L y C

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Capítulo II 
 
LÍMITE 
Y 
 CONTINUIDAD DE UNA 
FUNCIÓN REAL 
DE 
VARIABLE REAL 
 
 
 
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Función
Función Real de 
Variable Real
PRE-CÁLCULO
LÍMITE CONTINUIDAD
Cálculo
Diferencial Integral 
Caso Particular: 
Sucesiones Infinitas 
de Números Reales
Series Infinitas 
de Números Reales
Función Real de Dos 
Variables Reales
Generalidades
Introducción al 
Cálculo Diferencial 
 
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CONTENIDO 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 1.1 Presentación del Tema 
 1.2 Objetivos 
 1.3 Conceptos Previos 
 1.3.1 Entorno Simétrico de un punto 
 1.3.2 Entorno Simétrico Reducido de un punto 
 1.3.3 Punto de Acumulación de un conjunto 
1.4 Terminología específica y Notación 
 1.4.1 “Tiende” 
 1.4.2 “Muy grande” y “Muy pequeño” 
2. LIMITE DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL 
 2.1 Aproximación gráfica y numérica del concepto de límite 
 2.2 Definición intuitiva de límite de una función 
 2.3 Existencia del límite 
 2.4 Límites laterales 
2.4.1 Introducción 
2.4.2 Definiciones 
2.4.3 Teorema 
 2.5 Cálculo de límites 
 2.6 Teoremas 
2.7 Límite Fundamental “e” 
2.8 Extensión del concepto de límite 
2.8.1 Introducción 
2.8.2 Definiciones 
i) Límites Infinitos 
ii) Límites cuando la Variable Independiente tiende a Infinito 
iii) Límites Infinitos cuando la Variable tiende a Infinito 
2.8.3 Aplicación 1: Asíntotas 
i) Introducción 
ii) Definición 
iii) Tipos y Ecuaciones 
2.8.4 Aplicación 2: Límite Fundamental “e” (forma alternativa) 
 
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3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL 
 3.1 Noción Gráfica 
3.2 Función continua en un punto 
3.2.1 Definición 
3.2.2 Definición alternativa 
3.2.3 Discontinuidad- Tipos 
 i) Discontinuidad evitable 
 ii) Discontinuidad esencial o no evitable 
3.2.4 Continuidad lateral 
 i) Continuidad por derecha 
 ii) Continuidad por izquierda 
 3.3 Función continua en un intervalo 
 3.3.1 Definiciones 
 3.3.2 Propiedades de una función continua en un intervalo cerrado 
i) Teorema de Weistrass 
ii) Teorema del Bolzano 
iii) Teorema del Valor Intermedio 
4. APLICACIONES 
 
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RESENTACIÓN DEL TEMA 
 
 
1.1 PRESENTACIÓN DEL TEMA 
Existen numerosas definiciones de lo que es el Cálculo (Infinitesimal): 
a) Una de ellas, y aludiendo al origen latino de la palabra (Calculus), lo indica como un método sistemático para 
contar o computar. 
b) Otra, lo define como la rama de la Matemática que se ocupa del manejo y las aplicaciones de entidades 
matemáticas denominadas derivadas e integrales. 
c) Otra, que acepta al Cálculo como una de las tres áreas en que se divide la Matemática (siendo las restantes 
el Algebra y la Geometría Analítica), lo indica como el estudio de las cantidades en cambio. 
d) Otra, menciona al Cálculo como el tratamiento de los procesos infinitos (derivación, integración, suma de 
series, entre otros). 
Sin embargo, la definición más divulgada es la de Cálculo como parte de la Matemática que se ocupa del estudio 
de los límites. 
Es tal la importancia que reviste el tema de límites de una función que la Escuela Rusa Contemporánea de 
Matemática estableció la división de esta Ciencia de la siguiente manera: 
 
 
 
MATEMÁTICA SUPERIOR, donde se 
 utiliza la idea de limite 
 
 MATEMATICA ELEMENTAL, donde no se 
aplica la idea de límite 
 
 
 
La historia del Cálculo transitó más de veinte siglos de construcción de conocimientos. En unos registró 
momentos de intensa actividad, en otros de quietud y en otros tantos de total confusión. Si bien sus bases fueron 
establecidas a fines del siglo XVII, sus fundamentos rigurosos permanecieron en estado de confusión y desorden 
hasta que Agustín-Louis Cauchy logró afirmarlos, a principios del siglo XIX (año 1.821), sobre la precisa y clara 
definición del concepto de límite. El orden en que actualmente estudiamos el Cálculo: funciones, límite y 
 
1. INTRODUCCIÓN 
MATEMÁTICA 
 
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continuidad, derivada e integrales, de ninguna manera se condice con la génesis histórica de esta poderosa 
herramienta, que como la definió P.A.M. Dirac es la "adecuada para tratar con conceptos abstractos de cualquier 
naturaleza". 
 
1.2 OBJETIVOS 
✓ Presentar el concepto de límite desde su concepción intuitiva, para estudiar el comportamiento de una 
función real de una variable real en las proximidades de un punto. 
✓ Establecer y justificar reglas prácticas para calcular límites de funciones diversas. 
✓ Aplicar el concepto de límite para definir elementos geométricos que acompañan a la representación 
cartesiana de una función real de una variable real: las asíntotas. 
✓ Definir el número irracional “e” (número de Euler o constante de Napier) a partir del cálculo de un límite 
funcional. 
✓ Estudiar la continuidad de las funciones reales en un punto y en un conjunto arbitrario. 
✓ Vincular los conceptos de límite y continuidad. 
✓ Caracterizar a la gráfica cartesiana de una función continua. 
✓ Aplicar los conceptos de límite y continuidad en el estudio del comportamiento de funciones de uso 
corriente en el ámbito de las Ciencias Económicas. 
 
1.3 CONCEPTOS PREVIOS 
1.3.1 Entorno Simétrico de un Punto (ya abordado al definir los Extremos Relativos de una función real de 
variable real; lo recordamos): 
Un entorno simétrico del punto xo es un intervalo abierto, que contiene a xo y en el cual xo es su punto medio. 
En símbolos: 
E(xo,)= (xo -,xo +) con xo R   >o 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 xo x 
 
 
   
 
E(xo,) 
 
 
 
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1.3.2 Entorno Simétrico Reducido de un punto 
Un entorno simétrico reducido de un punto xo es un entorno simétrico de xo en el cual se excluye a dicho 
punto. 
 
En símbolos: 
E*(xo,)= E (xo , ) - xo = (xo -,xo +) - xo 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 xo x 
 
 
   
 
 
E*(xo,) 
 
1.3.3 Punto de Acumulación de un conjunto 
El punto xo es un Punto de Acumulación de un Conjunto A  R (PAC) si todo entorno simétrico reducido de xo 
intersectado con A es distinto del conjunto vacío. 
O sea: 
xo es un PAC de A   E*(xo,) es tal que E*(xo,)  A   
 
 
1.4 TERMINOLOGÍA ESPECÍFICA Y NOTACIÓN 
 
1.4.1 “Tiende” 
 
Consideremos un entorno simétrico reducido del punto xo de radio : E*(xo,): 
 
 
 
 
 
  xo  
 
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* Supongamos que el punto “x” se ubica a la derecha de xo y se mueve hacia xo: 
 
 x 
 
 
 
 
  xo  
En este caso diremos que: “x tiende a xo por la derecha” y lo notaremos por: “x→ xo
+ ”. 
* Ubiquemos ahora el punto “x” a la izquierda de xo y moviéndose hacia éste: 
 
 x 
 
 
 
 
  xo  
Entonces indicaremos que: “x tiende a xo por la izquierda” y lo notaremos por: “x→ xo
- ”. 
* Si no se indica la ubicación de “x” y el sentido en el que se mueve, diremos simplemente que: 
“x tiende a xo” 
y lo notaremos por: 
“x→ xo “ 
1.4.2 “Muy grande” y “Muy pequeño” 
* Si un número real “x” es “muy grande”, usaremos las notaciones x → + o bien x>>1. 
* Si un número real “x” es “muy pequeño”, usaremos las notaciones x → - o bien x<<1. 
 
 
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2.1 APROXIMACIÓN GRÁFICA Y NUMÉRICA DEL CONCEPTO DE LÍMITE 
Antes de establecer la definición intuitiva del límite de una función, consideremos las siguientes situaciones; 
ellas nos darán una primera aproximación dicho concepto. 
Situación 1: 
Sea “f” una función definida de la siguiente forma: 
f: R →R 
 x → y=f(x) = x +1 
donde algunos de los valores pertenecientes al dominio de la misma están indicados en la tabla: 
 
x 1 1,5 1,75 2 2,25 2,5 3 
y=f(x) 2 2,5 2,75 3 3,25 3,5 4 
 
Enfoquemos nuestra atención en el valor xo=2 y en los valores de la variable independiente cercanos a xo=2 
[valores pertenecientes al entorno simétrico reducido E*(xo=2,=1)]. Observamos que: 
* Para xo=2 es f(2)=3. 
* Para todo x  E*(xo=2, =1) y que toma valores cada vez más cercanos a xo=2, sin importar si x se aproxima 
por izquierda (x= 1; 1,5; 1,75) o por derecha (x= 3; 2,5; 2,25), entonces, los correspondientes valores de la 
función f(x) se vuelven cada vez más cercanos a 3. 
 
Estas deducciones pueden ser corroboradas al considerar la gráfica cartesiana de f: 
 
 
2. LIMITE DE UNA FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL 
 
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 y 
 y=f(x) 
 
 4 
 
 3 
 
 
 2 
 
 
 1 
 
 
 O 1 2 3 x 
 E*(xo=2,=1) 
 
Luego es posible afirmar que cuando x tiende a 2, f(x) tiende a 3, lo cual indicamos: 
x → 2  f(x) → 3 x  E*(xo=2,=1) 
 
Luego, el número 3 es el límite de la función “f” cuando la variable independiente x tiende a 2, o sea: 
 lim f(x) = 3 
 x→2 
Nota: En este caso el valor de la función “f” en 2 coincide con el valor del límite de la función cuando la variable 
independiente tiende a 2: 
 f(2) = lim f(x) = 3 
 x → 2 
Situación 2: 
Sea “f” una función definida de la siguiente forma: 
 
f: R → R x +1 si x  2 
 x → y=f(x) = 
 5 si x = 2 
 
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Esta función es idéntica a la definida en la Situación 1, salvo en xo = 2. 
Algunos de los valores del dominio están indicados en la siguiente tabla: 
 
x 1 1,5 1,75 1,99 2 2,01 2,25 2,5 3 
y=f(x) 2 2,5 2,75 2,99 5 3,01 3,25 3,5 4 
Nuevamente centremos nuestra atención en xO=2 y en puntos próximos a 2 [valores pertenecientes al entorno 
simétrico reducido E*(xo=2,=1)]. Observamos que: 
* Para xo=2 es f(2)=5 
* Para todo x  E*(xo=2,=1) y que toma valores cada vez más cercanos a xo=2, sin importar si x se aproxima 
por izquierda (x= 1; 1,5; 1,75; 1,99) o por derecha (x= 3; 2,5; 2,25; 2,01), entonces, los correspondientes valores 
de la función f(x) se vuelven cada vez más cercanos a 3. 
Estas deducciones pueden ser corroboradas al considerar la gráfica cartesiana de “f”: 
 
 5 y=f(x) 
 
 4 
 
 3 
 
 
 2 
 
 
 1 
 
 
 O 1 2 3 x 
 E*(xo=2,=1) 
 
Luego es posible afirmar que cuando x tiende a 2, f(x) tiende a 3, lo cual indicamos: 
x→ 2  f(x) →3 x  E*(xo=2,=1) 
 
 
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Es entonces 3 el límite de la función cuando la variable independiente tiende a 2, o sea: 
lim f(x) = 3 
x→2 
Nota: En este caso el valor de la función “f” en 2 no coincide con el valor del límite de la función cuando la 
variable independiente tiende a 2: 
 f(2) = 5  lim f(x) = 3 
 x → 2 
 
Situación 3: 
Sea “f” una función definida de la siguiente forma: 
 
f: R - 2 → R 
 x → y=f(x) = (x2- x -2) / (x-2) 
Esta función difiere de las anteriores tanto en su dominio natural como en su expresión analítica. 
Algunos de los valores de su dominio están indicados en la siguiente tabla: 
 
x 1 1,5 1,75 1,99 2 2,01 2,25 2,5 3 
y=f(x) 2 2,5 2,75 2,99  3,01 3,25 3,5 4 
 
Por última vez, analicemos que sucede con la función en xo=2 y en puntos próximos al mismo [valores 
pertenecientes al entorno simétrico reducido E*(xo=2,=1)]. Observamos que: 
* La función en xo=2 no está definida, por lo tanto  f(2). 
 
* Para todo x  E*(xo=2,=1) y que toma valores cada vez más cercanos a xo=2, sin importar si x se aproxima 
por izquierda(x= 1; 1,5; 1,75; 1,99) o por derecha (x= 3; 2,5; 2,25; 2,01), entonces los correspondientes valores 
de la función f(x) se vuelven cada vez más cercanos a 3. 
Estas deducciones pueden ser corroboradas al considerar la gráfica cartesiana de “f”: 
 
 
 
 
 
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 y 
 y=f(x) 
 
 4 
 
 3 
 
 
 2 
 
 
 1 
 
 
 O 1 2 3 x 
 E*(xo=2,=1) 
 
Luego es posible afirmar que cuando x tiende a 2 entonces f(x) tiende a 3, lo cual indicamos: 
x →2  f(x) →3 x  E*(xo=2,=1) 
Es entonces 3 el límite de la función cuando la variable independiente tiende a 2, o sea: 
lim f(x) = 3 
x →2 
Nota: En este caso no es posible realizar una comparación entre el valor de la función “f” en 2 y el valor del 
límite, ya que el primero no existe: 
  f(2) ; lim f(x) = 3 
 x → 2 
El análisis comparativo de las tres Situaciones planteadas permite realizar las siguientes observaciones: 
* El comportamiento de las funciones en xo=2 es diferente en cada una de ellas. 
Situación 1: para xo=2  Af  f(2)=3 
Situación 2: para xo=2  Af  f(2)=5 
Situación 3: para xo=2  Af  f(2) 
 
 
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Sin embargo, y a pesar de ello, fue posible en los tres casos determinar el valor al cual se acerca la función “f” 
cuando la variable independiente tiende a 2. 
Conclusión: para determinar el límite de una función cuando la variable independiente tiende a un cierto 
punto INTERESA estudiar que sucede en las cercanías del punto en cuestión (en un entorno simétrico reducido 
del punto), y NO lo que sucede en el punto mismo. 
* El comportamiento de las funciones consideradas en puntos x "cercanos" a xO=2 , [x  E*(xo=2,=1)] ( a su 
izquierda x<2 o a su derecha x>2) es similar en las tres situaciones planteadas, o sea, para valores de la variable 
independiente x del dominio de las funciones próximos a xo=2, los correspondientes valores de la variable 
dependiente están próximos a 3. ¿Qué nombre recibe 3? 
El valor 3 es el límite de la función “f” cuando x tiende a 2. 
En símbolos: 
 x→2  f(x)→3 x  E*(xo=2,=1) 
o bien: 
 lim f(x) = 3 para cualquiera de 
 x→2 las funciones “f” defi- 
 nidas en la distintas 
 situaciones 
* En las tres situaciones, para determinar numéricamente o gráficamente el valor del límite cuando la variable 
independiente x se acerca a un determinado punto xo, se han considerado valores de la misma que están dentro 
en un entorno simétrico reducido de xo y que pertenecen al dominio de la función, que son tanto menores como 
mayores que él. Luego, cuando el límite existe, su valor es independiente del sentido en que la variable 
independiente x se aproxime al punto en cuestión, ya sea lo haga por la izquierda o por la derecha. 
2.2 DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 
Sea “f” una función definida de la siguiente manera: 
 f: A  R → R 
 x→ y=f(x) 
Supongamos que xo un PAC (Punto de Acumulación) del dominio A de la función. 
El valor real y finito L es el límite de la función “f” cuando x tiende al valor xo y escribimos: 
L = lim f(x) 
 x→xo 
si: 
 x  A, x  E* (xo , )  x→xo  f(x) → L 
 
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Coloquialmente: 
El límite L es un número ubicado en el eje de las ordenadas OY al cual se “acercan arbitrariamente” los valores 
f(x) cuando, sobre el eje de las abscisas OX, los valores x del dominio de la función y perteneciente a un 
entorno reducido de un punto xo (perteneciente o no al dominio de la función pero PAC del dominio), se 
“acercan” al mismo, sin coincidir con él. 
Tal cual te lo mencionamos en el planteo inicial del tema, te reiteramos que: el límite describe el 
comportamiento de una función cerca de un punto particular xo y no en el mismo punto xo. 
 
2.3 EXISTENCIA DEL LÍMITE 
Nos preguntamos, ¿existe siempre el límite de una función “f” cuando la variable independiente x tiende a un 
punto xo? 
Para responder a esta pregunta, consideremos previamente las gráficas cartesianas de las dos funciones 
siguientes “f” y “g”: 
 
 y y=f(x) y y=g(x) 
 
 
 L2 
 
 L1 
 
 
 O xo x O xo 
 E*(xo,) E*(xo,) 
 
y analicemos que sucede para ambas funciones cuando la variable independiente tiende al punto xo. 
 
 Para la función “f”: 
*Cuando x  E*(xo,) se aproxima a xo por la izquierda (x< xo) entonces f(x) se acerca a L1. 
*Cuando x E*(xo,) se aproxima a xo por la derecha (x> xo ) entonces f(x) se acerca a L2 . 
 
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Como L1 L2 , no existe un valor único que cumpla con la definición de límite. Luego decimos que no existe el 
límite de “f” cuando x tiende a xo y lo expresamos de la siguiente forma: 
 lim f(x) 
 x→xo 
 Para la función “g”: 
*Cuando x E*(xo,) se aproxima a xo tanto por izquierda (x<xo ) como por derecha (x> xo ) entonces f(x) crece sin 
límite y no tiende a ningún número (finito). 
Luego decimos que no existe el límite de “g” cuando x tiende a xo y lo expresamos de la siguiente forma: 
 lim g(x) 
 x→xo 
Finalmente, y dando respuesta al interrogante planteado, podemos decir que no siempre existe el límite de una 
función cuando la variable independiente tiende a un determinado valor. 
EJEMPLOS 
En los siguientes ejemplos, probar que no existe el límite de la función indicada, cuando x tiende a xo. 
Ejemplo 1 
Sea “f” una función definida por: 
f: R → R x2 si x<0 
 x → y = f(x) = y xo = 0 
 x2 + 1 si x0 
Utilicemos la representación gráfica de la función para ver el comportamiento de la misma en puntos x próximos 
a xo = 0: 
 y 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 1 
 
 
 O x 
 E*(xo=0,) 
 
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Para x → 0- (x<0)  f(x) → 0 
 
 x → 0+ (x>0)  f(x) → 1 
 
Luego: 
 lim f(x) 
 x → 0 
Ejemplo 2 
Sea “f” una función definida por: 
f: R- 0→ R 
 x → y = f(x) = 1/x y xo = 0 
Utilicemos ahora una tabla de valores para ver el comportamiento de la misma en puntos x próximos a xo =0. 
x (x<0) y=1/x x (x>0) y=1/x 
-2 -0,5 2 0,5 
-1 -1 1 1 
-0,5 -2 0,5 2 
-0,25 -4 0,25 4 
-0,001 -1000 0,001 1000 
x→0- f(x) → -  x → 0+ f(x)→ + 
 
Para x → 0- (x<0)  f(x) → - 
 
 x → 0+ (x>0)  f(x) → + 
 
Luego: 
 lim f(x) 
 x→0 
 
2.4 LIMITES LATERALES 
2.4.1 Introducción 
 
 
 
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La definición intuitiva dada de límite de una función cuando la variable independiente tiende a xo no menciona 
en qué sentido x se acerca a xo. Por otra parte, surge del estudio hecho hasta ahora que, el valor hacia el cual 
debe tender la función ya sea que x se aproxime a xo por izquierda o por derecha, debe ser único. 
Al respecto y vinculado con la determinación del valor del límite, se pueden presentar dos cuestiones a analizar: 
✓ La primera relacionada con la imposibilidad de calcular el límite para valores de la variable independiente 
tendiendo a xo en uno de los sentidos, sea por izquierda o sea por derecha. El motivo puede ser la definición 
misma de la función. 
EJEMPLO 
Para la función “f” definida por la expresión analítica: 
 y= f(x)=  x - 3 
y cuyo dominio es el intervalo [3, +) sería imposible calcular el límite de la misma para valores de x tendiendo 
a 3, cuando x se acerca a 3 por la izquierda (x<3). Esto se produce pues f no existe para valores menores que 3. 
Sin embargo si tiene sentido hablar del límite de la función f cuando x tiende a 3 y dicha aproximación se produce 
por la derecha (x>3). Gráficamente: 
 
 y y= f(x)=  x - 3 
 
 
 
 
 
 
 O 3 x 
 
 E*(xo=3,) 
 
En este caso: 
 x → 3+  f(x) → 0 
 
✓ La segunda, también debida a la forma de definición de la función, es cuando tenemos una expresión analítica 
válida para valores menores que xo y otra expresión analítica para valores mayores que xo . 
 
 
 
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EJEMPLO 
Sea la función “f” definida por la expresión analítica: 
 f: R → R x +1 si x 2 
 x → y = f(x)= 
 (x-2)2 + 3 si x>2 
 
Para ella calculemos el siguiente límite: 
 lim f(x) 
 x→2 
 Expresión válida para los valores menores o iguales a 2 
utilizando una tabla de valores: 
 Expresión válida para los valores mayores a 2 
 
x (x<2) y=x +1 x (x>2) y=(x-2)2+ 3 
1 2 3 ….... 
1,5 2,5 2,5 ….... 
1,75 2,75 2,25 ….... 
1,90 2,90 2,10 ….... 
1,99 2,99 2,01 ….... 
 x → 2 - f(x) → 3 x→ 2 + f(x) → 3 
 ¿Puedes completar la tabla? 
Finalmente, cuando x tiende a 2 tanto por izquierda como por derecha entonces f(x) tiende a 3. Luego, el límite 
propuesto es: 
 lim f(x) = 3 
 x→2 
Síntesis: Las dos cuestiones planteadas nos han llevado a tener que analizar el comportamiento de la función 
cuando a x le damos valores suficientemente próximos a un determinado punto xo…: 
- …, en el primer caso, SOLAMENTE A DERECHA. 
- …, en el segundo caso, POR AMBOS LADOS, PERO UTILIZANDO DIFERENTES EXPRESIONES 
ANALÍTICAS. 
Surge entonces la necesidad de plantear el concepto de límite relacionado con la forma en la cual x se acerca a 
xo, ya sea por izquierda (x< xo) o por derecha (x> xo). Estos se denominan Límites Laterales. 
 
 
 
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2.4.2 Definiciones 
 El número L- es el límite por la izquierda de la función “f” cuando x se acerca a xo y escribimos: 
 lim f(x) = L- 
 x → xo - 
si: 
 x  A (dominio de f), x  E* (xo , ), x < xo  x→xo  f(x) → L- 
 El número L + es el límite por la derecha de la función “f” cuando x se acerca a xo y escribimos: 
 lim f(x) = L+ 
 x → xo+ 
si: 
  x  A (dominio de f), x  E* (xo , ), x > xo  x→xo  f(x) → L+ 
 
Lógicamente para que exista el límite de “f” cuando x tiende a xo , los límites laterales deben ser iguales al mismo 
valor (finito), o sea L+= L-= L. Se desprende de esto la siguiente afirmación: 
2.4.3 Teorema 
lim f(x) = L  lim f(x) = lim f(x) = L L: número finito 
 x→xo x→xo- x→xo+ 
“Si existe y es finito el límite L de una función “f” cuando x tiene a xo, entonces existen los límites laterales 
que son iguales a L, y recíprocamente”. 
 
2.5 CALCULO DE LÍMITES 
Hasta ahora hemos podido determinar valor del límite de una función aplicando dos procedimientos diferentes; 
ellos son: 
a) Método gráfico (dibujando la gráfica cartesiana de la función en un sistema de coordenadas 
cartesianas). 
b) Método numérico (utilizando una tabla de valores de la función). 
Ambos son métodos que permiten determinar el límite de una función, en forma aproximada, 
Sin embargo, existe un tercer método para obtener, esta vez de manera exacta, el límite de una función. Se 
denomina: Método analítico, Sustitución directa, Regla práctica para calcular un límite funcional o 
simplemente Paso al límite. 
 
 
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Su enunciado es el siguiente: 
 
Para calcular: 
lim f(x) 
 x→ xo 
 se debe reemplazar en f(x), la variable x por el valor de xo, o sea: 
lim f(x) = f(xo) 
 x→ xo 
 
Nota: Este método analítico/de sustitución directa/regla práctica/paso al límite quedará perfectamente 
justificado cuando se enuncien las Propiedades de las cuales gozan los límites. 
EJEMPLOS 
Calcular los siguientes límites, si existen. 
1. lim (x3 + 2x - 1) 2. lim x -5 
 x →2 x→1 x + 5 
Para 1.: 
lim (x3 + 2x - 1) = 23 + 2.2 - 1= 11 
x → 2 
   Se aplica el paso al límite, o sea, 
 se reemplaza x por el valor 2. 
Luego cuando x tiende a 2, f(x) tiende a 11. El valor del límite es 11. 
Para 2.: 
lim x -5 = 1 - 5 = -(4/6) = -(2/3) 
x →1 x + 5 1 + 5 
  Se aplica el paso al límite, o sea, 
 se reemplaza x por el valor 1. 
Luego cuando x tiende a 1, f(x) tiende a -(2/3). El valor del límite es -(2/3). 
 
 
 
 
 
 
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2.6 TEOREMAS 
Los límites gozan de ciertas propiedades cuyo conocimiento facilita el cálculo analítico de los mismos;éstas se 
enuncian bajo el nombre de Teoremas. También, bajo ese mismo nombre, se cita la afirmación sobre el valor 
único de un límite (unicidad del límite). 
TEOREMA : Leyes de los límites para funciones elementales 
a) Límite de la función constante: y=f(x) = k x  R  k  R 
lim k = k 
 x→ xo 
b) Límite de la función identidad: y= f(x) = x x  R 
lim x = xo 
 x→xo 
 
TEOREMA : Leyes algebraicas de los límites 
Supongamos que existen los límites de las funciones “f” y “g” cuando la variable independiente tiende a xo: 
 lim f(x) = L1  lim g(x) = L2 
 x→xo x→xo 
y sea la constante k  R: 
Entonces valen las siguientes igualdades: 
a) Límite del producto de una constante por una función 
 lim k f(x) = k lim f(x) = k L1 
 x→xo x→xo 
b) Límite de la suma de dos funciones 
 lim [ f(x) + g(x) ] = lim f(x) + lim g(x) = L1 + L2 
 x→xo x→xo x→xo 
Nota: Este resultado se extiende a la suma de un número finito de funciones, siempre que cada una de ellas 
admita un valor de límite. 
c) Límite de la diferencia de dos funciones 
 lim [ f(x) - g(x) ] = lim f(x) - lim g(x) = L1 - L2 
 x→xo x→xo x→xo 
 
 
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Nota: Si en lugar de tener una suma ó una diferencia de funciones, se desea determinar el límite de una suma 
algebraica de funciones (combinación de sumas y restas), entonces dicho límite será la suma algebraica de los 
correspondientes límites, supuestos existentes. 
d) Límite del producto de dos funciones 
 lim [ f(x) . g(x) ] = lim f(x) . lim g(x) = L1 . L2 
 x→xo x→xo x→xo 
Nota: Este resultado se extiende al producto de un número finito de funciones, siempre que cada una de ellas 
admita un valor de límite. 
e) Límite del cociente de dos funciones 
 lim [ f(x) / g(x) ] = lim f(x) / lim g(x) = L1 / L2 si L2 0 
 x→xo x→xo x→xo 
f) Límite de la función potencia 
 
Si lim f(x) = L 
x→xo 
 
  lim [ f(x) ] n = [ lim f(x) ] n = L n 
 x→xo x→xo 
 n  Z+ 
 
g) Límite de la función raíz n-esima par 
Si lim f(x) = L  0 
x→xo 
 
  lim [ f(x) ] 1/n = [ lim f(x) ] 1/n = L 1/n 
 x →xo x→xo 
 n  Z+  n par 
 
 
 
 
 
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h) Límite de la función raíz n-esima impar 
Si lim f(x) = L 
x→xo 
 
  lim [ f(x) ] 1/n = [ lim f(x) ] 1/n = L 1/n 
 x →xo x→xo 
 n  Z+  n impar 
 
TEOREMA : Leyes de los límites para funciones trascendentes 
a) Límite de la función logaritmo en base “a” 
Si lim f(x) = L > 0  lim [loga f(x)] = loga [ lim f(x)] = loga L 
 x→ xo x→ xo x→ xo 
 
b) Límite de la función logaritmo en base “e” 
Si lim f(x) = L > 0  lim [ln f(x)] = ln [ lim f(x)] = ln L 
 x→ xo x→ xo x→ xo 
 
c) Límite de la función potencial-exponencial 
 
Si lim f(x) = L1 
x→xo 
  lim [ f(x) g(x) ] = [ lim f(x)] lim g(x) = L1L2 
x→xo x→xo 
lim g(x) = L2 
x→xo 
 
 
TEOREMA ④: Unicidad del límite 
Si una función tiene límite, este límite es UNICO. 
 
 
 
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EJEMPLOS 
Calcular los siguientes límites utilizando las herramientas proporcionadas por los Teoremas  y . 
1. lim ( x3 - 6x2 +5x - 8) = lim x3 - lim 6x2 + lim 5x - lim 8 = 
 x→1 x→1 x→1 x→1 x→1 
 
 = lim x3 - 6 lim x2 + 5 lim x - lim 8 = 
 x→1 x→1 x→1 x→1 
 
 = (lim x)3 - 6 (lim x)2 + 5 lim x - lim 8 = 
 x→1 x→1 x→1 x→1 
 
 = (1)3 - 6 (1)2 + 5. 1 - 8 = - 8 
 
 ¿Puedes identificar qué Teoremas aplicamos en cada paso? 
Observación: la aplicación del método analítico/de sustitución directa/regla práctica/paso al límite nos habría 
conducido, en forma inmediata a este resultado: 
lim ( x3 - 6x2 +5x – 8) = 13 - 6. 12 + 5. 1 - 8 = - 8 
x→1 
Luego, la aplicación del paso al límite ESTA JUSTIFICADO por los Teoremas. 
 
2. lim x - 9 = lim ( x - 9) / lim (3x) = 
 x→2 3 x x→2 x→2 
 = [ lim x - lim 9 ] / lim (3x) = 
 x→2 x→2 x→2 
 = [ lim x - lim 9 ] / [3 lim x] = 
 x→2 x→2 x→2 
 = ( 2 - 9 ) / (3. 2) = -7/ 6 
 
¿Puedes identificar qué Teoremas aplicamos en cada paso? 
Observación: la aplicación del método analítico/de sustitución directa/regla práctica/paso al límite nos habría 
conducido, en forma inmediata a este resultado: 
 
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lim x - 9 = (2 - 9) / (3. 2) = -7/ 6 
x→2 3 x 
3. lim  3x +5 =  lim (3x +5) = 
 x→0 x→0 
 =  lim (3x) + lim 5 = 
 x→0 x→0 
 
=  3 lim x + lim 5 = 
 x→0 x→0 
 
=  3. 0 + 5 =  5 
¿Puedes identificar qué Teoremas aplicamos en cada paso? 
Observación: la aplicación del método analítico/de sustitución directa/paso al límite nos habría conducido, en 
forma inmediata a este resultado: 
lim  3x +5 =  3.0 + 5 =  5 
x→0 
 
Nota: INDETERMINACIONES 
Analicemos una nueva situación que se presenta en el cálculo de límites. 
EJEMPLO 
¿Aplicamos el paso al límite para tratar de resolver el siguiente ejercicio… 
 lim (x4-3x3+5x2+8x)/ x ? 
 x→0 
Entonces: 
lim (x4-3x3+5x2+8x)/ x = (04-3.03+5.02+8.0)/ 0 = 0/0 ¿...? 
x →0 
 
Este ejemplo presenta una situación diferente a las anteriores, ya que al aplicar el paso al límite se obtiene lo 
que en Matemática denominamos una Indeterminación del tipo 0/0 (Indeterminación: expresión que carece 
 
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de sentido matemático). Al llegar a este punto y siempre con el objeto de encontrar el valor del límite se hace 
necesario “salvar la indeterminación”, esto significa que hay que “eliminarla”. Para ello, procederemos de la 
siguiente manera: una vez detectada la indeterminación, utilizaremos algún procedimiento matemático para 
“eliminarla” y posteriormente probaremos nuevamente que sucede al aplicar el paso al límite: 
 
lim (x4-3x3+5x2+8x)/ x = lim [ x (x3-3x2+5x+8) ] / x = lim[ x (x3-3x2+5x+8) ] / x = 
x →0 x→0 x→0 
 = lim (x3-3x2+5x+8) = 
 x→0 
 = 03-3.02+5.0+8 = 
 = 8 
 
Nota: ¿Es 0/0 la única indeterminación que se puede presentar al calcular un límite? No, existen en total siete 
indeterminaciones que suelen "dificultar" el cálculo de un límite. Ellas son: 
0/0, /, 0.,  - , 1 , 0, 00 
La eliminación de cada una de ellas en el cálculo de un límite requiere de procedimientos específicos los cuales 
explicaremos en el transcurso de las siguientes páginas y/o a medida que los ejemplos a resolver presenten 
alguna de estas indeterminaciones. 
Ya que hemos presentado formalmente la primera de las indeterminaciones 0/0, resumamos algunas de las 
prácticas matemáticas de que se dispone para “eliminarla”; éstas dependen de la estructura que tenga la 
función f. A continuación se mencionan dos de los casos factibles. 
 
Supongamos que deseamos calcular el siguiente límite: 
lim f(x) 
x→xo 
y al aplicar el paso al límite se presenta la indeterminación 0/0 
Esta indeterminación puede surgir si: 
a) La función en consideración f es el cociente entre dos polinomios, que tienen como raíz común a x0. 
b) La función en consideración f es un cociente que contiene expresiones irracionales. 
 
Regla a aplicar para salvar la indeterminación en el caso a): En este caso, para salvar la indeterminación, se debe 
factorear numerador y denominador de la fracción, con el objeto de simplificar el factor que produce la 
indeterminación o sea el factor (x - x0). 
 
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EJEMPLO 
lim (x2 - 1) / (x -1) = 0/0 ( al aplicar el paso al límite) 
x→1 
Luego, debemos eliminar la indeterminación: 
 
lim (x2 - 1) / (x -1) = lim [ (x-1) (x+1) ] / (x-1) = lim [ (x-1) (x+1) ] / (x-1)= 
x→1  x→1 x→1 
 = lim (x+1) = 
 x→1 
 = 1 + 1 = 2 
 
Se factorea el numerador (Diferencia de cuadrados) 
 
Regla a aplicar para salvar la indeterminación en el caso b) 
En este caso, para salvar la indeterminación, se debe multiplicar y dividir la fracción por el conjugado de la 
expresión irracional. 
EJEMPLO 
lim (x - 1) / (x -1) = 0/0 ( al aplicar el paso al límite) 
x→1 
 
Luego, debemos eliminar la indeterminación: 
 
 
lim (x - 1) / (x -1) = lim (x - 1) (x + 1) = lim (x - 1) = 
x→1  x→1 (x -1) (x + 1) x→1 (x -1) (x + 1) 
 
 = lim (x - 1) = 
 x→1 (x -1) (x + 1) 
 
 = lim 1/ (x + 1) 
 x→1 
 = 1/ (1 + 1) = 1/ 2 
 
 
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Se multiplica numerador y denominador por el conjugado de 
la exp. irracional 
 
2.7 LÍMITE FUNDAMENTAL “e” 
Existen dos límites que, por su importancia y multiplicidad de aplicaciones, se identifican bajo el nombre de 
Límites Fundamentales. Ellos son: 
 
 1er. Límite Fundamental: lim sen x = 1 
 x→0 x 
 
 e: Número de Euler o Constante 
 2do. Límite Fundamental: lim ( 1 + x )1/ x = e de Napier 
 x→0 e = 2,7182... (Numero irracional) 
 
Observemos que, si queremos determinar el valor de ambos límites aplicando el paso al límite obtendremos 
indeterminaciones: 
 * lim sen x = sen 0 = 0/0 
 x→0 x 0 
 * lim ( 1 + x )1/ x = 1 
 x→0 
 
En este punto, no vamos a demostrar de qué manera se salvan las indeterminaciones llegando a los resultados 
indicados. Tampoco vamos a trabajar con el 1er. Límite Fundamental; solo nos ocuparemos de abordar el 2do. 
Límite Fundamental, postergando su justificación, para el siguiente Capítulo de estudio. 
El número “e” tiene numerosas aplicaciones tanto, en el campo de la matemática pura, como en el de las 
matemáticas aplicadas. 
Dentro de la matemática pura, es posible identificarlo como parte de la función exponencial de base “e”, que 
se define como: 
f : R → R 
 x → y = f(x)= ex 
y, cuya gráfica cartesiana, es la siguiente: 
 
 
 
 
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 y y = f(x)= ex 
 
 
 
 
 O x 
 
Dentro de la matemática aplicada, aparecerá como herramienta para el estudio del “interés compuesto”, tema 
que seguramente abordarás, en profundidad, en una asignatura relacionada con el Cálculo Financiero. 
Los usos del número irracional “e”, sus propiedades y sus aplicaciones constituyen una inquietud que se 
desarrolló desde el siglo XVII. 
Nota: Quizás nos preguntemos, ¿por qué al límite: 
 lim ( 1 + x )1/ x = e 
 x→0 
se le asigna la calificación de “fundamental”? La respuesta radica en el hecho de puede definirse una “familia de 
límites” cuyo resultado es “e”, siempre y cuando, la función de referencia a la cual se le aplica el límite, mantenga 
una misma estructura. Así, en el caso del 2do. límite fundamental, la “familia de límites” se obtiene a partir de: 
 
lim [ 1+F(x)]1/F(x) = e siendo “F” una función de la variable x 
 F(x)→ 0 
 
En los ejemplos prácticos, no siempre aparece "de entrada" la función “F” citada; entonces, es necesario realizar 
algunas operaciones algebraicas hasta transformar la expresión dada, a la forma general de alguno de estos 
límites. 
EJEMPLO 
Calcular el siguiente límite, si existe. 
lim (1+2x)1/x 
 x→ 0 
Previo al cálculo del límite observemos que en este caso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
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✓ Es F(x) = 2x 
✓ El denominador del exponente no es F(x)= 2x, o sea que deberemos transformarlo para convertirlo en tal 
expresión. 
✓ En lugar de tener F(x)= 2x→ 0 tenemos solamente que x→0. Pero en este caso ambas expresiones son 
equivalentes ya que para que un producto (2x) tienda a cero, uno de los factores debe tender a cero; en 
este caso quien tiende a cero es necesariamente x. Luego es análogo escribir: 
2x→0 o x→0 
Calculemos el límite: 
lim (1+2x)1/x = lim (1+2x)(1/2x) 2 = 
x→0  x →0 
= [ lim (1+2x)(1/2x)] 2= 
  x→0 
 
 = e 
= [e] 2 = 
  
= e2 
 
Multiplicamos y dividimos el exponente por 2. 
Aplicamos una de las propiedades de los límites. 
El límite dentro del corchete tiene la forma de la generalización del 
2do. Límite fundamental, razón por la cual vale “e” 
 
Nota: El 2do. Límite Fundamental puede también presentarse de una forma alternativa a la cual se llega luego 
deaplicar un sencillo cambio de variable. Lo veremos en el siguiente punto. 
 
2.8 EXTENSIÓN DEL CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCION 
 
2.8.1 Introducción 
Al establecer la definición intuitiva de límite consideramos que tanto xo como L (valores a los cuales tienden la 
variable independiente y la función) eran valores finitos. Sin embargo, es factible analizar, que sucede cuando 
xo, L o ambos son arbitrariamente "muy grandes" o "muy pequeños". Entonces, aparece nuevamente a 
consideración el símbolo  (infinito), que reiteramos no es un número; se lo utiliza para indicar cantidades 
numéricas “muy grandes” (+) o “muy pequeñas” (-). 
 
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Para introducirnos en el tema presentemos algunas situaciones gráficas, relacionadas con la función “f” definida 
por: 
 f: R - 0 → R 
 x → y = f(x) = 1/x 
cuya gráfica cartesiana es: 
 
 
 y 
 y= f(x)= 1/x 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
 
 
 
 
 
Un análisis gráfico del comportamiento de la función “f” revela que: 
 
1. a) Cuando x toma valores positivos y cercanos a 0 por la derecha, f(x)=1/x es positivo y muy grande. Esto 
lo podemos indicar como: 
 x → 0+  f(x) →+ 
o bien: 
x → 0+  f(x) 1 
 
En el gráfico: 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
 
 
 
 
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b) Cuando x toma valores negativos y cercanos a 0 por la izquierda, f(x)=1/x es negativo y muy pequeño. 
O sea: 
 x → 0-  f(x) → - 
 o bien: 
x → 0-  f(x) 1 
 
 
En el gráfico: 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
 
 
 
 
2. a) Cuando x asume valores positivos muy grandes, f(x)=1/x es positivo y su valor cercano a 0 (por valores 
mayores que cero). Esto lo podemos indicar como: 
 x → +  f(x) → 0+ 
 o bien: 
 x 1  f(x) → 0+ 
 
En el gráfico: 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
 
 
 
 
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b) Cuando x asume valores negativos muy pequeños, f(x)=1/x es negativo y su valor cercano a 0 (por 
valores menores que cero). O sea: 
 x → -  f(x) → 0- 
 o bien: 
 x 1  f(x) → 0- 
 
En el gráfico: 
 
 
 y 
 y= f(x)= 1/x 
 
 
 
 
 0 
 x 
 
 
 
 
 
Finalmente, para el caso de la función planteada, es posible escribir las siguientes expresiones para indicar el 
comportamiento de la función: 
 
Para a): 
lim f(x) = +  y lim f(x) = - 
x→ 0+ x→ 0- 
 
Estos límites se conocen con la denominación de Límites Infinitos. 
 
Para b): 
 
lim f(x) = 0+ y lim f(x) = 0 - 
x→+  x→ - 
 
Estos límites se conocen con el nombre de Límites cuando la Variable Independiente tiende a infinito. 
Nota: En los Límites Infinitos el uso del signo "igual" a + o “igual” a - no significa que el límite existe. Esta 
notación solo indica cuál es el comportamiento de la función (crece infinitamente o decrece infinitamente). 
En forma general e intuitiva podemos establecer las siguientes definiciones para los Límites Infinitos y los 
Límites cuando la Variable Independiente tiende a infinito: 
 
 
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2.8.2 Definiciones 
i) Límites infinitos 
 
a) Sea “f” una función definida en un conjunto A y sea xo un PAC de A. Entonces: 
lim f(x) = +   [ x  A, x  E*(xo, )  x → xo  f(x) >> 1 ] 
x→xo 
[se lee: "el límite de f(x) cuando x tiende a xo es más infinito"; significa que: los valores de f(x) se pueden hacer 
arbitrariamente muy grandes -tan grande como se quiera- tomando valores x del dominio de la función, 
pertenecientes a un entorno reducido de xo y próximos, pero distintos, a xo] 
 
 
 y 
 y = f(x) 
 
 
 
 
 
 O xo x 
 
 
 E*(xo, ) 
 
 
b) Sea “f” una función definida en un conjunto A y sea xo un PAC de A. Entonces: 
lim f(x) = -   [ x  A, x  E*(xo, )  x → xo  f(x) << 1 ] 
x→xo 
[se lee: "el límite de f(x) cuando x tiende a xo es menos infinito"; significa que: los valores de f(x) se pueden hacer 
arbitrariamente muy pequeños -tan pequeño como se quiera- tomando valores x del dominio de la función, 
pertenecientes a un entorno reducido de xo y próximos, pero distintos, a xo] 
 Y E*(xo, ) 
 
 O xo x 
 
 
 
 
y = f(x) 
 
 
 
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ii) Límites cuando la Variable Independiente tiende a Infinito 
 
a) Sea “f” una función definida en un conjunto A=(a, +) . Entonces: 
lim f(x) = L  [ x  A  x >> 1  f(x) → L ] 
x→+ 
[se lee: "el límite de f(x) cuando x tiende a más infinito es L"; significa que: los valores de f(x) se pueden hacer 
arbitrariamente cercanos a L, tomando valores positivos de x muy grandes]. Gráficamente: 
 y 
 
 L 
 y=f(x) 
 
 
 
 
a O x 
 
 
 
 
b) Sea “f” una función definida en un conjunto A=(-, b) . Entonces: 
lim f(x) = L  [ x  A  x<< 1  f(x) → L ] 
x→ - 
[se lee: "el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es L"; significa que: los valores de f(x) se pueden hacer 
arbitrariamente cercanos a L, tomando valores negativos de x muy pequeños]. Gráficamente: 
 
 
 y 
 L 
 
 
 
O b x 
 
 y = f(x) 
 
 
 
 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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ii) Límites Infinitos cuando la Variable Independiente tiende a infinito 
 
Éstos resultan de una combinación de los dos tipos de límites anteriores (Límites Infinitos y Límites cuando la 
Variable Independiente tiende a Infinito). 
Se presentan cuatro casos: 
lim f(x) = + lim f(x) = + 
x→ + x→ - 
lim f(x) = - lim f(x) = - 
x→ + x→ - 
Por ejemplo, si quisiéramos definir simbólicamente a: lim f(x) = - , diríamos: 
x→ + 
lim f(x) = -  [ x  A=(a,+)  x>> 1  f(x) <<1 ] 
 x→ +Te sugerimos tratar de definir los otros tres límites, acompañando las definiciones con gráficos apropiados. 
 
 
OBSERVACION 
Antes de proceder a ejemplificar los últimos conceptos, establecemos lo siguiente. 
Si al querer calcular el límite de alguno de los siguientes tipos: 
 lim f(x) o lim f(x) 
 x a g(x) x  g(x) 
obtenemos las expresiones : 
 
i) k entonces el límite tiene es: 0 
  
 
 
ii)  (k0) entonces el límite tiene es:  
 k 
 
iii) k (k0) entonces el límite tiene es:  
 0 
 
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EJEMPLOS 
1. Calcular los siguientes límites: 
a) lim 1/ (x+2) b) lim 7 / (x - 3) 2 
 x → - 2 x→3 
 
 
 y 
Para a) 
 
lim 1 = 1 = + 
x→ -2+ x +2 → 0+ -2 x 
 
   
 
 
Aplicamos el paso al límite 
Ya que: 
 k =  con k  0 
 → 0 
 
lim 1 = 1 = - 
x→-2- x +2 → 0- 
   
 
Aplicamos el paso al límite 
 Ya que: 
 k =  con k 0 
 → 0 
 
 y 
 
Para b) 
 lim 7 = 7 = +  
 x→3 (x - 3) 2 → 0 
 
   O 3 x 
 
 
 
 
Aplicamos el paso al límite 
Ya que: 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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 k =  con k 0 
 → 0 
 
2. Calcular los siguientes límites: 
 
 
a) lim x3/ (1 + x2) b) lim (5 x3 + 3) / (4x3) 
 x→ x→ 
 
Nota: Observemos en estos límites que si aplicamos el paso al límite, se producen la indeterminación del tipo 
/ (¿recuerdas cuáles son las siete indeterminaciones?). Como estamos tratando con funciones racionales la 
forma de salvar la indeterminación / consiste en sacar, como factor común del numerador y del 
denominador, la variable elevada a la potencia mayor que aparezca en la función. 
 
Para a) 
 
lim x3/ (1 + x2) = lim x2 . x = lim x = 
x→  x→  x2 [ (1 / x2) + 1] x→  [ (1 / x2) + 1] 
   
 
 
 = →  =  
 1 + 1 
 → 
 
 
 
En el numerador descomponemos x3 en dos factores y en el denominador, 
sacamos factor común la variable elevada a la mayor potencia que aparece en 
la función, en este caso es x2 y simplificamos 
Expresamos como queda la función luego de la simplificación 
Aplicamos en paso al límite considerando que: 
 k = 0 
 →  
Para b) 
 
lim (5 x3 + 3) / (4x3) = lim [x3 (5 + 3/ x3) ] / (4x3) = lim (5 + 3/ x3) / 4 = 
x→ x→  x→ 
  
 
 
= 5 + 3 / 4 = 5/4 = 5/4 
 →  
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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Sacamos factor común la variable elevada a la mayor potencia que aparece en 
la función, en este caso es x3 y simplificamos 
Expresamos cómo queda la función luego de la simplificación 
Aplicamos en paso al límite considerando que: 
 k = 0 
 → 
2.8.3 Aplicación 1: Asíntotas 
 
i) Introducción 
Una tabla de valores puede ayudar a construir la gráfica cartesiana de una función. Sin embargo este 
instrumento, aunque útil, no es completo ya que puede llevarnos a cometer errores no deseados. 
EJEMPLO 
Supongamos que los puntos consignados en el siguiente sistema corresponden a los obtenidos mediante una 
tabla de valores que definen a una función: 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 
 
¿Cuál es la gráfica cartesiana de la función correspondiente? 
Llevados por nuestra intuición podríamos decir que es la siguiente: 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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o bien la siguiente: 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 
 
Pero, en realidad, los puntos dados pertenecen a la gráfica cartesiana de una función cuya representación real 
es la siguiente: 
 
 
 y 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 
 
 
 -2 
 
 x= 5, 3 
 
en la cual existen tres rectas particulares de ecuaciones: 
x=5,3 y=-2 y=0 
para las cuales se verifica que: 
 
✓ Cuando x →5,3 (por izquierda o por derecha) entonces f(x) →+ , o sea: 
 
lim f(x) = + 
 x→ 5,3 
Por tener esta característica respecto a la función “f”, la recta de ecuación x = 5,3 se denomina Asíntota Vertical. 
 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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✓ Cuando x→+ entonces f(x) →-2 +, o sea: 
 
lim f(x) = -2+ 
 x→+ 
Por tener esta característica respecto a la función “f”, la recta de ecuación y = -2 se denomina Asíntota 
Horizontal. 
 
✓ Cuando x→ - entonces f(x) →0 +, o sea: 
 
lim f(x) = 0+ 
 x→- 
Por tener esta característica respecto a la función f, la recta de ecuación y = 0 se denomina Asíntota Horizontal. 
 
Precisemos, en forma general, la definición de lo que se entiende por Asíntota de la gráfica cartesiana de una 
función. 
ii) Definición 
Sea la función “f” definida por: 
 f : A R → R 
 x → y = f(x) 
y la recta “r” de ecuación y=m x+ b. 
Sea P un punto perteneciente a la gráfica cartesiana de la función “f”, cuya distancia al origen es d1, o sea: 
d1=OP. Sea Q un punto perteneciente a la gráfica de la recta “r”, cuya distancia al punto P es d2, o sea: d2= PQ. 
Si la gráfica cartesiana de la función “f” tiene la propiedad de que el punto P que se mueva a lo largo de ella 
es tal que: 
a) su distancia al origen de coordenadas O aumente sin límite (d1→) 
y 
b) su distancia a la recta “r” se acerca a cero (d2→0) 
entonces, la recta en cuestión es una Asíntota de la gráfica cartesiana de la función. 
 
Gráficamente: 
 
 
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 y 
 y=f(x) P 
 d2 
 Q 
 d1 
 y= m x + b 
 
 
 
 
 O x 
 
 
 
 
La misma definición de lo que es una asíntota, obliga a encarar su estudio analítico utilizando límites. 
iii) Tipos y ecuaciones 
Observemos a continuación las gráficas cartesianas de algunas funciones en las cuales aparecen una o varias 
asíntotas, marcadas con líneas de puntos: 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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Así, podemos apreciar que existen: 
 
✓ Las asíntotas verticales, de ecuación: x = a. 
 
✓ Las asíntotas oblicuas, de ecuación: y = mx + b, que admiten como caso particular a las asíntotas horizontales, 
de ecuación y=b. 
 
Particularicemos la definición general dada para asíntota, en el caso de cada una de las mencionadas. 
 
Asíntota vertical 
La recta de ecuación x= a, con a  R es una asíntota vertical de la gráfica cartesiana de la función “f” si se 
cumple alguno de los siguientes límites: 
 lim f(x) = + lim f(x) = - 
 x→ a+ x→a+ 
 
 
 lim f(x) = + lim f(x) = - 
 x →a- x→a- 
 
EJEMPLO 
Para que la gráfica cartesiana de la función “f” de la figura: 
 
 y 
 
 
 
 
 y=f(x) 
 
 
 
 
 
 a1 0 a2 x 
 
 
 
 
 
se cumple que: 
 
 lim f(x) = -  x = a1 es una A. Vertical 
 x→ a1- 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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 lim f(x) = +  x = a1 es una A. Vertical 
 x→ a1+ 
 
 lim f(x) = -  x = a2 es una A. Vertical 
 x→ a2- 
 
 lim f(x) = +  x = a2 es una A. Vertical 
 x→ a2+ 
 
 
Asíntota Oblicua 
La recta de ecuación y= mx +b, con m y b números finitos y m0, es una asíntota oblicua de la gráfica cartesiana 
de la función “f” si se cumple: 
lim [f(x) - (mx + b)] = 0 
 x→ 
(ya que la gráfica de “f” se irá acercando cada vez más a la recta asíntota en el infinito). 
 
 
 y 
 
 
 
 
 
 f(x) m x +b 
 
 
 
 O x 
 
 
 
Para determinar los parámetros “m” y “b” que intervienen en la ecuación de la asíntota oblicua, realizamos las 
siguientes consideraciones. 
De la igualdad: 
lim [f(x) - (mx + b)] = 0 (de la definición de asíntota oblicua) 
 x→ 
se desprende: 
lim f(x) = lim (mx + b) 
 x→ x→ 
 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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Luego: 
 Calculamos “m”: 
 
 lim f(x) = lim (mx + b) 
 x→ x→ 
Dividamos ambos miembros en x y obtendremos: 
 
 lim f(x) = lim (mx + b) = lim mx + b = 
 x→ x x→ x x→ x x 
 
 
 = lim m + b = 
 x→ x 
 
 = m + b 
 → 
 
= m 
¿Puedes justificar cada uno de los pasos realizados? 
 
Luego: 
 m = lim f(x) 
 x→ x 
 
 Calculamos “b”: 
Partimos de: 
 
 lim f(x) = lim (mx + b) 
 x→ x→ 
 
Entonces: 
 
lim f(x) = lim mx + lim b 
 x→ x→ x→ 
 
lim f(x) - lim mx = lim b 
 x→ x→ x→ 
 
lim [ f(x) - mx ] = lim b 
x→ x→ 
 
lim [ f(x) - mx ] = b 
x→ 
 
Luego: 
 b = lim [ f(x) - mx ] 
 x→ 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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¿Puedes justificar cada uno de los pasos realizados? 
 
Nota: Si m=0, la ecuación de la asíntota oblicua se convierte en asíntota horizontal, de ecuación y=b. Las 
siguientes son gráficas cartesianas de funciones con asíntotas horizontales: 
i) ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos que: 
* En i), se cumple que: 
lim f(x) = b+  y=b es A. Horizontal x→ +  
 
* En ii), se cumple que: 
 lim f(x) = b1-  y=b1 es A. Horizontal 
 x→ +  
 
lim f(x) = b1+  y=b2 es A. Horizontal 
 x→ -  
EJEMPLO 
Dadas las siguientes funciones “f” definidas por sus expresiones analíticas determinar, si existen, las asíntotas 
de las gráficas cartesianas correspondientes. 
 
a) y = f(x) = 1 
 x -1 
 
 
¿Tiene la gráfica de f asíntotas verticales? 
Observemos que para x = 1 se anula el denominador, razón por la cual: 
 
 
y 
b 
y=f(x) 
x 
¿ 
y 
x 
y=f(x) 
b1 
b2
2 
 
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 Y 
lim 1 =  
 x→1 x -1 A. vertical 
 
Específicamente: y=f(x) 
 
 
 O 1 x 
lim 1 = +  
 x→1+ x -1 
 
lim 1 = -  
 x→1- x -1 
 
Luego: 
 
 x = 1 es una asíntota vertical de la gráfica cartesiana de “f” 
 
¿Tiene la gráfica de f asíntotas horizontales? 
 
Calculamos: 
lim 1 = 1 = 0 
 x→ x -1 → y 
 
Específicamente: 
 y=f(x) 
lim 1 = 0+ 
 x→+ x -1 
 O 1 x 
 
A. Horizontal 
lim 1 = 0- 
 x → -  x -1 
 
 
Luego: 
 y = 0 es una asíntota horizontal de la gráfica cartesiana de “f” 
 
 
b) y= f(x) = ( x2 -2x+ 4 ) / ( x -2) 
 
* La gráfica de esta función tiene una asíntota oblicua de ecuación: 
 
y = x 
 
¿Por qué? Esta ecuación se obtiene tras determinar los valores de “m” y “b” con las fórmulas antes citadas: 
m = lim f(x) = lim (x2 -2 x+ 4 ) / [x ( x - 2)] = 
 x→ x x→ 
  
 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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= lim ( x2 - 2 x + 4 ) / ( x2 - 2 x ) = 
 x→ 
  
 
= 1 
 Dividimos f(x) por x 
 Operamos en el denominador 
Aplicamos la regla para este tipo de límites donde el grado del 
numerador es igual al grado del denominador 
 
b = lim [ f(x) - mx ] = lim [( x2 - 2 x + 4 ) / ( x - 2 )] - x = 
 x→  x→ 
  
 
 = lim [(x2 - 2 x + 4) - x (x-2)] / ( x-2) = 
 x→ 
  
 
 = lim (x2 - 2 x + 4 - x2 +2x) / (x-2) = 
 x→ 
 
  
 = lim 4 = 0 
 x→ (x-2) 
  
Restamos a f(x), mx= 1.x = x 
 Sacamos común denominador 
Cancelamos los términos semejantes en el numerador 
Aplicamos la regla para este tipo de límites donde el grado del 
numerador es menor que grado del denominador 
 
 y y=f(x) 
 
 
 
 
 
 A. Oblicua: y=x 
 
 O 2 x 
 
 
 
 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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* También, la gráfica tiene una asíntota vertical de ecuación: 
x = 2 
pues: 
lim f(x) = -  y lim f(x) = + 
 x→ 2- x→ 2+ 
Nota: Cuando queremos determinar las asíntotas de la gráfica cartesiana de una función racional de forma 
analítica: 
y = f(x) = P(x)/ Q(x) 
 
observaremos las siguientes recomendaciones prácticas: 
a) Las asíntotas verticales se encuentran para valores de x que anulan el denominador Q(x), sin anular 
simultáneamente el numerador P(x). 
b) Las asíntotas horizontales se determinan calculando el límite de f(x) para x tendiendo a infinito y aplicando 
en este caso las reglas ya estudiadas para trabajar con este tipo de límites (límites cuando la variable 
independiente tiende a infinito, punto anterior). 
c) Las asíntotas oblicuas se encuentran si existen dos constantes m y b tales que para ellas se cumpla que: 
 lim f(x) = lim (mx + b) o bien lim [f(x) - (mx + b)] = 0 
 x→ x→ x→ 
 
2.8.4 Aplicación 2: Límite Fundamental “e” (forma alternativa) 
Como se vio precedentemente, el número de Euler o Constante de Napier “e”, puede obtenerse como resultado 
del límite: 
 lim ( 1 + x )1/ x = e (1) 
 x→0 
y, en general, como: 
 
lim [ 1+F(x)]1/F(x) = e (2) 
F(x)→0 siendo F una función de la variable “x” 
Sin embargo, existe otra forma de presentar los precedentes realizando un sencillo cambio de variable; lo 
hacemos de la siguiente manera. 
Llamamos a la nueva variable “t” y la definimos como: 
t = 1/x de donde x=1/t 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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Luego si: 
 x→0  t→ 
Reemplazando las anteriores en (1), obtenemos: 
 
lim [ 1 + 1/t ]t = e (3) 
t→ 
Procediendo de la misma manera, la forma general (2) se transformaría en: 
 
lim [ 1+1/G(t)] G(t) = e (4) 
G(t)→ siendo G una función de la variable “t” 
 
En estos casos, “e” resulta de un límite cuando la variable “t” y/o la función que depende de “t” tiendo a 
infinito (uno de los casos definidos en la Extensión del concepto de límite). 
Nota: en los límites (3) y (4) no importa el nombre que se asigne a la variable; lo importante es que se respete 
la estructura de los límites que aparecen en ambas expresiones. 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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3.1 NOCIÓN GRAFICA 
La continuidad de una función es un concepto que, desde el punto de vista gráfico, tiene que ver con el hecho 
que su representación cartesiana puede lograrse sin necesidad de “levantar el marcador del papel”: 
 
 
 y 
 
  
 
  
 y=f(x)  
 
 
 
 0 x 
 
 A 
 
De acuerdo a lo expresado, si observamos las siguientes gráficas de funciones reales de una variable real, 
concluiremos que ninguna de ellas es una función continua en el punto xo, ya que en el mismo es necesario 
“levantar el marcador” para completar la gráfica: 
 
 
 y y y 
 
 L y=f(x) L+ L 
 y=f(x) y=f(x) 
 
 f(xo) 
 f(xo)= L- 
 
 O xo x O xo x O xo x 
 
 
 i) ii) iii) 
 
 
 
Analicemos que sucede en cada una de estas representaciones. 
 
 
 
 
3. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE UNA VARIABLE REAL 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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*En el caso de la gráfica i) existe un punto vacío correspondiente a x= xo. Aquí xo no pertenece al dominio de “f” 
y por lo tanto no existe f(xo). 
*En el caso de la gráfica ii), si bien xo pertenece al dominio de “f” y existe f(xo), la curva "salta" a la altura de xo 
pasando de una rama de la función a otra. Si observamos el comportamiento de “f” en las proximidades de xo 
utilizando límites laterales obtendremos: 
 lim f(x) = f(xo) = L- 
 x →xo - 
 lim f(x) = L+ 
 x → xo+ 
Aquí, existen los límites laterales pero son distintos. 
*En el caso de la gráfico iii), también existe un punto vacío en la gráfica. Sin embargo en este caso, a diferencia 
del presentado en i), la función “f” está definida en xo, o sea xo pertenece al dominio de “f” y existe f(xo). El 
cálculo del límite de la función para x tendiendo al punto xo indica que: 
 lim f(x) = L 
 x → xo 
Aquí f(xo)  L. 
 
¿Qué sucedería si: 
 A diferencia de lo que pasa en i), la función “f” estuviera definida a xo (o sea, el punto de la gráfica 
correspondiente a xo no fuera un punto vacío)? 
 A diferencia de lo que pasa en ii), los límites laterales (existentes ambos) para x tendiendo a xo fueran iguales 
(o sea, la gráfica de f no saltaría de una rama a otra)? 
 A diferencia de lo que pasa en iii), el valor de la función “f” en xo, o sea f(xo), fuera igual al valor del límite L 
cuando x tiende a xo ( o sea, el punto vacío de la gráfica se cubriría con el punto aislado)? 
 
Respuesta 
Si todo ello sucediera para la misma función “f”, diríamos que “f” tiene la propiedad de ser continua en el punto 
xo. Luego la definición de este concepto es la siguiente: 
 
 
 
3.2 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO 
 
3.2.1 Definición 
 
 
 ______________________________________________________________________________________________________________ 
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Sea “f” una función definida de la siguiente manera: 
 f: A R → R 
 x → y=f(x) 
Dicha función es continua en el punto x= xo si se cumplen las siguientes