S14 s1 - Teoría y práctica

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Estad́ıstica Aplicada a los Negocios
PRUEBAS DE CHI-CUADRADO
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Al finalizar la sesión el estudiante aplica la distribución Chi-cuadrado en las pruebas de
bondad de ajuste y pruebas de independencia.
Pruebas con la distribución Chi-cuadrado
Las pruebas que consisten en sacar conclusiones directamente de las observaciones mues-
trales, sin requerir supuestos acerca del tipo de distribución de la población de la que proviene,
se denominan pruebas no paramétricas y son empleados con datos medidos en escala nominal
u ordinal. Se utiliza la distribución Chi-cuadrado para contrastar este tipo de pruebas.
1. Prueba de bondad de ajuste
Esta prueba consiste en determinar si una muestra aleatoria procede de una población con
una determinada distribución de probabilidad (puede referirse a la distribución Uniforme, a la
Binomial, a la Poisson o a la Normal, etc)
1. Hipótesis: Plantear las siguientes hipótesis:
H0 : La distribución de frecuencias de la muestra concuerda con la distribución teórica
propuesta.(No hay diferencias entre valores observados y esperados)
H1 : La distribución de frecuencias de la muestra no concuerda con la distribución teórica
propuesta. (Si hay diferencias entre valores observados y esperados)
2. Nivel de significación: Seleccionar un nivel de significación α.
3. Estad́ıstica de prueba:
χ2c =
n∑
i=1
(Oi − ei)2
ei
∼ χ2(k−1)
Donde:
k : Número de categoŕıas.
Oi : Frecuencias observadas.
ei : Frecuencias esperadas.
4. Región cŕıtica:
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5. Calculo del estad́ıstica de prueba: Calcular el valor de χ2c .
6. Conclusión: Tomar la decisión de aceptar o rechazar H0.
2. Prueba de independencia
La Prueba de independencia consiste en determinar si existe alguna relación entre dos
variables cualitativas, cuyos resultados son presentados en tablas de contingencia. Una tabla de
contingencia de r filas y c columnas, contiene en cada entrada o celda la frecuencia observada
de la muestra que corresponde a dos variables clasificadas por categoŕıas.
Variable B
Categoŕıas B1 B2 . . . Bc Totales
Variable A
A1 O11 O12 . . . O1c O1.
A2 O21 O22 . . . O2c O2.
...
...
...
...
...
...
Ar Or1 Or2 . . . Orc Or.
Totales O,1 O,2 O.c n
Cuadro 1: Tabla de contingencia.
1. Hipótesis: Plantear las siguientes hipótesis:
H0 : Existe independencia entre dos variables cualitativas.
H1 : No existe independencia entre dos variables cualitativas.
2. Nivel de significación: Seleccionar un nivel de significación α.
3. Estad́ıstica de prueba:
La estad́ıstica de prueba es dada por:
χ2c =
c∑
j=1
r∑
i=1
(Oij − eij)2
eij
∼ χ2((r−1)(c−1))
Donde:
Oij : Frecuencias observadas.
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eij : Frecuencias esperadas.
eij =
(Total de fila) (Total de columna)
Gran total
Las frecuencias observadas y esperadas son obtenidas de la siguiente tabla de contingencia:
Variable B
Categoŕıas B1 B2 . . . Bc Totales
Variable A
A1 O11 (e11) O12 (e12) . . . O1c (e1c) O1.
A2 O21 (e21) O22 (e22) . . . O2c (e2c) O2.
...
...
...
...
...
...
Ar Or1 (er1) Or2 (er2) . . . Orc (erc) Or.
Totales O,1 O,2 O.c n
4. Región cŕıtica:
5. Calculo del estad́ıstica de prueba: Calcular el valor de χ2c .
6. Conclusión: Tomar la decisión de aceptar o rechazar H0.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. El gerente de una planta industrial pretende determinar si el número de empleados que
asisten al consultorio médico de la planta se encuentra distribuido, en forma equitativa,
durante los cinco d́ıas de trabajo de la semana. Con base en una muestra aleatoria de
cuatro semanas completas de trabajo, se observó el siguiente número de consultas por d́ıa:
Dı́as Número de consultas
Lunes 49
Martes 35
Miércoles 32
Jueves 39
Viernes 45
A un nivel de significación del 5 %, ¿existe alguna razón para creer que el número de
empleados que asisten al consultorio médico, se encuentra distribuido en forma equitativa
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durante los d́ıas de trabajo de la semana?
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2. Se estudia a 1040 estudiantes de los niveles de educación primaria y secundaria y a los
cuales se aplica un instrumento que mide el aprendizaje de la matemática, en las dimen-
siones de aprendizaje conceptual, procedimental y actitudinal:
Primaria Secunadaria
Conceptual 180 100
Procedimental 190 280
Actitudinal 170 120
¿Existe relación entre el tipo de aprendizaje y el nivel educativo de los niños?, realice la
prueba con un nivel de significancia del 5 %.
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EJERCICIOS ADICIONALES
1. Se lanza 180 veces un dado obteniéndose los siguientes resultados:
Resultado Frecuencia
1 28
2 36
3 36
4 30
5 27
6 23
A un nivel de significación del 1 %, ¿es posible concluir que el dado no esta cargado?
2. En un hospital, el número de nacimientos observados para cada mes de cierto año, fueron
los siguientes:
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sept Oct Nov Dic
95 105 95 105 90 95 105 110 105 100 95 100
A un nivel de significación del 1 %, ¿existe alguna razón para creer que el número de
nacimientos no se encuentra distribuido en forma uniforme durante todos los meses de
año?
3. En un experimento para estudiar la dependencia de la hipertensión de los hábitos de
fumar, se tomaron los siguientes datos de 180 individuos:
No fumadores Fumadores moderados Fumadores empedernidos
Con hipertensión 21 36 30
Sin hipertensión 48 26 19
Pruebe la hipótesis de que la presencia o ausencia de hipertensión es independiente de los
hábitos de fumar. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
4. A una muestra de empleados en una planta qúımica grande se le pidió indicar una pref-
erencia por uno de tres planes de pensión. Los resultados aparecen en la siguiente tabla.
¿Existe una relación entre el plan de pensión seleccionado y la clasificación del trabajo
de los empleados?
Clase de trabajo Plan A Plan B Plan C
Supervisor 10 13 29
De oficina 19 80 19
Obrero 81 57 22
TAREA DOMICILIARIA
1. Bubba’s Fish and Pasta es una cadena de restaurantes ubicados a lo largo de la costa del
Golfo de Florida. Bubba, el propietario, desea añadir filete a su menú. Antes de hacerlo,
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decide contratar a Magnolia Research, para que lleve a cabo una encuesta entre personas
adultas para saber cuál es su platillo favorito cuando comen fuera de casa. Magnolia se-
leccionó una muestra de 120 adultos y les pidió que indicaran su comida favorita cuando
salen a cenar. Los resultados se reportan en la siguiente tabla. ¿Es razonable concluir que
no hay preferencia entre los cuatro platillos? Use un nivel de significancia del 5 %.
Plato favorito Frecuencia
Pollo 32
Pescado 24
Carne 35
Pasta 29
Total 120
2. Una empresa minera hizo un estudio para verificar si el tipo de trabajo se relaciona con
el grado de estrés de los trabajadores. Para lo cual se elige una muestra aleatoria de 300
trabajadores y se clasifican en la tabla siguiente:
Grado de estrés
Tipo de trabajo I II III
De oficina 42 24 30
Terreno 54 78 22
Probar la hipótesis de que el tipo de trabajo afecta el grado de estrés del trabajador con
un nivel de significación de 5 %.
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