TP01-FUNCIONES REALES DE DOS Y TRES VARIABLES

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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1 
FUNCIONES REALES DE DOS Y TRES VARIABLES REALES 
 
DEFINICION – DOMINIO – IMAGEN - NOTACION 
1. FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES REALES INDEPENDIENTES 
 
Una función ),( yxfz = de dos variables independientes es una regla que asigna a cada par 
ordenado ),( yx uno y sólo un elemento en Rz∈ 
 



=→
→⊆
),(),(
: 2
yxfzyx
RRDf
 
 
a) DOMINIO: Al conjunto de todos los pares ordenados ),( yx que dan valores reales a z se lo 
denomina dominio de la función: 
 
{ })y,x(fz/R)y,x(D 2f =∈= 
 
b) IMAGEN: La imagen de una función ),( yxfz = es el conjunto : 
 
{ })y,x(fz/RzI f =∈= 
 
 
c) GRAFICA: 𝑔𝑔𝑔𝑔á𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 f = {(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) ∈ 𝑅𝑅3/𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)} 
 
Entonces, una función queda definida cuando se conocen: 
 
a) su dominio, 
b) su imagen, 
c) la ley que permite determinar los elementos correspondientes que constituyen los pares 
ordenados, 
d) La gráfica de una función de dos variables independientes que toma la forma de una 
“superficie” en 𝑅𝑅3 
 
2. FUNCIÓN REAL DE TRES VARIABLES REALES INDEPENDIENTES 
 
Una función de tres variables reales independientes es una regla que asigna a cada punto )z,y,x( 
de un conjunto D del espacio tridimensional un número real único U. 
 



=→
→⊆
)z,y,x(fu )z,y,x(
RRD:f 3
 
 
a) DOMINIO 
 
A este conjunto D se lo llama dominio de la función y es el conjunto de puntos del espacio R3 en el 
cual la función está definida (volumen en el espacio). 
{ }),,( /),,( 3 zyxfuRzyxD f =∈= 
 
b) IMAGEN 
 
{ }),,( / zyxfuRuI f =∈= 
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La función no se puede graficar por estar sus puntos en 4R 
 
1. FUNCIONES REALES DE DOS Y TRES VARIABLES REALES 
Funciones reales de dos variables reales independientes 
 
a) DOMINIO E IMAGEN 
 
Ejercicio 1. Determine analítica y gráficamente: 
 
a) dominio 
b) el conjunto de puntos del dominio donde f se anula, 
c) los conjuntos de puntos donde la función es positiva y negativa: 
 
f (x, y) = x
2 − y 
 
2 y − x − 2 
 
Ejercicio 2. Determine y grafique el dominio de las siguientes funciones y su imagen: 
 
a) f (x, y) = 12 − x2 − y2 
b) 22),( yxyxf += 
c) 224),( yxyxf −−= 
d) g(x, y) = arc cos (2 y + x3 ) 
 
e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑙𝑙𝑙𝑙 �3𝑥𝑥 −𝑦𝑦
𝑦𝑦 +5
� 
 
f) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �𝑦𝑦 − 𝑥𝑥2 
 
g) ℎ(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = −�(𝑣𝑣 − 𝑢𝑢)(𝑢𝑢2 + 2𝑣𝑣2 − 44 ) 
 
h) 𝑓𝑓(𝑢𝑢, 𝑣𝑣) = 4 + √𝑢𝑢2 − 𝑣𝑣2 
 
i) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1/log (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 1) 
 
j) 
)(1
1),,(
222 zyx
zyxf
++−
= 
 
k) 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = �25 − (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) + √𝑧𝑧 
 
 
b) REPRESENTACION GRAFICA: La representación gráfica puede realizarse de diferentes formas: 
• Representación gráfica por trazas 
• Representación gráfica mediante curvas de nivel 
• Representación gráfica utilizando soft como SAGE, GEOGEBRA y SURFER cuya descarga es 
gratuita 
 
 
 
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA MEDIANTE TRAZAS 
Se llama TRAZA de una superficie a la curva intersección de la misma con un plano coordenado. 
Para representar gráficamente la superficie asociada a una función, se determinan sus trazas como 
las intersecciones de la gráfica con cada uno de los planos coordenados resolviendo los siguientes 
sistemas de ecuaciones: 
 Plano yz Plano xz Plano xy 
 



=
=
0x
)y,x(fz
 



=
=
0y
)y,x(fz
 



=
=
0z
)y,x(fz
 
Si estos sistemas admiten solución, obtendremos una curva, en cada plano coordenado. Este método 
es aplicable al caso de planos o superficies con simetría. 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA MEDIANTE CURVAS DE NIVEL 
Dado un campo escalar de dos variables )y,x(fz = , curva de nivel es el conjunto de puntos 
)y,x( pertenecientes al dominio para los cuales 
k)y,x(f = 
 { }k)y,x(f/)y,x(C == 
 
 
 
 
 
 
En ciencias e ingeniería las curvas de nivel se designan como ISOLÍNEAS, también llamadas isopleta, 
isograma o isaritma, dicha curva conecta los puntos de igual magnitud en un mapa. 
 
Algunas tienen un nombre específico, que comienza por el prefijo «iso», (que significa igual) según la 
naturaleza de la variable que se mantiene constante. 
 
El uso de nombres específicos está muy extendido en cartografía, termodinámica, oceanografía, 
geografía física, meteorología, magnetismo, botánica, ciencias ambientales, ciencias sociales, 
economía, transporte, sismología, etc. 
 
Por ejemplo: 
 
 isoterma es una línea de temperatura constante 
 isobara es una línea de presión constante 
http://es.wikipedia.org/wiki/Curva
http://es.wikipedia.org/wiki/Curva
http://es.wikipedia.org/wiki/Termodin%C3%A1mica
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 isocora es una línea de volumen específico constante 
 equipotencial es una línea de igual potencial 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA - TRAZAS, CURVAS DE NIVEL, SUPERFICIES DE NIVEL 
 
Ejercicio 3. Dadas las siguientes superficies en R3: 
 
I) Identifíquelas y grafíquelas encontrando ecuaciones y gráficas de las trazas. 
II) Encuentre y represente en el plano xy algunas curvas de nivel. 
III) indique cuales de ellas son funciones z = f(x,y) 
 
a) 𝑥𝑥
2
+ 𝑦𝑦
3
+ 2
3
𝑧𝑧 = 1 
 
b) 𝑧𝑧 = 6 − 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 
c) 𝑥𝑥2 + (𝑦𝑦−1)
2
4
+ 𝑧𝑧
2
9
= 1 
 
d) 𝑥𝑥2 + 𝑧𝑧2 − 1
2
𝑦𝑦2 = 0 
 
 
e) 𝑧𝑧 = |𝑦𝑦 − 4| 
 
 
Ejercicio 4. Dadas las siguientes ecuaciones: 
 
1
44
2
22
=−+ zyx 14 222 =++ yxz 
 
a) Exprese z = f(x,y) 
b) Determine y grafique su dominio 
c) Indique su imagen 
d) Determine la ecuación de sus trazas y grafique 
e) Determine las ecuaciones de 3 curvas de nivel y grafique 
 
Ejercicio 5. Determine la expresión de la familia de superficies de nivel, grafique una de ellas 
aplicando trazas, e identifique las superficies 
 
a) 𝑢𝑢 = �𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 
 
b) u = x2 + y2 − z 2 
 
c) u = z − x2 − y2 
d) u = x2 + z2 − 9 
 
C) PROBLEMAS DE APLICACIÓN 
 
Ejercicio 6. Un fabricante de Juguetes estima que su producción está dad por la función 𝑃𝑃(𝑙𝑙, 𝑘𝑘) =
√𝑙𝑙𝑘𝑘, donde l es el número de horas de trabajo por semana y k el capital requerido para una 
producción semanal de juguetes. 
a) Calcular la producción cuando l = 400 y k = 16. 
 
b) ¿Cuál es la relación entre el número de horas de trabajo y el capital para mantener esa 
producción? 
 
c) Comparar el nivel de producción cuando los factores se reducen a la mitad o se duplican. 
 
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d) Grafique las curvas de nivel de b) y c). 
 
Ejercicio 7. La siguiente función representa la temperatura en un punto (x, y) de una placa 
rectangular con el origen de coordenadas ubicado en el centro de la misma. Encuentre la ecuación de 
las isotermas correspondientes y grafique: 
T (x, y) = x
2 T = 0, 1 , 1 , 1 
x2 + y 2 2 5 10 
 
 
 
 
1.2 LÍMITE Y CONTINUIDAD 
 
El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones 
de una variable, dado que en este caso existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto. 
 
LIMITE FUNCIONAL, DOBLE O SIMULTÁNEO 
 
Definición: 
 
Sea una función RRD:f 2 →⊆ de dos variables definida en el entorno reducido ( )δ);b,a(E* 
 
ε y)- L f (x<δb)(y(x-a)<Dyx/δ,εLyxflím fbayx <⇒−+∧∈>∃>∀⇔=→ ,0),(0 0),(
22
),(),(
 
 
En términos gráficos, se interpreta que para un punto cualquiera f Dom)y,x( ∈ y al 
( )δ);b,a(E* el valor de )y,x(f está entre ε+L y ε−L , como se muestra en la figura. 
 
 
Se observa que el punto yx ),( se puede aproximar al punto ),( ba en cualquier dirección, entonces 
si el valor de L)y,x(flím
)b,a()y,x(
=
→
 no es el mismo para todos los posibles caminos o 
trayectorias al acercarnos a ),( ba , el límite no existe. 
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UNICIDAD DEL LÍMITE DOBLE 
 
Si el límite existe, es único,determinado y finito. 
El modo en que ),(),( bayx → es completamente arbitrario, y cualquiera sea el modo de tender, 
el valor del límite L debe ser único. 
 
CALCULO DEL LÍMITE 
 
Si el límite es indeterminado, para determinar la existencia de límite doble es posible recurrir a 
distintas métodos: 
 
a) Límites reiterados 
b) Límites por caminos o direccionales 
c) Limites utilizando coordenadas polares 
 
LÍMITES REITERADOS, ITERADOS O SUCESIVOS 
 
1
byax
L)y,x(flímlím =



→→
 
 
2
axby
L)y,x(flímlím =



→→
 
 
Los límites reiterados sólo pueden usarse con las siguientes restricciones: 
 
 1.- Si existen L1 y L2 y son diferentes, L no existe 
 2.- Si existen L1 y L2 y coinciden, en caso de existir L, tendrá igual valor 
 3.- Si existe sólo uno de los límites reiterados, en caso de existir L, tendrá ese valor 
 4.- Si no existen ni L1 ni L2, L puede existir. 
 
LIMITES POR CAMINOS 
 
Radiales o direccionales 
 
Elegimos las direcciones de las infinitas rectas pasantes por )b,a( , siendo la ecuación de dicha 
familia de rectas 
 
 )ax(mby −=− 
 
Elegimos las direcciones de la familia de parábolas con vértice en )b,a( , según sea el eje focal: 
 
abykx
 
baxky
+−=
+−=
2
2
)(
)(
 
 
D) LÍMITE Y CONTINUIDAD 
 
Ejercicio 8. Determine el límite doble o simultáneo de las siguientes funciones en el punto indicado, 
o muestre que no existe. 
 
a) 𝑧𝑧 = ln(𝑥𝑥𝑦𝑦) + 3 − 𝑦𝑦2𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑙𝑙 �2, 1 2� � 
 
 
 
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b) 𝑧𝑧 = 3𝑥𝑥𝑓𝑓𝑐𝑐𝑐𝑐2 (𝑥𝑥𝑦𝑦) − 2𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙(𝑥𝑥𝑦𝑦) 𝑒𝑒𝑙𝑙 (–𝜋𝜋, 0) 
 
c) 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥−𝑥𝑥𝑦𝑦+3
𝑥𝑥2𝑦𝑦+5𝑥𝑥𝑦𝑦−𝑦𝑦3
 𝑒𝑒𝑙𝑙 (0,1) 
 
d) 𝑧𝑧 = 10𝑥𝑥𝑦𝑦
2
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2
 𝑒𝑒𝑙𝑙 (0,0) 
 
e) 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥
2−𝑦𝑦2
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2
 𝑒𝑒𝑙𝑙 (0,0) 
 
Ejercicio 9. Demostrar que el límite no existe realizando el cálculo con dos límites direccionales. 
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �
𝑥𝑥𝑦𝑦2
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦6
𝑆𝑆𝑓𝑓 (𝑥𝑥,𝑦𝑦) ≠ (0,0)
0 𝑆𝑆𝑓𝑓 (𝑥𝑥,𝑦𝑦) = (0,0)
 
 
 
Ejercicio 10. Analice los siguientes límites en los puntos indicados, mediante límites reiterados, 
direccionales, o usando coordenadas polares, a fin de determinar su existencia: 
 
a) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(0,0)
𝑥𝑥2
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 
 
b) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(0,0)
𝑥𝑥𝑦𝑦3
2𝑥𝑥2+𝑦𝑦6
 
 
c) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(0,1)
𝑥𝑥𝑦𝑦−𝑥𝑥
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2−2𝑦𝑦+1 
 
d) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(0,0)
𝑥𝑥𝑦𝑦
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2 
 
e) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(1,0)
𝑥𝑥𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙𝑦𝑦
𝑥𝑥2+1 
 
f) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(−2,2)
𝑥𝑥𝑦𝑦+𝑦𝑦−2𝑥𝑥−2
𝑥𝑥+1 
 
g) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(0,0)
𝑥𝑥−𝑦𝑦
𝑥𝑥+𝑦𝑦 
 
h) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(0,0)
𝑥𝑥𝑦𝑦3
𝑥𝑥2+𝑦𝑦6 
 
i) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(0,0)
𝑥𝑥𝑦𝑦
|𝑥𝑥𝑦𝑦|
 
 
Ejercicio 11. Encuentre, si existen, los siguientes límites dobles: 
a) 22)3,1()y,x( yx9
y2x6
lím
−
−
→
 
 
b) 
)1y)(1x(
)1y)(1x(
lím 2
43
)1,1()y,x( −−
−−
→
 
c) 22)0,0()y,x( yx
yx
lím
+→
 
 
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d) 2
2
)0,0()y,x( yx
y
lím
+→
 
 
e) 24
2
)0,0()y,x( yx
yx2
lím
+→
 
 
f) 
2y
)5x(x7
lím
)2,5()y,x( +
−
−→
 
 
CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UNA REGION 
 
1. Una función )y,x(fz = es continua en un punto )b,a( de su dominio si se cumplen 
simultáneamente las siguientes condiciones: 
 
1. Existe )b,a(f 
 
2. Existe 
(a,b)x,y) (
 f(xy) = L lím 
→
 
 
3. 𝑓𝑓(𝑓𝑓, 𝑏𝑏) = 𝐿𝐿 
 
2. Una función )y,x(fz = es continua en una región, si es continua en cada punto de la 
misma, ello nos permite determinar los puntos de la región donde la función es discontinua. 
 
 
Ejercicio 12. Analice si los siguientes enunciados son Verdaderos o Falsos: 
 
Sea f: R2→ R 
 
a) Si lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)⟶(1,2)
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 5 entonces lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(1,2)
𝑦𝑦⟶𝑥𝑥2+1
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 5 
 
b) Si lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(1,2)
𝑦𝑦⟶𝑥𝑥2+1
𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 5 entonces lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)⟶(1,2)
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 5 
 
 
c) Si lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)⟶(1,2)
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 5 entonces se puede concluir algo sobre f(1,2) 
 
d) Si f es continua para todo (x,y) ≠ (0,0) y f(0,0) = 0 entonces lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→(0,0)
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 0 
 
e) Si g(x) y h(y) son funciones continuas y f(x,y) = g(x)+h(y) entonces f es continua. 
 
 
f) Si f es un infinitésimo en (a,b) y además es continua en (a,b), f(a,b)=0 
 
 
Ejercicio 13. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en el origen: 
 
a) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �
3𝑥𝑥2+𝑦𝑦2
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2
𝑆𝑆𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ≠ (0,0)
0 𝑆𝑆𝑓𝑓 (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = (0,0)
 
 
 
 
si 
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b) 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = �(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙 �
1
𝑥𝑥
� 𝑆𝑆𝑓𝑓 𝑥𝑥 ≠ 0
0 𝑆𝑆𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 0
 
 
 Ejercicio 14. Describa los puntos (x,y) para los cuales las funciones siguientes son continuas. 
 
a) h(x, y) = 2x+3y
y−4x2
 
 
b) l(x, y) = cos (x3 − 4xy + y2) 
 
Ejercicio 15. Dada la función definida por: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = �0 𝑆𝑆𝑓𝑓 𝑥𝑥
2 + 𝑦𝑦2 ≤ 4
4 𝑆𝑆𝑓𝑓 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 > 4
 
 
a) Grafíquela 
 
b) Indique el conjunto de puntos donde la función es continua 
 
c) ¿Es f un infinitésimo en (0,2)? ¿Por qué? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	FUNCIONES REALES DE DOS Y TRES VARIABLES REALES
	DEFINICION – DOMINIO – IMAGEN - NOTACION
	a) DOMINIO: Al conjunto de todos los pares ordenados que dan valores reales a se lo denomina dominio de la función:
	b) IMAGEN: La imagen de una función es el conjunto :
	c) GRAFICA: 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 f =,(𝑥,𝑦,𝑧)∈,𝑅-3./𝑧=𝑓(𝑥,𝑦).
	2. FUNCIÓN REAL DE TRES VARIABLES REALES INDEPENDIENTES
	a) DOMINIO
	b) IMAGEN
	b) REPRESENTACION GRAFICA: La representación gráfica puede realizarse de diferentes formas:
	REPRESENTACIÓN GRÁFICA MEDIANTE TRAZAS
	Dado un campo escalar de dos variables , curva de nivel es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio para los cuales
	1.2 LÍMITE Y CONTINUIDAD
	El estudio de los límites de funciones de varias variables es mucho más complejo que el de funciones de una variable, dado que en este caso existe una infinidad de caminos para acercarnos a un punto.
	LIMITE FUNCIONAL, DOBLE O SIMULTÁNEO
	Definición:
	UNICIDAD DEL LÍMITE DOBLE
	Si el límite es indeterminado, para determinar la existencia de límite doble es posible recurrir a distintas métodos:
	a) Límites reiterados
	b) Límites por caminos o direccionales
	c) Limites utilizando coordenadas polares
	LÍMITES REITERADOS, ITERADOS O SUCESIVOS
	f)
	CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UNA REGION