ARITMÉTICA - RUBIÑOS

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LA ENCICLOPEDIA 2 0 1 2 | " / | A RITM ÉTICA
V ERSIO N CORREGIDM Y A U N EN TRO A EDICIONES DUBINOS
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A fa facultad d e /a UNIVERSIDAD NAC/ONAL DE INGENIERIA
( U N I )
A m is alum nos, colegas y familiares, quienes com parten e ! dia a dia
d e m i existencia.
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• JESU» CALERO
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del Consejo de Ministros
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LA ENCICLOPEDIA 2 0 1 2 A RITM ÉTICA
El punto de partida para conocer el maravilloso mundo de las 
matemáticas es la a r it m é t ic a y si está enfocada con aguda visión 
lógica , se tendrá l a p r e s e n t a o b r a , que permitirá al lector 
sumergirse en el deleite de su estudio , hechos que a su vez 
promoverán el interés por una mayor profundización del mismo 
curso y su proyección hacia otros.
No cabe duda que la aritmética ha evolucionado y mejorado 
su contenido , metodología y su campo de aplicación , de modo 
pues, que hay marcadas diferencias enti'e lo que se hacía décadas 
pasadas, con lo que se hace al principio del s ig l o x x i , por lo cual 
no debemos estar al margen de toda esta vorágine de cambios que 
se vienen dando en todos los campos de la ciencia y la técnica.
a r it m é t ic a n iv e l - u n í , es el resultado de la paciente entrega a 
la investigación del autor, basado en su amplia experiencia , ya 
sea en su etapa formativa y luego como docente preuniversitario 
en las diversas instituciones de preparación Pre-universitaria .
No es pues un trabajo improvisado, por el contrario es el fruto de 
un minucioso estudio de la necesidad que tiene los f u t u r o s 
c a c h im b o s u n í , para cimentar y construir una sólida formación 
matemática.
Aprovechando estas últimas líneas para agradecer de manera 
muy sincera a todas aquellas personas, entre profesores del curso 
y estudiantes; que con sus sugerencias hicieron que naciera esta 
modesta obra, no olvidando a la EDITORIAL RUBINOS por
la confianza depositada en mi persona ».
V ERSIO N CORREGIDA Y AUM ENTADA EDICIONES NUBINOS
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S U C E S IO N E S Y S E R I E S 05S5
EMPATEME 0011
2 1 A D IC ID N Y SU STR ACCIO N 0027
2 2 M1TISUPLICACION y D IVISIO N 0052
2 3 1 OPERACIONES (PROBLEMAS RAZONADOS) 0071
¿54 OOS1
2 5 JNUMERMPS P R IM E E S 0719
2 0 M M TP-M M 'M 0750
2 7 N U M E R O S RACIMPNAI^ES 0752
2S POTENCIACION y RADICACION 0S39
2 9 EEENE.EEE TE F TMEJMPMP OS91
3 0 PROBLEMAS MUÍ REPASO RESUELTOS Y PROPUESTOS 0900
31% SE2PEMNAEEEEE& CTPMDDEJNM 1101
3 2 | PREGUNTAS RES CEUTA S-TIPO EXAMEN OE ADMISIÓN | 1113\
[ f j iy im M ’K.» i i n ^ v o ^ s o t s
La aritm ética es la más antigua y elemental rama 
de la matemática, utilizada en casi todo el mundo, 
en tareas cotidianas como contar y en los más 
avanzados cálculos científicos. Estudia ciertas 
operaciones con los números y sus propiedades 
elementales.
AR ITM ETICA , literalmente, arte de contar. La
palabra d eriva d el g r ie g o arithm gtikg, que
combina dos palabras: arithmos , que significa
«número», y texne , que se refiere a un arte o
habilidad , por lo que el estudio de la aritmética
está constituido por los sistemas de números y sus
relaciones como leves .
«
La parte medular de la aritmética elemental son las 
operaciones aritméticas.
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los 
dedos , guigarros, marcas en bastones, nudos en una 
cuerda y algunas otras formas para ir pasando de 
un número al siguiente.
A medida que la cantidad crece se hace necesario 
un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas 
se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un
CAPÍTULOí .»- O í
determinado número se hace una marca distinta que 
los representa a todos ellos. Este número es la base. 
Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a 
alcanzar por segunda vez el número anterior y se 
añade otra marca de la segunda clase . Cuando se 
alcanza un número determinado (que puede ser 
diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) 
de estas unidades de segundo orden, las decenas en 
caso de base 10 , se añade una de tercer orden y así 
sucesivamente.
La base que más se ha utilizado a lo largo de la 
Historia es 10 según todas las apariencias por ser 
ese el número de dedos con los que contamos. Hay 
alguna excepción notable como son las numeración 
babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la 
numeración maya que usaba 20 y 5 aunque con 
alguna irregularidad.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las 
civilizaciones han contado en unidades, decenas, 
centenas, millares etc. es decir de la misma forma 
que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma 
de escribir los números ha sido muy diversa y 
muchos pueblos han visto impedido su avance 
científico por no disponer de un sistema eficaz que 
permitiese el cálculo.
Casi todos los sistemas utilizados representan con 
exactitud los números enteros , aunque en algunos 
pueden confundirse unos números con otros, pero 
muchos de ellos no son capaces de representar 
grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad 
de simbolos que los hace poco prácticos.
Pero sobre todo no permiten en general efectuar 
operaciones tan sencillas como la multiplicación, 
requiriendo procedimientos muy complicados que 
sólo estaban al alcance de unos pocos iniciados. De 
hecho cuando se empezó a utilizar en Europa el 
sistema de numeración actual, los abaquistas, los 
profesionales del cálculo se opusieron con las más 
peregrinas razones, entre ellas la de que siendo el 
cálculo algo complicado en sí mismo, tendría que 
ser un método diabólico aquel que permitiese 
efectuar las operaciones de forma tan sencilla.
El sistema actual fue inventado por los indios y 
transmitido a Europa por los árabes;. Del origen 
indio del sistema hay pruebas documentales más 
que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo
l'fííriQ
de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores 
del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran 
mérito fue la introducción delconcepto y símbolo 
del cero, lo que permite un sistema en el que sólo 
diez simbolos puedan representar cualquier número 
por grande que sea y simplificar la forma de efectuar 
las operaciones.
¿QJUE ES LA ARITMETICA?
La Aritmética es una rama de las matemáticas que 
Be encarga de estudiar las estrucutras numéricas 
elementales, así com o las propiedades de las 
operaciones y los números en si mismos en su 
concepto mas profundo, construyendo lo que se 
conoce como teoría de números.
Para tí es más sencillo encontrar la aritmética 
dentro de tu vida cuando:
* vas a la tienda a comprar algo, y te ves en la 
necesidad de calcular por medio de una resta, el 
cambio que dará el tendero.
* cuando estas a punto de abordar el servicio publico 
y cuentas rápidam ente la cantidad de dinero 
necesaria para pagar el valor del pasaje.
* también cuando haces la cuenta o inventario de 
tus cosas. /
Se piensa que la Aritmética nace con la necesidad 
de contar los objetos y animales que el ser humano 
primitivo poseía.
En la prehistoria, la aritmética se limita al uso de 
números enteros, encontrados inscritos en objetos 
que indican una clara concepción de la suma y resta; 
el más conocido es el hueso Iahango de Á frica 
central, que se data entre 18000 y 20000 a. C.
m i : s o i s u A x t i o m : Af r i c a
/ív( i( x o p e r í a ]
Hay evidencias de que los babilonios tenían sólidos 
conocimientos de casi todos los aspectos de la 
aritmética elemental en 1800 a. C., aunque Iob 
historiadores sólo pueden especular sobre los 
métodos utilizados para generar los resultados 
aritméticos tal y como se muestra, por ejemplo, en 
la tablilla de arcilla P lim pton 322, que parece 
a ser una lista de Pitágoras triples, pero sin mostrar 
cómo se haya generado la lista. Del mismo modo, el 
egipcio Papiro de Ahm es (que data de ca . 1650 o . 
C.f aunque es una copia de un antiguo texto de 
ca . 1850 a . C .) muestra sumas, restas, 
multiplicaciones y divisiones, utilizando un sistema 
de fracciones.
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p a i ’i r o n i: A ILH ES
Nicomachus de Gerasa (ca. 60 - 120 a.C .) resume 
la filosofía de Pitágoras enfocada a los números, y 
sus relaciones, en su Introducción a la Aritmética. 
En esa época, las operaciones aritméticas básicas 
eran muy com plicadas, hasta que com enzó a 
utilizarse el método conocido como «Método de los 
indios» (en latín «Modus Indorum») que Be convirtió 
en la aritmética que hoy conocemos. Î a aritmética 
india era mucho más simple que la aritmética griega, 
debido a la simplicidad del sistema numérico indio 
que, además poseía el cero y una notación con valor 
numérico posicional. En el siglo VII, el obispo sirio 
Severo Sebhokt m enciona este m étodo con 
admiración, indicando no obstante que el método 
indio iba más allá de esa descripción. Los árabes 
aprendieron ese nuevo método y lo llamaron kesab. 
Fibonacci (también conocido como Leonardo de
L V lH O /il/m O iY ]
Pisa) presenta el «Método de los indios» en Europa 
en 1202; en su tratado Liber Abaci, Fibonacci dice 
que, comparado con este nuevo método, todos los 
demás habían sido erróneos. En la Edad Media, la 
aritmética es una de las siete artes liberales 
enseñada en las universidades.
Los modernos algoritmos de cálculo fueron posibles 
gracias a la introducción de los números árabes y 
la notación decimal posicional. Los números árabes, 
basados en la aritmética, fueron desarrollados por 
los grandes m atem áticos indios Aryabhatta, 
Brahmagupta y Bhaskara / . Aryabhatta ideó la 
notación posicional, dando diferente valor a un 
número dependiendo del lugar ocupado, y 
Brahmagupta añadió el cero al sistema numérico 
indio. Brahmagupta desarrolló la moderna suma, 
resta, multiplicación y división, basadas en los 
números arábigos. A pesar de que ahora se considera 
elemental, su sencillez es la culminación de miles 
de años de desarrollo matemático. Por el contrario, 
el antiguo matemático Arquímedes dedicó todo un 
tratado para la elaboración de una notación con 
determinados números. El florecimiento de álgebra 
en el mundo medieval islámico y en el renacimiento 
europeo fue fruto de la enorme simplificación de las 
operaciones m ediante la notación decimal 
posicional.
PR IM ER AS NOCIONES DE LA 
A R IT M É T IC A E N IJk HUM ANIDAD
Puede afirmarse que el pensamiento matemático fue 
producto, en gran parte, de dos aptitudes del espíritu 
humano: la percepción de la pluralidad, que casi 
pertenece al campo de la sensibilidad, y el poder de 
establecer correspondencias, emparejamientos, que, 
sin duda, es propio de la inteligencia. De esta 
manera, los primeros balbuceos matemáticos, 
culminaron en el arte de contar y, después, en la 
aritmética
Los textos matemáticos más antiguos que se poseen 
proceden de Mesopotamia, son textos cuneiformes 
que tienen más de 5000 años de antigüedad. Los 
Mesopotámicos inventaron un notable sistema de 
numeración y los m étodos fundamentales del 
álgebra, considerada com o el arte de resolver 
ecuaciones. Se conoce la extensión de su saber 
aunque se ignora todo de sus métodos. Al parecer 
sus conocim ientos geom étricos fueron muy 
rudimentarios. Más simples todavía fueron los 
conocimientos aritméticos y geométricos de los 
egipcios, pese a las afirmaciones de los antiguos 
griegos y sobre todo si se comparan con los de los 
Babilonios.
El principal texto matemático egipcio encontrado 
es el Papiro del Rhind que fue escrito bajo el reinado 
del rey hicso Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de 
J.C. De él se deduce que su sistema de numeración 
era un sistema decimal por yuxtaposición y no 
parece que supieran contar más allá de un millón. 
Sabían resolver por tanteo ecuaciones simples de 
primer grado de la forma «<ax=6 ». En cuanto a la 
geometría, los problemas ofrecidos en este papiro 
se refieren a mediciones de superficies o volúmenes 
y son netam ente concretos y vinculados a 
necesidades prácticas corrientes. En todos los casos 
se trata de recetas utilitarias y jamás se percibe en 
ellos un interés teórico.
Los fenicios en el primer milenio antes de J.C. 
crearon un sistema de numeración menos engorroso 
que el sistema egipcio y que luego sería continuado 
por los griegos en el siglo III a. de J.C.: el sistema 
de letras numerales o numerables.
Los chinos poseían un libro clásico de cálculo 
compuesto entre los siglos V7 y / a. de J.C. en el 
cual 6e utiliza un sistema de numeración que 
comprende nueve signos diferentes para designar 
los números 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 y cuatro 
signos distintos para JO ; J00 ; J000 y J0000, más 
un signo para el cero. Este libro comprende también 
un saber geométrico elemental.
LA H IS T O R IA El¥ CHINA
La historia de las matemáticas en China se remonta 
al siglo XXI a.C, cuando según las crónicas escritas 
del historiador Si-ma Quian (145 y 90 aC) existía 
la legendaria dinastía Xia en la zona este del río 
Amarillo. Tan antiguo es este imperio que, al último 
rey de esta familia, llamado Yü, se le adjudica la 
salvación de su país del Diluvio Universal. Dicen 
que lo hizo mediante la perforación de cordilleras y 
la canalización de los ríos. En ese entonces, también 
estaba la tribu Shang, ubica-da al noroeste en la 
cuenca del i*ío Amarillo, pero qui-sieron expandirse 
y tuvieron que vencer a los Xia para llegar hasta el 
río Yangtse, donde crearon un imperio que duró 
seiscientos años. Es dentro de esta civilización 
donde la escritura y las matemáticas comenzaron a 
desarrollarse a partir de la necesidad de crear una 
organización administrativa jerárquica ante tanta 
cantidad de territorio y pobladores.
e l A b a c o o m s ie n t a l
La calculadora más sencilla y antigua que existe es 
el ábaco, una especie de bastidor de madera para 
realizar operaciones matemáticas simples, como 
sumar, restar, multiplicar o dividir. El aparato, queXS4HSS H BBH M M(H/,0>»KH/A|
tiene su origen en China hace más de tres mil años, 
tiene cuentas móviles ensartadas en alambres 
horizontales que representan las unidades, las 
decenas, las centenas, etc.
En realidad, y como su nacimiento no puede ser 
precisado, se estima que sería una adaptación 
transportable de un método de contar aún má6 
antiguo que consistía simplemente en guijarros, 
caracoles o piedras colocados dentro de una serie 
de líneas dibujadas en el suelo o en una mesa. De 
hecho, abax significa «mesa» o «tabla» en griego.
El ábaco debe haber fomentado notablemente el 
desarrollo del comercio en todos los sitios donde se 
utilizaba, pues se adaptaba bien a cualquier cálculo 
comercial. En Europa Occidental se usó de forma 
generalizada hasta el siglo X II, cuando fue 
sustituido por los modernos números arábicos.
El ábaco, un invento que revolucionó a las matemáticos 
v que se mantiene vigente hasta la actualidad.
Los números romanos, más antiguos, resultaban 
incómodos para los cálculos extensos.
El ábaco era utilizado hasta hace poco tiempo, 
entrado ya el Tercer Milenio, en pueblos de Asia y 
el extremo Oriente, aunque finalm ente será 
reemplazado en todo el mundo por la calculadora 
electrónica cuando se trata de fines comerciales.
La numeración inicial formaba parte de la escritura 
Shang, que comenzó con las artes adivinatorias de 
los chamanes que calentaban caparazones de 
tortuga hasta que se agrietaba y a ese dibujo le daban 
un significado. Las interpretaciones, luego, se 
fueron transcribiendo sobre bambú y luego, en el 
siglo I dC, sobre papel.
C era un sistema de carácter decimal que disponía 
de nueve signos distintos para los nueve primeros 
números , careciendo durante todo el período 
estudiado de un signo específico para el cero. Cada 
cifra tiene un valor dado por su posición en el 
número pero de forma híbrida: intercalando un 
signo especial para dicho valor y, posteriormente, 
cambiando la orientación de las cifras 
alternativamente.
Posteriormente no hay estimaciones precisas de 
fechas cuando comenzó el empleo de varillas tanto 
en la num eración com o en la realización de 
operaciones. Estas piezas alargadas de bambú de 
unos 14 centímetros de largo fueron halladas en 
restos arqueológicos de la dinastía Han, en cuyo final 
se encuentra una descripción detallada de los 
mismos y de su uso en operaciones dentro del Sun 
Tsu Suan Ching (Manual de aritmética del maestro 
Sun).
Las varillas se repartían sobre el suelo pudiendo 
aprovechar las divisiones del embaldosado para que 
estén separadas las representaciones de los distintos 
números. Las varillas se podían colocar vertical u 
horizontalmente:
I * > * j * 1 • 7
— " 
« *
• 1 1 • * 4 4
t .1 . i. • . . • 4 m
Con el empleo de estas varillas y alternando las de 
tipo horizontal y vertical se podía representar un 
número grande sin necesidad de incluir signos para 
el tipo de unidades de que se trataba. Así, el mismo 
número anterior, se escribiría:
’ 7 ~ *
í* * ' -
Este sistema numérico de varillas es el único 
decimal y posicional existente antes del sistema 
indo-arábigo que se utiliza en la actualidad, al igual 
que las operaciones aritméticas más elementales.
Tras 600 años, la dinastía Shang cayó en un 
despotismo y una crueldad tal que se aliaron 
feudales, vasallos y el pueblo para derrocarla. Así, 
nace el Reino Chou. Wu fue el primer emperador 
porque había estado al frente de la derrota del 
último Shang, entre los años 1122 y 1030 aC.
En la India, la matemática, la religión y la filosofía 
se confunden. El saber geom étrico hindú está 
resumido en el Sutra de Apastamba (un sabio que 
vivió posiblemente en el siglo V a. de J.C.), este 
tratado constituye una guía práctica del arquitecto.
Los números usados para contar son los naturales 
o enteros positivos. Se obtienen al añadir 1 al 
número anterior en una serie sin fin. Las distintas 
civilizaciones han desarrollado a lo largo de la 
historia diversos tipos de sistemas numéricos. Uno 
de los más comunes es el usado en las culturas
BBI * riffl i ,v n g o i# i7 r T - fO Í v ]
modernas, donde los objetos se cuentan en grupos hablada, la escritura pictográfica, algunos ejemplos
de 10. Se le denomina sistema en base 10 o decimal. se muestran en la siguiente figura .
En el sistema en base 10 , los enteros se representan 
mediante cifras cada una de las cuales representa 
potencias de 10. Tomemos el número 1534 como 
ejemplo. Cada cifra de este número tiene su propio 
valor según el lugar que ocupa; estos valores son 
potencias de 10 crecientes hacia la izquierda. El 
valor de la primera cifra es en unidades (aquí
4 X 1); el de la segunda es 10 (aquí 3 X 10, ó 30); el 
valor del tercer lugar es 10 x 10 , ó 100 (aquí
5 x 100, ó 500), y el valor del cuarto lugar es 
10 X 10 X 10 ó 1000 (aquí 1 X 1000 , ó 1000).
El sustento del análisis comienza con los números 
naturales y sus operaciones de 6uma y 
multiplicación. Para la resta hay que introducir los 
números negativos. Para la división lo6 racionales.
Las series infinitas para definir funciones requieren 
los reales y la solución de ecuaciones algebraicas 
los complejos. Se definen recursivam ente los 
números naturales a través de conceptos y 
postulados introducidos por el italiano Peano; uno 
de los postulados es la inducción matemática 
completa. Los conceptos son abstractos e implícitos 
por lo que los estudiantes para asimilarlos requieren 
madurez matemática. El escribir procedimientos 
computacionales recursivos para las operaciones de 
suma y m ultiplicación ayuda a com prender 
conceptos y operaciones. En este artículo se 
presentan programas recursivos en el lenguaje Logo, 
orientados a la educación. Los programas son 
simples para que ayuden a la comprensión. Se hacen 
comentarios sobre la manera de hacerlos más 
eficientes. El material es de interés para maestros 
de matemáticas que quieren mostrar cómo basar la 
aritmética en pocos postulados y «levantar la parte 
aritmética de una computadora»* con un mínimo de 
programación, usando conceptos simples como el
sucesor y el predecesor de un número natural. Hace unos 6000 años a.c. los fenicios, súmenos y
ORIGEN D E L O S NÚM EROS babilonios registraban sus hechos y
acontecimientos por medio de figuras dibujadas en 
Antes de existir el lenguaje escrito, el hombre arcilla húmeda, este tipo de escritura se llamó
primitivo se com unicaba con sus sem ejantes cuneiforme, o en forma de cuña, porque cada trazo
gesticulando palabras o sonidos, este medio de del escrito se hacía oprimiendo sobre tablillas de
lenguaje audible se fue perfeccionando al cabo de arcilla que posteriormente secaban al sol o la cocían,
miles de años de su continuo uso, hasta llegar a la El trazo representaba el objeto dibujado,
palabra hablada. Cuando éste deseaba recordar un posteriorm ente lo convirtió en un sím bolo
hecho o transm itir un acontecim iento a sus relacionado con el mismo objeto, esta etapa de la
congéneres, les comunicaba sus ideas por medio de escritura que el hombre desarrolló, se le llamó
la pictografía. Esta consistía en representar por ideográfica.
medio de objetos lo que se deseaba expresar ayudado Los egipcios emplearon una escritura ideográfica
del dibujo o la pintura, de esta manera el hombre que se fue perfeccionando con el tiempo y recibió el
inventó su primera forma de comunicación no nombre de jeroglífica, este modo de escritura les
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ESCRITURAS.
1. A zteca - 2. Enigmática egipcia - 
3. Jeroglífico egipcio - 4.Cuneiforme 
5. Maya - 6 . Fenicia - 
7. Árabe - 8 . China - 9 . Jap on esa
CUSIS B B B S C B tT P B A B
PR IM E R O S IN IC IO S D E LA
E SC R IT U R A
servía para realizar sus inscripciones en los templos, 
tumbas y monumentos.
La escritura ideográfica egipcia tiene dos 
evoluciones perfectamente definidas, la primera 
parte de la evolución de la escritura ideográfica es 
convertirse en jeroglífica para acabar en una 
escritura cursiva con sus dos variedades,la 
hierática y demótica. La escritura hierática era una 
especie de taquigrafía abreviada de los jeroglíficos, 
muy usada entre los sacerdotes para expresarse 
rápidamente al no utilizarse el dibujo, cada 
jeroglífico tenía su correspondiente abreviatura 
hierática, dom inando el elem ento fonético y 
escribiéndose de derecha a izquierda.
La demótica o popular se componía de signos 
tomados de la hierática, con exclusión casi completa 
de los jerog líficos , conservándose casi 
completamente los símbolos cuña de sus caracteres 
compuestos por ángulos y puntas. La escritura 
jeroglífica se utilizaba para las inscripciones 
monumentales, donde solamente los sacerdotes y los 
escribas conocían su significado. En esta escritura 
jeroglífica se encuentran unos 24 signos alfabéticos 
equivalentes a letras sueltas o palabras completas 
separadas de una sola consonante, 136 signos 
silábicos, pero al lado de estos se encuentran más 
de tres mil figuras mucho mas complicadas. Los 
egipcios nunca advirtieron la importancia de su 
magna invención y no hicieron mucho uso de ella.
LOS SISTE M A S NUM ÉRICOS E N 
LA AN TIG Ü E D AD
Aunque se carece de información fidedigna acerca 
de la forma como el hombre primitivo empezó a 
valerse de un sistema numérico, tuvo muchas 
razones y situaciones cotidianas que lo impulsaron 
a tratar de cuantificar todo lo que le rodeaba. En su 
etapa sedentaria se vio forzado a emplear algún 
método de conteo, ya fuera para saber cuantas 
cabezas de ganado u ovejas poseía; como también 
para conocer el número de armas que tenía, o para 
cuantificar la extensión de los terrenos sembrados 
o conquistados.
«Nuestros antepasados debieron hacer un gran 
esfuerzo para alejarse de lo concreto y la realidad 
del mundo circundante, para llegar a la concepción 
de la entidad numérica, al realizar esta abstracción 
numérica el hombre partió de la consideración de 
las entidades físicas tangibles en su mundo.» De esta 
manera el hombre descubrió el primer sistema de 
matemáticas aplicadas, que luego los matemáticos 
definirían como una correspondencia biunívoca
o wm " , x i ' v<'/« /.o m > ti]
entre dos órdenes.
También cuando éste se dedicó a la agricultura, tuvo 
que idear un sistema para medir el tiempo en- las 
épocas de siembra y cosecha, finalmente en su etapa 
de comerciante, necesitó crear un sistema para fijar 
el peso, volumen y el valor de sus productos para 
intercambiarlos con los pueblos vecinos.
Al tener el hombre antiguo un sistema base de 
medida, se vio en la necesidad de cuantificar las 
medidas en su modo base de contar, esta operación 
la llevó a cabo, por ejemplo, utilizando un sistema 
de rayas rasgadas en las paredes o pintadas en 
papiro; otro método era haciendo marcas en los 
troncos de los árboles o cortes sobre una vara para 
llevar un registro permanente de las cosas. Cada 
pueblo o tribu tuvo que inventar sus propias 
palabras y signos para representar sus operaciones 
de conteos realizados, con el comercio los antiguos 
mercaderes estaban obligados a saber una gran 
variedad de sistemas de medidas y numeración, a 
fin de poder comerciar con los diferentes pueblos o 
tribus.
Para llegar a la concepción e invención de un sistema 
numérico, fueron necesarios muchos miles de años 
antes que el hombre concibiera la idea del número, 
«un paso fundamental en el proceso de la abstracción 
matemática fue la creación de los símbolos 
matemáticos, las matemáticas es una de las más 
hermosas creaciones de la inteligencia de la especie 
humana» la invención de un sistema numérico es 
quizá una de las mayores invenciones del hombre 
antiguo. Dentro de estos sistemas se encuentran los 
aditivos, los híbridos y los posicionales.
S IS T E M X S D E M T O lM C I Ó iV 
A D IT IV O S
Este sistema acumula los símbolos de todas las 
cifras hasta completar el número deseado, una de 
sus características es que los símbolos se pueden 
colocar en cualquier posición u orden, ya fuera de 
izquierda a derecha, derecha a izquierda, arriba 
hacia abajo, un ejemplo clásico de este sistema es el 
egipcio, el romano, el griego.
S IS T E M A S D E N U M E R A C IÓ N 
H ÍD R ID O S
Estos sistemas combinan el principio del sistema 
aditivo con el multiplicativo, pero el orden en la 
escritura de las cifras es muy fundamental para 
evitar confusiones en su interpretación, un ejemplo 
de este sistema es el chino clásico.
S IS T E M A S D E NUM ERACIÓN
P O SICIONAJLE S
Es el mejor y mas desarrollado sistema inventado 
por las civilizaciones antiguas, en ellos la posición 
de las cifras indica la potencia de la base que le 
corresponde. Solamente tres culturas lograron 
implementar este sistema, la babilónica, la hindú y 
la maya, estas dos ultimas lograron innovar una 
nueva cifra de trabajo, el valor posicional del cero.
SISTE M A S D E NUM ERACIÓN 
M E D IT E R R Á N E O S
Los primeros indicios de pueblos civilizados 
aparecieron en la cuenca mediterránea oriental 
entre los ríos Tigris y Eufrates, que corresponde a 
las civilizaciones Sumeria y Babilónica. 
Posteriorm ente se propagaron a las culturas 
occidentales a través de las rutas comerciales y las 
conquistas de las culturas griegas y romanas.
C IVILIZAC IÓ N SU M E R IA Y B A B IL O N IC A
Hacia el año 4000 a .C . en el sudeste de la 
mesopotámica se instalaron los sumerios y su 
capital fue Ur, posteriormente en el año 2500 a.C . 
este pueblo fue dominado por los acadios, un pueblo 
semita cuya capital era Acad, gobernados en esa 
época por Sargón, de esta forma la brillante cultura 
sumeria quedó fusionada con la acadia. 
Posteriormente este imperio cayó en poder de los 
babilonios hacia el año de 2270 a.C., gobernando el 
rey Hammurabi y haciendo de Babilonia su capital, 
durante su reinado floreció un período de alto nivel 
cultural.
r a r n i x r r i t o i i ijc c io iv ]
®
3
m
3
3 }
3
10
( b)
u y x
n a
w 3
VY 
" 4
w 5
f f i 6
m i m 7vm 
m i 8
mu
Los babilonios fueron los primeros en contribuir al 
desarrollo de las matemáticas, la aritmética alcanzó 
su más alto nivel de desarrollo. En los restos 
arqueológicos de las Tablas de Senkreh, llamadas 
así por el lugar donde fueron descubiertas a orillas 
del Eufrates en 1854, se encontraron otras 
referencias literarias antiguas de esta civilización. 
En otros restos arqueológicos de Nuffar, existían 
tablas de m ultiplicar grabadas con caracteres 
cuneiformes, de números enteros dispuestos en 
columnas con valores superiores a 180 000.
Los primeros símbolos escritos de estas culturas, 
representaban los números con marcas en forma de 
cuña de acuerdo a su escritura cuneiforme. Los 
babilonios tenían un método de contar un poco 
complicado, su sistema numérico era en base sesenta 
(60), o sea, contaban de sesenta en sesenta, llamadas 
sesentenas babilónicas, Su aritmética se basaba en 
dos números ejes, el 10 y 60, teniendo en cuenta el 
posicionamiento de estos caracteres así mismo se 
leían e interpretaban, en la figura anterior se 
muestra los caracteres cuneiformes de su sistema 
numérico.
El símbolo ^ puede representar sesenta o uno,
dependiendo de la posición en que se encuentre, al 
inicio o al final del número a expresar, girado 90° a 
la derecha su valor cambia a 10. La representación 
de una resta era precedida por los caracteres
, las cifras se escribían de derecha a
izquierda, y se descifraban de la misma manera, 
com o se muestra en la siguiente figura . Sus 
numerales en algunos casos podían resultar un poco 
confusos para su interpretación, había que conocer 
bien su sistema de num eración. Los números 
fraccionarios siempre los representaban con un 
único denominador cuyo valor era sesenta, las cifras 
se espaciaban de la parte entera.
Ejemplos de aplicación del sistema numérico 
babilónico son los siguientes:
* Expresar el número 142
TT
6 0 1
□
□ T T
6 0 °
(1 + 1) (10 +10 +2) = 2 (60) + 2 2 = 142 
*Expresar el número 258 458
xi m im o s ro .v n ■M.iroKMr.s v
[jRMRM'M'J+WMC M'AEZ/%. g Q IJ g
c i v i l i z a c i ó n e g ip c l x
El faraón Menes unificó los reinos hacia el año 2500 
a.C., fundando la primera dinastía. Los egipcios 
crearon la más antigua escritura que se conoce, la 
escritura jeroglífica desarrollada sobre la base de 
dibujos que representaban de alguna manera la idea 
del número o idea que se quería representar Los 
documentos más importantes que han sobrevivido 
son dos papiros bastante extensos, uno llamado 
papiro de Rhind y el de Mosú, ambos datan hacia el 
año 1700 a .C .t su contenido son el planteamiento 
de problemas matemáticos y sus soluciones.
Esta cultura desarrolló su sistema de conteo muy 
original de base diez (10) , contando por decenas, la 
unidad era representada por el signo /, la decena por 
el signo n , cada símbolo podía repetirse hasta nueve 
veces y el número representado se encontraba 
sumando los valores de cada uno de los jeroglíficos 
o símbolos empleados. Para representar otros 
números, se colocaban estos símbolos uno al lado 
de otro formando las combinaciones adecuadas.
El principio de la num eración egipcia estaba 
compuesto de siete signos sencillos, que cualquier 
persona podía interpretar y realizar con ellos 
cuentas, aún si ésta no supiera leer ni escribir, pero 
no se tenía plenamente identificado el concepto del 
valor posición, que se podía escribir e interpretar 
en ambos sentidos.. En la siguiente figura se 
representan los símbolos numéricos jeroglíficos.
PODE L1 E X C IC L O P E D L t
i
[
10n 100 1.000f 10.000 100.000 1.000.000 *o rr
U u l r a i u t n a r v u t n ruO u t n u fJur U n d r d o pez 1,'n h u m h rc
S IS T E M A D E N U M E R A C IÓ N 
JE R O G L ÍF IC A E G IP C IA
El sistema de numeración egipcio también manejó 
las cifras fraccionarias, estas se representaban con 
el signo de una boca para expresar, uno partido por, 
y seguido del número denominador, el numerador 
siempre era la unidad.
El imperio egipcio utilizó las matemáticas en la 
administración estatal al calcular los impuestos que 
debían tributar sus súbditos, en la construcción de 
los templos, en el comercio calculando volúmenes 
de graneros y la geometría en las áreas cultivadas 
de los campos y sus monumentales pirámides 
funerarias. En la siguiente figura se muestran los 
símbolos de los diez números naturales en escritura 
hierática.
i
il
TO
ZOO
í
IOOOII
10,000 
fr -N. 
100,000
y
lp oo ,ooo
©
A .
K
Ai 30 
40
* ! _
ICC
60
1 70
m i80
90
S lS T E J M A S D E A 'L 'JiE SLtC lÚ A E G IE E L U 
J E R O G L ÍF I C A ( A ) , U IE R Á T 1 C A ( » )
CIVILIZACIÓN GRIEGA
El auge de la civilización Griega en el Mediterráneo, 
surgida en estrecho contacto con los pueblos del 
norte del Africa y el Asia menor, sirvió de vehículo 
transmisor hacia las culturas de occidente. Los 
griegos aprendieron de los egipcios y de los fenicios, 
tomaron el diez como número básico, su sistema de 
numeración era literal usando letras del alfabeto 
como símbolos para los números.
El primer sistema de numeración utilizado por los 
griegos se llamó Atico y fue desarrollado hacia el 
año 600 a . C., era de carácter aditivo en base diez. 
Para representar la unidad y los números hasta el 
4 , empleaban trazos verticales repetitivos, para el 
5 ; 10 y 1000 , su representación era la letra 
correspondiente a la inicial de cada cifra, 5 (pente), 
10 (deka), 1000 (khiloi). Los símbolos de 50 ; 500 ; 
5000 ; los obtenían por el principio multiplicativo, 
añadiendo el signo de 10 ; 100 ; 1000 ; al de 5 ; 
como se observa en la siguiente figura.
I P A F H P X F Mt b 10 50 100 600 1000- 6000 10000
SISTEM A DE NUM ERACIÓN G R IEG A Á TiCA
E iifr m v T ? ^ K / i í f .v o ^ ’ 2 0 / 2
c _______________
De la misma Referencia 12, se trae un ejemplo de la 
aplicación del sistema num érico griego, es la 
representación del número 3737
XXX H HH A A A P
3000 + 500 +200 + 30 + 5+2 - 3737
El sistema de numeración griego también manejó 
las cifras fraccionarias, estas se representaban en 
la parte superior derecha (a modo de exponente) con 
una comilla para el numerador y dos comillas para 
el denominador, las cifras se colocaban seguidas. Un 
ejemplo para este tipo de operación es 125,87,
Esta cifra se expresa en número mixto = 125 718
19 m i e o » f 7 m o i v |
5 )
h a a p r i. i ’ r i i . i
(1 0 0 + 1 0 + 1 0 + 5 ) ( 5 ♦ 1 + t ) (5 +1 + 1 + 1 )
El sistema Jónico o Alejandrino de numeraóión 
empleaba las letras minúsculas del alfabeto, lo 
mismo que algunos símbolos, como se muestra en 
la siguiente figura ; para escribir unas cifras 
numéricas los números parecían palabras y las 
palabras tenían un valor numérico.
Este sistema literal era muy poco flexible, por lo 
que resultaba bastante com plicado hacer 
operaciones aritméticas en griego, razón por la cual 
no tuvieron una adecuada manera de representar 
los números, y les impidió hacer mayores progresos 
en el cálculo m a l e m ático .
a ft y d t* c ? V O
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Í X A n v £ o ;T o
10 20 30 40 50 60 70 80 90
q í t t r (p X V' 0i *
100 200 300 400 500 600 700 800 900
S IS T E M A D E N U M E R A C IÓ N G R IE G A J Ó N IC A
CIVILIZACIÓN ROMANA
Los Romanos adoptaron gran parte de las unidades 
literales griegas, a las que les incorporaron algunas 
propias como la libra y extendieron su uso por todos 
sus dominios conquistados. Utilizaron signos 
simples com binados con algunas letras, para 
construir un sistema que era mucho más fácil de 
manejar. El sistema literal de numeración romano 
no utiliza el principio del valor relativo, el valor de
los símbolos siempre es el mismo sin que influya el 
lugar que ocupan.
Los símbolos literales que empleaban en su sistema 
numérico estaban compuestos por siete letras, (I - 
V -X ~ L - C - D - M ) , para las tres primeras cifras 
eran rayas verticales que asemejaban un dedo 
(dígitus.), para el cinco usaban la V ; que parece 
haber sido en un comienzo el dibujo de una mano, 
para el diez dos de los símbolos de la cifra cinco con 
uno de ellos invertido y con el tiempo se transformó 
en el símbolo de X , y así sucesivamente.
La numeración literal romana tenía unos recursos 
de representación o reglas, nunca usaban más de 
tres rayas o signos juntos, el cuatro lo significaban 
restando de una cifra mayor como el cinco la unidad, 
para obtener el nueve le restaban la unidad de diez.
Además utilizaban una rayita colocada encima de 
una letra para indicar tantos m illares como 
unidades tenga ese símbolo, dos rayitas encima de 
cualquier símbolo indican tantos millones como 
unidades tenga el símbolo.
A continuación se presenta el sistema de 
numeración romana:
1 = Uno (1) ; 11= D os (2) ; 111= Tres (3)
;TV = C uatro (4) ; V = C inco (5) ;V I= Seis (6) 
; X = D iez (10) ; X V = Q uince (15)
; L = Cincuenta (50) ; C = Cien (100)
D = Quinientos (500) ; M = M il (1 000)
Se presentan algunos ejemplos del sistema de 
numeración romana:
i) Expresar el número 2349 
MMCCCXLIX
= 2 (1 000) + 3 (100) + (50 -10> + (10 -1 ) = 2349
Las letras numerales romanas eran mejores que las antiguas 
maneras de contar que se conocían, y permanecieron en 
uso durante casi dos mil años. «La contribución de los 
romanos a las matemáticas estuvo limitada a algunas 
nociones de Agrimensura, surgidas de la necesidad de medir 
y fijar las fronteras del vasto imperio. No obstante la huella 
romana en su numeración, todavía hoy tiene vigencia por 
el uso en los capítulos de los libros, en la sucesión de los 
reyes, en la notación de los siglos y especialmente en las 
inscripciones históricas.»
SIST E M A S D E NUM ERACIÓN
O R IE N TALE S
A los griegos en el estudio de las matemáticas le 
sucedieron los hindúes, que recibieron su influencia 
directa, posteriormente cuando fueron dominados 
por los árabes en el 632 d,C• tomaron y mejoraron
[AMtM'WJ+MlZ'JTMCZS* 2*4» t & n n n L A E X C I C I M P E tn d
los símbolos numéricos de los hindúes lo mismo que 
la notación posicfonal.
O VELiZACiÓ X niM PÚ
Los hindúesdominaron por completo el arte de 
contar, en su poema épico del Mahabarata se cita la 
no despreciable cifra de 2 4 x l0 40 que representa el 
número de divinidades existentes. Los hindúes 
desarrollaron por el año 570 a .C . un práctico 
sistema de notación numérico al utilizar el principio 
posicional de las cifras en sus operaciones 
matemáticas.
La importancia de este método incide en que la 
posición del dígito o cifra numérica es significativa. 
Mediante este sistema es posible escribir cualquier 
número usando tan solo diez (10) dígitos, o sea que 
es un sistema de numeración de base diez o decimal. 
Ver la siguientes figuras. Los hindúes eran hábiles 
matemáticos, estos resolvieron un gran problema 
al* inventar el símbolo del cero (0) denominándolo 
sunya, las cifras utilizadas por los hindúes se 
convirtieron en las cifras que se utilizan
actualmente
- = = í I* V 1 W c( o j * o -j
I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60.
S I S T E M l D E X U M E tL X C té X H IN D Ú
CIVILIZACMÓJV COEVA
El pueblo chino también invento su propio sistema 
de numeración hacia el año 1500 a . C ., era un 
sistema híbrido que combinaba el principio aditivo 
con el multiplicativo en base diez, y se debía tener 
en cuenta el orden de escritura, ya fuera vertical 
(abajo hacia arriba) u horizontal (de izquierda a 
derecha). Emplea una serie de trece ideogramas 
hasta la decena, centena, millar y decena de millar, 
utilizando combinaciones que se combinaban entre 
si hasta obtener la cifra deseada, en la siguiente 
figura se muestran los ideogramas.
S IS T E M A D E XUM EM ACM ÓX C M IX D
De la misma Referencia , se tiene un ejemplo de la 
aplicación del sistema de numeración chino, es la 
representación del número 5769.
£ £ - f c ' S A f n .
5x1000 ♦ 7X100 ♦ 6x10 + 9 » 5 7 8 9
CHTLIZACMOXARARE
La civilización árabe sostuvo contactos culturales 
con los hindúes, los griegos del Imperio Bizantino y 
los egipcios, donde adquirieron el conocimiento por 
medio de las traducciones de las grandes obras de 
Euclides, Ptolom eo, Arquím edes, Aristóteles, 
Diofanto, etc. al idioma árabe. El sistema numérico 
actual (llamado arábigo) no fue inventado por los 
árabes, sino por los hindúes, ellos recogieron este 
gran conocimiento y lo introdujeron en Europa, al 
cero lo llamaron céfer, que en el idioma árabe 
significa vacío, ver la siguiente figura.
Este nuevo sistema de numeración muy lentamente 
fue llegando a occidente reemplazando a los números 
romanos, que dominaron por muchos siglos. Aunque 
el primer m anuscrito europeo que utilizó los 
numerales árabes data del año 976 d.C ., ya en el 
año 1500 d.C. la aritmética explicaba el sistema de 
numeración arábigo con todo lujo de detalles.
% 1 1 i r i-0 1 t 1 # 3 4 5 YI A2 3
StSTE ILX D E X l?iE tL lC H ÍiX tÍM .ia E
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
AMERICANOS
En el continente americano descollaron dos grandes 
civilizaciones localizadas en América del norte y 
central, las culturas Azteca y Maya. Fueron cultores 
del estudio de la astronomía, realizando grandes y 
precisos cálculos de la posición del sol y los astros, 
en las matemáticas los Mayas dejaron un legado de 
conocimiento que solamente se conoció con las 
exploraciones arqueológicas adelantadas en el siglo
X X
| CtYMLOACMÓX 9E\ YA
Los Mayas habían desarrollado una floreciente 
jcivilización en América central, practicaban el 
(comercio y la agricultura por medio de las 
lobservaciones solares, teniendo un avanzado 
sistema numérico en uso por los años 400 - 300 
a .C ., su sistema tiene alguna semejanza con el 
romano aunque en algunoB aspectos es superior. 
Conocieron el cero y su sistema de numeración es 
de base veinte o vigesim al pero posicional,
1BW1 i b 1M 5
utilizaban el cinco como base auxiliar. (Ver siguiente 
figura)
1
77
• 4*
» ♦
T:
Ui• ♦ ♦
1 3 14
SISTEM A UtUMÜMCO MAYA
Los números del uno al diecinueve se representaban 
por medio de puntos y barras consecutivas 
verticales, el número uno era representado por un 
punto, los puntos se repetían hasta cuatro veces 
pafa obtener el cuatro, el cinco era una raya 
horizontal que le se iban añadiendo puntos hasta 
llegar al nueve. Las barras se podían repetir hasta 
tres veces en combinación de los puntos, hasta llegar 
al diecinueve. Este sistem a num érico se 
interpretaba de abajo hacia arriba,
El cero se representaba por un ojo o una concha 
semicerrada con un punto adentro, para los números 
superiores al diecinueve aplicaban su sistema 
posicional de las cifras, con progresiones de veinte 
en veinte de abajo hacia arriba, (20° - 201 - 202 - 
203„ . ) i con las cuales se podían realizar operaciones 
de diverso orden. Se citan a continuación algunos 
ejemplos de aplicación del sistema de numeración 
maya:
Numeración comercial
o
20 21 41
*
61 122
<s^
400
65>
401
+
<33»
8000
21 - 1x2 0 + 1
41 -2x20+ 1
61 -3x20+ 1
12 2 - 6x20 + 2
401 - 1x202 +0x20+ 1
6000 - 1x203 + 0x202 + 0x20 +0
En los cóm putos de tiem po y observación 
astronómica existía variación en la tercera posición, 
no se utilizaba la cifra 202 que era reemplazada por 
20x18 , con el objeto de obtener una mayor precisión 
en sus cálculos . Se citan a continuación algunos 
ejemplos de aplicación del sistema de numeración 
maya
Numeración astronómica
4
21)
»
21 41
» * 1
61
• «
122 360 361 7200
361 - 1x(18x20) + 1 - 1x360 + 1 
7200- 1x( 18x20*) + 0x( 16x20) + 0x20 + 0 
7200 - 1x7200 ♦ 0x360 + 0x20 + 0
SIST E M A D E NUM ERACIÓN
D E C IM AL
Leonardo de Pisa fue uno de los primeros en 
introducir este nuevo sistema de numeración en 
Europa hacia el siglo VIII d . C., en la siguiente 
figura se representa un manuscrito español, fechado 
en 976 d, C., donde aparecen las nuevas cifras 
numéricas indo-arábigas.
9
S IS T E M A N U M É R IC O D E C IM A L IN D O -A R Á B IG O
La numeración hace parte de la Aritmética para 
expresar de manera hablada y escrita los números, 
el número es una abstracción para describir la 
cantidad de un conjunto. Las cifras o guarismos son 
los signos que se emplean en un sistema para 
representar los números, las cifras empleadas son 
llamadas arábigas y están compuestas por diez 
cifras, desde el cero (0) que se le llama cifra no 
significativa y a las demás cifras significativas, 
estos números han evolucionado a través de los 
siglos, tal como se muestra en la siguiente figura.
0 1 2 3 X S G 7 8 9
S IS T E M ét N U M É R IID D E C IM A L A C T U A L
Las reglas y convenciones que permiten expresar y 
escribir todos los números, constituye un sistema 
de numeración, se trata de un sistema decimal de 
base diez, en que cada cifra tiene un valor que 
depende del lugar que ocupa, o sea, que cada unidad 
de un determinado orden derecha a izquierda) 
representa un valor diez veces mayor que cada 
unidad del orden inmediatamente anterior situado 
a la derecha.
Lo mismo se aplica para las cifras decimales, se 
escriben estas a la derecha de las unidades simples 
y se separan de estas con una coma, de esta manera 
se constituyen ordenes sucesivos donde cada cifra 
representa un valor diez veces menor que cada 
unidad del orden inmediatamente anterior situado 
a la izquierda
Para escribir una cifra en este sistema se colocan 
las cifras una a continuación de las otras, 
conviniendo en que cada una exprese unidades del 
orden indicado por el lugar que ocupa contando de 
derecha a izquierda. Se da el siguiente ejemplo de 
interpretación posicional de una cifra en este 
sistema:
i) Expresar el número 42 875
ÜJLg£M'MV+WM£ ÍSB0*Jt ¿3 tyláSS m L A L A C U U H ’LIH A }
42 785 donde las posiciones de las cifras son:
4 x l0 4 = 4 0 000 Decenas de mil
2XJ03 = 2 000 Unidades de mil
7x20* = 700 Centenas
8x101 = 80 Decenas
5x10° = 5 Unidades
42 785
ii) Expresar el número 0,785
0,785 donde las posiciones de las cifras son:
0x10° = 0, Unidades enteras 
7x10"1 = 0,7 Décimas 
8 x l0 ~2 = 0,05 Centésimas 
5x10 "* = 0,005 Milésimas
En la siguiente figura se representa la evolución 
histórica de las cifras numéricasactuales.
EGIPCIOS I • . * • ’ i ' 1 , 'Di 'iii 1 * /aI H í ; i ! i i< ¿ ! 1 í‘ ; \ * * !Ui' 1 Q;5
babilónicos r irr r¡ ,r¡7 $ «í;
romanos(pfimiBvos) i Su ;i;:¡jut|V ivi ■vnftsni;:<:x \o:'co
* * * ♦ # * » • . «
arabjgos
CHINOS
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1NDOSTANOS
* > ~ * - . t > * \ \ >
MAYAS »« :,»•» itlT !'r5.•«-
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c _
S IS T E 9 L IS S I M E M E O S D E L A S A N T IG U A S
C I V I L I Z A C I O N E S
9IATEJLÍTMCAS
Matemáticas, estudio de las relaciones entre 
cantidades, magnitudes y propiedades, y de las 
operaciones lógicas utilizadas para deducir 
cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. 
En el pasado las matemáticas eran consideradas 
como la ciencia de la cantidad, referida a las 
magnitudes (como en la geometría), a los números 
(como en la aritmética), o a la generalización de 
ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del 
siglo XIX las m atem áticas se em pezaron a 
considerar como la ciencia de las relaciones, o como 
la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta 
última noción abarca la lógica matemática o 
simbólica ciencia que consiste en utilizar símbolos 
para generar una teoría exacta de deducción e 
inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, 
postulados y reglas que transforman elementos 
primitivos en relaciones y teoremas más complejos.
Trataremos la evolución de los conceptos e ideas 
matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En
realidad, las matemáticas son tan antiguas como la 
propia humanidad: en los diseños prehistóricos de 
cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se 
pueden encontrar evidencias del sentido geométrico 
y del interés en figuras geométricas. Los sistemas 
de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, 
en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que 
resulta evidente por la gran abundancia de sistemas 
numéricos en los que las bases son los números 5 y 
20.
* -
r v* • '.*v * *. *'. * v i í •'
T E O R E M A D E K O U K U (C H IN A 
ANTIGUA) :
El famoso Teorema Kou Ku o Shan Cao. Se trata de 
un problema igual al Teorema de Pitágoras, lo que 
resulta sorprendente que se haya descubierto en 
China y la Mesopotamia cuando no había ninguna 
relación entre ambas culturas. Fue la aportación 
fundamental del texto matemático más antiguo en 
China, llamado Chou Pei Suang Chin, que es un 
tratado de astronomía en donde se relata cómo 
surgió el teorema de un diálogo entre el maestro 
Shan Cao y el duque de Chou.
«Los métodos matemáticos se basan en el círculo y 
el cuadrado. El círculo puede ser deducido desde el 
cuadrado; el cuadrado puede ser deducido del 
rectángulo; el rectángulo puede ser calculado con 
la tabla de multiplicación.»
El territorio de esta dinastía había sido repartido 
en feudos entre los reyes aliados, por lo que se 
reinaba con poderes limitados y comenzaron las 
constantes peleas que originaron la caída del 
imperio en el 772. Fueron 500 años de luchas hasta 
el 221 aC. A este turbulento período de la cultura 
china pertenece una serie de pensadores, como Kung 
futzu, a quienes luego se llamó Confucio (551 al 479 
aC). Tras varias conquistas, el emperador Qin Shi 
Hyang Di se proclamó emperador en el año 221 , 
cuando contaba 38 años. Empecinado en aplicar una 
doctrina legalista, puso al mando de la 
administración al teórico Kung Sun Yang y disolvió
[ i ? m r m v K ^ w i T i n r » 1 s s o t z rasa 1 7 «ggg f . V l l g Q f i f / m O A ]
los feudos. El territorio se dividió en 36 provincias 
regidas por un jefe de funcionarios que, a su vez, 
era asistido por un comandante como jefe militar. 
Para garantizar la fluidez de la administración 
centralizada en un país tan extenso se unificaron 
las pesas y medidas, así como la escritura. El 
objetivo era el de facilitar la aplicación de tributos, 
la recaudación de impuestos en especie (para lo que 
se empleaban antes pesos y medidas diferentes) y el 
cálculo en ingeniería civil.
La construcción fue el fuerte de este imperio. Se 
hicieron grandes carreteras de hasta tres carriles 
en forma radial hacia la capital y, de esta época, es 
nada menos que el comienzo de la obra más grande 
del mundo: la Muralla China, una cadena de 
baluartes de aproximadamente 6,000 kilómetros de 
extensión que tenía por objetivo frenar los ataques 
de los hunos y los mongoles. Pero, además, Qin Shi 
Huang Di, obsesionado con la vida eterna, se hizo 
construir un mausoleo en el que le acompañara todo 
sus militares, al que hizo construirlo en réplicas de 
barro. El lugar fue conocido como la tumba del 
Ejército de Terracota.
NACEN JLOS M ÉTO D O S
En esta época se aplicaron muchas de las reglas del 
libro de Jiu Zhang, entre las que se destacan algunas 
muy avanzadas, como:
• SIM PLIFICACIÓ N HE FRACCIONES
Para resolver estos problem as se utiliza un 
procedimiento semejante al algoritmo de Euclides 
para hallar el máximo común divisor. En China se 
llamó desg shu.
• SUMA D E FRACCIONES :
La regla que regía era multiplicar mutuamente cada 
numerador y el otro denominador [o denominadores] 
y sea la suma [de los productos] el dividendo. 
Multiplicar los denominadores y sep [el producto] 
el divisor. Dividir el dividendo por el divisor. Cuando 
el resto sea menor que el divisor, asignarle el divisor 
[for-mar una fracción]. En esta regla se observa que, 
a pesar de conocer el cálculo del mínimo común 
múltiplo (como se comprueba más adelante en la 
misma obra) se inclinan, tal como sucede de nuevo 
en muchas aulas de enseñanza primaria de la 
actualidad, por la cóm oda m ultiplicación de 
denominadores.
• DIVISIÓN D E FRACCIONES 2
La transformación de moneda y medidas entre las 
muchas existentes en determinadas épocas de la
historia china, el clásico reparto de salarios o bienes 
entre varias personas, los repartos de herencias son 
los contextos más frecuentes en que aparecen estos 
problemas resolubles a través de la división de 
fracciones. Es una constante la no consideración 
de las fracciones impropias (superiores a la unidad) 
salvo, como en este caso, si sirve de instrumento 
auxiliar temporal. En problemas prácticos se trabaja 
fundamentalmente, como sucedía en Egipto, con 
números mixtos.
Problema: Sea ahora un campo, 3 2/3 de bu de ancho 
y longitud 5 215 de bu. Encontrar [el área de] el 
campo. Respuesta: 18 bu.
Regla: Para cada [número mixto], multiplicar el 
[número] entero por el denominador y añadir [el 
producto] al numerador. M ultiplicar [los 
numeradores] para obtener el dividendo. Multiplicar 
los denominadores para obtener el divisor. Dividir 
el dividendo por el divisor.
• PROPORCIONES Y REGLA D E TRES
El segundo capítulo del Jiu Zhang se titula Su mei 
(Mijo y arroz) y comienza con una larga lista de 
precios donde se informa que un lü de mijo vale 50 
mientras que la misma cantidad de arroz ordinario 
vale 33, de habichuelas 45 , y así con distintos 
productos. Ello le permite plantear numerosos 
problem as de cam bios entre los mismos. 
Naturalmente, el encontrar la razón unitaria (1 dou 
arroz = 3/5 dou de mijo) y aplicarla conlleva una 
consideración implícita de la proporción que da 
lugar a la regla de tres efectivamente aplicada en la 
regla. Otro grupo de problemas posteriores plantea 
el cam bio de monedas por bienes llegando 
inmediatamente al cálculo del precio unitario:
P r o b l e m a :
Se h a n g a s ta d o 160 q ia n en c o m p r a r 18 
ladrillos. E ncon trar [e l coste d e] una p ieza .
Respuesta: Un ladrillo [cuesta] 8019 qian.
Regla: Sea el valor proporcional [de la cantidad] 
comprada (el divisor) y la cantidad de moneda 
gastada (el dividendo). Dividir el dividendo entre el 
divisor para obtener [el coste] en qian de un ladrillo.
En este problema, así como muchos otros de los que 
plantea este libro, el resultado de la división 160:18 
se da en forma de número mixto (8 8/9). Sin 
embargo, la moneda de que se trataba (el qian, 
redonda con un agujero cuadrado en su centro) no 
tenía fracciones reconocidas, lo que conducía a un 
curioso sistema de compensación basado en la regla 
de tresy enteramente correcto.
• PRO PO RCIO N ALID AD IN VERSA í
Los problemas sobre proporcionalidad llegan a ser 
complejos planteándose cuestiones sobre repartos 
proporcionales cuando la proporcionalidad es 
inversa (capítulo 6 del Jiu Zhang). Estos problemas 
están en marcados en unos contextos especialmente 
interesantes por cuanto revelan mucho sobre el 
control administrativo de los reinos que formaban 
el imperio chino. El primer problema se plantea al 
repartir de forma equitativa una determinada tasa 
de mijo de 250 000 hu y 10 000 carretas para su 
transporte entre varios pueblos según el número de 
sus familias y el número de jornadas de viaje que 
necesitan .
• L A S S IG U IE N T E S D IN A S T ÍA S 
CHINAS S
Al primer em perador de la dinastía Ch’ in le 
sucedieron dos de carácter débil hasta que cayó en 
el año 202. De la mano de Liu Pang, que comenzó a 
orientar la filosofía de gobierno al confucionismo, 
comenzó la dinastía flan, cuyo emperador destacado 
fue el último, Wu Di, quien reinó entre los años 140 
y 86 aC Fue quien inició la expansión del imperio 
chino hacia el oeste, no hacia el sur, como sucedía 
siempre, y sentó las bases del com ercio con 
Occidente, dando origen a la Ruta de la Seda.
Desde el año 48 aC el poder quedó en manos de la 
familia Wang por acceso ilegal de Wang Mang, quien 
puso en marcha muchas reformas económicas que 
terminaron rápido, cuando tuvieron lugar grandes 
catástrofes naturales, com o las sem piternas 
inundaciones, que se repiten a lo largo de la historia. 
Dos años después, volvieron los Han y hubo una 
sucesión de luchas que term inaron con 
insurrecciones campesinas hacia los años 159 y 184 
dC En 220, abdicó el último emperador y se formaron 
tres grandes estados: Wei, en torno al río Amarillo; 
Wu, bajo el río Yangtse; y Shu, sobre la cuenca de 
este último río.
• M ED ID A D E D ISTAN C IAS Z
En el siglo III dC aparece el gran matemático Liu 
Hui, que fue el comentarista de la obra de Jiu Zhan 
Suan shu y también hace demostraciones sobre «la 
medida de la distancias entre objetos lejanos», 
problemas hoy resolubles mediante el teorema de 
Thales. Problema 23. Al oeste de un árbol hay una 
colina cuya altura es desconocida. La distancia entre 
el árbol y la colina [GE] es de 53 li y el árbol es de 9 
zhang de altura [EH]. Un hombre que se encuentra 
a 3 li al este del árbol [HD] observa que la cumbre 
de ia colina y la copa del árbol están alineadas en su
s m " " i * excicjlopeiha]
visión. Si el hombre tiene una altura de 7 ch’ih, 
encontrar la altura de la colina. La solución que 
aporta Liu Hui en su comentario es similar a la 
aplicación actual: FG¡ GE ~EH¡HD
de modo que la altura del árbol (9 zheng + 7 ch’ih) 
más la altura FG fuera la solución del problema, 
pero es posible interpretar este resultado, no en la 
forma actual de relaciones dentro de los triángulos 
semejantes, sino considerando el producto
Gx HD = GExEH.
Otros aportes importantes a las matemáticas en esta
época es la regla de «falsa posición». La misma 
consistía en dar un valor imaginario y conveniente 
aritméticamente a la incógnita para alcanzar su 
verdadero valor al comparar los resultados finales 
habidos entre ambos casos. Esto se hacía porque no 
existía un simbolismo algebraico adecuado. De 
todos modos, no tuvo resolución hasta el siglo XVII 
y el en medio apareció la regla de «Doble falsa 
posición».
AN TES D E L ESTA N C A M IEN TO
Lo que culmina con el desarrollo del álgebra en 
China, durante la Edad Media, es el «Método del 
elemento celeste». Esta teoría fue desarrollada por 
el matemático Chou Shl Hié y permitía encontrar 
raíces no sólo enteras, sino también racionales, e 
incluso aproximaciones decimales para ecuaciones 
de la forma:
PJx)=a4x'l+ a^ 3+atxs+aJx+a0 
Su par en Occidente es el llamado «Método de 
Horner», nombrado así en reconocimiento a su 
descubridor, un matemático que vivió medio siglo 
más tarde que Chou Shi Hie.
Otro gran logro de la época medieval fue la suma de 
progresiones desarrollado por Chon Huo (S. XI) Y 
Yang Hui (S. X I I I ) . Unido a estas sumas de 
progresiones se establecieron elementos sólidos en 
la rama de la combinatona, construyendo el llamado 
«Espejo precioso», de manera similar al que hoy 
conocemos como triángulo de Pascal.
[ h¡ññt&4*& 2012 i v i i g o / i f 7 r r : i o i v )
Pero tal evolución se detuvo hacia mediados del siglo 
XTV, cuando comenzó en China un largo período de 
estancamiento.
LOS SIST E M A S E N IN DIA
En los alrededores del río Indo, territorio de la 
actual India, nació una de las civilizaciones llamadas 
de la Edad del Bronce, la cual cerca del 3000 aC ya 
tenía escritura pictográfica, sistema numérico 
decimal, cálculos geométricos para la construcción 
de edificios, tejían el algodón y conocían la rueda de 
alfarero. Se sabe que esta cultura fue arrasada por 
las invasiones arias, quienes impusieron la lengua 
sánscrita, su sistema de castas e introdujeron la 
escritura alfabética poco antes de la era cristiana. 
Los Vedas son los textos que donde este pueblo dejó 
por escrito sus antiguas creencias.
Muchos siglos después, en el VI aC, apareció el 
budismo y hacia el 260 aC fue adoptado por Asoka, 
de la dinastía Mauyra, que dominó en India tras las 
invasiones griegas de la década del 320 aC.
El sistema numérico indio aparece hacia el 595 dC 
y es muy avanzado ya que tiene notación decimal 
del valor de la posición y de inmediato aparecen los 
nueve signos del sistema decimal. Tres siglos 
después, se sabe que ya tenían y por primera vez en 
la historia el número cero. Los indios habrían 
tenido conocimiento de la ciencia griega hacia el 150 
aC. Se sabe que conocían la astronomía de Hiparco, 
aunque no la de Ptolomeo. Ujain y Patna son las 
ciudades donde se registró mayor concentración de 
civilización, aunque Varahamihira expuso las obras 
astronómicas hindúes en los Siddhantas, que eran 
cinco y que todos usaban un apellido de referencia a 
su origen, como Romaka si eran de Roma. Sus obras 
matemáticas fueron notables, ya le dieron más 
importancia al álgebra que a la geometría, aunque 
en este campo de investigación introdujeron el uso 
de senos de ángulos y, así, dieron inicio a la 
Trigonometría.
Se sabe que esta cultura tenía desde hacía muchos 
siglos antes de Cristo métodos algebraicos para 
solucionar ecuaciones de prim er grado y que 
investigaron en profundidad las indeterminaciones 
provocadas por multiplicar o dividir cero por si 
mismo. Fue, sin embargo, entre los siglos V -X II 
dC cuando la contribución a la evolución de las 
matemáticas se hizo especialmente interesante. En 
esa época se destacaron Aryabhata (8.V I) , 
Brahmagupta (a. VI), Mahavira (a. IX) y Bhaskara 
Akaria (s .X II ) . Por ejem plo, los problemas 
planteados por Mahavira en relación con las 
indeterminaciones del cero, los números negativos 
y ciertos números irracionales que ya se daban por 
válidos están recogidos en la Aritmética en nueve 
lecciones de China, conocim ientos que se 
introdujeron a través del budismo en China. Por otra 
parte, profundizaron en la obtención de reglas de 
resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas, en 
las cuales las raíces negativas eran interpretadas 
com o deudas y para resolver problemas 
astronómicos usaron métodos de resolución de 
ecuaciones diofánticas, llegando incluso a plantear 
y resolver en el Siglo XII la ecuación x3= l+ a y *, 
denominada luego Ecuación de Pelt.
la obra de Brahmagupta es su generalización de la 
fórmula de Herón para calcular el área de un 
cuadrilátero:
donde a, b , c y d son los lados del cuadrilátero y a el 
semiperímetro. Este resultado queda un tanto 
empañado, pues sólo es válido para el caso de un 
cuadrilátero cíclico (inscriptible). También utiliza 
expresiones que permiten obtener las diagonales de 
un cuadrilátero inscriptible conocidos los lados, que 
hoy escribiríamos:
Í(a6 + cd)(ac + bd) (ac + bd){ad + be)
(ad + 6c) \ ab + cd
En su obra aparecen soluciones generales deecuaciones cuadráticas incluyendo las dos raíces
^ 0 1 ^ d p i 2 0 1 8 3 1 M ' U ’i c i o r m i l
incluso en los casos en que una de ellas sea negativa; 
de hecho es la primera vez que aparece sistematizada 
la aritmética de los números negativos y del cero.
En tanto, su contribución al análisis indeterminado 
es una regla para la formación de temas pitagóricas 
expresadas de la forma
1 tn m
t2 m — n m - f / i
Fue el primero que dio una solución general de la 
ecuación diofántica lineal a x + b y - c , con a, b y c 
enteros. Para que esta ecuación tenga soluciones 
enteras, el máximo común divisor de a y 6 debe 
dividir a c, y Brahmagupta sabía que si a y 6 son 
primos entre b í , entonces todas las soluciones de la 
ecuación vienen dadas por las fórmulas x -p + m b y 
y=q-m a, donde m es un entero arbitrario.
Por último, se sabe que estudió también la ecuación 
diofántica cuadrática +py2 que apareció por
primera vez en el problem a de los bueyes de 
Arquímedes.
EL ÚLTIMO GRAN M AESTR O
Bhaskara fue otro matemático y astrónomo hindú 
que vivió entre 114 -185 . Se lo reconoce como el 
último de los maestros científicos clásicos de la 
India. Su gran descubrimiento fue el doble signo de 
los radicales cuadráticos y el carácter anormal de 
los mismos cuando el subradical es negativo. 
Sorprende en su obra Vijaganita, donde intenta 
resolver la división por cero porque asegura que se 
trata de una cantidad infinita. Allí también recopila 
problemas de otros matemáticos y agrega sus 
propias resoluciones, donde aparecen ecuaciones 
lineales y cuadráticas, tanto determinadas como 
indeterminadas.
En sus trabajos estudia la ecuación de Pell: 
px2+ i =y* para p = 8, 11, 32, 61 y 67. Cuando 
p=61 encuentra la solución x —226153980 , 
y —1 7 7 6 3 1 9 0 4 9 . Cuando p - 6 7 encuentra la 
solución x —5 9 6 7 , y -4 8 8 4 2 . Además, da una 
resolución del Teorema de Pitágoras: teniendo en
cuenta el cuadrado de una suma, 
( b + c ) 2~ b 2+ c 2+ 2 b c y observado la figura 
(b + c)s=2b c+ a s y por tanto se obtiene o , = 6 , +c*.
Tan increíble es que se aproxima mucho también 
cuando da algunos valores aproximados de Pi: 22+7 
y 3927+1250 .
• LO S VERSO S D E AR TABIIATA
Se estima que el físico y matemático Aryabhata 
nació en 476 , en Varahamihira, India. El fue famoso 
por ser quien realizó un tratado astronómico en 
versos, los cuales fueron divididos en cuatro 
capítulos. El más importante matemáticamente es 
el segundo, llamado Capítulo del cálculo (ganita). 
El mismo comprende una tabla de seno, ejemplos de 
análisis indeterminado de primer grado, extracción 
de raíces cuadradas y cúbicas según el método hoy 
corriente, que consiste en separar el número sobre 
el que se opera en grupos de dos o tres cifras.
Esto implicaba el conocim iento de la notación 
decimal de nueve cifras y el cero.
La tabla de senos consiste en un cuadro en el que se 
dan los senos de los ángulos menores o iguales que 
90° para 24 intervalos angulares iguales de 3+314 
grados cada uno. Para expresar la longitud del arco 
y la del seno en términos de la misma unidad, se 
tomaba como radio 3 ,4 3 8 unidades y la 
circunferencia correspondiente com o 21 600 
unidades; estos valores implican un valor de Pi que 
coincide con el de Ptolomeo hasta la cuarta cifra 
significativa.
Para el seno de 3+3Í4 grados toma exactamente el 
número de unidades que contiene el arco, es decir 
60x(3+3l4 )=255 ; traducido al lenguaje moderno, 
el seno del ángulo pequeño es casi igual a la medida 
del ángulo en radianes. Para las entradas restantes 
de la tabla utiliza una fórmula de recursión:
&n+l = &n + Si
siendo Sn el seno de orden n y Rn la suma de los n 
primeros senos.
En cuando al álgebra, para resolver el sistema 
formado por r8 x „ 29y = 4
[ I 7 x ~ 4 5 y = 7 
en números enteros utiliza el sistema de 
«pulverización», metódo de cambios de variable con 
el fin de llegar a una solución «a simple vista». Con 
este sistema se llega a x= 15 , y —4 para la primera 
ec\ iación yx= ll,z= 4 . Después se elige x = l 1 +29u, 
x = l l +45v que por igualación resulta 45v-29u—0. 
Se vuelve a «pulverizar» y se obtiene como solución 
mínima u=34t v -2 2 , y de ahí la solución x = l 001, 
y =276, z —378 , que aparece en la reconstrucción
B U ¿ i "üffwi n T t f o w i / m o i v ]
del proceso en un comentarista hindú. También 
Aryabhata da reglas como «hay que sustraer la 
suma de los cuadrados del cuadrado de la suma; la 
mitad de eso es el producto de los factores». Es decir:
 ̂ (a + 6 )2 — (a 2 + 6 “ )
° ~ 2
• E L PR EC U R SO R P IN G A LA
Píngala es el autor del Chhandah-shastra, un libro 
escrito en sánscrito acerca de las métricas o sílabas 
largas. Este matemático indio había nacido en una 
región de la actual Kerala, en la India. Según la 
sabiduría popular de esa civilización, Píngala era 
el hermano menor de Panini, el gran gramático 
indio del siglo V aC.
Pingala había presentado entonces la primera 
descripción conocida de un sistema de numeración 
binario, al que relacionó con la lista de métricas 
védicas y las sílabas cortas y largas.
Sin embargo, su obra también hace referencias 
claras a ideas básicas del maatraameru , nada menos 
que la Sucesión de Fibonacci y el merupraastaara, 
llamado en Occidente como Triángulo de Pascal. En 
su libro Chhandahshastra aparece el primer uso 
conocido del número cero, representándolo como un 
punto (.).
LO S S A B IO S D E E G IP T O
En las más recientes investigaciones históricas se 
ha confirmado que la matemática no nació en Grecia 
sino que esta civilización y principalmente sus 
sabios, com o Pitágoras, Eudoxio y Euclides, 
aprendieron esta ciencia de los sacerdotes egipcios. 
Heródoto dice que los ellos dedicaban todo su tiempo 
a las especulaciones matemáticas.
Galileo Galilei, físico y pitagórico del siglo X V I, 
decía que «la matemática es el alfabeto con que Dios 
ha escrito el libro de la Naturaleza», por lo que 
estaba más cerca de la idea de número que se 
manejaba en Egipto Antiguo que los matemáticos 
del tercer milenio. Para los egipcios, los números 
son los dioses, los «Arquetipos Puros de Platón», 
las ideas divinas; y no sólo enseñan cómo es la 
realidad, sino que también muestran qué es, ya que 
ellos suponían que al ser los números los dioses, la 
raíz, demarcan los senderos por los que todo se 
acerca a la llamada «raíz oculta». Porfirio, un 
filósofo neoplatónico, afirmaba que los números son 
los jeroglíficos con que la naturaleza expresa sus 
operaciones y su quintaesencia.
Para los sacerdotes egipcios todo aquello que no se 
ajusta a la medida pertenece al caos, el reino de Seto
Thot, la inteligencia, ha trazado desde la raíz los 
esquemas o números de cómo debe ser lo que quiera 
entrar armonía con lo divino. Lo que no se ajusta a 
esto, prece víctima del caos.
Los Siete Sabios de Grecia inscribieron máximas 
de conocimiento, de prudencia y de geometría 
sagrada en el templo de Delfos consagrado a Apolo, 
dios de la armonía. Son recuerdos de la matemática 
de sus maestros, los sacerdotes egipcios: Nada en 
exceso, se fiel a la medida, la medida es lo mejor, 
obedece a las leyes, usa la medida, conócete a tí 
mismo, conjetura lo invisible por lo visible.
Las inscripciones de Menfis están divididas en 28 partes, 
siete palmas de cuatro dedos cada una, o sea, la naturaleza 
dividida en cuatro elementos (tierra, agua, aire y fuego) de 
estructura septenaria. Cada uno está relacionado con una 
divinidad de Heliópolis. Por ejemplo, los primeros nueve o 
Primera Enéada es la llamada Enéada de Heliópolis, los 
nueve números sagrados de la matemática, el equivalente 
a la Tetractis Pitagórica y los Sephirots hebreos. Siguen el 
orden divino de la creación y surgen del Cero, que es el no 
número, el abismo de las Aguas Primordiales, lo 
homogéneo e indefinido, el espacio ilimitado, sin variación 
y sin mancha donde nacen y mueren los universos.
La segunda Enéada, en tanto, está relacionada con 
el mundo funerario y psíquico así comola primera 
lo está con la mente, mientras que la tercera está 
constituida por dioses estelares.
^ 0 1^ 5 [ jB l ag BBsa ~ í ¿ \ e n c ic l o p e d ia ]
EL SISTE M A JER O G LÍFICO
Los egipcios desarrollaron el llamado «sistema de 
numeración jeroglífico» que consistía en denominar 
cada uno de los «números clave»
(1 , 10, 100, 1000, 10000, etc .) por un símbolo, 
como eran los palos, los lazos y las figuras humanas 
en distintas posiciones* Luego, se añadían a los 
costados otros signos que formaban los otros 
números. Esto sería muy parecido a lo que luego 
hicieron los romanos para escribir los números.
A lo largo del río Nilo también fueron creadas las 
fracciones, las que se usaban para dividir una 
unidad, y también fueron los primeros que 
desarrollaron métodos de operaciones matemáticas 
para adicionar números enteros y fracciones.
Al Antiguo Egipto se remonta el álgebra que 
comienza a resolver algunas ecuaciones, como 
x + a x = b , donde la incógnita x se denominaba 
«montón».
Pi también tuvo una aproximación dentro de la 
geometría, ya que hallaron un valor aproximado: 
3,1605,
y avanzaron mucho en el cálculo de áreas y 
volúmenes, así como en trigonometría básica y 
algunas nociones sobre la semejanza de triángulos.
LAS APLICACIO N ES í
Los métodos de cálculo egipcio se demuestran, como 
se dijo, en las inscripciones jeroglíficas, en los 
calendarios y en algunos papiros que se hallaron en 
las tumbas más rem otas, com o el papiro 
Golenischevse, que se conserva en Moscú y el papiro 
Rhind, que se halla en el British Museum.
Sin embargo, en este lugar, menos que en ningún 
otro, la matemática fue teórica, ya que la aplicaron 
para desarrollar múltiples actividades y por eso 
lograron alcanzar un gran nivel en las 
manipulaciones aritméticas y geométricas, aunque 
carecieron de sim bolism os para trabajar lo 
abstracto.
La geometría habría nacido para «medir la tierra» 
(que es lo que significa) a partir de las reiteradas 
inundaciones de los campos por los desbordes del 
Nilo, lo que destruía las divisiones cuidadosamente 
trazadas para la agricultura y la división de 
propiedades. De este modo, los agrimensores de esa 
época debían trabajar reiteradas veces sobre los 
campos para dividirlos.
Por supuesto, eran los mismos que junto a los 
constructores trabajaban en el trazado de líneas para 
hacer las famosas pirámides. Se sabe que utilizaban 
una cuerda de doce nudos equidistantes para las
perpendiculares y con este método dibujaban en el 
suelo triángulos rectángulos de lados 3 ; 4 y 5.
El enunciado de uno de los 28 problemas del papiro 
de Moscú, parece corroborar que los egipcios 
conocían la fórmula para calcular el volumen de un 
tronco de pirámide:
Siendo a, b las longitudes de los lados de la base de 
la pirámide y h la altura.
NUEVAS O PERACIO N ES 
A R IT M É T IC A S
Después de utilizar por miles de años la numeración 
con los símbolos para las expresiones 
1 , 10, 100, 1000 ... y combinarlas con otros signos 
para formar números, se sabe que los árameos de 
Egipto lograron imponer otro sistema desarrollado 
que consistía en un principio ternario (ver tabla).
1 2 3 4 5 6 7 8 9
••• ••• •••• ••••• «• • ••• «• ••• ••• ••••
«•« • M •••• • • • •• • ••• «• •••
•
• •• • •
Los jeroglíficos numéricos se realizaban sobre 
monumentos de piedra, pero los escribas egipcios 
que realizaban los docum entos de tipo 
administrativo fueron simplificando el trazo para 
no tener que usar tantos símbolos hasta obtener los 
llamados signos hieráticos. De esta forma, por 
ejemplo, el 20 en notación jeroglífica se escribía nn,
mientras en hierática se denotaba mediante Á •
El escriba realizaba operaciones aritméticas elementales, 
con números enteros y el uso casi exclusivo de fracciones 
unitarias, es decir, de numerador la unidad. El papiro de 
Khind contiene una tabla en la que se expresan las 
fracciones de numerador 2 y de denominador impar entre 
5 y 10 2 , como suma de fracciones unitarias. Con ellas, 
aparentemente efectuaban las cuatro operaciones 
aritméticas con fracciones. Además, las raíces cuadradas 
más simples que aparecían en los problemas se expresaban 
a través de números enteros y fracciones, mientras que los 
números irracionales no llegaron a investigarse en la 
aritmética de Egipto.
• 1 * t[ f ' i í / r i o . w # n r m v o A » '
L á EVOLUCION EN EUROPA
Tras un letargo en la época medieval, Europa 
recuperó el desarrollo y los logros en los estudios 
matemáticos a principios del siglo XVI, cuando se 
descubrió una fórmula algebraica para la resolución 
de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. La misma 
fue publicada en 1545, en Ars magna, un libro del 
matemático italiano Gerolamo Cardano y constituyó 
la piedra fundamental para que otros investigadores 
volvieran a interesarse en esta ciencia, lo que 
determinó rápidamente soluciones similares para 
ecuaciones de quinto grado y más aún.
En esa época se empezaron a utilizar los modernos 
signos matemáticos y algebraicos, y el francés 
Francois Viete llevó a cabo importantes estudios 
sobre la resolución de ecuaciones. Sus escritos 
ejercieron gran influencia en muchos matemáticos 
del siglo posterior, incluyendo a Pierre de Fermat, 
en Francia, y nada menos que Isaac Newton, en 
Inglaterra .
RENACE L A MNVESTMGACMÓN
Después del Renacimiento, cuando florecieron todas 
las artes, se hicieron también importantes avances 
en ciencias. El siglo X V II com enzó con el 
descubrimiento de los logaritmos por el matemático 
escocés John Napier y su gran utilidad llevó al 
astrónomo francés Pierre Simón Laplace a decir, dos 
siglos más tarde, que Neper, al reducir el trabajo de 
los astrónomos a la mitad, les había duplicado la 
vida.
Lo que más influyó en la investigación matemática 
de esta época fueron las obras clásicas, como Las 
aritméticas de Diofante, que fue el puntapié para 
que Fermat realizará su conjetura más sobre que 
no existen soluciones de la ecuación an + bn = en 
con a, b y c enteros positivos si n es mayor que 2 . 
Conocida como último teorema de Fermat, tal 
afirmación generó gran cantidad de trabajos en el 
álgebra y la teoría de números.
Para estos años también surgió la teoría de la 
probabilidad a partir de la correspondencia entre 
Pascal y Fermat sobre un problema presente en los 
juegos de azar. El mismo fue llamado «Problema de 
puntos» y sirvió como referencia al científico 
holandés Christiaan Huygens en su trabajo sobre 
probabilidad en juegos con dados, publicado en el 
Ars coniectandi, en 1713, del matemático suizo 
Jacques Bernoulli. Bernoulli, junto al francés 
Abraham De Moivre, utilizaron este cálculo en su 
Doctrina del azar, de 1718. Newton, entre 1664 y 
1666, desarrolló los cálculos diferencial e integral, 
basados en las investigaciones de John Wallis, Isaac
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Barrow, Descartes, Francesco Bonaventura 
Cavalieri, Johann van Waveren Hudde y Gilíes 
Personne de Roberval. Pero fue el alemán Gottfried 
Wilhelm Leibniz el primero en publicar este cálculo 
en 1684, que sigue siendo el sistema de notación 
que se usa hoy.
V
• L A G E O M ETR ÍA
Dos importantes descubrimientos tuvieron lugar en 
el siglo XVII en el campo de la geometría. Uno fue 
el método, en el Discurso del Método (1637) de 
Descartes, de cómo utilizar el álgebra para investigar 
la geometría de las curvas que también había 
descubierto Fermat. El Discurso del Método, junto 
con una serie de pequeños tratados con los que fue 
publicado, fundamentó los trabajos matemáticos de 
Isaac Newton en 1660.
El otro acontecimiento que se dio en este campo fue 
la publicación del ingeniero francés Gérard 
Desargues, quien desarrolló la geometría proyectiva 
en 1639, aunque las investigaciones sobre el tema 
recién se reiniciaron en el siglo X£X, de la mano del 
francés Jean Víctor Poncelet. El matemático francés 
Gaspard Monge, por su parte, descubrió en esta 
época la geometría descriptiva; y Joseph Louis 
Lagrange, también francés, dio un tratamiento 
completamente