Apunte Analisis Cuantitativo

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ANÁLISIS CUANTITATIVO 
UNIDAD 2: LÍMITE Y DERIVADAS 
 
Entorno de un punto. Entorno reducido. Límite de una función. Interpretación 
gráfica. 
Entorno de un punto 
Intuitivamente hablando, un entorno de un punto es un conjunto que contiene al punto en donde uno 
puede estar tan próximo como se quiera al punto aludido. El aspecto geográfico de vecindad en un 
lugar se refleja en este concepto matemático. 
El concepto de entorno está estrechamente relacionado con los conceptos de conjunto 
abierto y punto interior. 
 
Un conjunto V en el plano es un entorno de un punto p si un pequeño 
disco alrededor de p está contenido en V 
 
 
Entorno de un punto a, de radio δ 
Dados a 𝑦 𝛿 pertenecientes a 𝐼𝑅, 𝛿 > 0, llamamos entorno del punto a, de radio δ, expresado como: 
𝐸(a, 𝛿) al intervalo abierto (a - δ, a + δ) representado en la figura siguiente. 
 
 
𝑬(𝐚, 𝜹) = { 𝒙|𝒙 ∈ 𝑰𝑹 ∧ (𝐚 − 𝜹) < 𝒙 < (𝐚 + 𝜹)} 
 
Entorno reducido de un punto a, de radio δ 
Llamaremos entorno reducido de un punto a, de radio δ, al conjunto 𝐸 ∗(a, 𝛿) que se obtiene 
excluyendo el punto a del entorno 𝐸(a, 𝛿). 
Es decir: 
𝑬 ∗(𝐚, 𝜹) = 𝑬(𝐚, 𝜹) − {𝐚} 
 
Un entorno reducido de un punto a es un entorno de a, menos {a}. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_abierto
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_abierto
https://es.wikipedia.org/wiki/Interior_de_un_conjunto
 
Por ejemplo, el intervalo (−1, 1) = {y: −1 < y < 1} es un entorno de a = 0 en la recta real, entonces el 
conjunto (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} es un entorno reducido de 0. 
Límite. Noción 
El concepto de límite es la clave que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto 
concreto de una función, a medida que los parámetros de esa función se acercan a un determinado 
valor. 
Llamaremos límite al valor al cual se aproxima la función cuando “x” tiende a un valor determinado. 
Dada una función f(x), y un punto “a” perteneciente al dominio de la función, estudiaremos el 
comportamiento de la función en un entorno reducido de “a” 
 
Veamos un Ejemplo: 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, analizaremos la función en un E*(3; 0,5). 
Si se quiere estudiar el límite de esa función cuando x tiende a 3, hay que ver los valores que toma la 
función en puntos muy próximos a 3. 
Para ello se puede hacer una tabla de valores: 
 
𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
2,9 3,9 
2,99 3,99 
2,999 3,999 
3,001 4,001 
3,01 4,01 
3,1 4,1 
 
 
Se observa que, al tomar valores de “x” muy próximos a 3, ya sean mayores o menores que él, sus 
imágenes se aproximan al valor 4. Cuanto mayor es la proximidad de “x” a 3, mayor es la proximidad 
de “y” a 4. 
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
 
 
Esto se expresa diciendo que cuando x tiende a 3, el límite de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 es 4, y se 
escribe: 
lim
𝑥 → 3
(𝑥 + 1) = 4 
 
Otros Ejemplos: 
Una forma directa de calcular el límite de una función es reemplazando el valor al cuál tiende “x” en 
la función, siempre y cuando este valor de “x” pertenezca al dominio de la función. 
Para encontrar el límite de lim
𝑥→2
(𝑥2 + 1) lo que se debe hacer es reemplazar x = 2 en la función: 
lim
𝑥→2
(𝑥2 + 1) 22 + 1 = 5 
 Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos f (2) = 5. 
 
Cuando una función tiene límite L, que es un número real, en un punto “p”, decimos que el límite 
existe. 
Intuitivamente, 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇(𝒙) existe si hay un único número real L, tal que la función se acerca a L, tanto 
como se quiera, para valores x suficientemente cercanos a “c”. 
Del hecho que la función debe tender a un número real, L, se desprende algunas condiciones que se 
deben cumplir para que un límite exista. 
El límite es único. La función no puede tender a dos números distintos cuando se acerca a “c”. 
La función debe tender a un número finito cuando x tiende a “c”. Infinito no es un número real, 
directamente no es un número. 
 
Propiedades. Límites Laterales. Límites Indeterminados 
Sean f y g dos funciones tales que: 
lim
𝑥 → 𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐴 
lim
𝑥 → 𝑐
𝑔(𝑥) = 𝐵 
Y sea 𝑘 una constante. 
 
 
 
 Límite de una constante: El límite de una constante es igual a la misma constante siempre y 
cuando la constante esté definida para el punto analizado. 
 
lim
𝑥 → 𝑐
𝑘 = 𝑘 
 
 Límite de una suma de funciones: El límite de una suma de dos funciones, es igual a la suma 
de los límites de cada una de ellas: 
 
lim
𝑥 → 𝑐
(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥 → 𝑐
𝑓(𝑥) + lim
𝑥 → 𝑐
𝑔(𝑥) = 𝐴 + 𝐵 
 
 
 Límite de una resta de funciones: El límite de una resta de dos funciones, es igual a la 
diferencia de los límites de cada una de ellas: 
 
lim
𝑥 → 𝑐
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥 → 𝑐
𝑓(𝑥) − lim
𝑥 → 𝑐
𝑔(𝑥) = 𝐴 − 𝐵 
 
 Límite de un producto de funciones: El límite de un producto de dos funciones 
convergentes, es igual al producto de los límites de cada una de ellas: 
 
lim
𝑥 → 𝑐
(𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥 → 𝑐
𝑓(𝑥) ∗ lim
𝑥 → 𝑐
𝑔(𝑥) = 𝐴 ∗ 𝐵 
 
 Límite de un cociente de funciones: El límite de un cociente de dos funciones es igual al 
cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo: 
 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
(
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
) = 
lim
𝑥 → 𝑐
𝑓(𝑥)
lim
𝑥 → 𝑐
𝑔(𝑥)
=
𝑨
𝑩
 
 
 
 
 
 
 
Relación entre el Límite y los Límites laterales de una función 
 
El límite de una función 𝒚 = 𝒇(𝒙) en un punto, existe, si y solo si, existen los límites laterales y estos 
son iguales: 
lim
𝑥 → 𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔ lim
𝑥 → 𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿 ↔ lim
𝑥 → 𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿 
 
 
Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente. 
En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden y son iguales a 4 por lo 
tanto el límite existe. 
 
Límites Laterales 
 
El límite por la izquierda de una función 𝒚 = 𝒇(𝒙), cuando 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑥0, es el valor al que tiende la 
función para puntos muy próximos a 𝑥0 y menores que 𝑥0. 
Para expresar el límite por izquierda se escribe: 
lim
𝑥 → 𝑥0
−
𝑓(𝑥) 
Observar que 𝑥0 tiene un superíndice con el signo negativo indicando que se toma el límite por 
izquierda. 
El límite por la derecha de una función 𝒚 = 𝒇(𝒙), cuando 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑥0, es el valor al que tiende la 
función para puntos muy próximos a 𝑥0 y mayores que 𝑥0. 
Para expresar el límite por derecha se escribe: 
lim
𝑥 → 𝑥0
+
𝑓(𝑥) 
Observar que 𝑥0 tiene un superíndice con el signo positivo indicando que se toma el límite por derecha. 
 
 
 
 
 
 
Veamos un ejemplo 
Se suele trabajar con funciones definidas por partes para evaluar límites. Una función por partes es 
una función que está definida por intervalos. 
Dada la función: 
 
𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑥2 para valores de x menores a 2 y 𝑓(𝑥) 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 4 para valores de x mayores a 
2. Gráficamente se puede apreciar mejor: 
 
 
Observen que para 𝑥 = 2 la función no esta definida y se dibuja un punto blanco. 
Si nos piden evaluar el límite de 𝑓(𝑥) cuando x tiende a 2, es decir: lim
𝑥 → 2
𝑓(𝑥). Se deben evaluar 
los límites laterales, para determinar si el límite existe. 
Analicemos el límite de la función cuando x tiende a 2 por izquierda. 
lim
𝑥 → 2−
𝑓(𝑥) 
 
 
En este caso si empiezo a tomar valores de x por izquierda, la función que tengo en ese intervalo 
corresponde a 𝑓(𝑥) = 𝑥2. A medida que me voy acercando a 2 por izquierda puedo ver que los valores 
de “y” tienden al valor 4. Analíticamente lo que debemos hacer es reemplazar x = 2 en 𝑓(𝑥) 
lim
𝑥 → 2−
𝑥2 = 2 2 = 4 
La misma lógica hay que seguir para encontrar el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha. 
En esta ocasión la función que tenemos que considerar es 𝑓(𝑥) = 4, si venimos por derecha y nos 
acercamos cada vez más al 2 vemos que los valores de “y” tienden al valor 4 
lim
𝑥 → 2+
4 = 4 
Como los límites laterales son iguales, decimosque el límite de f(x) existe y es igual 4 
 
Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto 
sino a su alrededor. 
 
Límites Infinitos 
Los límites infinitos son aquellos en los que las imágenes f(x) (el valor de “y”) aumentan o disminuyen 
sin límite cuando x se aproxima (o tiende) a un valor “c”. Existen varios casos de límites infinitos. 
Veremos algunos ejemplos prácticos 
De forma general, los representamos como: 
lim
𝑥 → 𝑐
𝑓(𝑥) = ±∞ 
Veamos un ejemplo: 
Indicar si existe el siguiente límite: 
lim
𝑥 → 0
 
1
𝑥2
 
Si graficamos la función: 
 
 
 
Y si realizamos una tabla de valores donde tomamos valores por izquierda y por derecha del 0. 
 
Para que el límite exista, las imágenes (valores de y o f(x)) deben acercarse a un valor real cuando las 
x se acercan a cero. Sin embargo, en este problema, las imágenes no se acercan a ningún valor real. A 
partir de la gráfica, podemos ver que cuando los valores de x se acercan a cero (tanto por izquierda 
como por derecha), las imágenes crecen sin límite, por lo tanto, el límite de la función no existe: 
lim
𝑥 → 0
 
1
𝑥2
= 𝑁𝑂 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
Si bien el límite no existe, podemos usar la notación de límites para expresar el comportamiento de 
la función: las imágenes tienden a infinito (crecen sin límite), cuando x tiende a cero. 
lim
𝑥 → 0
 
1
𝑥2
= ∞ 
 
 
 
Eso no quiere decir que el límite exista. Es más, ese infinito es la razón de inexistencia del límite, pues 
el infinito no es un número real, y para que el límite exista, las imágenes f(x) deben acercarse a un 
número real. 
A efectos prácticos (para evitar confusiones) y dado el caso que nos encontremos con ejercicios 
como este, vamos a decir que el límite de la función es INIFINITO ya que el límite de la función 
tanto por izquierda como por derecha las imágenes de la función tienden a infinito. 
 
Supongamos que queremos encontrar el límite de esta otra función: 
lim
𝑥 → 1
 
1
𝑥 − 1
 
Gráficamente: 
 
 
Acá sucede algo parecido con el ejemplo anterior, solo que al analizar los límites laterales podemos 
ver que las imágenes crecen en direcciones opuestas a medida que nos acercamos a uno tanto por 
izquierda como por derecha. 
 
Límite lateral por izquierda: 
lim
𝑥 → 1−
 
1
𝑥 − 1
= −∞ 
Límite lateral por derecha: 
lim
𝑥 → 1+
 
1
𝑥 − 1
= +∞ 
Este análisis surge de observar el comportamiento de la función cuando nos acercamos a 1 tanto por 
izquierda como por derecha. Recuerden que infinito no es un valor real y que en este caso como en el 
anterior el límite no existe 
A efectos prácticos (para evitar confusiones) y dado el caso que nos encontremos con ejercicios 
como este, vamos a decir que el límite no existe ya que el límite de la función tanto por izquierda 
como por derecha las imágenes tienden a menos infinito y más infinito (crecen en direcciones 
opuestas, límites laterales distintos) 
 
 
Continuidad de una función 
Para que una función sea continua en 𝑥0, se tienen que cumplir tres condiciones: 
1- Debe existir el límite de la función cuando 𝑥 → 𝑥0 
2- Debe existir 𝑓(𝑥0), es decir que la función tiene que estar definida en 𝑥0 
3- Se debe cumplir que: lim
𝑥 → 𝑥0
 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥
0
) 
Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en 𝒙𝟎. 
 
Volvamos al ejemplo que vimos en un comienzo. Dada la función por partes f(x) determinar si 
tiene continuidad en x = 2. 
 
Analicemos si cumple con las 3 condiciones: 
1- El límite de la función cuando x tiende a 2 es igual a 4. Por lo tanto, el límite existe. 
lim
𝑥 → 2
 𝑓(𝑥) = 4 
 
2- Para x = 2 la función no está definida. 
Ya no hace falta seguir porque al no cumplir con la segunda condición estamos en condiciones 
de decir que la función es discontinua en x =2. 
Ejemplo 2 
Supongamos que nos dan la siguiente función: 
 
Es muy parecida a la anterior con la diferencia que para x = 2 el valor de “y” es igual a 5. 
Gráficamente se dibuja como un punto negro. 
 
Analicemos la continuidad de la función para x = 2 
 
 
1- 1- El límite de la función cuando x tiende a 2 es igual a 4. Por lo tanto, el límite existe. 
lim
𝑥 → 2
 𝑓(𝑥) = 4 
2- La función evaluada en x = 2 está definida y es igual a 5 
𝑓(2) = 5 
3- Ahora tenemos que comparar los valores obtenidos en 1 y 2 
lim
𝑥 → 2
 𝑓(𝑥) 𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑓(2) 
lim
𝑥 → 2
 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(2) 
4 ≠ 5 
Por lo que, la función presenta una discontinuidad en x = 2. Observen que las condiciones 1 y 2 se 
cumplieron, pero falló en la tercera. Que una función este definida en el punto en el que se evalúa 
el límite no asegura que la función sea continua. Se deben cumplir si o si las tres condiciones.