Prob Complementarios_2014

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UniverUniversidad Tecnológica Nacional 
acultFacultad Regional Santa Fe 
LavaisLavaise 610 – 3000 Santa Fe 
TeTEEETE 0342 -4602390- FAX 0342-4690348 
 
Problemas complementarios: Ecuaciones Diferenciales 
 
(A) Problemas con EDP: 
 
(1) (a) Hallar la solución por el método de separación de variables 
 E.D: 
t
u
∂
∂
 = 
2
2
x
u
∂
∂
 , 0≤ x ≤ 1 , t > 0 
 C.B: u (0, t) = 0 , 
x
u
∂
∂
 (1,t) = 0 , t > 0 
 C.I: u(x, 0) = sen x
2
π
 , 0≤ x ≤ 1 
(b) Calcular la energía térmica total en cada instante t. ¿Por qué no se conserva la energía térmica en 
la barra? ¿Cuál es el flujo en cada instante en el extremo izquierdo de la barra? ¿y en el derecho? 
(c) Formular un método explícito de diferencias finitas (MDF) para este problema. 
(d) Implementar el método formulado en el inciso anterior con ∆t = 0.1 y ∆x = 0.5 para determinar un 
valor aproximado de u ( ½ , 0.3). 
(e) ¿Es posible estimar el error cometido en la aproximación anterior, usando el Teorema de 
convergencia del método? Justificar. 
(f) Calcular el error local de discretización para el valor hallado en (d). Comentar. 
 
(2) Una varilla homogénea aislada lateralmente, de longitud 1, tiene temperatura inicial 0. Su borde izquierdo 
se mantiene a temperatura 0, mientras que la temperatura en el borde derecho varía senoidalmente 
según u(1,t) = sen (25/3)π t. 
 
(a) Escribir el modelo matemático que describe la evolución de la temperatura en la varilla, suponiendo 
que el coeficiente de difusividad, k, es igual a 1. 
(b) ¿Es posible encontrar una expresión para la solución exacta del problema aplicando directamente 
el método de separación de variables? Justificar. 
(c) Formular el problema discreto que resulta de aplicar, al problema continuo planteado en (a) el 
método explícito de diferencias finitas desarrollado en clases. 
(d) Implementar el esquema formulado en el inciso anterior, con ∆x = 0.2 y s = 5.0
)( 2
=
∆
∆
x
tk
, para 
determinar una aproximación de la temperatura u(0.8, 0.06). 
(e) Estimar el error cometido en la aproximación del inciso anterior. Ver que la cota para el error mejora 
si se refina la malla “a la mitad”. 
 
(3) Considerar el siguiente problema de conducción del calor en una barra homogénea de longitud cuatro. 
 E.D: 
t
u
∂
∂
 = 
2
2
x
u
∂
∂
 , 0< x < 4 , t > 0 
 C.B: u(0, t) = 4t , u (4,t) = 4t , t ≥ 0 
 
 C.I: u(x, 0) = 2 x ( x – 4 ) , 0≤ x ≤ 4 
 
(a) Verificar que tiene solución exacta u(x, t) = 2 x ( x – 4 ) + 4t. 
(b) Usar el método de diferencias finitas con ∆ x = 2 y ∆ t = 1 para aproximar u(2,1). 
(c) Comparar con la solución exacta ¿Qué error se observa? Comentar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(4) El siguiente problema modela la distribución de temperatura en un alambre circular aislado de longitud 2
π con distribución inicial de temperatura conocida: 
 E.D: ut = uxx t ≥ 0 , -π≤ x ≤ π 
 C.B: u(-π ,t) = u(π, t) y ux(-π, t) = ux(π, t) 
 C.I: u(x, 0) = 1/2+ cos 2x - 6 sen 2x 
 
(a) Aplicar la técnica del Método de Separación de variables para encontrar la solución “exacta” a este 
problema. 
(b) ¿Hay conservación de la energía? Justificar. 
(c) Formular un método explícito de diferencias finitas (MDF) para este problema. 
(d) Implementar el esquema deducido en (c) con ∆x = 2/π y s = 2 2−π , para aproximar u( 2/π ,0.5) y 
calcular el error cometido. 
 
(5) Deducir una fórmula matricial para determinar los valores aproximados de la variable de estado, mju , en 
el instante tmtm ∆= , a partir del esquema de diferencias finitas correspondiente a la ecuación de 
difusión unidimensional, suponiendo .00 ==
m
N
m uu 
 
(6) (a) Aplicar la técnica del método de diferencias finitas para formular el problema discreto correspondiente 
al problema que modela las vibraciones transversales de una cuerda elástica uniforme, la cual (al 
iniciar) se estira hasta la longitud L = 1 y se fija en los puntos extremos, es decir u(x,0)= 0 para 
10 ≤≤ x y u(0,t) = u(1,t) = 0 para t > 0 . Suponer que la velocidad constante de propagación de 
las ondas, c, es igual a 1 y que la velocidad inicial, tu (x,0), está dada por sen(π x). 
 Sugerencia: Usar diferencias centradas de segundo orden en espacio y tiempo 
 para la EDP y diferencia adelantada para la velocidad inicial. 
 
(b) Implementar el esquema anterior para aproximar u( 0.2,0.2) tomando ∆x = 0.2 y ∆t = 0.1. 
Notar que: con esta malla el método será estable pues se satisface la restricción 
t
x
c
∆
∆≤ 
correspondiente a la ecuación de ondas unidimensional. 
(c) Comparar el valor aproximado con el valor exacto que se obtiene al aplicar separación de variables. 
 
(7) (a) Aplicar la técnica del método de diferencias finitas para formular el problema discreto correspondiente 
al problema que modela el potencial electrostático, u, en una placa rectangular cargada que no 
contiene carga libre (ecuación de Laplace) con potencial prescripto en el borde del rectángulo. 
 
 (b) Escribir en la forma matricial Au = f, el sistema de ecuaciones lineales que resulta 
 de (a) para 0 < x, y < 1 con ∆x = 1/4, ∆y = 1/3, donde u es el vector columna de los 
 nodos interiores del cuadrado, es decir u = ( 1,1u 2,1u 1,2u 2,2u 1,3u 2,3u 
t) . 
 Suponer los siguientes valores en los bordes: u(x, 0) = )1(3 xx − , u( x,1) = u( 0, y) 
 = u( 1, y) = 0. Comentar las características de la matriz A y resolver. 
 
(8) Una delgada placa de acero de 10cmx10cm tiene uno de sus bordes a 100º C y los otros a 0ºC ¿Cuáles 
son las temperaturas de estado estable (régimen estacionario) en los puntos interiores? Usar ∆x = ∆y 
= 10/3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(B) Problemas con EDO 
 
(9) Considerar una viga cuyo eje neutro yace en el intervalo 10 ≤≤ x . Una carga transversal distribuida q = 
q(x) genera a lo largo de la viga un momento flector M = M(x) cuya distribución satisface la ecuación 
diferencial, 
2
2
dx
Md
= q(x). 
 Si la viga está simplemente apoyada (o sea, M =0 en los extremos) y la carga es senπ x, 
 calcular los momentos flectores en los puntos interiores usando el método de diferencias 
 finitas con ∆x = 0.25. Comparar con los valores exactos. 
 
 
(10) La ecuación que gobierna la variación de la temperatura T en un fluido viscoso fluyendo entre dos placas 
paralelas (ubicadas en y = 0 e y = 2H) está dada por 2
4
2
2
2
)(
4
yH
kH
U
dy
Td −−= µ , donde ,µ k y U son 
respectivamente la viscosidad, la 
 conductividad térmica y la máxima velocidad del fluido. 
 Suponer ,µ =0.1, k = 0.08, H = 3, U = 3, y que la temperatura de la placa en y = 0 se 
 mantiene a T = 0, mientras la placa en y = 2H se mantiene a T = 5. 
 Calcular por el método de diferencias finitas, con ∆ y = 0.5 H, las temperaturas en los 
 puntos interiores de la malla y comparar con los valores exactos. 
 
 
(11) (a) Un problema típico en cálculo estructural es determinar el desplazamiento u(x) de un punto material 
localizado a una distancia x a lo largo del eje de una barra de longitud L cargada uniaxialmente, con 
constante de rigidez k y desplazamientos prescriptos en los bordes. Si la carga distribuida por unidadde longitud en la dirección del eje de la barra está dada por la función f(x), la ecuación de gobierno 
es k
2
2
dx
ud
 = – f(x) para Lx ≤≤0 . 
 Si la barra de longitud L=1 está fija en sus extremos (u(0) = u(1) = 0) y k = 1, escri- 
 bir en forma matricial el sistema de ecuaciones lineales que resulta al aplicar la 
 técnica del MDF con ∆ x = ¼ , para determinar el desplazamiento en los puntos ¼, 
 ½ y ¾ de la barra si la carga es constante (=f). Comparar con los valores exactos. 
 
 (b) Calcular la matriz de rigidez y el vector de cargas que surgen al aplicar el método de los elementos 
finitos para resolver (a) con funciones de base lineales en una partición equiespaciada del intervalo 
[ 0, 1] con ∆ x = ¼ . Escribir en forma matricial el sistema algebraico que resulta y comparar con 
(a). 
 
 
(12) El potencial eléctrico u(x) en un medio homogéneo, en cualquier punto entre dos placas 
 paralelas, ubicadas en x = 0 y x = 1, con carga uniforme f(x) = 1 está modelado por 
 la ecuación – 
2
2
dx
ud
 = f(x), 10 ≤≤ x . 
 Si el potencial en ambas placas es nulo, se pide: 
(a) Aplicar el método de los elementos finitos con funciones bases lineales, adoptando una partición 
regular de 6 puntos, para hallar los valores aproximados en los cuatro puntos interiores de la malla. 
(b) Hallar la solución exacta del problema y comparar con los valores hallados en (a). 
 
 
 
 
 
 
 
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Respuestas 
(1) a) u(x,t)= xsene
t
2
2
)
2
( ππ−
 b) E(t) = 
2
)
2
(
.
2 πρ
π
t
eAc
−
; flujo saliente = 
2
)
2
(
0 .2
ππ t
eK
−
; 
d) u1
3 = 0.195 e) No, pues no hay temperatura prescripta en borde derecho; f) 0.142 
 
(2) (b) No, pues la condición de borde derecha no es una ecuación diferencial homogénea. 
(d) u4
3 = √3/4 ; (e) cota para error = 0.5483 y 0.24 (para la malla refinada) 
 
(3) (b) u(2,1) = - 4 ; (c) coincide con la sol exacta pues la cota del error es cero al ser las cond de borde y 
cond inicial, funciones de 1er y 2do grado respectivamente. 
 
(4) (a) u(x,t) = ½ + )2..62(cos4 xsenxe t −− 
 
(b)La e.t. total se conserva pues el anillo está aislado térmicamente, en efecto 
.0)),(),((..............),()( =−−=== ∫
−
tutuAcdxtxuAc
dt
d
tE
dt
d
xx ππρρ
π
π
 
(c) uj
m+1 = s uj+1
m + (1-2s) uj
m + s uj-1
m , j = - N+1, … , N-1 ; m = 0, 1, …. M 
 
 u-N
m = uN
m ; uN
m = ½ (u-N+1
m + uN-1
m) ; m = 1, 2,…M 
 
 uj
0 = ½ + cos 2(j ∆x) – 6 sen 2(j ∆x) ; j = -N, …., N 
 
(c) u1
1 = 0.31 ; valor exacto = u(π/2, ½) = 0.36 ; error local = E11 = 0.05 
 
 
(5) Ver deducción en pág 244 (Sección 6.3.6 del Haberman) 
 
(6) b) 0.112 ; (c) u(x,t) = 1/π sen(πx).sen(π.t) ; error local = 2x10-3 
 
 
 (7) 1,1u = 0.007; 2,1u = 0.003; 1,2u = 0.015; 2,2u = 0.006; 1,3u = 0.024; 2,3u = 0.006 
 
 
(8) 1,1u = 25/2; 1,2u = 25/2; 2,1u = 75/2; 2,2u = 75/2 
 
(9) Val aprox = -0.0754; -0.1067; -0.0754 
 
 (10) Val aprox = 3.44025; 4.06575; 3.44025 (respuesta de libro no revisada) 
 
(11) a) y b) ambos sistemas son equivalentes,










−=




















−
−
−
f
f
f
u
u
u
2
3
2
1
)4/1(
210
121
012
 
 
 (12) a) 0.08, 0.12, 0.12, 0.08 b) u(x) = -x2/2 + x/2 
 
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Material elaborado por Adriana Frausin (2014)