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Marisa Angélica Digión 1 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Marisa Angélica Digión 2 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Capítulo V FUNCION REAL DE DOS VARIABLES REALES Marisa Angélica Digión 3 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático FUNCIÓN Función Real de Variable Real Pre-Cálculo Límite Continuidad Cálculo Diferencial Integral FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES GENERALIDADES INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL Marisa Angélica Digión 4 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático CONTENIDO 1. INTRODUCCION 1.1 Presentación del Tema 1.2 Objetivos 1.3 Conceptos Previos 2. FUNCION REAL DE DOS VARIABLES REALES 2.1 Definición 2.2 Notación 2.3 Dominio, Coodominio, Imagen y Valor Numérico 2.4 Representaciones gráficas 2.4.1 Superficies Espaciales 2.4.2 Curvas de Nivel i) Idea Motriz ii) Definición 3. DERIVADAS PARCIALES 3.1 Incrementos de las variables independientes e incrementos parciales de la función 3.2 Derivada Parcial de la función respecto de la variable independiente “x” 3.3 Derivada Parcial de la función respecto de la variable “y” 3.4 Cálculo directo de las expresiones analíticas de las Derivadas Parciales 3.5 Notaciones 3.6 Valor numérico 3.7 Derivadas Parciales de Orden Superior 3.7.1 Derivadas Parciales de Segundo Orden 3.7.2 Derivadas Parciales de Orden Superior 4. EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS (Libres y Condicionados) 4.1 Extremos Absolutos: Definiciones 4.2 Extremos Relativos (Libres) 4.2.1 Definiciones 4.2.2 Determinación i) Punto Crítico ii) Condición necesaria para la existencia de los Extremos Relativos iii) Condición suficiente para la existencia de los Extremos Relativos 4.3 Extremos Relativos Condicionados – Método del Multiplicador de Lagrange 5. APLICACIONES Marisa Angélica Digión 5 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático 1.1 PRESENTACIÓN DEL TEMA Hasta ahora hemos presentado y analizado conceptos relacionados con una función real de una variable real definida por su expresión analítica explícita y=f(x) o por su correspondiente implícita F(x,y)=0. Sin embargo este no es el único tipo de funciones que existen para establecer el vínculo entre magnitudes variables. Aunque el estudio de la totalidad de ellas excede el alcance de esta asignatura, vamos presentar a continuación el caso de LA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES. Esta forma de expresar la relación entre dos variables independientes reales y una variable dependiente, también real, responde a la definición general de función dada en el Capítulo I, presentando particularidades propias en lo que se refiere a los conjuntos que actúan como Dominio y Coodominio de la misma. El siguiente esquema muestra sintéticamente de qué manera surge este nuevo tipo de función real, a partir del concepto general de función: 1. INTRODUCCIÓN Marisa Angélica Digión 6 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Este tipo de funciones, serán motivo de estudio en las próximas páginas FUNCIONES REALES f : A → B a → b A, B conjuntos de naturaleza arbitraria FUNCIÓN, en general Si: B = R entonces f es una FUNCION REAL: f: A → R a → b Si: A R entonces f es una FUNCIÓN REAL DE UNA VARIA BLE REAL f: A R → R x → y= f(x) Si: A Rn entonces f es una FUNCIÓN REAL DE n VARIABLES REALES f:A Rn → R (x1,x2,...,xn) → z=f(x1,x2,...,xn) Si: A R2 entonces f es una FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES f: A R2 → R (x,y) → z=f(x,y) Marisa Angélica Digión 7 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático 1.2 OBJETIVOS ✓ Recordar el concepto de función y aplicarlo a la definición de FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES. ✓ Definir e interpretar los conceptos de dominio, coodominio, imagen y valor numérico de una función real de dos variables reales. ✓ Conocer las representaciones gráficas de funciones reales de dos variables real y ahondar en el estudio de las curvas de nivel. ✓ Definir las derivadas parciales de función real de dos variables reales. ✓ Aplicar la teoría de los extremos para lograr la optimización de una función real de dos variables reales, con o sin restricciones. 1.3 CONCEPTOS PREVIOS Te reiteramos que es sumamente importante que puedas integrar los conocimientos (contenidos y habilidades) que has asimilado hasta el momento. Particularmente en este Capítulo, expresaremos en reiteradas oportunidades, semejanzas con situaciones ya estudiadas en Capítulos precedentes, que esperamos, puedas traer a tu mente en forma inmediata. Marisa Angélica Digión 8 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático 2.1 DEFINICION Una función real de dos variables reales “f” es una correspondencia entre un subconjunto, propio o no, del espacio de dimensión 2 o plano cartesiano ( A R2) y el conjunto de los números reales (R), tal que a cada par ordenado de números reales (x, y) le corresponde un único número real (z). Gráficamente: AR2 R f 2.2 NOTACION La notación que se usa para este tipo de funciones, contiene los mismos elementos que la función real trabajada hasta el momento: f: A R2 → R (x, y) → z= f (x,y) En este caso: ✓ f es el nombre de la función ✓ A es el dominio de la función ✓ R es el coodominio de la función ✓ x, y son las variables independientes ✓ z es la variable dependiente ✓ z= f (x,y) es la expresión analítica que define a la función EJEMPLOS 1. El área de un triángulo es un ejemplo de una función real de dos variables reales, ya que para cada par de valores que expresen la base (b) y la altura (h) obtenemos un valor de área (A): 2. FUNCION REAL DE DOS VARIABLES REALES (x,y) z Marisa Angélica Digión 9 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático (b,h) A= A(b,h) h b 2. La nota promedio de un estudiante en los dos parciales de una determinada materia es una función real de dos variables reales ya que, si denominamos x a la nota del primer parcial e y a la nota del segundo parcial, entonces el promedio P es un número real que obtenemos de la semisuma de los dados: (x,y) P= P(x,y)= x + y 2 3. El número de unidades demandadas D de un cierto bien es una función real de dos variables reales de: el precio unitario de dicho bien (x) y el precio unitario de un bien sustituto (y), o sea: (x,y) D=D(x,y) 2.3 DOMINIO, COODOMINIO, IMAGEN Y VALOR NUMÉRICO Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2 → R (x, y) → z= f (x,y) i) El Dominio de la función está formado por los pares ordenados (x,y) para los cuales la expresión analíticaque define a la función tiene sentido. O sea: A = (x,y) R2 / z = f(x,y) R Nota: Al asociar a cada par ordenado (x,y) del dominio, un punto P(x,y) en el espacio de dos dimensiones (plano), se obtiene la representación gráfica del dominio. Resulta entonces que podemos representar la gráfica del dominio de la función en el plano de dos dimensiones. ii) El Coodominio de la función es el conjunto de los números reales R. iii) La Imagen de la función (I) es el conjunto compuesto por aquellos números reales R del Coodominio de la función, que son los correspondientes de los elementos del dominio de la función (A R2). Así, el conjunto Imagen es un subconjunto, propio o no, del Codoomonio de la función, o sea: I R Marisa Angélica Digión 10 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático iv) El Valor numérico que asume una función real de dos variables reales (zo) en correspondencia a un determinado valor de su dominio (xo, yo) es el que se obtiene al reemplazar xo e yo en la expresión analítica de la función z = f(x,y), o sea: zo = f(xo, yo) También se lo indica con las expresiones coloquiales: “zo es imagen de (xo, yo) por la función f” o bien “zo es el correspondiente de (xo, yo) por la función f EJEMPLOS 1. Para la función: f: A R2 → R (x, y) → z= f (x,y)= 1/ ( x + y -1) el dominio A estará formado por todos los pares (x,y) para los cuales el denominador que aparece en la expresión analítica que define a la función es diferente de cero, o sea: x + y -1 0 x + y 1 Luego el conjunto A, dominio de f, es: A= (x,y) R2/ x + y 1 Gráficamente A es el conjunto de puntos del plano que no pertenecen a la recta de ecuación x + y =1 (zona sombreada con color naranja intenso, sin la recta en línea de trazos): y 1 O 1 x Marisa Angélica Digión 11 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático 2. Un fabricante produce dos artículos identificados como A y B. Supongamos que el costo total de producción (C) de ambos artículos depende solamente de la cantidad de unidades que fabrica de A (cantidad a la que llamamos x) y la cantidad de unidades que fabrica de B (cantidad a la que llamamos y), o sea: C=C(x,y) La tabla que se consigna a continuación indica cuál es el costo total de producción para diferentes combinaciones del número de unidades producidas de ambos artículos: Cantidad de unidades fabricadas de A: x Cantidad de unidades fabricadas de B: y Costo total de producción: C($) 5 6 17 5 7 19 6 6 18 6 7 20 ➢ En este caso, el dominio de esta función real de dos variables reales está formado por: A = (5,6); (5,7); (6,6); (6,7) ➢ ¿Cómo se interpretan los valores de la tabla? Por ejemplo, la interpretación del renglón indicado con la , establece que cuando se producen 5 unidades del artículo A y 7 unidades del artículo B, el costo total de producción asciende a $19. ➢ ¿Cuál es la imagen de esta función real de dos variables reales? (o sea que valores puede tomar z). En este caso: I(f) = 17, 18, 19, 20 Nota: Para este ejemplo, la función no ha sido definida por una expresión analítica. Está definida por una tabla de valores que es otra forma de presentar a una función. 3. El volumen de ventas de un artículo particular depende de su precio y también en muchos casos, de la cantidad que el fabricante gasta en promoción y publicidad. Sea "x" el precio, "y" el gasto en publicidad al mes (ambos en pesos) y "z" las ventas mensuales. Entonces es z= f(x,y). Suponga que en cierto caso el modelo funcional que representa a este fenómeno es: z = f(x,y)= 1000 ( 5 - x e - 0,001 y ) ➢ ¿Qué valores pueden tomar "x" e "y"? O dicho de otra forma, ¿cuál es el dominio de la función? Tanto "x" como "y" representan valores monetarios, o sea que deben ser valores positivos o nulos. Luego: Marisa Angélica Digión 12 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático A= (x,y) R2/ x 0 y 0 ➢ ¿Cuál es el monto de las ventas mensuales cuando el precio es de $3 y es nulo el gasto en publicidad? Para x= 3 e y= 0, el monto de ventas mensuales es: z=f(3,0)= 1000 (5 - 3 e - 0,001. 0 )= 2000 o sea $ 2000. Este valor, z = 2000, es el valor numérico de la función f en (x=3, y=0). Respondiendo a la pregunta, se puede decir que “el monto de las ventas mensuales cuando el precio es de $3 y el gasto de publicidad es nulo es de $2000. 2.4 REPRESENTACIONES GRÁFICAS Una función real de dos variables reales dos tipos de representaciones gráficas. 2.4.1 Superficies Espaciales Un tipo de representación es a través de Superficies Espaciales en el espacio tridimensional (R3). Elaborar este tipo de gráficas requiere del conocimiento de conceptos relacionados con la Geometría Analítica en R3. Ya que éstos no han sido abordados en la asignatura del Área Matemática precedente, no las utilizaremos. Sin embargo, te presentamos algunas gráficas espaciales de funciones reales de dos variables reales: a. Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= √1 − 𝑥2 − 𝑦2 b. Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= √ 1 − 𝑥2/4 + 𝑦2/6 http://www.google.com.ar/imgres?num=10&hl=es&biw=1280&bih=637&tbm=isch&tbnid=qcH-zNid_NhySM:&imgrefurl=http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/PROBLEMAS/Las_dos_rutas/Soluciones/parametrizacion_c2.htm&docid=KHtJ82QT1wfTnM&imgurl=http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/PROBLEMAS/Las_dos_rutas/Soluciones/calculos2_archivos/semiesfera.jpg&w=350&h=286&ei=IMj-T_cS6onRAc3qxdgG&zoom=1&iact=hc&vpx=832&vpy=178&dur=739&hovh=203&hovw=248&tx=125&ty=107&sig=110981404908705208027&page=1&tbnh=123&tbnw=132&start=0&ndsp=18&ved=1t:429,r:4,s:0,i:83 http://www.google.com.ar/imgres?hl=es&biw=1280&bih=637&tbm=isch&tbnid=Wu6_YOCaYHlkbM:&imgrefurl=http://sacrmatematica.blogspot.com/&docid=750SfNWYfVRULM&imgurl=http://1.bp.blogspot.com/_ghRVEnKOyyE/SdrDbeDT9pI/AAAAAAAAAJ0/6kpWUD0VuQQ/s320/vi+geom+aplic+14.JPG&w=320&h=140&ei=n8j-T8uvA8ry0gGQwInyBg&zoom=1 Marisa Angélica Digión 13 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático c. Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= x2 /4+ y2/9 d.- Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= x2 /9 - y2/16 e.- Superficie espacial gráfica de la función de expresión analítica: z=f(x,y)= √ 𝑥2/25 + 𝑦2/16 2.4.2 Curvas de Nivel Otra forma de representar gráficamente las funciones reales de dos variables reales es utilizando las Curvas de Nivel. Estas tienen su representación en el plano bidimensional (R2). i) Idea motriz Consideremos el siguiente ejemplo. Un fabricante de conjuntos deportivos tiene una capacidad de producción anual constante en su empresa de 1000 de ellos. Dos son los modelos de estas prendas que ofrece al público: Conjunto A y Conjunto B. Si llamamos “x” al número de conjuntos que confecciona del Conjunto A e “y” el número de conjuntos que confecciona del Conjunto B, puede interesar determinar las posibles combinaciones entre el número de conjuntos A http://commons.wikimedia.org/wiki/File:ParaboloidOfRevolution.png?uselang=es http://commons.wikimedia.org/wiki/File:HyperbolicParaboloid.png?uselang=es Marisa Angélica Digión 14 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático (x) y el númerode Conjuntos B (y) fabricados de las que resulta el nivel de producción constante e igual a 1000 por año. La cuestión planteada presenta una de las numerosas situaciones en las cuales requerimos analizar qué combinaciones de las variables x e y producen un z=f(x,y) constante. La representación gráfica de esta situación (o sea, la representación gráfica de esta función) recibe el nombre de curvas de nivel. ii) Definición Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2 → R (x, y) → z= f (x,y) Para toda constante c (posible), los puntos P(x,y) para los cuales f(x,y)=c forman una curva en el plano bidimensional xy que se llama curva de nivel. Al variar el valor de c, se obtiene el conjunto de estas curvas que representa gráficamente a la función f. EJEMPLOS 1. Retomenos la función ya definida en un ejemplo anterior: f: A R2 → R (x, y) → z= f (x,y)= 1/ ( x + y -1) e indiquemos para "z" un valor constante, por ejemplo z = 1/2. Reemplazando dicho valor en la expresión analítica de la función obtenemos: 1/2 = 1/ ( x + y -1) x + y -1 = 1/ (1/2) x + y = 2 + 1 y = -x + 3 es la ecuación de una curva de nivel (una recta) Procedamos en forma análoga para: z = 1, z = 2 y z = 3. Determinamos las ecuaciones siguientes: y = -x + 1 y = - x + 3/2 y = -x + 5/2 Estas son las ecuaciones de algunas de las curvas de nivel que representan a la función y resultan un conjunto de rectas paralelas de pendiente -1: Marisa Angélica Digión 15 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Nota: ¿Es posible asignarle a "z" el valor 0? Justifica la respuesta analizando detenidamente la definición de curvas de nivel. Finalmente, la función dada está representada gráficamente por un conjunto de rectas paralelas de pendiente igual a –1. 2. Utilizando curvas de nivel, representar gráficamente la función definida por: f: A R2 → R (x, y) → z= f (x,y)= 25 - x2 – y2 Solución Damos valores posibles y constantes a z: ✓ Para z = 0 0 = 25 - x2 – y2 x2 + y2 = 25 Estas ecuaciones re- ✓ Para z = 3 3 = 25 - x2 – y2 x2 + y2 = 16 presentan a un con - junto de circunferen- ✓ Para z = 4 4 = 25 - x2 – y2 x2 + y2 = 9 cias de centro en O ✓ Para z = 5 5 = 25 - x2 – y2 x2 + y2 = 0 Gráficamente: Marisa Angélica Digión 16 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Nota: ¿Es posible asignarle a "z" valores constantes negativos? Justifica la respuesta analizando detenidamente la definición de curvas de nivel. Finalmente, la función dada está representada gráficamente por un conjunto de circunferencias concéntricas en el origen. 3.1 INCREMENTOS DE LAS VARIABLES INDEPENDIENTES E INCREMENTOS PARCIALES DE LA FUNCIÓN Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) tal que la siguiente es la gráfica del dominio de la misma (A: región en el plano de dos dimensiones): y A O x 3. DERIVADAS PARCIALES Marisa Angélica Digión 17 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Consideremos en ella el punto P(xo,yo). Llamemos x y y a los incrementos, no simultáneamente nulos, de las variables independientes [(x,y)(0,0)] y determinemos, también dentro de A, los puntos P’(xo+x,yo) y P’’(xo,yo+y) . y A P’’ yo+y y yo P P’ O xo xo+x x x Las imágenes de estos puntos por la función “f” son: f(P) = f(xo,yo) f(P’) = f((xo+x,yo) f(P’’) = f(xo,yo+y) Entonces: El incremento parcial de la función f en la dirección de x, cuando pasa del punto P al punto P’ es: xf = f(P’) – f(P) = f(xo+ x, yo) – f(xo,yo) El incremento parcial de la función f en la dirección de y, cuando pasa del punto P al punto P’’ es: yf = f(P’’) – f(P) = f(xo , yo+ y) – f(xo,yo) Nota: recordemos que el incremento de una variable numérica es la diferencia entre su valor final y su valor inicial. 3.2 DERIVADA PARCIAL DE LA FUNCIÓN RESPECTO A LA VARIABLE INDEPENDIENTE “x” Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) Marisa Angélica Digión 18 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático La Derivada Parcial de la función “f” respecto de “x”, si existe, es otra función a la que se denota por fx definida por: fx: A' A → R (x, y) → zx= fx (x,y)= lim f(x + x, y) - f(x,y) x → 0 x con A’ = (x,y) A / zx= fx (x,y)= lim f(x + x, y) - f(x,y) R x → 0 x Notas En la definición dada, consideramos el límite de un cociente incremental donde el numerador es el incremento parcial de la función en la dirección de “x” (xf), calculado a partir de un punto genérico P(x,y) del dominio de f y el denominador es el incremento de la variable independiente x (x). x es el incremento, no nulo, que experimenta la variable independiente “x”; la variable independiente “y” se mantiene constante. Por lo tanto, el límite que define a la expresión analítica de la derivada parcial de “f” respecto de “x” SOLO DEPENDE DE UNA VARIABLE. 3.3 DERIVADA PARCIAL DE LA FUNCIÓN RESPECTO A LA VARIABLE INDEPENDIENTE “y” Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) La Derivada Parcial de la función “f” respecto de “y”, si existe, es otra función a la que se denota por fy definida por: fy: A'' A → R (x, y) → zy= fy (x,y)= lim f(x, y+y) - f(x,y) y → 0 y con A'' = (x,y) A / zy= fy (x,y)= lim f(x, y+y) - f(x,y) R y → 0 y Marisa Angélica Digión 19 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Notas En la definición dada, consideramos el límite de un cociente incremental donde el numerador es el incremento parcial de la función en la dirección de “y” (yf), calculado a partir de un punto genérico P(x,y) del dominio de f y el denominador es el incremento de la variable independiente y (y). y es el incremento, no nulo, que experimenta la variable independiente “y”; la variable independiente “x” se mantiene constante. Por lo tanto, el límite que define a la expresión analítica de la derivada parcial de “f” respecto de “y” SOLO DEPENDE DE UNA VARIABLE. Ambas definiciones mantienen, en esencia, el mismo concepto que manejamos para funciones reales de una variable real. EJEMPLO Utilizando la definición, determinar las derivadas parciales respecto de “x” y respecto de “y” de la función “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) = 4x – 3y Solución Por definición, la expresión analítica de la derivada parcial respecto de “x” es: zx= fx (x,y)= lim f(x + x, y) - f(x,y) x → 0 x pero: f(x,y) = 4x – 3y f(x + x, y) = 4 (x + x) – 3y restando miembro a miembro en el sentido indicado por la flecha, obtenemos: f(x + x, y) – f(x,y)= 4 (x + x) – 3y – (4x – 3y) f(x + x, y) – f(x,y) = 4 x + 4x – 3y – 4x + 3y f(x + x, y) – f(x,y) = 4x reemplazando en el límite: Marisa Angélica Digión 20 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático zx= fx (x,y) = lim f(x + x, y) - f(x,y) = lim 4x = x → 0 x x → 0 x = lim 4 = 4 x → 0 Así: zx= fx (x,y) = 4 (x,y) R2 Finalmente, la función derivada parcial de “f” respecto de “x” es: fx: R2 → R (x, y) → zx= fx (x,y)= 4 Por definición, la expresión analítica de la derivada parcial respecto de “y” es: zy= fy (x,y)= lim f(x, y+ y) - f(x,y) y → 0 y pero: f(x,y) = 4x – 3y f(x, y+ y) = 4 x – 3 (y + y) restando miembro a miembro en el sentido indicado por la flecha, obtenemos: f(x, y+ y) – f(x,y) = 4 x – 3 (y + y) – (4x – 3y) f(x, y + y) – f(x,y) = 4x – 3y – 3 y – 4x + 3y f(x, y + y) – f(x,y) = -3 y reemplazando en el límite: zy= fy (x,y) = lim f(x, y+ y) - f(x,y) = lim -3y = y → 0 y y → 0 y Marisa Angélica Digión 21 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático = lim (-3) = -3 y → 0 Así: zy= fy (x,y) = -3 (x,y) R2 Finalmente, la función derivada parcial de “f” respecto de “y” es: fy: R2 → R (x, y) → zy= fy (x,y)= -3 3.4 CÁLCULO DIRECTO DE LAS EXPRESIONES ANALÍTICAS DE LAS DERIVADAS PARCIALES Acabamos de ver que, la determinación de las expresiones analíticas que definen a ambas funciones derivadas: zx= fx (x,y) y zy= fy (x,y) , demanda el cálculo de un límite que depende de una sola variable: • x, para el caso de la derivada respecto de "x" y • y para el caso de la derivada respecto de "y". Sin embargo, es posible simplificar esta tarea utilizando las Reglas de Derivación ya estudiadas en el Capítulo correspondiente al Cálculo Diferencial de Funciones Reales de Variable Real. Esto es factible si se considera que: • La derivada parcial respecto de "x", considera solo el incremento respecto de "x" manteniendo "y" constante. Luego es posible determinarla aplicando a "x", en la expresión analítica que define a la función, las reglas de derivación ya enunciadas para una función real de una variable real y asimilar a "y" como una constante. • La derivada parcial respecto de "y", considera solo el incremento respecto de "y" manteniendo "x" constante. Luego es posible determinarla aplicando a "y", en la expresión analítica que define a la función, las reglas de derivación ya enunciadas para una función real de una variable real y asimilar a "x" como una constante. EJEMPLO Determinar, de manera completa, las expresiones analíticas que definen a las funciones derivadas parciales de la función “f” definida por: f: R2 → R (x, y) → z= f (x,y)= x3 + 5xy2 + 2y3 Derivamos respecto de “x” (“y” es constante): Marisa Angélica Digión 22 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático zx = fx(x,y) = (x3 + 5xy2 + 2y3 ) x = 3 x2 + 5.1.y2 + 0 = 3 x2 + 5y2 Luego: fx: R2 → R (x, y) → zx= fx (x,y)= 3 x2 + 5y2 Derivamos respecto de “y” (“x” es constante): zy= fy(x,y) = (x3 + 5xy2 + 2y3 ) y = 0 + 5x (2y) + 2 (3y2)= 10 xy + 6y2 Luego: fy: R2 → R (x, y) → zy= fy (x,y)= 10 xy + 6y2 3.5 NOTACIONES Existen otras notaciones para indicar la función derivada parcial. Ellas son: Derivada parcial respecto de x: zx= fx(x,y) = z/x = f(x,y)/x Derivada parcial respecto de y: zy= fy(x,y) = z/y=f(x,y)/y 3.6 VALOR NUMÉRICO Para calcular el valor numérico de las derivadas parciales fx y fy en un punto (xo,yo) reemplazamos, en las expresiones analíticas que las definen zx= fx(x,y) y zy= fy(x,y), las variables (x,y) por (xo,yo). EJEMPLO En el último ejemplo dado, las derivadas parciales respecto de x e y calculadas en (1,1), tienen como valores a 8 y 16, en ese orden, ya que: fx: R2 → R (x, y) → zx= fx (x,y)= 3 x2 + 5y2 Para: (1, 1) → zx(1,1)= fx (1,1)= 3 12 + 5 12= 8 Marisa Angélica Digión 23 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático fy: R2 → R (x, y) → zy= fy (x,y)= 10 xy + 6y2 Para: (1, 1) → zy (1,1)= fy (1,1)= 10 1 1 + 6 12 = 16 En la tabla siguiente se incluyen las notaciones que se utilizan para indicar precisamente el valor numérico de las derivadas cuando se las evalúa en (xo,yo): Derivada parcial de f respecto a x, valuada en el punto (xo,yo) Derivada parcial de f respecto a y, valuada en el punto (xo,yo) fx(xo,yo) fy(xo,yo) f x (xo,yo) f y (xo,yo) f x = xo x y=yo f x = xo y y=yo 3.7 DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR De la misma forma que hemos definido las derivadas de orden superior para funciones reales de una variable real, lo haremos para las funciones reales de dos variables reales. En este caso tendremos las derivadas parciales de orden dos, tres u orden más alto, si exististieran. Veamos en particular, las Derivadas Parciales de Segundo Orden. Marisa Angélica Digión 24 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático 3.7.1 Derivadas Parciales de Segundo Orden Ya que, en general, las derivadas parciales de la función definida por su expresión analítica: z=f(x,y) son funciones de “x” e “y” pueden, derivarse nuevamente, respecto de “x” o respecto de “y”: Función Derivadas Derivadas Parciales Parciales de orden uno de orden dos (zx)x = [fx (x,y)]x zxx = fxx(x,y) zx = fx (x,y) (zx)y = [fx (x,y)]y zxy = fxy(x,y) z = f(x,y) (zy)x = [fy (x,y)]x zyx = fyx(x,y) zy = fy (x,y) (zy)y = [fy (x,y)]y zyy = fyy(x,y) Las derivadas que así se obtienen son las Derivadas Parciales de Segundo Orden de la función “f” (o Derivadas Parciales de Orden 2). Nota: En particular las derivadas: zxy = fxy(x,y) y zyx = fyx(x,y) reciben el nombre de Derivadas Parciales Mixtas o Cruzadas. EJEMPLO Tomemos como referencia, las derivadas parciales del último ejemplo dado. A partir de ellas calculemos las derivadas parciales de segundo orden: Para: zx= fx (x,y)= 3 x2 + 5y2 zxx = fxx(x,y) = 6x zxy = fxy(x,y) = 10y Marisa Angélica Digión 25 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Para: zy= fy (x,y)= 10 xy + 6y2 zyx = fyx(x,y) = 10 y zyy = fyy(x,y) = 10x + 12 y Nota: Una observación que cabe hacer es respecto a la igualdad de las derivadas cruzadas. En el ejemplo precedente se cumple que: zxy = fxy(x,y) = zyx = fyx(x,y) = 10y Esto significa que si se deriva primero respecto de “x” y luego respecto de “y”, el resultado será idéntico que si se deriva primero respecto de “y” y luego respecto de “x”. Esta característica la tienen muchas de las funciones reales de dos variables reales con las que trabajaremos. 3.7.2 Derivadas Parciales de Orden Superior Las definicionesde las Derivadas Parciales de Tercer, Cuarto u orden más alto, son análogas a las dadas para derivadas parciales de orden dos. Por ejemplo, una derivada de Tercer Orden podría expresarse de alguna de las siguientes formas: zxyy = fxyy(x,y) , zyyx = fyyx(x,y) , zyxy = fyxy(x,y) Observar que, en todas ellas, aparecen dos derivadas respecto de “y” y una derivada respecto de “x”, realizadas en distinto orden. Bajo ciertas condiciones (que no abordaremos en esta materia), todas estas derivadas son iguales, o sea, no importa el orden en el que se derive siempre y cuando se mantenga la cantidad de veces que se lo hace respecto de “x” y la cantidad de veces que depende de “y”. EJEMPLO En el ejemplo precedente, consideremos: zyy = fyy(x,y) = 10x + 12 y y derivemos esta expresión respecto de “x”; obtendremos: zyyx = fyyx(x,y) = 10 Ahora consideremos: zxy = fxy(x,y) = 10y y la derivemos respecto de “y”; obtendremos: zxyy = fxyy(x,y) = 10 Luego, los resultados resaltados son iguales (se derivo 1 vez respecto de “x” y 2 veces respecto de “y”). Marisa Angélica Digión 26 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Una aplicación importante y frecuente dentro de la teoría de las funciones reales es la determinación de sus valores extremos (máximo y mínimo). Son las derivadas parciales primeras y segundas las que proporcionan las herramientas analíticas para determinar dichos valores. Ya analizamos este procedimiento para funciones reales de una variable real y, como paso previo para hacerlo en las funciones reales de dos variables reales, establezcamos previamente las definiciones correspondientes de extremos absolutos y los extremos relativos (o locales). 4.1 EXTREMOS ABSOLUTOS: Definiciones Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) a) “f” tiene en (xo,yo) A un máximo absoluto si f(xo,yo) f(x,y) (x,y) A b) “f” tiene en (xo,yo) A un mínimo absoluto si f(x,y) f (xo,yo) (x,y) A c) “f” tiene en (xo,yo) A un extremo absoluto si f tiene en dicho punto un máximo o un mínimo absoluto. 4.2 EXTREMOS RELATIVOS (Libres) 4.2.1 Definiciones Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) a) “f” tiene en (xo,yo) A un máximo relativo si f(xo,yo) f(x,y) para todos los puntos (x,y) lo suficientemente cercanos a (xo,yo)1 y pertenecientes también al dominio A. b) “f” tiene en (xo,yo) un mínimo relativo si f(x,y) f (xo,yo) para todos los puntos (x,y) lo suficientemente cercanos a (xo,yo) y pertenecientes también al dominio A. c) “f” tiene en (xo,yo) un extremo relativo si “f” tiene en dicho punto un máximo o un mínimo relativo. 1 Los puntos (x,y) próximos a (xo,yo) son aquellos que pertenecen a un círculo abierto (o sea el círculo sin la circunferencia contorno) de centro en (xo,yo) y radio . A éste círculo abierto se lo denomina Entorno Simétrico del punto (xo,yo) y de radio . 4. EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS (Libres y Condicionados) Marisa Angélica Digión 27 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Nota: al igual que en Funciones Reales de Variable Real, a los Extremos definidos precedentemente, se los conoce con el nombre de Extremos Fuertes. Si en las desigualdades planteadas en dichas definiciones se cambian los signos y por y , respectivamente, se obtienen las definiciones de los Extremos Débiles. 4.2.2 Determinación La determinación de los extremos relativos de una función real de dos variables reales, requiere del cumplimiento de dos condiciones. La primera condición permite determinar cuáles son los “posibles extremos relativos” o “puntos sospechosos de ser extremos relativos”. La segunda condición, precisa en qué casos los puntos determinados en la primera condición son verdaderamente extremos relativos; también brinda criterios para identificar la naturaleza de dichos extremos (máximo o mínimo relativo). El conocimiento del siguiente concepto de Punto Crítico es el paso previo para la enunciación de las condiciones necesaria y suficiente citadas precedentemente. i) Punto crítico Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) “f” tiene en (xo,yo) A un punto crítico si se cumple alguna de las siguientes condiciones: 1. zx= fx(xo,yo) = 0 zy= fy(xo,yo) = 0 [o sea que ambas derivadas parciales primeras en (xo,yo) son iguales a cero]. 2. zx= fx(xo,yo) o zy= fy(xo,yo) no existe [o sea que por lo menos una de las derivadas parciales no existe en (xo,yo)]. Nota: En adelante, solo consideraremos puntos críticos que provengan de las primeras derivadas parciales iguales a cero. ii) Condición Necesaria para la existencia de los Extremo Relativos Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) Si la función “f” tiene en (xo,yo) A un extremo relativo (máximo o mínimo) entonces se cumple que (xo,yo) es un punto crítico, tal que: zx= fx(xo,yo) = 0 zy= fy(xo,yo) = 0 Nota: La condición dada es una condición necesaria PERO no suficiente, por lo tanto la siguiente implicación: “f” tiene en (xo,yo) un punto crítico “f” tiene en (xo,yo) un extremo relativo Marisa Angélica Digión 28 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático no siempre es verdadera. Luego, la aplicación de esta condición permite determinar los puntos críticos, “sospechosos” de ser extremos relativos. ¿Cómo determinamos si en el punto crítico o “punto sospechoso” hay un extremo relativo? Aplicamos el resultado de la siguiente condición. iii) Condición Suficiente para la existencia de los Extremo Relativos Sea la función real de dos variables reales “f” definida por: f: A R2→ R (x, y) → z= f (x,y) Supongamos que “f” tiene en (xo,yo) A un punto crítico tal que : fx(xo,yo)= fy(xo,yo)=0 y que las derivadas parciales mixtas en (xo,yo) sean iguales [fxy(xo,yo)= fyx(xo,yo)]. Sea un número definido por el valor del siguiente determinante de orden 2: fxx(xo,yo) fxy(xo,yo) (xo,yo)= = fxx(xo,yo). fyy(xo,yo) - fxy(xo,yo) fyx(xo,yo)= = fxx(xo,yo). fyy(xo,yo) - [fxy(xo,yo)]2 fxy(xo,yo) fyy(xo,yo) ➢ Si (xo,yo)>0, entonces “f” tiene en (xo,yo) un extremo relativo. Si además: - fxx(xo,yo)<0, entonces f tiene en (xo,yo) un máximo relativo - fxx(xo,yo)>0, entonces f tiene en (xo,yo) un mínimo relativo ➢ Si (xo,yo)<0, entonces “f” no tiene (xo,yo) un extremo relativo. En el mismo posee un punto de ensilladura. ➢ Si (xo,yo)=0, entonces esta condición no permite arribar a ninguna conclusión. Se requiere otro tipo de análisis [por ejemplo comparar los valores de la función f en el punto en cuestión con respecto a otros valores de la misma en puntos próximos a (xo,yo)]. Nota: Notemos que la condición suficiente solo se puede aplicar en el caso que el punto crítico determinado proviene de la condición de derivadas parciales primeras nulas. EJEMPLO Determinar los extremos relativos, si existen, de la función “f” definida por su expresión analítica: z= f(x,y)= x2 + 2xy + 2y2 +2x - 2y Marisa Angélica Digión 29 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Solución En primer lugar, aplicamos la condición necesaria. El procedimiento exige encontrar el punto crítico para el cual las derivadasparciales primeras son nulas. O sea: zx=fx(x,y)= 2x + 2y +2 = 0 zy=fy(x,y)= 2x + 4y - 2 = 0 La resolución del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas tiene como resultados: x = -3 e y = 2 Luego el punto crítico, o posible extremo, es (xo,yo)= (-3,2). ¡Este punto es la base para aplicar la condición suficiente! Analicemos, en segundo lugar, si en dicho punto hay un extremo, utilizando para ello la condición suficiente. Previamente calculamos las derivadas de orden 2 de la función “f” y las particularizamos para el punto crítico (-3,2): zxx=fxx(x,y)= 2 zxx=fxx(-3,2)= 2 zyy=fyy(x,y)= 4 zyy=fyy(-3,2)= 4 zxy=fxy(x,y)= 2 zxy=fxy(-3,2)= 2 Luego el valor del determinante es: (-3,2) = fxx(-3,2) fyy(-3,2) - [fxy(-3,2)]2 = 2.4 - 22 = 4 > 0 Conclusión Es posible afirmar que f tiene en (-3,2) un extremo relativo, que es un mínimo relativo pues zxx=fxx(-3,2)= 2 >0. El valor de ese mínimo resulta al particularizar la función dada en el punto (-3,2): z=f(-3,2)= (-3)2 + 2(-3)(2) + 2 (2)2 + 2 (-3) - 2 (2) = - 5 4.3 EXTREMOS RELATIVOS CONDICIONADOS - MÉTODO DEL MULTIPLICADOR DE LAGRANGE Una situación que se presenta a menudo en la determinación de los extremos relativos es el condicionamiento que surge cuando se establece algún tipo de restricción para lograr dicho objetivo. Marisa Angélica Digión 30 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Por ejemplo, supongamos que un fabricante de dos tipos de golosinas diferentes quiere determinar su costo mínimo de producción, pero sujeto a la condición de que el total de unidades de ambos productos a elaborar sea una cantidad fija. Para resolver este tipo de aplicaciones, conocidas con el nombre general de Extremos Relativos Sujetos a Condiciones (Restricciones), aplicaremos el procedimiento denominado Método del Multiplicador de Lagrange, que pasamos a explicar a continuación. Supongamos que se desee maximizar o minimizar la función “f” de expresión analítica z=f(x,y)2 sujeta a la restricción g(x,y)=03. El método del multiplicador de Lagrange consiste en formar, como primer paso, la función lagrangeana o función objetivo “L”, definida de la siguiente forma: L(x,y,) = f(x,y) - g(x,y) Esta es una función real de tres variables independientes: x, y , . La cantidad recibe el nombre de multiplicador de Lagrange. El paso siguiente es constituir el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas integrado por las derivadas parciales de la función lagrangeana respecto de cada una de sus variables e igualadas a cero: Lx(x,y,) = 0 Ly(x,y,) = 0 L(x,y,) = 0 ¡Esta condición es, en realidad, g(x,y)=0! La resolución de este sistema proporciona el/los punto/s crítico/s de la función lagrangeana “L”, de la forma (xo,yo,o). El/los punto/s de la función “f” sujeto/s a la restricción dada por “g” será/n el/los correspondiente/s (xo,yo). Como último paso, y para determinar si los puntos críticos identificados son o no extremos relativos de “f”, procederemos con ellos en forma análoga al caso en que calculábamos extremos relativos libres (sin restricciones), o sea, establecemos para la función “f” el determinante (xo,yo) y, de acuerdo a su resultado, concluimos la naturaleza del punto crítico (o sea si es, o no es, un extremo relativo y, en caso de serlo, si es un máximo o un mínimo relativo sujeto a restricción). 2 La función f se denomina función a extremar 3 La función g se designa con ecuación restrictiva Marisa Angélica Digión 31 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático EJEMPLO Obtener los máximos y mínimos relativos, si existen, de la función: z= f(x,y) = 5 x2 + 6 y2 – xy bajo la restricción: x + 2y – 24 = 0 Solución Aplicamos el método del multiplicador de Lagrange. Para ello formamos, como primer paso, la función lagrangeana: L(x,y,) = 5 x2 + 6 y2 – xy - (x + 2y – 24) A continuación construimos el sistema determinado por las derivadas parciales de esta función, igualadas a cero: Lx(x,y,) = 10 x – y - = 0 Ly(x,y,) = 12 y – x - 2 = 0 L(x,y,) = - (x + 2y – 24) = 0 La solución única de este sistema es: xo= 6, yo=9 , = 51. Luego, (6, 9, 51) es un punto crítico de la función lagrangeana “L” y (6,9) es un punto crítico de la función “f” sujeto a la restricción dada por “g”. Analicemos la naturaleza del punto crítico (6,9) aplicando el criterio de la segunda derivada para la función “f”: fxx(x,,y) = 10 fxx(6,9) = 10 fx (x,y) = 10 x – y fxy(x,y) = -1 fxy(6,9) = -1 [= fyx(6,9)] fy (x,y) = 12 y – x fyy(x,y) = 12 fyy(6,9) = 12 de donde: (6,9) = (10) (12) – (-1)2 = 119 > 0 Finalmente, “f” tiene en (6,9) un extremo relativo restringido que es mínimo [pues fxx(6,9) = 10 > 0]. El valor de dicho mínimo es f(6,9) = 5 . 62 + 6 . 82 – 6.9 = 510. Marisa Angélica Digión 32 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático 1. Un productor agropecuario de la zona obtiene una Utilidad (o ganancia), por la venta de “x” toneladas de un cultivo tipo A e “y” toneladas de un cultivo tipo B, que está expresada por el siguiente modelo matemático: U= U(x,y)= x3/2 y (en miles de dólares) a. Usando el programa GRAPHMATICA, representar gráficamente la función Utilidad mediante cinco curvas de nivel. Para ello, considerar como valores de Utilidad a los siguientes: 80, 405, 1280, 3750 y 10800 (todos en miles de dólares). b. Interpretar, en términos del problema, qué representa cada una de las curvas de nivel graficadas. c. ¿Cuál es la Utilidad del productor de vender xo= 16 toneladas del cultivo tipo A e yo=20 toneladas del cultivo tipo B? d. Analizar cómo se comportan las cantidades vendidas de ambos tipos de cultivos “dentro” de una misma curva de nivel. Solución a. Paso previo a utilizar el programa GRAPHMATICA para representar la función Utilidad mediante curvas de nivel, se deben realizar las siguientes consideraciones: * Si U (x,y)= 80 siendo U(x,y)= x3/2 y: x3/2 y = 80 y= 80 x(-3/2) (ecuación de la primera curva de nivel a graficar) * Si U (x,y)= 405 siendo U(x,y)= x3/2 y: x3/2 y = 405 y= 405 x(-3/2) (ecuación de la segunda curva de nivel a graficar) * Si U (x,y)= 1280 siendo U(x,y)= x3/2 y: x3/2 y = 1280 y= 1280 x(-3/2) (ecuación de la tercera curva de nivel a graficar) * Si U (x,y)= 3750 siendo U(x,y)= x3/2 y: x3/2 y = 3750 y= 3750 x(-3/2) (ecuación de la cuarta curva de nivel a graficar) 5. APLICACIONES Marisa Angélica Digión 33 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático * Si U (x,y)= 10800 siendo U(x,y)= x3/2 y: x3/2 y = 10800 y= 10800 x(-3/2) (ecuación de la quinta curva de nivel a graficar) Luego, considerando rangos adecuados para “x” e “y”, las curvas de nivel que arroja el uso del programa GRAPHMATICA son las siguientes: b. La curva de ecuación y= 80 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia a esta ecuación son tales que dan al productor agropecuario una Utilidad de 80 miles de dólares. La curva de ecuación y= 405 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia a esta ecuación son tales que dan al productor agropecuario una Utilidad de 405 miles de dólares. La curva de ecuación y= 1280 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia a esta ecuación son tales que dan al productor agropecuariouna Utilidad de 1280 miles de dólares. La curva de ecuación y= 3750 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia a esta ecuación son tales que dan al productor agropecuario una Utilidad de 3750 miles de dólares. La curva de ecuación y= 10800 x(-3/2) significa que todos los puntos (x,y) que verifiquen la pertenencia a esta ecuación son tales que dan al productor agropecuario una Utilidad de 10800 miles de dólares. c. La Utilidad del productor de vender xo= 16 toneladas del cultivo tipo A e yo=20 toneladas del cultivo tipo B es: U(16,20)= 163/2 .20 = 1280 miles de dólares d. Todos los puntos que pertenecen a una misma curva de nivel proporcionan una Utilidad constante. Observando ya sea, la expresión analítica de la función Utilidad, o bien alguna de las curvas de nivel que la U=U(x,y) Marisa Angélica Digión 34 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático representan, se puede afirmar que cuando la cantidad de ventas del cultivo A aumenta (x), la cantidad de ventas del producto B disminuye (y), pero la Utilidad se mantiene constante. 2. La producción semanal de una fábrica está dada por la función de expresión analítica: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 1200 𝑥 + 500 𝑦 + 𝑥2𝑦 − 𝑥3 − 𝑦2 unidades donde “x” es el número de trabajadores expertos e “y” es el número de trabajadores inexpertos empleados en la fábrica. Actualmente, la fuerza de trabajo está formada por 30 trabajadores expertos y 60 trabajadores inexpertos. a. ¿Cuántas unidades se producen en la fábrica semanalmente? b. Si se adicionaría un trabajar experto más, manteniendo sin modificaciones el número de trabajadores inexpertos, ¿cuál es el cambio estimado en la producción semanal? c. Si en la fuerza laboral actual se incrementa un trabajador inexperto más, ¿cuál es el cambio estimado en la producción semanal? d. De los resultados de b. y c., indique que tipo de trabajador debe incorporar la fábrica para obtener una producción semanal mayor. Solución a. La producción semanal cuando se desempeñan 30 trabajadores expertos y 60 trabajadores inexpertos es: 𝑃(30,60) = 1200 . 30 + 500 . 60 + (30)2 . 60 − (30)3 − (60)2 = 𝟖𝟗𝟒𝟎𝟎 unidades b. Para determinar el cambio estimado en la producción semanal, cuando se incrementa 1 trabajador experto más, manteniéndose constante el número de trabajadores inexpertos, se calcula la primera derivada parcial de la función producción semanal respecto de “x” (ya que es el valor de la variable que se modifica), para luego particularizarla en x=30 e y=60, o sea: 𝑃𝑥(𝑥, 𝑦) = 1200 + 2 𝑥 𝑦 − 3𝑥2 unidades 𝑃𝑥(30,60) = 1200 + 2 (30)(60) − (30)2 = 2100 unidades Luego, cuando la fuerza de trabajo aumenta de 30 a 31 trabajadores expertos y 60 inexpertos, la producción semanal se incrementa, estimativamente, en 2100 unidades. c. El cambio estimado en la producción semanal, cuando se incrementa 1 trabajador inexperto más, manteniéndose constante el número de trabajadores expertos, se calcula a partir de la primera derivada parcial de la función producción semanal respecto de “y” (ya que es el valor de la variable que se modifica), para luego particularizarla en x=30 e y=60, o sea: 𝑃(𝑥, 𝑦) = 500 + 𝑥2 − 2𝑦 unidades 𝑃𝑦(30,60) = 500 + (30)2 − 2 (60) = 1280 unidades Marisa Angélica Digión 35 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Luego, cuando la fuerza de trabajo es de 30 trabajadores expertos y aumenta de 60 a 61 trabajadores inexpertos, la producción semanal se incrementa, estimativamente, en 1280 unidades. d. Conviene a la fábrica incorporar un trabajador experto. 3. La utilidad (o ganancia) que percibe mensualmente un empresario minorista por la comercialización de dos tipos de electrodomésticos diferentes es: U(x,y)= - 4 x2 – 8 y2 – 2xy + 36x + 40y donde “x” es el número de unidades que vende del artículo marca A, “y” es el número de unidades que vende del artículo marca B y U se mide en pesos. ¿Cuáles deberán ser las cantidades “x” e “y” para que la utilidad que obtenga de la venta mensual sea máxima? Solución ✓ Condición necesaria Ux(x,y)= - 8 x – 2y + 36 = 0 4x + y = 18 Uy(x,y)= – 16 y – 2x + 40 = 0 x + 8y = 20 Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas determinamos que el punto crítico o posible extremo es: (xo,yo) = (4,2) ✓ Condición suficiente Uxx(x,y)= - 8 Uxx(4,2)= - 8 Uxy(x,y)= – 2 Uxy(4,2)= – 2 [= Uyx(4,2)] Uyy(x,y)= – 16 Uyy(4,2)= – 16 El determinante en (4,2) es: (4,2) = (-8)(-16) – (-2)2 = 124 > 0 Entonces la función Utilidad tiene en (4,2) extremo, que es máximo pues Uxx(4,2)=-8<0 Marisa Angélica Digión 36 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Finalmente, la utilidad del empresario será máxima cuando venda mensualmente 4 unidades del electrodoméstico marca A y 2 unidades del electrodoméstico marca B. 4. Una fábrica produce dos tipos de maquinarias pesadas en cantidades “x” e “y”. Estudios realizados indican que la función costo de producción (en miles de pesos) está dado por: C=C(x,y)= 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥𝑦 Para minimizar el costo, ¿cuántas máquinas debe producir, si el total debe ser de 8 máquinas? Solución Esta aplicación corresponde a la determinación un extremo sujeto a una restricción, siendo: • La función a extremar: C=C(x,y)= 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥𝑦 • La ecuación restrictiva: x+y= 8 o x+y-8=0 Formamos la función lagrangeana: • L(x,y, )= 𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑥𝑦 - (x+y-8) y el sistema de ecuaciones: Lx(x,y, )= 2𝑥 + −𝑦 - = 0 Ly(x,y, )= 4𝑦 − 𝑥 - = 0 L (x,y, )= - (x+y-8) = 0 De la resolución del sistema, obtenemos que la función lagrangeana “L” tiene en (5,3,7) un punto crítico y la función “f” tiene en (5,3) un punto crítico. Aplicamos a este último las condiciones necesaria y suficiente: Cx(x,y)= 2𝑥 − 𝑦 Cxx(x,y)= 2 Cxx(5,3)= 2 Cxy(x,y)= -1 Cxy(5,3)= -1 Cy(x,y)= 4y−𝑥 Cyx(x,y)= -1 Cyx(5,3)= -1 Cyy(x,y)= 4 Cyy(5,3)= 4 (5,3)= (2) (4) – (-1)2 = 7 > 0 y Cxx(5,3)= 2 > 0 Marisa Angélica Digión 37 Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Análisis Matemático Finalmente, la función “C” tiene en (5,3) un mínimo relativo sujeto a la restricción dada por “g”. Esto significa que se deberán producir 5 maquinarias pesadas de un tipo y 3 maquinarias pesada del otro tipo, en total 8 de ellas, para que el costo de producción sea mínimo [C(5,3)= 𝟓𝟐 + 𝟐. 𝟑𝟐 − 𝟓. 𝟑 = 𝟑𝟖 𝒎𝒊𝒍 𝒑𝒆𝒔𝒐𝒔].
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