Apunte Analisis Cuantitativo

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1 
Asignatura: Análisis cuantitativo 
Profesora contenidista: Lic. Eliana Arcoraci y Mauricio Lacourt 
 
Unidad 4: Matrices y determinantes. 
 
 
 
4.1 La matriz como un cuadro de números. Matrices especiales 
 
MATRICES 
 
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, 
introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la 
teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 
1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una 
forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones 
lineales con n incógnitas. 
 
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma 
rectangular, formando filas y columnas. 
 
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m 
líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: 
 
 
 
 
 
 
2 
PIENSA… 
¿QUÉ ENTIENDE POR 
MATRIZ? 
Elemento de una matriz 
 
Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. 
Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la 
que pertenece. 
 
Abreviadamente la matrices suele expresarse en la forma A =( a i j ), con i =1, 2, ..., 
m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el 
primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j). Por ejemplo el 
elemento a25 será el elemento de la fila 2y columna5. 
 
 
Dimensión de una matriz 
 
El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una 
matriz de dimensión m x n es una matriz que tiene m filas y n columnas. 
 
De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 3x4 (3 filas y 4 columnas), 3x1 (3 filas y 1 
columnas), 2x4 (2 filas y 4 columnas). 
 
Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, 
etc. 
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el 
mismo lugar en ambas son iguales. 
 
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones 
lineales de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para 
el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en 
geometría, estadística, economía, informática, física, etc. 
 
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de 
programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas 
organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,... 
 
 
3 
 
TIPOS DE MATRICES 
 
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad. 
Es conveniente recordar su nombre. 
 
ATENDIENDO A LA FORMA 
 MATRIZ FILA 
Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1y por tanto es de orden 1x n. 
Ejemplo:  
31
0351
x
 
 MATRIZ COLUMNA 
Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden mx1. 
Ejemplo:
14
9
0
6
2
x












 
 MATRIZ CUADRADA 
Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos 
se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no nxn. 
 
Los elementos aij con i=j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz 
cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria. 
 
Veamos unos ejemplos de diagonal principal y secundaria. 
 
Dadas las siguientes matrices determinaremos los elementos de su diagonal principal y 
secundaria: 
 
 
4 
PIENSA… 
¿QUÉ TIPOS DE 
MATRICES CONOCE? 
 
22
48
21
x






 
33
122
3107
532
x











 
44
3142
2583
1970
0254
x















 
Diagonal principal: -1 y 4. Diagonal principal: 2,10 y 1. Diagonal principal: -4,7,5 y -3. 
Diagonal secundaria: 2 y 8. Diagonal secundaria: 5,10 y -2. Diagonal secundaria:0,-9,8 y -2. 
 
1) MATRIZ TRASPUESTA 
Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene 
cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At, la segunda fila de A 
es la segunda columna de A
t
, etc. 
 
De la definición se deduce que si A es de orden mx n, entonces At es de orden nx m. 
 
Ejemplo: Si 
32
23
8
5
2
3
0
1
8
2
0
5
3
1
x
t
x
AA 
















 
 
 MATRIZ SIMÉTRICA 
Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji" para todo i,j con i,j= 
1,2,3..,n. 
 
Ejemplo: 
2222
11
12
11
12
x
t
x
AA 













 
 
 
 
 
 
5 
 MATRIZ ANTISIMÉTRICA 
Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = – aji" para todo i,j con 
i,j= 1,2,3..,n. 
Ejemplo: 
2222
03
30
03
30
x
t
x
AA 











 
 
 
ATENDIENDO A LOS ELEMENTOS 
 MATRIZ NULA 
Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0. 
 
Ejemplos:
22
00
00
x
A 






33
000
000
000
x
B











44
0000
0000
0000
0000
x
C












 
 
 MATRIZ DIAGONAL 
Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal 
son nulos. 
 
Ejemplos: 
22
02
30
x
A 






33
032
204
120
x
B













44
0642
1067
4202
5310
x
C














 
 
 
 MATRIZ ESCALAR 
Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales. 
 
 
6 
 
Ejemplos: 
22
20
02
x
A 






33
700
070
007
x
B











44
3000
0300
0030
0003
x
C
















 
 
 MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD 
Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. 
 
Ejemplos:
22
10
01
x
A 






33
100
010
001
x
B










 
44
1000
0100
0010
0001
x
C












 
 
 MATRIZ TRIANGULAR 
Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la 
diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: 
1. TRIANGULAR SUPERIOR 
Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. 
Es decir, aij = 0 " i < j. 
Ejemplos: 
22
20
31
x
A 






33
100
120
531
x
B












44
2000
7100
6530
1422
x
C













 
2. TRIANGULAR INFERIOR 
Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. 
es decir, aij =0 " j < i. 
 
 
7 
 
Ejemplos: 
22
52
02
x
A 






33
285
011
003
x
B













44
27012
0423
0056
0002
x
C














 
 
 
4.2 Operaciones con matrices 
 
4.2.1 TRASPOSICIÓN DE MATRICES 
 
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se 
representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) 
en la matriz A. Es decir: 
 


























nmnn
m
m
t
mxnmnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
...
....
....
...
...
....
....
...
21
21312
12111
21
22121
11211

 
 
 
PROPIEDADES DE LA TRASPOSICIÓN DE MATRICES 
 
1) Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 
2) (At)t = A. 
 
 
 
 
 
 
 
8 
4.2.2 SUMA Y RESTA DE MATRICES 
 
La suma de dos matrices A= (aij), B= (bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de 
la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij= aij + bij. Por tanto, para 
poder sumar dos matrices estas han de
tener la misma dimensión. 
 
La suma de las matrices A y B se denota por A+B. 
 
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 
 
1) A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 
 
2) A + B = B + A (propiedad conmutativa) 
 
3) A + 0 = A (0 es la matriz nula) 
 
4) La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos deA, recibe el 
nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0. 
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como:A–B = A + (–B) 
 
4.2.3 PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO 
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la 
misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, 
es decir, bij= k·aij. 
 
El producto de la matriz A por el número real k se designa por kA. Al número real k se le 
llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices. 
 
 
 
9 
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR 
1) k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª) 
2) (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª) 
3) k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta) 
4) 1·A = A (elemento unidad) 
 
4.2.4 PRODUCTO DE MATRICES 
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen 
multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P 
son de la forma: 
 
 
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es 
más, si A tiene dimensión mxn y B dimensión nxp, la matriz P será de orden mxp. Es decir: 
 
P m x p = Am x n x B n x p 
nxpmxnmxp baP  
 
 
 
 
Ejemplo. 
Dadas las matrices: 
A B P
 
 
10 
32
23
2
7
0
4
1
1
3
5
1
3
1
2
x
x
BA 

















 
 
 



























27120
1744
1283
2.37.30.34.3)1.(31.3
2.57.10.54.1).1.(51.1
2.17).2(0.14).2()1.(11.2
33x
AxB 
 
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES 
1) A·(B·C) = (A·B)·C 
 
2) El producto de matrices en general no es conmutativo. 
 Ejemplo : 
2222
21
31
43
21
xx
BA 












 
 
2222
151
71
2.43.3)1.(41.3
2.23.1)1.(21.1
xx
AxBAxB 















 
 
 
2222
65
1410
4.22).1(3.21).1(
4.32.13.31.1
xx
BxABxA 













 
 
3) Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que: 
A·B = B·A = In. 
Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1 
. 
4) El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: 
A·(B + C) = A·B + A·C 
 
 
 
 
11 
PIENSA… 
¿QUÉ PROPIEDADES OBSERVA 
EN LAS OPERACIONES CON 
MATRICES? 
CONSECUENCIAS DE LAS PROPIEDADES 
1) Si A·B= 0 no implica que A= 0 ó B= 0. 
 
Ejemplo: 
222222
00
00
00
10
00
01
xxx
AxBBA 

















 
 
2) Si A·B=A·C no implica que B = C. 
 
Ejemplo: 
2222
2222
222222
00
00
00
00
2.00.03.00.0
0.00.13.00.1
0.00.01.00.0
0.00.11.00.1
23
00
01
00
00
01
xx
xx
xxx
AxCAxB
AxCAxB
CBA

















































 
 
 
3) En general (A+B)2 = A2 + B2 +2AB. 
 
4) En general (A+B) · (A–B) = A2– B2, ya que A·B = 
B·A