N an2 
n N 
Ejemplos 
1012 1.20 0.21 1.22 5 
11,1 1.2 1 1.20 1.21 3.5 
1011 1.20 1.21 0.22 1.23 11 
 
Representación en sistemas de punto fijo 
an 0 an 1 
Se toman dos números fijos n yn12 tales que n n n 1 2 asignándose 
n
1 
lugares a los 
dígitos 
enteros y n2 lugares a los dígitos decimales. 
 
Ejemplos 
Si n=10, n1 =4 y n2 =6 
 
25.543 se representara 0025 543000 
 
0.0673 se representara 0000 067300 
 
En este tipo de representación el numero 16537 no se representa a pesar de tener solo 5 dígitos. 
 
Representación en sistemas de punto flotante 
 
En este sistema cada número real puede ser representado en la 
forma: x a .10b, con a 1, 
b Z 
Donde el exponente: b indica la posición del punto decimal con respecto al primer digito de la 
mantisa: a. 
Se dice que un sistema es de punto flotante normalizado si imponemos a la mantisa la condición 
que su primer digito después del punto decimal sea distinto de cero, o sea: 
0.1 a 1 
 
Una computadora asigna una cantidad finita de t cifras para la mantisa y otra de e cifras para el 
exponente de modo que: n=t + e 
 
Ejemplos 
Si n=6, t=4 y e=2 
 
6385 se representara 6385 04 
 
25.5 se representara 2550 02 
 
Nosotros consideraremos solamente sistemas de representación de punto flotante normalizado 
y la correspondiente aritmética de punto flotante. 
 
2.3. Números de máquina 
A pesar que las investigaciones en análisis son muchas veces realizadas sobre el cuerpo de los 
números reales, en la práctica los cálculos en se realizan solo en casos especiales. En una 
computadora común, sólo se usa un subconjunto relativamente pequeño del sistema denúmeros reales para representarlos a todos. 
 
Definición 2 (Números de máquina) 
Un número de máquina con mantisa de dígitos, base 10 y rango en el exponente, es un 
número con la forma , con con para y entero con , llamándose mantisa y 
exponente del número de máquina. 
Los números de máquinas junto con el cero forman el conjunto denotado por . Notemos que el 
más pequeño de los números de máquina positivos es y el más grande es 
 
 
Ejemplo 2 
o son máquina en 
respectivamente 
o En , la más pequeña distancia entre números de 
máquinas consecutivos no cero es y 
 solo hay números de máquina y en el intervalo de igual 
longitud elementos. 
 
2.4. Aproximación mediante redondeo y corte 
Dado un número real con que satisface , las fórmulas usuales de obtener un número de máquina 
cercano a son corte y redondeo a dígitos. El corte a dígitos proporciona el número de máquina 
con mantisa de dígitos más cercano a en la dirección del cero, denotado por El redondeo a dígitos 
da como resultado el número de máquina con mantisa de dígitos más cercano a , denotado por 
 
Definición 3 (Redondeo y 
Corte) 
Dado el número real , se definen 
las operaciones de redondeo y corte 
a 
o 
o 
La última cifra del número aproximado se llama significativa en el caso de redondeo y válida en el 
caso de corte. Al calcular números aproximados para un número real cuyo valor absoluto no está 
en se dice que ocurre un desbordamiento y se usa la regla: 
, y 
la más grande es . 
o Para en 
 hay 
 con 
 dígitos mediante: 
 
 
 
Ejemplo 3 
El número tiene una expansión decimal infinita de la forma la cual se escribe 
en forma 
decimal normalizada como 
a) La aproximación de cinco dígitos obtenida por corte es 
b) La aproximación de cinco dígitos obtenida por redondeo es 
. 
2.5. Error de redondeo y corte 
Propiedad 1 y no ocurre desbordamiento valen 
las siguientes cotas de error: 
a) 
b) 
c) 
d) 
Prueba 
Sea 
 
 
 
Así, 
 
Así, 
 con 
 con 
a) 
= 
 
 
b) 
Si 
= 
pues 
Si , entonces resultando 
 
 
 
 
 
Ejemplo 4 
Los errores de redondeo y corte en el ejemplo 3 tienen las cotas dadas a continuación. Note que 
todos ellos satisfacen las desigualdades de la propiedad anterior. 
 
o 
o 
o 
o 
Definición 4 
La constante se llama exactitud relativa de la máquina y es el más pequeño número positivo que 
se 
hace notar al sumárselo a 1, o sea 
 
BIBLIOGRAFIA: 
✓ Burden Richard L. y Faires J. Douglas. (2002). Análisis Numérico. Séptima Edición. 
México: Editorial Thomson Learning. 
✓ Mathews John H. y Fink Kurtis D. (2000). Métodos Numéricos con MATLAB. Tercera 
Edición. Madrid: Editorial Prentice Hall. 
✓ Fausett Laurene V. (1999). Applied Numerical Analysis Using MATLAB. Upper Saddle 
River, NJ.: Editorial Prentice Hall. 
✓ Chapra Steven C. y Canales Raymond P. (1998). Métodos Numéricos para Ingenieros. 
México: Editorial McGraw-Hill. 
 
pues 
 
 
 
	“A la Libertad por la Universidad”
	1. Algunas tareas de la matemática numérica
	2. Análisis de error
	2.1. Error absoluto y relativo
	Definición 1 (Errores y cifras significativas)
	Sistemas de numeración
	Ejemplos
	Representación en sistemas de punto flotante
	Ejemplos
	2.3. Números de máquina
	Definición 2 (Números de máquina)
	Ejemplo 2
	2.4. Aproximación mediante redondeo y corte
	Definición 3 (Redondeo y Corte)
	Ejemplo 3
	2.5. Error de redondeo y corte
	Prueba
	Ejemplo 4
	Definición 4