PVI

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Motivación Método de Euler Método de Taylor Métodos de Runge-Kutta de Segundo Orden Métodos de Runge-Kutta de Cuarto Orden
Cálculo Avanzado-Fundamentos para el
Análisis de Señales
Docente: Cavalieri Federico
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
November 8, 2014
mailto:cavafede@gmail.com
Motivación Método de Euler Método de Taylor Métodos de Runge-Kutta de Segundo Orden Métodos de Runge-Kutta de Cuarto Orden
Motivación
Las ecuaciones diferenciales son:
la representación matemática más usual de los modelos fı́sicos que
el hombre construye en su intento de entender y reproducir la
realidad.
Algunos ejemplos
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Introducción
Un Problema de Valor Inicial (PVI) consiste en encontrar y(t) que
cumpla con
una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO): y′(t) = f(t, y(t))
sujeta a la condición inicial: y(t0) = y0
en el intervalo: [t0, tf ]
donde
1 t es la variable independiente.
2 y(t) es la variable dependiente.
3 f(t, y(t)) es una función conocida de t e y.
4 t0 es instante inicial y y0 es el valor inicial. Ambos conocidos.
5 tf es instante final conocido.
En palabras:
Conocemos y′(t), que es la derivada de y(t) con respecto a t, y
queremos encontrar la función y(t) como función de t.
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Interpretación Gráfica de f(t, y(t)) = y′(t)
La EDO define un campo de direcciones,
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Interpretación Gráfica de [t0, tf ]
El intervalo [t0, tf ] representa el dominio de interés con respecto a la
variable independiente t:
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Interpretación Gráfica de y0
La condición inicial y0 define el punto de partida de la solución y(t)
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Interpretación Gráfica del PVI
La solución del problema de valor inicial y(t), comienza desde de la
condición inicial y0 en t0 y sigue una trayectoria tangente al campo
de direcciones en todo punto del dominio.
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Interpretación Gráfica de la solución
La solución y(t) será entonces:
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Interpretación Gráfica de la solución
La solución y(t) del PVI es una de las trayectorias que cumplen con
la EDO. En particular, aquella que respeta la condición inicial y0.
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Método de Euler
Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico.
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Introducción
La EDO y′(t) = 0.5− e−t tiene por solución a la familia de funciones
y(t) = 0.5t + e−t + C obtenida simplemente por integración.
La constante de integración C nos dá el grado de libertad necesario
para cumplir con una determinada condición inicial.
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Introducción: Método de Euler
Cuando una EDO no puede ser resuelta analı́ticamente por integración,
hay que recurrir a métodos numéricos.
La idea general es reemplazar la Ecuación Diferencial Ordinaria por una
Ecuación Algebraica que la aproxime de alguna manera.
La Ecuación Algebraica siempre es resoluble, pero el precio a pagar
es que la solución que encontremos siempre será una aproximación
de la solución de la EDO original.
El Método de Euler es:
la técnica más sencilla para definir una ecuación algebraica
aproximada.
Consideremos por ejemplo un PVI genérico:{
y′(t) = f(t, y(t)) t0 ≤ t ≤ tf
y(t0) = y0
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Paso I
Como en todos los métodos numéricos que estudiaremos, la primera
etapa es discretizar el dominio continuo de interés [t0, tF ] en un
conjunto de valores discretos
Buscaremos las soluciones aproximadas yk en cada uno de esos
tiempos.
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Paso II
La segunda etapa es aproximar la derivada primera continua por una
derivada numérica discreta.
yk+1 − yk
h
≈ y′(tk, yk) = f(tk, yk)
es decir
yk+1 − yk
h
≈ f(tk, yk)
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Paso III
Finalmente, la tercera etapa consiste en olvidarse del signo
aproximado ≈, y escribir la siguiente ecuación algebraica:
yk+1 − yk
h
= f(tk, yk)
Suponiendo conocida yk, despejamos:
yk+1 = yk + hf(tk, yk) tk+1 = tk + h
y ası́ vamos obteniendo secuencialmente todos los valores de la
solución aproximada.
Importante!!: yk 6= y(tk)
pues,
yk es la solución numérica en t = tk.
y(tk) es la solución exacta en t = tk.
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Conclusión
Nuestro PVI (ecuación diferencial){
y′(t) = f(t, y(t)) t0 ≤ t ≤ tf
y(t0) = y0
Se transforma en una ecuación algebraica que se resuelve de la
siguiente manera,{
yk+1 = yk + hf(tk, yk) k = 0, 1, . . . ,M
yk=0 = y0
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Error y precisión
En base a Euler, definiremos conceptos generales de error y
precisión.
Suponiendo que y(t), y′(t), y′′(t), y′′′(t) son continuas, el teorema de
Taylor nos dice que:
y(t) = y(t0) + y′(t0)(t− t0) +
(t− t0)2
2
y′′(ξ)
para un ξ en [t0, t]. Notando que h = t− t0 y que f(t0, y(t0)) = y′(t0)
y(t) = y(t0) + f(t0, y(t0))h +
h2
2
y′′(ξ)
Despreciando el término cuadrático queda,
y(t) ≈ y1 = y0 + hf(t0, y0)
que no es más que la Aproximación o Método de Euler aplicado al
primer paso discreto.
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Error de Truncamiento (o de Discretización):
Definimos dos tipos de error de truncamiento:
Local: tiene que ver con (aunque no es exactamente igual a) la
contribución de un dado paso al error global.
Global: es la diferencia entre la solución numérica y la exacta.
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Resumen
Error global
Ek+1 = y(tk+1)− yk+1
Error local
Ek+1 = ỹ[k](tk+1)− [yk+1 + hf(tk, yk)]
donde ỹ[k](tk+1) es la solución de la EDO que pasa por (tk, yk).
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Precisión
Usando otra vez el Teorema de Taylor, el error local de Euler al
avanzar de k a k + 1 será
Ek+1 = y′′(ξk)
h2
2
para un ξk en [tk, tk+1]
El método de Euler es entonces
de segundo orden a nivel local, pero normalmente sólo de primer
orden a nivel global, es decir que el error global es proporcional al
paso h.
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Método de Taylor
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Método de Taylor
¿Cómo podrı́amos mejorar la calidad de la solución propuesta por
Euler?
Una forma es a través de la utilización de la serie de Taylor.
Supongamos que la solución y(t) del problema de valor inicial{
y′(t) = f(t, y(t)) t0 ≤ t ≤ tf
y(t0) = y0
tiene (n + 1) derivadas continuas. Si se desarrolla la solución de la
función y(t) en función del n-ésimo polinomio de Taylor alrededor de
t y calculamos en t + h obtendremos
y(t+h) = y(t)+hy′(t)+
h2
2
y′′(t)+. . .+
hn
n!
yn(t)+
hn+1
(n + 1)!
yn+1(ξ) (1)
para un ξ en [t, t + h].
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La diferenciación sucesiva de la solución y(t) nos da,
y′(t) = f(t, y(t))
y′′(t) = f ′(t, y(t))
...
yk(t) = fk−1(t, y(t))
(2)
Al sustituir los resultados de la Ec.(2) en la Ec.(1) obtenemos,
y(t+h) = y(t)+hf(t, y(t))+
h2
2
f ′(t, y(t))+. . .+
hn
n!
fn−1(t)+
hn+1
(n + 1)!
fn(ξ, y(ξ))
(3)
El método de la ecuación en diferencias correspondiente a la
Ec.(3)
recibe el nombre de método de Taylor de orden n y se obtiene
suprimiendo el término residual que contiene a ξ
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El método de Taylor tiene un error local de truncamieno de orden alto.
Posee la desventaja de requerir el cálculo y evaluación de las derivadas
de f(t, y(t)).
El cálculo y evaluación de las derivadas es lento y complicado en la
mayor parte de los problemas.
Las desventajas del método de Taylor hace que rara vez se empleen
en la práctica.
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Métodos de Runge-Kutta de Segundo
Orden
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Runge-Kutta
Objetivo
Los métodos Runge-Kutta logran la exactitud del procedimiento de la
serie de Taylor sin necesitar el cálculo de las derivadas de orden
superior.
Consideremos un Problema de Valor Inicial (PVI) genérico{
y′(t) = f(t, y(t)) t0 ≤ t ≤ tf
y(t0) = y0
Calculemos la serie de Taylor de y(t + h),
y(t + h) = y(t) + hy′(t) +
h2
2!
y′′(t) +
h3
3!
y′′′(t) + . . . (4)
Calculemos las derivadas y′(t), y′′(t) y y′′′(t), según la definición del
PVI.
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1 Cálculo de la derivada primera
Por definición del PVI,
y′(t) = f(t, y(t)) = f
Por simplicidad en la presentación se utilizará que f = f(t, y(t)).
2 Cálculo de la derivada segunda
y′′(t) =
∂y′(t)
∂t
=
∂f(t, y(t))
∂t
=
∂f
∂t
+
∂f
∂y
∂y
∂t
= ft + fyy
′
donde se ha aplicando la regla de la cadena
3 Cálculo de la derivada tercera
y′′′(t) =
∂
∂t
(ft + fyf) +
∂
∂y
(ft + fyf)
∂y
∂t
y′′′(t) = ftt + fytf + fyft + ftyf + fyyff + fyfyff
y′′′(t) = ftt + fytf + fy(ft + fyf) + f(fty + fyyf)
A modo de resumen
y′(t) = f
y′′(t) = ft + fyf
y′′′(t) = ftt + fytf + fy(ft + fyf) + f(fty + fyyf)
(5)
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Runge-Kutta de segundo Orden (RK2)
Reemplazando las derivadas de la Ec.(5) en los tres primeros
términos de la serie de Taylor, ver Ec.(4), se tiene
y(t + h) = y(t) + hf +
h2
2
(ft + ffy) + O(h3) ⇒
y(t + h) = y(t) +
hf
2
+
h
2
(f + hft + hffy) + O(h3)
(6)
Para eliminar las derivadas parciales que se encuentran en el
paréntesis, tomemos la serie de Taylor en dos variables,
f(t + h, y + hf) = f + h
∂f
∂t
+ h
∂f
∂y
∂y
∂t
= f + hft + hfyf + O(h2) (7)
donde y(t) = y. Reemplazando la Ec.(7) en la Ec.(62), se tiene,
y(t + h) = y(t) +
h
2
f +
h
2
f(t + h, y + hf) (8)
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o en forma equivalente se tiene un método de RK de segundo orden
denominado:
método de Heun
y(t + h) = y(t) +
1
2
(
F1 + F2
)
donde
F1 = hf(t, y(t))
F2 = hf(t + h, y(t) + F1)
(9)
Notar que en la expresión Ec.(9) no se tiene que realizar el cálculo
de ninguna derivada.
En forma algorı́tmica la Ec.(9) se escribirse de la siguiente manera,
yn+1 = yn + h
f(tn, yn) + f(tn+1, y∗n+1)
2
donde
y∗n+1 = yn + hf(xn, yn) ⇒ Euler
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Interpretación Geométrica de RK2
Notar que
y(t + h) = y(t) +
1
2
(
F1 + F2
)
se encuentra promediando dos derivadas: F1 y F2, una en el instante
tn, F1 y la otra, F2 en el instante tn+1.
Este promediado de las derivadas o pendientes genera una mejor
estimación de la pendiente en todo el intervalo de estudio.
El método de Euler supone que la derivada al inicio del intervalo es la
misma durante todo el intervalo, algo que no sucede con el método
de Heun y esto hace que la aproximación sea mucho mejor como
veremos en algunos ejemplos.
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El método Heun es un método del tipo predictor-corrector, esto es:
y∗n+1 = yn + hf(xn, yn)
se lo denomina predictor, pues da una estimación de yn+1. En tanto
que la ecuación
yn+1 = yn + h
f(tn, yn) + f(tn+1, y∗n+1)
2
se la denomina correctora.
Como en los métodos iterativos similares a los analizados en este
curso, un criterio de terminación para la convergencia es,
Êrel = ‖
yjn+1 − y
j−1
n+1
yjn+1
‖
donde yjn+1 y y
j−1
n+1 resultan las iteraciones anterior y actual del
corrector, respectivamente.
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Generalización del RK2
En forma general, los método de RK2 se pueden formular como
sigue,
y(t + h) = y + w1hf + w2hf(t + αh, y + βhf) + O(h3) (10)
donde w1, w2, α y β son parámetros a nuestra disposición.
La Ec.(10) puede ser re-escrita utilizando la serie de Taylor de dos
variables tal como se presenta en la Ec.(7). Entonces
y(t + h) = y + w1hf + w2h [f + αhft + βhffy] + O(h3) (11)
Comparando la Ec.(11) con Ec.(6), esta es
y(t + h) = y(t) +
hf
2
+
h
2
(f + hft + hffy) + O(h3)
observamos lo siguiente 
w1 + w2 = 1
w2α = 12
w2β = 12
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Como tenemos tres ecuaciones con cuatro incógnitas, debemos dar el
valor de una de estas incógnitas para determinar las otras tres.
Debido a que podemos elegir un número infinito de valores, hay un
número infinito de métodos RK2.
Cada versión darı́a exactamente los mismos resultados de la solución
analı́tica si la ecuación a resolver fuera cuadrática, lineal o constante.
A continuación presentaremos tres de las versiones más
comúnmente usadas y preferidas.
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1-Método de Heun
Una solución al sistema 
w1 + w2 = 1
w2α = 12
w2β = 12
es,
w1 = w2 =
1
2
α = β = 1
Se corresponde al método de Heun, el cual ya se ha presentado.
Su forma general es,
Método de Heun
y(t + h) = y(t) +
1
2
(
F1 + F2
)
donde
F1 = hf(t, y(t))
F2 = hf(t + h, y(t) + F1)
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2-Método de Euler modificado
Una segunda solución al sistema
w1 + w2 = 1
w2α = 12
w2β = 12
es
w1 = 0 w2 = 1 α = β = 1/2
que da lugaral método de Euler modificado.
y(t + h) = y(t) + F2
donde
F1 = hf(t, y(t))
F2 = hf
(
t +
h
2
, y(t) +
F1
2
)
en forma algorı́tmica
yn+1 = yn + h
[
f(tn +
h
2
, yn +
h
2
f(tn, yn))
]
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Interpretación gráfica
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3-Método de Ralston
Una tercera solución al sistema es
w1 = 1/3 w2 = 2/3 α = β = 3/4
que da lugar al método de Ralston.
y(t + h) = y(t) +
(1
3
F1 +
2
3
F2
)
donde
F1 = hf(t, y(t))
F2 = hf
(
t + h
3
4
, y(t) + F1
3
4
)
en forma algorı́tmica
yn+1 = yn +
h
3
[
f(tn, yn) + 2f
(
tn +
3h
4
, yn +
3
4
f(tn, yn)
)]
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Comparación de los métodos RK2
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Métodos de Runge-Kutta de Cuarto
Orden
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Método de Runge-Kutta de Cuarto Orden
El más popular de los métodos RK es el de cuarto orden. Como en el
caso de los procedimientos de segundo orden, hay un número infinito
de versiones. La siguiente, es la forma comúnmente usada y, por lo
tanto, le llamamos método clásico RK de cuarto orden o RK4:
y(t + h) = y(t) +
1
6
(F1 + 2F2 + 2F3 + F4) donde
F1 = hf(t, y(t))
F2 = hf
(
t + h
1
2
, y(t) + F1
1
2
)
F3 = hf
(
t + h
1
2
, y(t) + F2
1
2
)
F4 = hf
(
t + h, y(t) + F3
)
(12)
El RK4 es un método de cuarto orden porque reproduce los términos
hasta h4 en la serie de Taylor.
El error es de orden 5 a nivel local y normalmente es de orden 4 a
nivel global, es decir que el error global es proporcional a h4.
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Interpretación gráfica
Motivación Método de Euler Método de Taylor Métodos de Runge-Kutta de Segundo Orden Métodos de Runge-Kutta de Cuarto Orden
Forma algorı́tmica
yn+1 = yn +
1
6
(F1 + 2F2 + 2F3 + F4) donde
F1 = hf(tn, yn)
F2 = hf
(
tn +
h
2
, yn +
F1
2
)
F3 = hf
(
tn +
h
2
, yn +
F2
2
)
F4 = hf
(
tn + h, yn + F3
)
(13)
El método de RK4 es tedioso de demostrar y por tanto no lo haremos.
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