Mod_V_-_Plan_y_Problemas_2013

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UniverUniversidad Tecnológica Nacional 
acultFacultad Regional Santa Fe 
Lavais 
LavaisLavaise 610 – 3000 Santa Fe 
TeTEEETE 0342 -4602390- FAX 0342-4690348 
 
 
CÁLCULO AVANZADO: Ing. Civil – Ing. Mecánica 
ANÁLISIS NUMÉRICO Y CÁLCULO AVANZADO: Ing. Industrial 
FUNDAMENTOS PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES: Ing. Eléctrica 
 
MODULO V «ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES » 
 
Docente a cargo : Mg. Adriana Frausin – afrausin@frsf.utn.edu.ar 
Horarios de clases: Ma de 14 a 1615(mec. y eléc.) y/o Jue de 13 a 1515 (ind. y civil) 
Horario de consultas : viernes 13 hs (otro, pedir por mail) 
Regularidad 2013: nota ≥ 30% en parcial de promoción. 
Fechas del parcial: 31/10/13, 12/12/13 y 13/02/14. ESTAS SON LAS ÚNICAS 
fechas que se ofrecen para este módulo durante el a ño académico 2013. Ver 
“Distribución de fechas para rendir” de TODOS los módulos y Criterios de Regularidad 
y Promoción en: Transparente, Matero (Sección “Plan de la cátedra) o Campus Virtual. 
 
Objetivos : 
- identificar a las ecuaciones diferenciales como la forma matemática de modelar una 
 amplia variedad de problemas físicos relacionados con la ingeniería 
- conocer y aplicar la técnica del Método de Separación de Variables para obtener, 
 cuando sea posible, la solución “exacta” de problemas continuos 
- conocer y aplicar la técnica del Método de Diferencias Finitas (MDF) para discretizar 
 un problema continuo con ecuaciones diferenciales (parciales u ordinarias) y obtener 
 numéricamente soluciones aproximadas estimando el error cometido 
- implementar el MDF usando planilla de cálculo y/o lenguaje de programación 
- conocer los fundamentos del Método de los Elementos Finitos y aplicarlos en la 
 resolución de problemas unidimensionales 
- reconocer las ventajas y limitaciones de cada método 
 
Bibliografía: 
- Haberman, Richard. “Applied Partial Differential Equations” Editoral Prentice-Hall. 
 Cuarta edición 2004. Capítulos 1, 2, 4 y 6 ( Nº 517.9 H113 ) 
- Zill D. y Cullen M. “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de valores en la 
 frontera” Ed. Thomson. Sexta edición 2006. Cap:12 y 15 (Nº 517.9 Z65e) 
- Apuntes subidos al campus virtual y matero 
 
Cronograma 2013 : (las pág corresponden al libro de Haberman) 
Semana 1: Capítulo 1, Secciones 1.1 a 1.3 (pág 1 a 13) 
Semana 2: Capítulo 1 y 2 , Secciones 1.4 y 2.3 (pág 14 a 19 y 38 a 53) 
Semana 3: Capítulo 2, Secciones 2.4 y 2.5 (pág 59 a 75 y 84-85) 
Semana 4: Capítulo 4, Secciones 4.1, 4.2 y 4.4 (pág 142 a 147) Optativo: sección 4.3 
Semanas 5 y 6: Capítulo 6, Secciones 6.1 a 6.3.3 (pág 222 a 234), 6.3.6 (pág 243/4), 
6.3.7 (pág 247), 6.3.9 (pág 248 a 249) y Teorema de convergencia (apunte). 
Semana 7: Capítulo 6, Sección 6.7 (pág 267 a 274) y apunte “Elementos Finitos” 
Semana 8: Problemas abiertos de ingeniería (a cargo de integrantes del GIMNI) 
 
Problemas sugeridos : pág 19: 1.4.1 a 1.4.5 – pág 55: 2.3.1 a 2.3.4 – pág 69: 2.4.1, 
2.4.2, 2.4.6 – pág 85: 2.5.1 y 2.5.2 – pág 250: 6.3.9 (a y b) - pág 274: 6.7.6, 6.7.7 y 
Problemas complementarios (apunte): todos 
 
 
 
 
 
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Módulo V Problemas complementarios 2012-2013 
 
(A) Problemas con EDP: 
 
(1) (a) Hallar la solución por el método de separación de variables 
 E.D: 
t
u
∂
∂
 = 
2
2
x
u
∂
∂
 , 0≤ x ≤ 1 , t > 0 
 C.B: u (0, t) = 0 , 
x
u
∂
∂
 (1,t) = 0 , t > 0 
 C.I: u(x, 0) = sen x
2
π
 , 0≤ x ≤ 1 
(b) Calcular la energía térmica total en cada instante t. ¿Por qué no se conserva la 
energía térmica en la barra? ¿Cuál es el flujo en cada instante en el extremo 
izquierdo de la barra? ¿y en el derecho? 
(c) Formular un método explícito de diferencias finitas (MDF) para este problema. 
(d) Implementar el método formulado en el inciso anterior con ∆t = 0.1 y ∆x = 0.5 
para determinar un valor aproximado de u ( ½ , 0.3). 
(e) ¿Es posible estimar el error cometido en la aproximación anterior, usando el 
Teorema de convergencia del método? Justificar. 
(f) Calcular el error local de discretización para el valor hallado en (d). Comentar. 
 
(2) Una varilla homogénea aislada lateralmente, de longitud 1, tiene temperatura inicial 0. Su 
borde izquierdo se mantiene a temperatura 0, mientras que la temperatura en el borde 
derecho varía senoidalmente según u(1,t) = sen (25/3)π t. 
 
(a) Escribir el modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en la 
varilla, suponiendo que el coeficiente de difusividad, k, es igual a 1. 
(b) ¿Es posible encontrar una expresión para la solución exacta del problema 
aplicando directamente el método de separación de variables? Justificar. 
(c) Formular el problema discreto que resulta de aplicar, al problema continuo 
planteado en (a) el método explícito de diferencias finitas desarrollado en clases. 
(d) Implementar el esquema formulado en el inciso anterior, con ∆x = 0.2 y s = 
5.0
)( 2
=
∆
∆
x
tk
, para determinar una aproximación de la temperatura u(0.8, 0.06). 
(e) Estimar el error cometido en la aproximación del inciso anterior. Ver que la cota 
para el error mejora si se refina la malla “a la mitad”. 
 
(3) Considerar el siguiente problema de conducción del calor en una barra homogénea de 
longitud cuatro. 
 E.D: 
t
u
∂
∂
 = 
2
2
x
u
∂
∂
 , 0< x < 4 , t > 0 
 C.B: u(0, t) = 4t , u (4,t) = 4t , t ≥ 0 
 
 C.I: u(x, 0) = 2 x ( x – 4 ) , 0≤ x ≤ 4 
 
(a) Verificar que tiene solución exacta u(x, t) = 2 x ( x – 4 ) + 4t. 
(b) Usar el método de diferencias finitas con ∆ x = 2 y ∆ t = 1 para aproximar u(2,1). 
(c) Comparar con la solución exacta ¿Qué error se observa? Comentar. 
 
 
 
 
 
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(4) El siguiente problema modela la distribución de temperatura en un alambre circular 
aislado de longitud 2π con distribución inicial de temperatura conocida: 
 E.D: ut = uxx t ≥ 0 , -π≤ x ≤ π 
 C.B: u(-π ,t) = u(π, t) y ux(-π, t) = ux(π, t) 
 C.I: u(x, 0) = 1/2+ cos 2x - 6 sen 2x 
 
(a) Aplicar la técnica del Método de Separación de variables para encontrar la solución 
“exacta” a este problema. 
(b) ¿Hay conservación de la energía? Justificar. 
(c) Formular un método explícito de diferencias finitas (MDF) para este problema. 
(d) Implementar el esquema deducido en (c) con ∆x = 2/π y s = 2 2−π , para aproximar 
u( 2/π ,0.5) y calcular el error cometido. 
 
 
(5) Deducir una fórmula matricial para determinar los valores aproximados de la variable 
de estado, mju , en el instante tmtm ∆= , a partir del esquema de diferencias finitas 
correspondiente a la ecuación de difusión unidimensional, suponiendo .00 ==
m
N
m uu 
 
(6) (a) Aplicar la técnica del método de diferencias finitas para formular el problema 
discreto correspondiente al problema que modela las vibraciones transversales de 
una cuerda elástica uniforme, la cual (al iniciar) se estira hasta la longitud L = 1 y 
se fija en los puntos extremos, es decir u(x,0)= 0 para 10 ≤≤ x y u(0,t) = u(1,t) = 
0 para t > 0 . Suponer que la velocidad constante de propagación de las ondas, c, 
es igual a 1 y que la velocidad inicial, tu (x,0), está dada por sen(π x). 
 Sugerencia: Usar diferencias centradas de segundo orden en espacio y tiempopara la EDP y diferencia adelantada para la velocidad inicial. 
 
(b) Implementar el esquema anterior para aproximar u( 0.2,0.2) tomando ∆x = 0.2 y 
∆t = 0.1. Notar que: con esta malla el método será estable pues se satisface la 
restricción 
t
x
c
∆
∆≤ correspondiente a la ecuación de ondas unidimensional. 
(c) Comparar el valor aproximado con el valor exacto que se obtiene al aplicar 
separación de variables. 
 
(7) (a) Aplicar la técnica del método de diferencias finitas para formular el problema 
discreto correspondiente al problema que modela el potencial electrostático, u, en 
una placa rectangular cargada que no contiene carga libre (ecuación de Laplace) 
con potencial prescripto en el borde del rectángulo. 
 
 (b) Escribir en la forma matricial Au = f, el sistema de ecuaciones lineales que resulta 
 de (a) para 0 < x, y < 1 con ∆x = 1/4, ∆y = 1/3, donde u es el vector columna de los 
 nodos interiores del cuadrado, es decir u = ( 1,1u 2,1u 1,2u 2,2u 1,3u 2,3u 
t) . 
 Suponer los siguientes valores en los bordes: u(x, 0) = )1(3 xx − , u( x,1) = u( 0, y) 
 = u( 1, y) = 0. Comentar las características de la matriz A y resolver. 
 
(8) Una delgada placa de acero de 10cmx10cm tiene uno de sus bordes a 100º C y los 
otros a 0ºC ¿Cuáles son las temperaturas de estado estable (régimen estacionario) en 
los puntos interiores? Usar ∆x = ∆y = 10/3. 
 
 
 
 
 
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(B) Problemas con EDO 
 
(9) Considerar una viga cuyo eje neutro yace en el intervalo 10 ≤≤ x . Una carga 
transversal distribuida q = q(x) genera a lo largo de la viga un momento flector M = M(x) 
cuya distribución satisface la ecuación diferencial, 
2
2
dx
Md
= q(x). 
 Si la viga está simplemente apoyada (o sea, M =0 en los extremos) y la carga es senπ x, 
 calcular los momentos flectores en los puntos interiores usando el método de diferencias 
 finitas con ∆x = 0.25. Comparar con los valores exactos. 
 
 
(10) La ecuación que gobierna la variación de la temperatura T en un fluido viscoso fluyendo 
entre dos placas paralelas (ubicadas en y = 0 e y = 2H) está dada por 
2
4
2
2
2
)(
4
yH
kH
U
dy
Td −−= µ , donde ,µ k y U son respectivamente la viscosidad, la 
 conductividad térmica y la máxima velocidad del fluido. 
 Suponer ,µ =0.1, k = 0.08, H = 3, U = 3, y que la temperatura de la placa en y = 0 se 
 mantiene a T = 0, mientras la placa en y = 2H se mantiene a T = 5. 
 Calcular por el método de diferencias finitas, con ∆ y = 0.5 H, las temperaturas en los 
 puntos interiores de la malla y comparar con los valores exactos. 
 
 
(11) (a) Un problema típico en cálculo estructural es determinar el desplazamiento u(x) de 
un punto material localizado a una distancia x a lo largo del eje de una barra de 
longitud L cargada uniaxialmente, con constante de rigidez k y desplazamientos 
prescriptos en los bordes. Si la carga distribuida por unidad de longitud en la 
dirección del eje de la barra está dada por la función f(x), la ecuación de gobierno 
es k
2
2
dx
ud
 = – f(x) para Lx ≤≤0 . 
 Si la barra de longitud L=1 está fija en sus extremos (u(0) = u(1) = 0) y k = 1, escri- 
 bir en forma matricial el sistema de ecuaciones lineales que resulta al aplicar la 
 técnica del MDF con ∆ x = ¼ , para determinar el desplazamiento en los puntos ¼, 
 ½ y ¾ de la barra si la carga es constante (=f). Comparar con los valores exactos. 
 
 (b) Calcular la matriz de rigidez y el vector de cargas que surgen al aplicar el método 
de los elementos finitos para resolver (a) con funciones de base lineales en una 
partición equiespaciada del intervalo [ 0, 1] con ∆ x = ¼ . Escribir en forma 
matricial el sistema algebraico que resulta y comparar con (a). 
 
 
(12) El potencial eléctrico u(x) en un medio homogéneo, en cualquier punto entre dos placas 
 paralelas, ubicadas en x = 0 y x = 1, con carga uniforme f(x) = 1 está modelado por 
 la ecuación – 
2
2
dx
ud
 = f(x), 10 ≤≤ x . 
 Si el potencial en ambas placas es nulo, se pide: 
(a) Aplicar el método de los elementos finitos con funciones bases lineales, adoptando 
una partición regular de 6 puntos, para hallar los valores aproximados en los cuatro 
puntos interiores de la malla. 
(b) Hallar la solución exacta del problema y comparar con los valores hallados en (a). 
 
 
 
 
 
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Respuestas 
(1) a) u(x,t)= xsene
t
2
2
)
2
( ππ−
 b) E(t) = 
2
)
2
(
.
2 πρ
π
t
eAc
−
; flujo saliente = 
2
)
2
(
0 .2
ππ t
eK
−
; 
d) u1
3 = 0.195 e) No, pues no hay temperatura prescripta en borde derecho; f) 0.142 
 
(2) (b) No, pues la condición de borde derecha no es una ecuación diferencial homogénea. 
(d) u4
3 = √3/4 ; (e) cota para error = 0.5483 y 0.24 (para la malla refinada) 
 
(3) (b) u(2,1) = - 4 ; (c) coincide con la sol exacta pues la cota del error es cero al ser las 
cond de borde y cond inicial, funciones de 1er y 2do grado respectivamente. 
 
(4) (a) u(x,t) = ½ + )2..62(cos4 xsenxe t −− 
 
(b)La e.t. total se conserva pues el anillo está aislado térmicamente, en efecto 
.0)),(),((..............),()( =−−=== ∫
−
tutuAcdxtxuAc
dt
d
tE
dt
d
xx ππρρ
π
π
 
(c) uj
m+1 = s uj+1
m + (1-2s) uj
m + s uj-1
m , j = - N+1, … , N-1 ; m = 0, 1, …. M 
 
 u-N
m = uN
m ; uN
m = ½ (u-N+1
m + uN-1
m) ; m = 1, 2,…M 
 
 uj
0 = ½ + cos 2(j ∆x) – 6 sen 2(j ∆x) ; j = -N, …., N 
 
(c) u1
1 = 0.31 ; valor exacto = u(π/2, ½) = 0.36 ; error local = E11 = 0.05 
 
 
(5) Ver deducción en pág 244 (Sección 6.3.6 del Haberman) 
 
(6) b) 0.112 ; (c) u(x,t) = 1/π sen(πx).sen(π.t) ; error local = 2x10-3 
 
 
 (7) 1,1u = 0.007; 2,1u = 0.003; 1,2u = 0.015; 2,2u = 0.006; 1,3u = 0.024; 2,3u = 0.006 
 
 
(8) 1,1u = 25/2; 1,2u = 25/2; 2,1u = 75/2; 2,2u = 75/2 
 
(9) Val aprox = -0.0754; -0.1067; -0.0754 
 
 (10) Val aprox = 3.44025; 4.06575; 3.44025 (respuesta de libro no revisada) 
 
(11) a) y b) ambos sistemas son equivalentes,










−=




















−
−
−
f
f
f
u
u
u
2
3
2
1
)4/1(
210
121
012
 
 
 (12) a) 0.08, 0.12, 0.12, 0.08 b) u(x) = -x2/2 + x/2 
 
-----------------------------------------