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LÍMITE Y CONTINUIDAD 
DE UNA FUNCIÓN REAL 
DE VARIABLE REAL
Ciclo Lectivo 2020
Cartilla de Trabajos Prácticos 
ANÁLISIS MATEMÁTICO/MATEMÁTICA II 
 
 
 
1 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
 
 
 
 
Calcular	el	valor	del	límite	o	de	los	límites	de	acuerdo	a	los	datos	que	se	proporcionan	en	
cada	item.		Indicar	qué	método	resultó	apropiado	para	su	determinación.		
i. ;	 ;	 ;	 ;	 ;	 ;	 ;	 ;	 ;	
;	 	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
ii. 	
x	 2,9	 2,99	 2,999	 3	 3,001	 3,01	 3,1	
	
	 	 	 	 	 	 	
	 	
0
lim ( )
x
f x
+® 0
lim ( )
x
f x
-® 0
lim ( )
x
f x
® 6
lim ( )
x
f x
+® 6
lim ( )
x
f x
-® 6
lim ( )
x
f x
® 8
lim ( )
x
f x
+® 8
lim ( )
x
f x
-® 8
lim ( )
x
f x
®
4
lim ( )
x
f x
®
lim ( )
x
f x
®-¥
3
lim ( )
x
f x
®
2 9( )
3
xf x
x
-
=
-
Ejercicio	1	
Trabajo	Práctico	
LIMITE	Y	CONTINUIDAD	DE	UNA	FUNCION	REAL	DE	
VARIABLE	REAL
 
 
 
2 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
iii. ;	 ;	 	
	
	
	
 
Calcular	las	operaciones	que	se	indican	o	establecer	si	se	trata	de	una	indeterminación.	
∞ ± k =	 (+∞) + (+∞) =	 (+∞) − (+∞)	
∞	. k	 =											(si	k ≠ 0)	 ∞	.∞ =	 0	.∞	
0
k =	
0
∞ =	
0
0	
k
0 =	
k
∞ =	
	
∞
k = 																	 (si	k ≠ 0)	
∞
0 =	
∞
∞	
0! = J 0				si		k > 0∞					si	k < 0	
0"# =	 0$	
k$ =	 k"# = J∞				si		k > 10					si	0 < k < 1	
1#	
	 (+∞)"# =	 ∞$	
	
 
 
Calcular	el	valor	de	los	siguientes	límites,	si	existen.		
1
lim ( )
x
f x
®- 0
lim ( )
x
f x
® 2
lim ( )
x
f x
®
:
( )
3 0
0 0
f A R R
xx si x
xx y f x
si x
Í ®
ì- + ¹ï= = í
ï =î
!
Ejercicio	3	
Ejercicio	2	
 
 
 
3 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
i. Aplicando	método	analítico	y	las	operaciones	algebraicas	necesarias.		
	
a)	 	 f)	 		 k)		 	
	
b)	 	 g)	 	 l)	 	
c)	 	 h)	 	
m)	 	
d)	 	 i)	 	 n)	 	
e) 	 j)	 	 o)	 	
	
ii. Aplicando	límite	fundamental	“e”	y	las	operaciones	algebraicas	necesarias.		
	
a)	 	
c)	 	
e)	 	
b)	 	 d)	 lim
𝑥→0
U
𝑥 − 2𝑥%
𝑥 W
%
&
	
f)	 	
	
	
 
i. Tomando	 en	 consideración	 la	 extensión	 del	 concepto	 de	 límite,	 calcular	 los	
siguientes,	si	existen:	
	
	
2
0
2 1lim
2®
+ +
+x
x x
x
3 2
22
3 5 16 28lim
4 4®
- - +
- +x
x x x
x x ( )21
2 2lim
1 1®
é ù
-ê ú
- -ê úë û
x x x
2
2
2 1lim
2®-
+ +
+x
x x
x 0
7 7lim
+®
+ -
x
x
x 0
1 3 2lim
2®
- -é ù-ê úë ûx
x x
x x
3 2
11
2lim -®-
+ -
x
x x x
x
2
0
lim
2+® -x
x
x x
0
1 1
3 3lim
®
é ù-ê ú+
ê ú
ê ú
ë û
x
x
x
2
33
4 9 9lim
27®-
+ -
+x
x x
x 4
1 2 3lim
2 2®
+ -
- -x
x
x
2
32
2lim
4®
-
-x
x x
x x
3 2
21
1lim
2 1®-
+ - -
+ -x
x x x
x x
2
21
1lim
1 1®
é ù+
-ê ú- -ë ûx
x x
x x
30
.ln( 1)lim
(1 ) 1®
+
+ -x
x x
x
( )
1
2
0
lim 4 1
®
+ n
n
n
1
5
0
2lim 1
3®
æ ö+ç ÷
è ø
t
t
t ( )
1 5
0
lim 1 3 +
®
+ x
x
x
( )
1
4
0
lim 1 8
®
- x
x
x 0lim 1 7® +
x
x
x
Ejercicio	4	
 
 
 
4 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
a)	 	 f)	 	 k)	 	
b)	 	 g)	 	 l)	 	
c)	 	 h)	 	 m)	 	
d)	 	 i)	 	 n) 		
e)	 		 j)	 	 o)	 	
	
ii. Usando	 el	 software	 GRAPHMATICA	 comprobar,	 gráficamente,	 los	 resultados	
obtenidos	en	los	ítems	c,	e	y	g.	
 
 
 
a) A	partir	de	las	representaciones	gráficas	de	las	siguientes	funciones	completar	la	tabla:	
Función	 Dominio	 Puntos	de	
discontinuidad	
Tipo	de	
discontinuidad	
	
	 	 	
( ) ( )2
3lim
2 7®¥ - -x
x
x x x
24 1lim
2 7®¥
+ +
+x
x x
x
91lim 1
®¥
æ ö+ç ÷
è ø
x
x x
5
0lim
3®¥ +
x
x x x
2lim 4
®¥
é ù- -ë ûx x x x
1lim 1
2®¥
æ ö+ç ÷
è ø
x
x x
7 4
4 3 2
3 8lim
7 6®¥
+ + -
+ - -x
x x x
x x x x ( )
2
6
1lim 1 .
4 7®¥
é ù
+ê ú+ë ûx
x
x
23lim 1
4
-
®¥
æ ö+ç ÷
è ø
h
h h
4
6 3
5 3 7lim
2 9 14®¥
+ -
- +x
x x
x x
3
2
7lim
®¥
é ù+
-ê ú
ë ûx
x xx
x
4 2lim
2®¥
+æ ö
ç ÷
è ø
n
n
n
n
5 4
3lim 2
- -
-®¥
+
-x
x x
x
3 1
2
2
1lim
+
+
®¥
æ ö
ç ÷
è ø
x
x
x x
71lim 1
3®¥
æ ö-ç ÷
è ø
t
t t
Ejercicio	5	
y= 
 
 
 
5 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
	
	 	 	
	
	 	 	
	
b) Replicar	la	gráfica	de	la	función	f	definida	el	punto	1.i,	y	a	partir	de	ella	indicar:	
i. Su	dominio.	
ii. Si	existen	puntos	de	discontinuidad	en	R.	
iii. La	clasificación	de	los	puntos	de	discontinuidad,	si	existieran.	
 
 
 
a)	Dadas	las	siguientes	funciones	f	y	g	definidas	por	sus	expresiones	analíticas:		
	
		 	 	 	2( ) 1f x x= - ( ) 2
3 0
1 0
x si x
g x
x si x
- <ì
= í - ³î
y= 
Ejercicio	6	
 
 
 
6 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
Para	cada	una	de	ellas:		
i. Determinar	su	dominio,	representarla	gráficamente	en	un	sistema	de	coordenadas	
cartesianas.		
ii. Calcular	los	límites	cuando	𝐱 → 𝟎	aplicando	el	método	gráfico.	
iii. Observar	la	gráfica	de	la	función;	¿presenta	puntos	de	discontinuidad?	De	responder	
afirmativamente	a	esta	pregunta,	probar	analíticamente	que	lo	son	e	indicar	de	que	
tipo	de	discontinuidad	se	trata.	
	
b)	Para	la	función	h,	definida	por	su	expresión	analítica	h(x):	
	
	
	
i. Calcular	el	valor	de	c	(número	real)	de	modo	que	exista	el	límite	cuando	x	tiende	0.	
ii. Determinar	su	dominio,	representarla	gráficamente	en	un	sistema	de	coordenadas	
cartesianas.		
 
 
 
A	partir	de	 la	representación	gráfica	de	 las	siguientes	 funciones,	 identificar	si	 las	mismas	
presentan	asíntotas,	de	ser	así,	escribir	sus	ecuaciones.		
	
( ) 2
3 0
1 0
x c si x
h x
x si x
- + <ì
= í - >î
Ejercicio	7	
 
 
 
7 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
	
 
 
Dadas	las	siguientes	funciones,	definidas	cada	una	de	ellas	por	su	expresión	analítica:		
a)	 	 c)	 		 e)	 		
b)	 	 d) 		 f)	 	
	
i. Determinar	el	dominio	y	representarla	gráficamente.	
ii. Estudiar	analíticamente	la	continuidad	en	el	conjunto	de	los	números	reales	R	.	De	
ser	discontinua	en	algún	punto,	decir	de	qué	tipo	de	discontinuidad	se	trata;	si	es	
discontinua	evitable,	redefinir	la	función	para	que	sea	continua	en	los	R.	
iii. 	Determinar	analíticamente	 las	ecuaciones	de	 las	asíntotas,	si	existen.	Corroborar	
con	las	representaciones	gráficas	realizadas	en	i.-	 	
Usando	el	software	GRAPHMATICA	comprobar,	gráficamente,	los	resultados	obtenidos.	
 
 
( )
2
xf x
x
-
=
-
( ) 3 xf x e -= 2( ) 4f x x= -
2 4( )
1
xf x
x
-
=
- 2
1( )
1
xf x
x
+
=
- 2
1( )
4
f x
x
=
-
Ejercicio	8	
 
 
 
8 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
 
Dada	la	expresión	analítica	de	la	función	h:	
y = h(x) = p
−x − 3											si			x < 0
(x − 1)% + 2,									si			0 ≤ 	x ≤ 3
6																							si			x > 3
	
	
a) ¿Puede	aplicarse	el	Teorema	de	Bolzano	en	los	siguientes	intervalos?	:	
i. 	[-5	;	0]	
ii. [-5	;	-1]	
En	caso	afirmativo	determinar	el	valor	de	la	constante	para	la	cual	se	cumple	la	tesis	
del	teorema.	
b) ¿Se	puede	afirmar	que	la	función	h	tiene	un	máximo	absoluto	en	el	intervalo	[0;3]?	De	
ser	 la	 respuesta	 afirmativa,	 justificarla	 con	 el	 teorema	 apropiado	 y	 determinar	 las	
coordenadas	del	punto	en	donde	se	produce	dicho	máximo.	
	
c) Según	el	teorema	del	Valor	Intermedio	¿existe	un	c	∈	[-10,-1]	tal	que	h(c)	=	4.	¿Se	puede	
aplicar	el	teorema	en	el	intervalo	[-6,	0]?	
	
d) Justificar	que	la	función	polinómica	no	tiene	un	cero	comprendido	entre	[0;1].	
	
Corroborar	lo	obtenido,	representando	gráficamente	la	función	con	el	software	
GRAPHMATICA.	
	
	
 
 
La	función	de	producción	de	"p"	respecto	a	la	cantidad	de	materia	prima	"t"	(en	cientos	
de	unidades),	está	dada	por	su	expresión	analítica:	p	(t) = −t% + 400t	
	
Aplicaciones
bjetivos	
Problema	1	
Ejercicio	9	
 
 
 
9 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
i. Determinar	el	dominio	de	la	función	de	producción.	
ii. Calcular	e	interpretar	los	resultados	cuando	cuando	se	quieren	producir	100,	200	
y	300	unidades.	
iii. Interpretar	 qué	 sucede	 cuando	 la	 producción	 tiende	 a	 200	 unidades,	 es	 decir:	
lim
'→%$$!
p(t)	y		 lim
'→%$$"
p(t).	
iv. Interpretar	 qué	 sucede	 cuando	 laproducción	 de	 telas	 se	 encuentre	 entre	 los	
intervalos	[0,200]	y	[200,300].	
	
	
 
La	función	de	costos	de	producción	de	cajas	de	cartones,	se	define	C(x) = 300 + 0,1	x%,	
siendo	 x	 la	 cantidad	 de	 cajas	 de	 cartones	 producidas	 (en	 cientos)	 y	 C	 es	 el	 costo	 de	
producción	(en	miles	de	pesos).		Encontrar	e	interpretar:	
i. lim
'→)$
C(x)	
ii. lim
'→$
C(x)	
iii. lim
'→#
C(x)	
 
Problema	2