TP Calculo Diferencial de FRVR

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
DE FUNCIONES REALES 
DE VARIABLE REAL
Ciclo Lectivo 2020
Cartilla de Trabajos Prácticos 
ANÁLISIS MATEMÁTICO/MATEMÁTICA II 
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
	
	
	
	
	 	
Dada	la	función	f	definida	por	su	expresión	analítica: ,	calcular:	
i. El	incremento	 	si	la	variable	independiente	varía:	
a) En	su	forma	general	de:	x			a				x	 + 	
b) Particularizando	cuando	x			pasa	de	2			a		2,1		
ii. La	razón	incremental	 				si	la	variable	independiente	varía:		
a) En	su	forma	general	de:	x			a				x + ∆x			
b) Particularizando	cuando	se	producen	los	siguientes	cambios	en	x:	
• de	2			a				2,1		
• de	2			a				2,01		
• de	2			a				2,001		
¿A	qué	valor	se	aproxima	el	cociente	incremental ,			cuando	x=2	y		∆x	se	aproxima	
a	0?	¿Qué	puede	concluir	al	respecto?	Analizar	desde	el	punto	de	vista	gráfico	los	
incrementos.	
iii. La	función	derivada	de	“f”,	aplicando	la	definición.	Luego,	definirla	de	manera	
completa.			
iv. El	valor	numérico	de	la	función	derivada	en		x=2	[	o	sea:	f	’(2)].	
	
	
	
( ) 3 1y f x x= = -
yD
xD
x
y
D
D
x
y
D
D
Trabajo	Práctico	
Ejercicio	1	
CALCULO	DIFERENCIAL	DE	FUNCIONES	REALES	DE	VARIABLE	
REAL
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
	 	
Dadas	las	siguientes	funciones	definidas	por	sus	expresiones	analíticas:	
																			 															 	
																					 																														 	
i. Indicar	el	dominio	de	cada	una	de	ellas	y	representarlas	gráficamente.	
ii. Estudiar,	 gráfica	 y	 analíticamente,	 la	 continuidad	 de	 las	 funciones	 en	 los	
valores	de	x	que	se	indican	a	continuación:	para	“h”	en	xb = 1	,	“f”	en	xb = −1	
,	para	“g”	en	xb = −2,	para	“m”	en	xb =
d
e
,	y	para	“j”	en		xb = 0	.	
iii. Calcular	 las	 expresiones	 analíticas	 de	 las	 correspondientes	 derivadas,	
aplicando	la	definición.	
iv. Definir	 completamente	 cada	 una	 de	 las	 funciones	 y	 sus	 correspondientes	
funciones	derivadas.		
v. Utilizando	el	software	GRAPHMATICA	comparar	los	resultados	obtenidos	en	
el	inciso	i		y	en	el	inciso		iii.		
	
	
	
i. Recordar	 la	 hipótesis	 del	 teorema	 que	 relaciona	 la	 derivabilidad	 con	 la	
continuidad	en	el	punto		xb.		
ii. De	acuerdo	a	las	siguientes	representaciones	gráficas	de	funciones,	y	de	ser	
posible,	indicar	si	las	mismas	son	derivables	en	los	puntos		xb	propuestos.		
	
	
	
	
	
( ) 1y f x x= = + 1( )
2 4
y g x
x
= =
+
3 2( ) 5y h x x x= = -
( ) 2 1y m x x= = - ( )
2
1 0
3 0
1 0
x si x
y j x si x
x si x
- - <ì
ï= = =í
ï - >î
Ejercicio	2	
Ejercicio	3	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
a) xb = 2	
	
b) xb = 4	
	
c)	xb = −2		y		xb = 0	
	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
iii. Dada	la	siguiente	función	definida	por	su	expresión	analítica,	encontrar	los	
valores	de	"a"		y		"b"		para	que	la	función	sea	continua	en	xb = −2	y	para	que	
la	función	sea	continua	y	derivable		xb = 0.	
	
	
	 	
i. Hallar	las	expresiones	analíticas	de	las	derivadas	de	las	siguientes	funciones	
empleando	las	reglas	de	derivación	de	las	funciones	elementales	y	las	reglas	
operativas	de	Cálculo	Diferencial.		
a) 	
b) 	
c) 	
d) 	
e) 	
f) 	
g) 	
h) 	
i) 	
( ) 2
3
2
2 2 0
0
ax si x
y f x x si x
x b si x
< -ì
ï= = - - £ £í
ï - >î
4 2 63( ) 5 3
4
y f x x x x x-= = + + +
4
3 7
1 3( ) 9y f x x
x x
-
= = + + +
1
6( ) 3ln 7 xy f x x e x= = - + -
22 1( ) xy f x
x
+
= =
( ) ( )5( ) 3 . 7y f x x x= = + -
( ) ( )2 2( ) . 1 . 4y f x x x x= = - +
( ) ( )1 . 2
( )
1x
x x
y f x
e
+ -
= =
+
1( )
1
x
x
ey f x
e
-
= =
+
4.ln( )
2 1
x x xy f x
x
= = -
+
Ejercicio	4	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
j) 	
ii. Verificar	empleando	el	software	GRAPHMATICA,	las	derivadas	obtenidas.	
	
	
	
i. A	partir	de	las	expresiones	analíticas	de	las	siguientes	funciones	compuestas	
y	aplicando	la	regla	de	la	cadena,	obtener	las	expresiones	analíticas	de	las	
funciones	derivadas:		
	
a) 	
b) 	
c) 	
d) 	
e) 	
f) 	
g) 	
h) 	
i) 	
2 2( ) 5 3
1
x xy f x e e
x
= = + + +
-
( )23 27( ) 3 3y f x x x= = - +
( )3 2( ) ln 7y f x x= =
( )32( ) ln 1y f x x= = +
2
3
4( )
7
xy f x
x
æ ö-
= = ç ÷-è ø
52
3
4 3( )
1
x xy f x
x
æ ö-
= = ç ÷
-è ø
2 1
( )
.ln
xey f x
x x
+
= =
( )2 2 3( ) . 1 .lnxy f x e x x= = +
( )2( ) ln ln 4 .y f x x xé ù= = +ë û
( )37( ) 3 . 2 5y f x x x= = +
Ejercicio	5	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
j) 	
ii. Verificar	empleando	el	software	GRAPHMATICA,	las	derivadas	obtenidas.	
	
	
	
Obtener	las	expresiones	analíticas	de	las	derivadas	de	las	siguientes	funciones	
empleando	derivación	implícita:	
	
a) y	´				si	 	
b) x	´				si	 	
c) y	´				si	 	
d) x	´				si	 	
e) y	´				si	 	
f) x	´				si	 	
g) si	consideramos	que	x = f(y)	
h) si	consideramos	que	x = f(y)	
	
	
2
4 .( )
ln
x x xey f x
x
+
= =
( )3 23 ln(2 ) 5 4 8 0x y xy x y+ + + + - =
3 23 18 0xy e x x y
x
+ + - - =
( ) 2 3ln 8 0xxy xe x y- + + =
2 45 6 7 0
2
x yx xy - +- - + - =
3 2ln 4 0
y
xe x y x y+ + + =
( )
1 3
3 9 9 3 0
1
x yxy x y
y
+
+ + - =
-
2 2 3 2 ln 0yxe y x x
y
+ - =
( )232 4 ln 0xx y y y
æ ö
- + - + =ç ÷
è ø
Ejercicio	6	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
	
Aplicando	derivación	logarítmica,	determinar	las	expresiones	analíticas	de	las	
derivadas	de	las	siguientes	funciones	definidas	por:	
a) 	
b) 	
c) 	
d) 	
e) 	
f) 	
g) 	
h) 	
	
	
	
i. Completar	los	datos	solicitados	en	la	siguiente	tabla:		
	
( )23 7 xy x= -
4xey x=
( ) 22 3 xy x x -= +
( )3 1ln 1 xy x -= +
( ) ( )ln 25 2 xy x= -
( ) ( )
2ln 9
ln 5
x
y x
-
=
( ) ( )
( )
3 2
2 2 5
1
3 4
2 . 7
2 7
x x
y
x x
+ -
=
+ +
( ) ( ) ( )
( )
5 9 11
3 23 4 5
7
3 6
2 1 . 7 . 5 7
2 3
x x x x
y
x x
+ - - -
=
-
Ejercicio	7	
Ejercicio	8	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
 
Pendiente	de	la	recta	tangente:		
	
	
	
	
Ecuación	recta	tangente	en	x = 1	
	
	
	
	
	
 
 
 
Pendiente	de	la	recta	tangente:		
	
	
	
	
Ecuación	recta	tangente	en	x = 5	
	
	
	
	
 
 
Pendiente	de	la	recta	tangente:		
	
	
	
	
Ecuación	recta	tangente	en	x = −4	
	
	
	
 
	
ii. Graficar	las	siguientes	funciones,	hallar	las	ecuaciones	de	las	rectas	tangente	
a	las	gráficas	en	los	puntos	que	se	indican	y	verificar	lo	realizado	con	el	
software	GRAPHMATICA.		
	
a) 	en	el	punto	de	abscisa	xb = 1	
b) 	 	en	el	punto	de	abscisa	xb =
d
e
				y		xb = −1	
3( ) 2y f x x= = - +
2( ) 2 4y g x x x= = +
t 
f 
t 
h 
t 
g 
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
c) 			en	los	puntos	de	abscisa	xb = −2			y		xb = 3		
	
Calcular	las	expresiones	analíticas	de	las	derivadas	de	orden	superior	que	se	
indican	en	cada	caso:	
a) yq			si			 	
b) y´´´			si		 	
c) y´´			si				 	
d) y´´´			si				 	
e) yr			si				 	
	
	
Determinar	la	diferencial	“dy”	de	cada	una	de	las	siguientes	funciones,	definidas	
por	sus	expresiones	analíticas:	
	
a) 	
b) 	
c) 	
d) 	
	
( )
1 1 1
1 1
si x
xy h x
x si x
ì + < -ï= = í
ï + ³ -î
4 3 2( ) 2 5 3 7 18y f x x x x x= = - + - -
2 1( )
1
xy f x
x
+
= =
-
2
( ) .5x xy f x e= =
( )5( ) 3 2y f x x x= = +
( ) xy f x xe= =
5( ) ln 4 15xy f x e x x= = - - + +
( )
4
3 2 5( ) 7 4 8y f x x x x= = - + -
( ) 7y f x x= = +
( ) ( ) 12( ) 2. 8 . 1y f x x x -= = - -
Ejercicio	9	
Ejercicio	10	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
	
i. Calcular	los	siguientes	límites,	aplicando	la	regla	de	L’	Hopital,	si	es	posible,	e	
indicar	previamente	a	que	tipo	de	indeterminación	corresponde:	
	
a) 	 	 	 	
b) 	 	 	 g)	 	 	
c) 	 	 	 	 	 	
d) 	 	 	 	
e) 		 	 	 	 	
	 	
ii. Aplicando	la	regla	de	L’	Hopital,	verificar	los	límites	calculados	en	el	Trabajo	
Práctico	anterior	de	“Límite	y	Continuidad”:	Ejercicio	3.i.n	y	Ejercicio	4.i.d	¿El	
resto	de	los	ejercicios	del	punto	3	y	4,	se	pueden	resolver	tambiénaplicando	
la	regla	de	L'Hopital?	
	
	
	
Dadas	las	siguientes	representaciones	gráficas	de	una	función	real	de	variable	real:	
	
	
( )3lim 5x x x x®+¥ + 21 1 2)lim 1 1xf x x®
é ù
-ê ú- -ë û
( )
3 42lim 3
x
x
x
+
®+¥
+ ( )10 2
5
lim 5
x
x
x
-
®
-
40
lim
7
x x
x
e e
x x
-
®
-
-
( )3) lim .ln 6x
x
h e x-
®+¥
é ù
ë û
( )
2
3
9 3 9lim
ln 4x
x x
x®-
- - -
+
1
4
4
)lim
4
x
x
xi
-
®
æ ö
ç ÷
è ø
2
3
1ln
1lim
3x
x
x x®¥
æ ö
ç ÷-è ø
+
4 2
4 3
21 17 3 35)lim
7 19 12x
x x xj
x x®¥
+ - -
- + -
Ejercicio	11	
Ejercicio	12	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
i. 	
	
ii. 	
	
	
Para	cada	una	de	ellas:	
a) Determinar	su	dominio.	
b) Indicar	los	puntos	de	intersección	con	los	ejes	coordenados,	si	existen.	
c) Indicar	los	puntos	de	discontinuidad	y,	si	existen,	clasificarlos.	
d) Señalar	qué	tipo	de	asíntota/s	presenta	y	la/s	ecuación/nes	
correspondiente/s	de	la/s	misma/s,	si	existen.	
e) Indicar	los	intervalos	de	positividad	y	negatividad.		
f) Indicar	los	intervalos	de	monotonía	estudiando	el	signo	de	f	’.	
g) Identificar	el	punto	(o	los	puntos)	donde	la	derivada	primera	es	nula.	
h) Determinar	el	punto	(o	los	puntos)	donde	la	derivada	primera	no	existe.	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
i) ¿En	qué	puntos	de	los	determinados	en	los	ítems	f)	y	g)	existen	extremos	
relativos?	Indicar	además,	porque	los	puntos	descartados	de	la	selección	
precedente	no	son	extremos	relativos.	
j) Identificar	el	punto	(o	los	puntos)	donde	la	derivada	segunda	es	nula.	
k) Identificar	los	intervalos	de	concavidad	estudiando	el	signo	de	la	f	’’.	
l) La	gráfica	de	la	función,	¿tiene	punto	de	inflexión?	
	
	
	
	
Dada	la	expresión	analítica	de	las	funciones:	
	 																													 	 	 	 	
	 	
Establecer:	
a) Los	intervalos	de	monotonía	y	los	extremos	relativos,	si	existen.	
b) Los	intervalos	de	concavidad	y	posible	existencia	de	puntos	de	inflexión.	
c) Su	gráfica	cartesiana	y	verificarla	utilizando	el	software	GRAPHMATICA.	
	
	
	
	
i. Realizar	el	análisis	completo	de	las	siguientes	funciones	reales	de	variable	
real,	cuyas	expresiones	analíticas	son:	
													a)			 														c)	 	
													b)		 																						d)	 		
ii. Utilizando	el	software	GRAPHMATICA,	verificar	las	gráficas	obtenidas.	
	
4 3( ) 2 1y f x x x= = + +
2
2
2 6 3( ) x xy g x
x
- +
= =
( )2 2( ) 4 1y f x x x= = -
2
( )
1
xy g x
x
= =
-
2
1( ) ln
1
y j x
x
= =
-
3 2( ) 2 3 1y h x x x= = + -
Ejercicio	13	
Ejercicio	14	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
	
i. Proponer	la	gráfica	cartesiana	de	una	función	que	cumpla	con	las	siguientes	
condiciones:	
	
	Af = R; 	f(5) = 6; 	f(−6) = 0; ; 		 	
; 	 ; 		f´(−4) = 0 ; 		f´(0) = 0; 		f´(5) = 0; 		f´(x) > 0	en −∞ <
x < −4	y	0 < x < 5; 		f´(x) < 0	en − 4 < x < −2, en − 2 < x < 0	y	en	5 < x < ∞; 		f´´(x) >
0	en − 2 < x < 2	; 		f´´(x) < 0	en −∞ < x < −2	y	en	2 < x < ∞; 		y		f´´(2) = 0		
	
ii. Utilizando	el	software	GRAPHMATICA,	representar	gráficamente	la	función	
.	Completar	el	siguiente	cuadro:	
	
Punto	o	
intevalo	
f(x) > 0	 f(x) < 0	 f´(x) > 0	 f(x)´ < 0	 f´´(x) > 0	 f(x)´´ < 0	
x < 1	 ✔ 	 ✔	 	 ✔	 	
1 < x < 3	 	 	 	 	 	 	
x = 3	 	 	 	 	 	 	
x > 3	 	 	 	 	 	 	
	
	
	
		
	
Suponga	que	la	función	de	costo	total	de	corto	plazo	de	una	empresa	es:										
CT(x) = 0,05x| − 0,6xe + 4x + 12,8	,	donde	“x”	es	el	nivel	de	producción.	En	base	a	
esto	se	le	pide:		
lim ( )
x
f x
®-¥
= -¥
2
lim ( ) 0
x
f x
-®-
= ;
2
lim ( ) ;
x
f x
+®-
= +¥
0
1lim ( )
2x
f x
-®
=
0
1lim ( )
2x
f x
+®
=
( ) ( )
1 2
3 5( ) 1 3y f x x x
-
= = - -
Ejercicio	15	
Problema	1	
Aplicaciones	
 
 
 
MATEMATICA	II	
ANALISIS	MATEMATICO	
Ciclo	Lectivo	2.020	
a) Hallar	e	interpretar	la	función	de	costo	medio.	Sabiendo	que	el	costo	
medio	es	igual	al	costo	total	dividido	por	el	número	de	unidades	
producidas.	
b) Hallar	e	interpretar	la	función	de	costo	marginal.	Sabiendo	que	el	costo	
marginal	es	aquel	incremento	del	costo	total	resultante	de	incrementar	
una	unidad	adicional	del	bien.	
c) Determinar	el	costo	total,	el	costo	medio	y	el	costo	marginal	de	producir	4	
unidades.	
	
	
	
Suponga	que	una	cierta	empresa	que	produce	un	bien	“x”	tiene	la	función	de	costo	
medio	igual	a	CMe(x) = 15 − 2x + 0,1xe.	Determinar	el	nivel	de	producción	que	
minimizará	el	costo	medio.		
Problema	2