SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN

Vista previa del material en texto

1 
 
 
 
Tanto las organizaciones como los individuos requieren de préstamos de dinero para 
adelantar consumos o realizar inversiones. 
Uno de los prestamos más comunes es el que requieren las familias con destino a la 
compra de viviendas que, en general, suele ser otorgado por entidades financieras 
bajo el sistema francés y, en ocasiones, por sistema alemán. 
En nuestro medio, existen diferentes modalidades de prestamos en cuanto a la 
devolución del capital y la forma de cálculo de los intereses. 
Una sistema de amortización es un método por el cual un capital cedido en préstamo 
es dividido por un sucesión de pagos o cuotas. 
Los elementos que interviene al financiar una deuda son: 
▪ Importe de la deuda 
▪ Numero de cuotas 
▪ Valor de la cuota 
▪ Tasa de interés 
▪ Sistema de amortización 
Cuando nos referimos a amortizar un préstamo, hablamos del proceso por el cual se 
devuelve el capital que originó la obligación. Es decir, toda operación financiera en la 
cual intervienen dos partes: un deudor (quien se compromete a devolver en un 
momento posterior el importe recibido más los intereses) y un acreedor (quien recibirá 
el importe. 
Las modalidades más extendidas son las que calculan intereses sobre saldos, que en 
general se clasifican en: 
▪ Sistema francés 
▪ Sistema alemán 
▪ Sistema americano 
La cuota total a pagar depende de la tasa de interés y de la manera en que se aplica, 
porque pagaremos menos intereses cuando se calcule sobre saldos que sobre el total 
de la deuda. 
En general los sistemas de amortización de prestamos aplicados por las entidades 
financieras, la cuota total a pagar se transforma en variable debido a que a la cuota 
pura o base se le agrega el seguro de vida sobre saldos y el IVA sobre los intereses. 
 
Sistema Francés 
FINAL DE MATE. 
SISTEMA DE AMORTIZACIÓN DE 
PRESTAMOS 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
2 
 
Es uno de los sistemas más utilizados en el mercado financiero y es también llamado 
sistema de amortización progresivo, debido a que la amortización del préstamo crece 
en progresión geométrica. Como los intereses se calculan sobre saldo y este decrece a 
medida que se va devolviendo el capital, la amortización debe crecer con el objeto de 
mantener la cuota constante. 
Dado que, el sistema francés consiste en abonar cuotas iguales y consecutivas, 
compuestas por dos componentes: 
Cuota total = Cuota de capital Cuota de interés 
Constante Creciente Decreciente 
 
 
Observando el grafico, la última cuota contiene muy poco interés y prácticamente está 
compuesta solo por amortización de capital. Esto hace que la cancelación “anticipada” 
en este sistema -si lo que se busca es un ahorro de intereses- sea conveniente hacerla 
al principio del préstamo, pues una cancelación anticipada en los últimos periodos 
generaría un ahorro muy bajo de intereses. 
 
 
Cuadro de marcha de las amortizaciones 
A los efectos de ver la evolución del reembolso del préstamo por este sistema, se 
reproduce un cuadro de marcha. Donde se vuelcan todo lo referente a los intereses, 
cuotas, amortizaciones y saldos de un préstamo, teniendo en cuenta el sistema de 
amortización que se utiliza. 
Normalmente una tabla de amortizaciones tiene siete columnas y la cantidad de filas 
es igual al número de períodos, en la que se colocan lo siguiente: 
▪ Columna 1: Se enumeran los períodos. 
▪ Columna 2: Se colocan los valores de las amortizaciones al inicio de cada 
período. 
▪ Columna 3: Se colocan los valores de cada una de las cuotas. 
▪ Columna 4: Se colocan los valores de cada una de las cuotas capitales o 
amortización real de cada período. 
▪ Columna 5: Se colocan los valores de cada una de las cuotas intereses o interés 
de cada período. 
▪ Columna 6: Se colocan las amortizaciones totales hasta este período. 
▪ Columna 7: Se colocan los saldos al final de cada período. 
La tabla en el sistema de amortización francés se arma de la siguiente manera: 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Del análisis del cuadro de marcha, surgen relaciones matemáticas que nos permitirán 
conceptualizar una serie de categorías como el fondo amortizante, la amortización 
periódica y el total amortizado a un periodo dado. 
¿Qué es el Fondo Amortizante? 
Constituye la subcuota de amortización del primer periodo y es una de las variables 
más importantes del sistema francés, porque a partir del fondo amortizante es posible 
calcular una gran cantidad de categorías. Representa el cimiento sobre el que luego se 
edifica la amortización del préstamo y se lo representa con 𝑡1. 
Ahora, tengamos en cuenta que la deuda es V(c,n,i) y que podemos obtener el interés 
sólo de ese período que lo llamaremos 𝐼1, que es el producto de la deuda por la tasa, o 
sea: 𝐼1 = 𝑖 . 𝑉(∝, 𝑛, 𝑖) 
Ahora, la cuota de este período estará formada por la suma del fondo amortizante y el 
interés, o sea: ∝ = 𝑡1 + 𝐼1 
Despejando, el fondo amortizante es igual a: 𝑡1 = ∝ − ( 𝑖 . 𝑉 (∝, 𝑛 , 𝑖)) 
 
¿Cómo se calcula la Cuota Constante periódica? 
Como se sabe, la cuota es constante y teniendo como dato el valor de la deuda o 
amortización, la tasa y el número de períodos, esta se la obtiene con la fórmula de la 
cuota en la amortización vencida, o sea: 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
4 
 
∝= 𝑉 (∝, 𝑛, 𝑖) . 𝑖 . (1 + 𝑖)𝑛(1 + 𝑖)𝑛 − 1 
 
¿Cómo se calcula la Cuota de capital o Amortización real al final de un periodo? 
Representa la subcuota de amortización de un periodo cualquiera y es igual a el fondo 
amortizante multiplicado por el factor de capitalización (1+i) elevado al numero de 
periodo considerado menos uno. 𝑡𝑝 = 𝑡1(1 + 𝑖)𝑝−1 
Haciendo un análisis, sabemos que en el período “p”, la cuota estará formada por la suma de 
la cuota capital (𝑡𝑝) y la cuota interés del período (𝐼𝑝) , o sea: ∝ = 𝑡𝑝 + 𝐼𝑝 
Despejando la cuota de capital, quedaría 𝑡𝑝 = ∝ − 𝐼𝑝 
Partiendo del primer periodo, la amortización real será 𝑡1 , o sea el fondo amortizante: 𝑡1 = ∝ − (𝑖. 𝑉(∝, 𝑛, 𝑖)) 
 
En el periodo dos, la amortización real se tendrá que calcular por la diferencia entre la cuota y 
la suma de los intereses del periodo 1 y 2, o sea: 𝑡2 = ∝ − [𝑖 . 𝑉 (∝, 𝑛, 𝑖) − 𝑖 . 𝑡1] = ∝ − 𝑖. 𝑉(∝, 𝑛, 𝑖) + 𝑖 . 𝑡1 
Ahora la diferencia entre los dos primeros términos es 𝑡1 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑖 . 𝑡1 
Sacando factor común, quedaría 𝑡2 = 𝑡1. ( 1 + 𝑖 ) 
En el periodo tres, se tiene que la amortización real es la diferencia entre la cuota y la suma de 
los intereses del periodo 1, 2 y 3, o sea: 𝑡3 = ∝ − [𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛, 𝑖) − 𝑖. 𝑡1 − 𝑖. 𝑡2] = ∝ − 𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) + 𝑖 . 𝑡1 + 𝑖 . 𝑡2 
La diferencia entre los dos primeros términos es 𝑡1 𝑡3 = 𝑡1 + 𝑖 . 𝑡1 + 𝑖 . 𝑡2 
Sacando factor común, quedaría 𝑡3 = 𝑡1(1 + 𝑖) + 𝑖. 𝑡2 
Este factor común es equivalente a la amortización real del periodo 2, entonces 𝑡3 = 𝑡2 + 𝑖. 𝑡2 
Sacando factor común 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
5 
 
𝑡3 = 𝑡2 (1 + 𝑖) 
Pero 𝑡2 = 𝑡1(1 + 𝑖) , entonces 𝑡3 = 𝑡1(1 + 𝑖) (1 + 𝑖) → 𝑡3 = 𝑡1(1 + 𝑖)2 
Siguiendo este razonamiento, tenemos que 𝑡𝑝 = 𝑡1(1 + 𝑖 )𝑝 − 2(1 + 𝑖) 
Lo que significa que 𝑡𝑝 = 𝑡1(1 + 𝑖 )𝑝 − 1 
Que es lo mismo que 𝑡𝑝 = [∝ − 𝑖 . 𝑉 (∝, 𝑛, 𝑖)]. (1 + 𝑖)𝑝 
 
¿Cómo se calcula la cuota de interés o el interés de un periodo? 
Teniendo en cuenta que el valor de la cuota en este sistema es constante y que la 
misma se compone de una parte capital (tp) y otra parte interés (Ip), o sea: ∝ = 𝑡𝑝 + 𝐼𝑝 
Despejando 𝐼𝑝 = ∝ − 𝑡𝑝 
 
Puede obtenerse a través del método de interpolación lineal reiterada o con otros 
métodos iterativos (aproximaciones sucesivas). 
La tasa de interés en los prestamos sobre saldos, es siempre iguala la tasa de interés 
implícita o TIR que obtiene l prestamista. A veces, las entidades financieras cobran 
comisiones por gastos de otorgamiento que terminan elevando el costo del préstamo. 
Es por ello por lo que el BCRA, en Argentina, obliga a publicar el costo financiero total 
del préstamo. 
 
¿Cómo se calcula el total amortizando al final de un periodo? 
El total amortizado hasta un período dado (𝑇𝑝), es el valor de la deuda pagada hasta 
ese período. Representa una imposición de t1 por p periodos. 
Ahora, teniendo en cuenta esta definición, en el primer período el total amortizado es 
la amortización real, o sea que: 𝑇𝑝 = 𝑡𝑝 
En el segundo periodo, será la suma de las amortizaciones del primer y segundo 
periodo o sea: 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
6 
 
𝑇2 = 𝑡1 + 𝑡2 = 𝑡1 + 𝑡1(1 + 𝑖) = 𝑡1 [1 + (1 + 𝑖)] 
En el tercer periodo, será la suma de las amortizaciones del primer, segundo y tercer 
periodo, o sea: 𝑇3 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 = 𝑡1 + 𝑡1(1 + 𝑖) + 𝑡1(1 + 𝑖)2 = 𝑡1[1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2] 
 
En el cuarto periodo, será la suma de las amortizaciones del primer, segundo, tercer y 
cuarto periodo, o sea: 𝑇4 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + 𝑡4 = 𝑡1 + 𝑡1(1 + 𝑖) + 𝑡1(1 + 𝑖)2 + 𝑡1(1 + 𝑖)3= 𝑡1[1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 + (1 + 𝑖)3] 
Y seguimos hasta el periodo “p”, donde: 𝑇𝑝 = 𝑡1. [1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖) 2 + (1 + 𝑖)3+ . . . . +(1 + 𝑖) 𝑝−1 ] 
Lo que está en el corchete es una serie geométrica creciente de “p” elementos, razón 
1+i. 
Por otro lado, la suma de una serie geométrica de “n” elementos y razón “q” y primer 
elemento 𝑎1, su suma es: 𝑆 = 𝑎1. 𝑞𝑛 − 1𝑞 − 1 
Aplicando esto al corchete, se tiene que 𝑇𝑝 = 𝑡1 [1 . (1 + 𝑖)𝑝 − 1(1 + 𝑖) − 1 ] = 𝑡1 [(1 + 𝑖)𝑝 − 1𝑖 ] 
Y siendo 𝑡1 = ∝ − 𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) , entonces: 𝑇𝑝 = [∝ − 𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)] [1 . (1 + 𝑖)𝑝 − 1(1 + 𝑖) − 1 ] = [∝ − 𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)] [(1 + 𝑖)𝑝 − 1𝑖 ] 
 
¿Cómo se calcula la deuda al inicio del periodo? 
El saldo o deuda al inicio de un período dado, es lo adeudado antes de pagar la cuota 
de ese período. Surge de calcular el valor actual de las cuotas que lo componen (y que 
contienen interés). Por lo tanto, resulta ser una renta inmediata de pagos vencidos. 
 𝑉 = 𝑉𝑛|𝑖 = 𝑐 . 𝑎𝑛|𝑖 = 𝑐 . 1 − (1 + 𝑖)−𝑛𝑖 
 
Teniendo en cuenta el concepto anterior, la deuda al inicio del período uno (𝑉1) es el 
total solicitado, ya que no se produjo ninguna amortización, o sea: 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
7 
 
𝑉1 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) 
Para el segundo período, la deuda al inicio de este es la diferencia de la deuda total y el 
total amortizado hasta el período uno, o sea: 𝑉2 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − 𝑇1 
En el período tres, la deuda al inicio es: 𝑉3 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − 𝑇2 
En el período cuatro, la deuda al inicio es: 𝑉4 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − 𝑇3 
Y así seguimos hasta el período en cuestión “p”, donde la deuda al inicio es: 𝑉𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − 𝑇𝑝 −1 
El que reemplazando queda 𝑉𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − [∝ − 𝑖 . 𝑉(∝ , 𝑛 , 𝑖)] (1 + 𝑖)𝑝 −1 − 1𝑖 
 
O es lo mismo que 
𝑉𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − ∑ 𝑡ℎ𝑝 −1 ℎ=1 
¿Qué es el Saldo al Final de un periodo dado? 
Es lo adeudado después de pagar la cuota de ese período. 
El cálculo del saldo del préstamo en un momento determinado puede hacer por dos 
métodos: el método prospectivo y el método retrospectivo. 
El método prospectivo consiste en determinar el saldo del préstamo en un momento 
dado actualizando las cuotas aún no abonadas con la tasa de interés del préstamo. En 
tal sentido, en el método “prospectivo” vamos del futuro al presente, al actualizar la 
cuota n – p cuotas. 
El método retrospectivo consiste en determinar el saldo del préstamo en un momento 
dado restando del total de éste el total amortizado al final de un periodo cualquiera. 
En tal sentido, en el método “retrospectivo” vamos del pasado al presente: para 
calcular el saldo restamos de lo que recibimos como préstamo todos los pagos de 
capital que realizamos, capitalizándolos hasta el periodo p. 
Teniendo en cuenta el concepto anterior, matemáticamente hablando, el saldo al final 
de un período dado (𝑆𝑝) es igual a la diferencia entre la deuda y el total amortizado 
hasta ese período, o sea: 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
8 
 
𝑆𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑖 , 𝑛) − 𝑇𝑝 
Que es lo mismo que 
 𝑆𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑖 , 𝑛) − ∑ 𝑡ℎ𝑝ℎ=1 
Tiempo Medio de Reembolso 
Representa la cantidad de periodos que se demora en devolver la mitad del capital. En 
el caso del sistema francés, esto se produce siempre después de la mitad del plazo del 
préstamo, debido a la amortización creciente (naturalmente, no podría amortizarse la 
mitad del préstamo en la mitad del plazo, porque la amortización creciente en 
progresión geométrica generaría que al final se amortizara un valor mayor que el 
préstamo original). 
Podemos expresar el TMR como V = Tn y queremos averiguar el tiempo que se tarda 
en pagar la mitad del préstamo igualamos Tn/2 con la formula del total amortizado a 
un periodo. 𝑇𝑛2 = 𝑇𝑝 
𝑝(𝑇𝑀𝑅) = ln [(1 + 𝑖)𝑛 − 12 + 1]ln(1 + 𝑖) 
El TMR depende de dos variables: 
1. Plazo del préstamo 
2. Tasa de interés. 
Cuando ambos aumentan, aumenta el TMR; en el primer caso, al aumentar el plazo del 
préstamo también aumenta el plazo para amortizar la mitad de éste y, en el caso de un 
aumento de la tasa de interés, al aumentar la participación relativa del interés en la 
cuota, también aumenta el TMR. 
El TMR siempre se ubica por encima de la mitad del plazo en el sistema francés. 
 
Refinanciación del préstamo y cálculo de la nueva cuota 
Las causas más comunes donde es necesario recalcular el saldo del préstamo son: 
1. Cancelación anticipada: “Las cuotas contienen una mayor porción de intereses al 
principio, ya que el capital se amortiza en forma progresiva. Esto genera que el saldo 
de la deuda disminuya lentamente al principio, siendo que en la mitad del plazo se 
deba más de la mitad del préstamo inicial”. 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
9 
 
2. Atrasos del deudor en el pago de cuotas que motivan una refinanciación 
3. Pagos extraordinarios durante la vida del préstamo 
4. Cambios en la tasa de interés 
5. Alargamiento del plazo. 
Excepto en el caso de cancelación anticipada, en todos los otros casos es necesario el 
recálculo de la cuota, ya que significan hacia adelante, un cambio en las condiciones 
contratadas al inicio del préstamo. 
 
Efecto de los gastos y los impuestos en el costo efectivo del préstamo 
Los impuestos y los gastos asociados a un préstamo tienen como efecto un incremento 
en la tasa efectiva que paga el prestatario. 
Tanto el IVA como el seguro sobre el capital adeudado tienen un efecto en el costo del 
préstamo que en este caso resulta ser la tasa implícita que iguala el valor presente de 
la corriente de cuotas con el valor obtenido en préstamo: 
Las entidades financieras suelen cobrar comisiones en concepto de gastos 
administrativos que son calculadas sobre el valor nominal del préstamo reduciendo el 
monto del préstamo efectivo. Esto tiene como efecto un incremento del costo 
financiero real. 
La metodología de calculo del “costo financiero real total” es calcular la TIR. 
Por otra parte, existen gastos de seguro e impuestos, así como gastos de otorgamiento 
y constitución de hipoteca. Estos cargos transforman el costo financiero total del 
préstamo. Si bien el BCRA obliga a las entidades financieras a publicar el CFT, éste 
suele no coincidir cuando se contempla la TIR del verdadero flujo de fondos para el 
cliente. 
Cuando se computan los seguros, los gastos administrativos por administración de la 
cuota y el IVAasociado a los intereses, gastos y seguros, el CFT aumenta. 
 
Sistema Americano 
El sistema de las dos tasas o americano consiste en el pago periódico que sólo cubren 
los intereses. El total de la deuda se lo abona en un plazo estipulado que casi siempre 
es en el último período. Es decir, que se abonan únicamente intereses calculados sobre 
saldo (i.V) y el capital se devuelve en una única cuota al final del préstamo. 
En este sistema, el interés se calcula sobre el total de la deuda y se lo divide en la 
cantidad de períodos. 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
10 
 
Desde el punto de vista del acreedor, no existen amortizaciones parciales ya que éste 
recibe de una sola vez el monto prestado. 
Desde el punto de vista del deudor, éste debe abonar un interés periódico con una 
cierta tasa y al final del plazo debe pagar la deuda de una sola vez. 
Esto último puede ocasionar problemas con el deudor, ya que debe disponer de una 
sola vez el total del capital prestado. Es posible que el deudor decida facultativamente 
(o se obligue por medio de un contrato) ahorrar en una institución una suma de dinero 
periódica (cuota facultativa) que le permita componer el capital del préstamo que 
tiene que devolver al vencimiento. 
De manera que en el sistema americano podemos tener dos variante: el tradicional y 
con constitución de un fondo de amortización o sinking fund. 
 
Sistema Americano Tradicional 
En el sistema americano tradicional, se pagan solamente intereses sobre el capital y 
éste se devuelve en la última cuota. 
 
Sistema Americano con constitución de fondo de amortización 
Es una variante del sistema americano tradicional, aunque en este caso es posible 
realizar un ahorro periódico en forma voluntaria, con el fin de componer el capital del 
préstamo (V). 
Así es como se deposita en una institución financiera donde se gana una tasa de 
interés i´ (que es una tasa de interés pasiva) por lo cual esta modalidad a veces es 
llamada “Sistema de las dos tasas” porque se paga una al banco por el préstamo y se 
gana otra en el ahorro voluntario. 
Como el deudor esta pagando dos cuotas (la del interés del préstamo y la facultativa) 
la cuota total será: 𝐶𝐴𝑀 = 𝑉. 𝑖 + 𝐶𝐹 (1) 
La cuota facultativa es la que le permite acumular el valor del préstamo y esta 
corriente de pagos tiene la forma de una imposición para acumular V: 
De acuerdo con lo estipulado anteriormente, la imposición debe ser igual al total a 
amortizar, o sea: 𝑆 (∝ , 𝑛 , 𝑖) = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) 
Reemplazando en la fórmula de imposición y llamando a la cuota C’, queda: 
𝐶´ (1 + 𝑖´)𝑛 − 1𝑖´ = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
11 
 
Despejando 𝐶´ = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)(1 + 𝑖´)𝑛 − 1𝑖´ 𝐶´ = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖). 𝑖´(1 + 𝑖´)𝑛 − 1 
Reemplazando, queda (1): 
∝= 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . 𝑖´( 1 + 𝑖´)𝑛 − 1 + 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . 𝑖 
Sacando factor común, queda 
∝= 𝑖´( 1 + 𝑖´)𝑛 − 1 + 𝑖 
 
¿Qué son las tablas o cuadros de amortizaciones? 
La tabla de amortizaciones es aquella donde se vuelcan todo lo referente a los intereses, 
cuotas, amortizaciones y saldos de un préstamo, teniendo en cuenta el sistema de 
amortización que se utiliza. 
Normalmente una tabla de amortizaciones tiene siete columnas y la cantidad de filas igual al 
número de períodos, en la que se colocan lo siguiente: 
▪ Columna 1: Se enumeran los períodos. 
▪ Columna 2: Se colocan los valores de las amortizaciones al inicio de cada período, que 
es el total de la deuda hasta el último período. 
▪ Columna 3: Se colocan los valores de cada una de las cuotas, que en este caso tienen la 
cuota interés sumada a la cuota de la imposición, si se quiere. 
▪ Columna 4: Se colocan los valores de cada una de las cuotas capitales de la imposición, 
si es que hay. 
▪ Columna 5: Se colocan los valores de cada una de las cuotas intereses o interés de 
cada período. 
▪ Columna 6: Se colocan las amortizaciones totales hasta este período, que en este caso 
es cero por lo antes dicho. 
▪ Columna 7: Se colocan los saldos al final de cada período, que es el total de la deuda, 
menos en el último período que es cero. 
Teniendo en cuenta lo anterior, la tabla de amortizaciones de este sistema puede ser la 
siguiente: 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparación del Sistema Americano de las dos tasas con el Sistema Francés 
Si i´= i, podemos reemplazar en la ecuación de la cuota total que se pagaría con constitución de 
fondo de amortización para demostrar que la cuota total que se pagaría en esta variante del 
sistema americano sería igual a la cuota que se abonaría por idéntico préstamo con el sistema 
francés. 𝐶𝐹 = 𝑉. 𝑖 + 𝑉𝑠 (1, 𝑛 , 𝑖 )−1 = 𝑉[𝑖 + 𝑠. (1, 𝑛, 𝑖)−1] 
Y como 𝑖 + 𝑠. (1, 𝑛, 𝑖)−1 = 𝑎(1, 𝑛 , 𝑖)−1 
Reemplazando esta última expresión en la anterior queda 𝑉. 𝑎(1, 𝑛 , 𝑖)−1 que es igual 
a la expresión de la cuota para el sistema francés: ∝ = 𝑉. (1 + 𝑖)𝑛. 𝑖(1 + 𝑖)𝑛 − 1 
Entonces si la tasa de interés ganada en el ahorro de la cuota facultativa fuera igual a 
la tasa de interés del préstamo, la cuota total que pagaríamos en esta variante del 
sistema americano sería igual a la cuota que se abonaría en el sistema francés. 
Se realiza la comparación con la cuota del sistema francés, debido a que esta ultima es 
constante (en el sistema americano, con constitución de fondo de amortización 
también se paga una cuota constante, que es igual a la cuota del préstamo más la 
cuota facultativa). 
En resumen: 
Si 𝑖´ > 𝑖 → 𝐶𝐴𝑀 < 𝐶 
Si 𝑖´ = 𝑖 → 𝐶𝐴𝑀 = 𝐶 
Si 𝑖´ < 𝑖 → 𝐶𝐴𝑀 > 𝐶 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
13 
 
 
Sistema Alemán 
El sistema de amortización de la Cuota Capital Constante o Alemán, consiste en dividir 
la deuda en la cantidad de períodos para determinar la cuota capital y los intereses se 
calculan en base de la deuda restante. 
De acuerdo con lo anterior, la cuota capital es siempre constante y la cuota interés 
disminuye con el correr de los períodos como así también la cuota general, o sea: 
Cuota total = Cuota de capital Cuota de interés 
Decreciente Constante Decreciente 
 
La cuota del sistema alemán también está compuesta por una parte de amortización 
de capital y una parte de interés, pero a diferencia del sistema francés, la amortización 
es constante y siempre representa un enésimo del préstamo, debido a esto y como los 
intereses se calcula sobre un saldo que decrece siempre en una suma fija, la corriente 
de los intereses periódicos representa una progresión aritmética decreciente. 
 
¿Cómo se calcula la cuota de capital o la amortización real de un periodo? 
Como la cuota capital es constante, esto significa que se la calcula dividiendo la deuda 
en la cantidad de períodos, o sea: 𝑡𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 
¿Cómo se calcula la cuota de interés o el interés real de un periodo? 
Se sabe que la cuota interés se calcula siempre sobre el saldo y para ello debemos 
analizar período a período, o sea: 
En el período uno, el interés se calcula sobre el total la deuda, o sea: 𝐼1 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . 𝑖 
El mismo razonamiento hacemos para el segundo período, pero teniendo en cuenta 
que el saldo es la diferencia de la deuda y la amortización real del primer período, o 
sea: 𝐼2 = 𝑖 . [𝑉 ( ∝ , 𝑛 , 𝑖) − 𝑡1] 
Reemplazando 𝑡1, queda: 𝐼2 = 𝑖 . [𝑉 ( ∝ , 𝑛 , 𝑖) − 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) 𝑛 ] 
Sacando factor común, queda: 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
14 
 
𝐼2 = 𝑖 . 𝑉 ( ∝ , 𝑛 , 𝑖) . (1 − 1𝑛) 
Haciendo este razonamiento para el tercer período, tenemos: 𝐼3 = 𝑖 . [𝑉 ( ∝ , 𝑛, 𝑖) − 𝑡1 − 𝑡2] 
Reemplazando 𝑡1 y 𝑡2 se tiene 𝐼3 = 𝑖 . [𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 − 𝑉 (∝ ,𝑛 , 𝑖)𝑛 ] 
Sacando factor común, queda: 𝐼3 = 𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . (1 − 2𝑛) 
Siguiendo el mismo razonamiento, llegamos al periodo “n” donde: 𝐼𝑛 = 𝑖 . [𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖 ) − 𝑡1 − 𝑡2 − . . . . −𝑡𝑛] 
Reemplazando se tiene 𝐼𝑛 = 𝑖 . [𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 − 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 − 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 −. . . . . − 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 ] 
Sacando factor común queda: 𝐼𝑛 = 𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . ( 1 − 𝑛 − 1 𝑛 ) 
 
¿Cómo se calcula la cuota total en Sistema Alemán? 
Como se sabe la cuota general en este sistema también está compuesta por una cuota 
capital, constante y una cuota interés que varía de acuerdo con el período que se paga. 
Esto significa que la cuota general es variable. De acuerdo con lo dicho anteriormente, 
tenemos que la cuota en el período uno es: ∝= 𝑡1 + 𝐼1 
Reemplazando queda ∝= 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 + 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . 𝑖 
Sacando factor común queda ∝ = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) ( 1𝑛 + 𝑖) 
Para la segunda cuota tenemos ∝2= 𝑡2 + 𝐼2 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
15 
 
Reemplazando queda ∝2= 𝑉 ( ∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 + 𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . (1 − 1𝑛 ) 
Sacando factor común en el último paréntesis, se tiene ∝2= 𝑉 ( ∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 + 𝑖 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . ( 𝑛 − 1𝑛 ) 
Ahora sacamos factor común el cociente entre la deuda y el número de períodos, o 
sea: ∝2 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) 𝑛 . [1 + 𝑖 (𝑛 − 1 )] 
Si llegamos a la cuota “p” cualquiera, entonces se tiene: ∝𝑝= (𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) 𝑛 ) . [1 + 𝑖 . (𝑛 − 𝑝 + 1)] 
Resolviendo queda ∝𝑛= 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 . (1 + 𝑖) 
¿Cómo se calcula el total amortizado hasta un periodo dado? 
Teniendo en cuenta que la cuota capital es constante, o sea que el total amortizado en 
un período “p” estará dado por: 𝑇𝑝 = 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3+ . . . . + 𝑡𝑝 
Y por lo dicho anteriormente, se tiene: 𝑇𝑝 = 𝑝 . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 
 
¿Cómo se calcula el saldo al inicio de un periodo? 
Como se sabe, al inicio del período uno, la amortización es toda la deuda, o sea: 𝑉1 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) 
Al inicio de un período “p” cualquiera, el saldo es la diferencia entre la deuda y el total 
amortizado hasta el período anterior (p – 1), o sea: 𝑆𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) − ( 𝑝 − 1) . 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 
¿Cómo se calcula el saldo del préstamo? 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
16 
 
Método prospectivo: En este método, el saldo del préstamo se calcula multiplicando la 
cuota de capital por la cantidad de cuotas que falta pagar. Como la porción de capital 
es siempre constante, es fácil de calcular el saldo del préstamo. 𝑉 (𝑝) = (𝑛 − 𝑝) . 𝑉𝑛 
Método retrospectivo: En este método, el saldo del préstamo se calcula a través de la 
diferencia entre el préstamo que recibimos y el total amortizado del préstamo a un 
periodo p: V (p) = V − Tp = V − p. Vn 
 
¿Qué son las tablas o cuadros de amortizaciones? 
La tabla de amortizaciones es aquella donde se vuelcan todo lo referente a los 
intereses, cuotas, amortizaciones y saldos de un préstamo, teniendo en cuenta el 
sistema de amortización que se utiliza. 
Normalmente una tabla de amortizaciones tiene siete columnas y la cantidad de filas 
igual al número de períodos, en la que se colocan lo siguiente: 
▪ Columna 1: Se enumeran los períodos. 
▪ Columna 2: Se colocan los valores de las amortizaciones al inicio de cada 
período. 
▪ Columna 3: Se colocan los valores de cada una de las cuotas. 
▪ Columna 4: Se colocan los valores de cada una de las cuotas capitales o 
amortización real de cada período. 
▪ Columna 5: Se colocan los valores de cada una de las cuotas intereses o interés 
de cada período. 
▪ Columna 6: Se colocan las amortizaciones totales hasta este período. 
▪ Columna 7: Se colocan los saldos al final de cada período. 
La tabla de amortizaciones del sistema alemán es la siguiente: 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparaciones entre el sistema de amortización francés y alemán 
Si bien ambos sistemas calculan los intereses sobre saldo, el diferente ritmo de 
amortización determina que difieran en la cuota a pagar para idéntico préstamo. 
De esta manera, para el mismo monto obtenido en préstamo, la cuota del sistema 
francés resultara menor al principio que la cuota del sistema alemán, pero como la 
cuota del sistema alemán decrece en progresión aritmética, a partir de cierto 
momento pasa a ser inferior a la cuota del sistema francés. 
En el sistema alemán, se devuelve más rápido el capital y los intereses decrecientes 
hacen que la cuota disminuya hasta quedar por debajo de la cuota del sistema francés. 
Otras consideraciones: 
1. Siempre que coincidan las tasas de pacto en ambos sistemas, tendrán idénticas TIR, 
ya que calculan los intereses sobre saldos de deuda. Esto los hace equivalentes desde 
el punto de vista financiero. 
2. Las cuotas del préstamo, constantes en el francés y decrecientes en el alemán, son 
distintas en su importe pero equivalentes ya que en ambos casos la TIR coincide con la 
tasa de interés “pactada en el préstamo”. 
3. En el sistema alemán, se pagan menos intereses, debido a que el ritmo de 
amortización del capital es mayor que en el sistema francés. 
4. En el sistema alemán, se amortiza la mitad del préstamo en la mitad del numero de 
periodos. En cambio, en el francés la amortización de la mitad del préstamo se 
produce en un numero de periodos mayor a la mitad de n debido a la amortización 
progresiva del capital. 
5. El prestamista tiene la responsabilidad de reinvertir el capital que recibe como 
amortización del préstamo en cada cuota que cobra, tanto en el sistema francés como 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
18 
 
en el alemán. No ocurre lo mismo con el sistema americano, donde el deudor es quien 
tiene la responsabilidad del capital, ya que lo devuelve recién en el último periodo. 
Sistema Directo 
El Sistema de Interés Directo consiste en calcular los intereses sobre el valor total de la 
deuda antes que se determine el valor de las cuotas y dividirlo en el total de los 
períodos para determinar la cuota interés. 
Para calcular el valor de la cuota, se suma el interés total y el valor de la deuda y se lo 
divide en el número de períodos. Indudablemente, teniendo en cuenta el 
procedimiento anterior, la cuota interés es el interés dividido en los períodos y la cuota 
capital es la deuda dividida en los períodos. 
En este sistema, la cuota interés y la cuota capital son siempre constantes, o sea: 
Cuota total = Cuota de capital Cuota de interés 
Constante Constante Constante 
 
¿Cómo se calcula el interés de la Deuda? 
Teniendo en cuenta que el interés se calcula sobre el total de la deuda, entonces este 
se lo tiene que calcular utilizando el interés compuesto calculado en base al total de la 
deuda, o sea: 𝐼 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . 𝑖 . 𝑛 
 
¿Cómo se calcula la cuota de interés o el interés del periodo k? 
Como el interés de cada período (𝐼𝑝) es constante, éste se calcula dividiendo el interés 
total en la cantidad de períodos, o sea: 𝐼𝑝 = 𝐼𝑛 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . 𝑖 . 𝑛𝑛 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) . 𝑖 
O sea que en definitiva, el interés de un período dado o cuota interés, se calcula con el 
producto entre la deuda y la tasa. 
 
¿Cómo se calcula la cuota de capital o la amortización real de un periodo? 
Como la cuota capital (𝑡𝑝) es constante, esto significa que periódicamente se amortiza 
la deuda en partes iguales y se calcula con el cociente entre la deuda la cantidad de 
períodos, o sea: 𝑡𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖)𝑛 
 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
19 
 
¿Cómo se calcula la cuota periódica? 
La cuota también es constante, donde se compone de la cuota capital (constante) y la 
cuota interés (constante). Esto significa que la cuota se puede calcularde dos formas: 
Sumando la deuda total y el interés y luego dividirlo en el número de períodos, o sea: ∝= 𝑉 (∝ , 𝑛, 𝑖) + 𝐼𝑛 
O bien, sumando la cuota interés y la cuota capital, o sea: ∝ = 𝑡𝑝 + 𝐼𝑝 
 
¿Cómo se calcula la Deuda al inicio de cada periodo? 
La deuda al inicio de un período dado es la deuda que se tiene antes de pagar la cuota 
de ese período. Indudablemente, al inicio del primer período (Vp), la deuda es el total 
de la deuda. 
Pero a partir del segundo período, la deuda al inicio de este es la diferencia entre la 
deuda total y la cuota capital del período anterior. 
Como se sabe, la cuota capital es constante, entonces: 𝑉2 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖 ) – 𝑡1 
La deuda al inicio del periodo tres es igual a: 𝑉3 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) – 𝑡2 
Y siguiendo con el mismo razonamiento, determinamos la fórmula para calcular la 
deuda al inicio del período “p”, que es: 𝑉𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) – 𝑡𝑝 −1 
Pero como la cuota capital es constante, entonces: 𝑉𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) – (𝑝 − 1) . 𝑡 
 
¿Cómo se calcula el total amortizado hasta un periodo dado? 
Indudablemente, la suma de todas las cuotas capitales hasta el período en cuestión 
será el total amortizado (Tp) hasta ese período, o sea: 𝑇𝑝 = 𝑡1 + 𝑡2 + … + 𝑡𝑝 
Pero como las cuotas capitales son constantes, entonces la expresión anterior queda: 𝑇𝑝 = 𝑝 . 𝑡 
 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
20 
 
¿Cómo se calcula el saldo al final de un periodo dado? 
Como se sabe, el saldo al final de un período (𝑆𝑝) dado es lo que queda de la deuda 
después de haber pagado la cuota de ese período. 
Pero en este caso será la diferencia entre el total de la deuda y el total amortizado 
hasta ese período, o sea: 𝑆𝑝 = 𝑉 (∝ , 𝑛 , 𝑖) – 𝑇𝑝 
 
¿Qué son las tablas o cuadros de amortizaciones? 
La tabla de amortizaciones es aquella donde se vuelcan todo lo referente a los 
intereses, cuotas, amortizaciones y saldos de un préstamo, teniendo en cuenta el 
sistema de amortización que se utiliza. Normalmente una tabla de amortizaciones 
tiene siete columnas y la cantidad de filas igual al número de períodos, en la que se 
colocan lo siguiente: 
▪ Columna 1: Se enumeran los períodos. 
▪ Columna 2: Se colocan los valores de las amortizaciones al inicio de cada 
período. 
▪ Columna 3: Se colocan los valores de cada una de las cuotas. 
▪ Columna 4: Se colocan los valores de cada una de las cuotas capitales o 
amortización real de cada período. 
▪ Columna 5: Se colocan los valores de cada una de las cuotas intereses o interés 
de cada período. 
▪ Columna 6: Se colocan las amortizaciones totales hasta este período. 
▪ Columna 7: Se colocan los saldos al final de cada período. 
La tabla en el sistema de amortización de interés directo se forma con: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M
21 
 
 
Sistema francés, alemán y americano: balance 
Los tres sistemas calculan intereses sobre saldo y si las tasas de contrato son idénticas, 
las TIR de estos sistemas también lo son. En tal sentido, el costo financiero es idéntico: 
apenas difieren en el ritmo de devolución del capital, lo que hace que en el americano 
y en el francés se pague una mayor cantidad de intereses que en el alemán, pero esto 
solo refleja el valor del tiempo. 
Desde el punto de vista corporativo, debido a que los intereses pueden deducirse para 
el pago del impuesto a las ganancias, el americano otorga una mayor ventaja fiscal, 
seguido del francés y por el alemán, en ese orden, 
En general, el sistema francés es el más utilizado en los prestamos hipotecarios, 
prendarios y personales, aunque el alemán también es utilizado. Mientras que en el 
sistema francés el deudor siempre abona la misma cuota, en el alemán la cuota inicial 
para idéntico préstamo sería más alta, requiriendo un mayor esfuerzo al principio para 
luego ir disminuyendo en una suma fija y finalmente por debajo de la cuota que se 
abona en el francés. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este archivo fue descargado de https://filadd.com
�
 FI
LA
DD
.CO
M