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ESTADÍSTICA APLICADA 
PARA LOS NEGOCIOS
Semana 08
Sesión 01
ESTADÍSTICA APLICADA A LOS NEGOCIOS
TEMA DE LA SESIÓN
VARIABLE 
ALEATORIA 
CONTINUA y 
DISTRIBUCIÓN 
NORMAL
Datos/Observaciones
LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de clase el
estudiante aplica los conceptos de
variable aleatoria continua y resuelve
ejercicios de aplicación, conoce la
distribución normal; además aplica la
distribución en la solución de problemas.
VARIABLE ALEATORIA
REPASO DE LA CLASE ANTERIOR
• ¿Qué es una variable continua?
• ¿Para qué sirven las distribuciones de 
probabilidad?
SABERES PREVIOS: ¿Alguna pregunta de la clase anterior?
Datos/Observaciones
UTILIDAD
Con frecuencia, al considerar variables aleatorias distintas, asociadas incluso a
experimentos aleatorios diferentes, se observa que las distribuciones de
probabilidad son, en esencia, similares. Se pueden, por tanto, considerar
modelos de distribuciones de probabilidad, aplicables a numerosas situaciones
reales.
Sin dudad la Distribución Normal, es la más importante de todos los modelos
probabilísticos, pues su aplicación se extiende a numerosos campos de la
naturaleza, la industria, la economía, etc. Tiene su origen en la modelización de
la distribución de frecuencias relativas de errores cometidos al efectuar
repetidas veces una medición.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Es aquella variable en la que el rango (𝑅𝑥) es un intervalo o un conjunto
infinito no numerable de valores reales.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Ejemplos:
Experimento Variable aleatoria Valores posibles
Operar un banco. Tiempos en minutos entre la
llegada de los clientes.
𝑥 ≥ 0
Medir la temperatura de un
ambiente.
Temperatura en °𝐶 en las
noches del mes de julio.
−10 ≤ 𝑥 ≤ 10
Llenar una lata de refresco
(máx. 12.1 onzas).
Cantidad en onzas 0 ≤ 𝑥 ≤ 12.1
Función de densidad
Sea 𝑋 una variable aleatoria continua, se denomina función de densidad de probabilidad de 𝑋, a
la función 𝑓(𝑥) que satisface las siguientes condiciones:
1. 𝑓 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑥
2. 
−∞
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
3. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = 
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Función de distribución acumulada
Sea 𝑋 una variable aleatoria continua, se denomina función de distribución acumulada de 𝑋, a
la función 𝐹(𝑥) definida por:
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 
−∞
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 , ∀𝑥 ∈ 𝑅𝑥
𝑭 𝒙
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Valor esperado y varianza
• El valor esperado, o media, de una variable aleatoria es una medida de
la localización central de la variable aleatoria.
• La varianza es la medida que resume la variabilidad de los valores de
la variable aleatoria con respecto al valor esperado.
𝐸 𝑋 = 
−∞
+∞
𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑉 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸(𝑥) 2
Donde: 𝐸 𝑋2 = −∞
+∞
𝑥2𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Sea 𝑋 una variable aleatoria continua, cuya
gráfica de su función densidad es:
Ejemplo
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
a) Calcular la probabilidad de 𝑋 sea menor o igual a 5.
b) Calcular la probabilidad de 𝑋 sea mayor a 6.5.
c) Calcular la probabilidad de 𝑋 este entre 4 𝑦 6.
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS
SOLUCIÓN
a) 𝑃 𝑋 ≤ 5 = 
2
5
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 
2
5 1
6
𝑑𝑥 =
1
6
 𝑥 2
5 =
1
2
= 0.5 ≈ 50%
b) 𝑃 𝑋 > 6.5 = 
6.5
8
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 
6.5
8 1
6
𝑑𝑥 =
1
6
 𝑥 6.5
8 = 0.25 = 25%
c) 𝑃 4 ≤ 𝑋 ≤ 6 = 
4
6
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 
4
6 1
6
𝑑𝑥 =
1
6
 𝑥 4
6 = 0. 3 ≈ 33%
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Distribución normal
La distribución Normal también llamada campana de Gauss por su forma
acampanada es la distribución más importante en la estadística, ya que la
mayoría de las variables naturales (peso, talla, edad, etc.) se ajustan a
una distribución Normal.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
𝑋 ~ 𝑁(𝜇; 𝜎2) , si su función de densidad es: 𝑓 𝑥 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
, 𝑥 ∈ ℝ
𝑓 𝑥
Propiedades
1. La distribución Normal es simétrica respecto de la media.
2. El punto mas alto de una curva normal se encuentra sobre
la media, la cual coincide con la mediana y la moda.
3. Las probabilidades correspondientes a la variable aleatoria
normal se calculan mediante áreas bajo la curva normal. Toda
el área bajo la curva de una distribución normal es 1.
4. La distribución Normal es asintótica; es decir, la curva se
aproxima más y más al eje 𝑋, sin tocarlo en realidad.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Si: 𝑋 ~ 𝑁 𝜇; 𝜎2 entonces: 𝑍 =
𝑥−𝜇
𝜎
~𝑁(0,1)
Estandarización de la normal
DISTRIBUCIÓN NORMAL
AHORA TE EXPLICARÉ LA RESOLUCIÓN 
DE ALGUNOS EJEMPLOS!!!
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Si: 𝑍~𝑁(0,1) , hallar:
a) 𝑃(𝑍 ≤ 1.24)
b) 𝑃(𝑍 > 0.85)
c) 𝑃(−0.25 ≤ 𝑍 ≤ 0.8)
Ejemplo 1
DISTRIBUCIÓN NORMAL
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS
SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
a) 𝑃 𝑍 ≤ 1.24 = 0.8925
b) 𝑃 𝑍 > 0.85 = 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 0.85
= 1 − 0.8023 = 0.1977
a) 𝑃 −0.25 ≤ 𝑍 ≤ 0.8 =
= 𝑃 𝑍 ≤ 0.8 − 𝑃 𝑍 ≤ −0.25
= 0.7881 − 0.4013
= 0.3868
TABLA
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Si: X~𝑁(7,16) , hallar:
a) 𝑃(𝑋 < 9)
b) 𝑃(4 ≤ 𝑋 < 8)
c) 𝑃(𝑋 > 12)
Ejemplo 2
DISTRIBUCIÓN NORMAL
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS
SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
a) 𝑃 𝑋 < 9 = 𝑃 𝑍 < 0.5 = 0.6915
b) 𝑃 4 ≤ 𝑋 < 8 = 𝑃(−0.75 ≤ 𝑍 < 0.25)
= 𝑃 𝑍 < 0.25) − 𝑃(𝑍 ≤ −0.75
= 0.5987 − 0.2266
= 0.3721
c) 𝑃 𝑋 > 12 = 𝑃(𝑍 > 1.25)
= 1 − 𝑃 𝑍 ≤ 1.25
= 1 − 0.8944
= 0.1056
TABLA
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS
Suponga que el costo de producción de una calculadora tiene distribución
normal con una media de 40 soles y una desviación estándar de 3 soles. Si se
elige una calculadora al azar:
a) Calcular la probabilidad de que el costo de producción sea más de 42
soles.
b) Calcular la probabilidad de que su costo de producción sea a lo mucho 36
soles.
Ejemplo 3
DISTRIBUCIÓN NORMAL
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
SOLUCIÓN
DISTRIBUCIÓN NORMAL
𝑋: 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛
𝑋~𝑁(40,9)
a) 𝑃 𝑋 > 42 = 𝑃(𝑍 > 0. 6)
= 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0. 6)
= 1 − 0.7475
= 0.2525
b) 𝑃 𝑋 ≤ 36 = 𝑃(𝑍 ≤ −1. 3)
= 0.0912
TABLA - INTERPOLAR
DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS PARA DATOS CUANTITATIVOS
La estatura de los estudiantes de la UTP sigue una distribución Normal de
media 160 𝑐𝑚. y desviación estándar 5 𝑐𝑚. Si se elige un estudiante al azar:
a) Calcular la probabilidad de que el estudiante mida al menos 168 𝑐𝑚.
b) Calcular la probabilidad de que el estudiante mida más de 150 𝑐𝑚, pero
menos de 162 𝑐𝑚.
c) Si se encuestan a 200 estudiantes, determine la probabilidad de que
como máximo la mitad midan menos de 155 cm.
Ejemplo 4
DISTRIBUCIÓN NORMAL
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
SOLUCIÓN
EJERCICIOS RETO
¿LISTOS PARA 
RESOLVER LOS 
EJERCICIOS RETO?
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA – DISTRIBUCIÓN NORMAL
1.- La demanda mensual en miles de kilogramos de un producto es una variable aleatoria 𝑋 cuya
función de densidad es la función real de valor real:
𝑓 𝑥 = 
𝑘𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 0,2
0, 𝑠𝑖 𝑥 ∉ 0,2
a) Halle el valor de la constante “𝑘” y trace la gráfica de la distribución de probabilidad.
b) Si el stock mensual del producto es 1000 𝑘𝑔, ¿Qué probabilidad hay de que la demanda no sea
satisfecha en un mes cualquiera?
EJERCICIOS RETO
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA – DISTRIBUCIÓN NORMAL
2.- Un estudio de llamadas telefónicas de larga distancia realizado en las oficinas centrales de Pepsi
Botting Group en Nueva York, demostró que las llamadas, en minutos, se rigen por una distribución
de probabilidad normal. El lapso medio de tiempo por llamada fue de 4.2 minutos, con una
desviación estándar de 0.60 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure entre 4.2 y 5 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure más de 5 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure a lo más 6 minutos?
EJERCICIOS RETO
3.- Suponga que las puntuacionesobtenidas en el examen de admisión a una universidad están
distribuidas en forma normal con una media de 450 y una desviación estándar de 100.
a) ¿Qué porcentaje de las personas que hacen el examen tendrán una puntuación entre 400
y 500?
b) Si la universidad no admite estudiantes que obtengan una puntuación menor a 480, ¿qué
porcentaje de los estudiantes que hacen el examen podrá ser aceptado?
DISTRIBUCIÓN NORMAL
¿QUE HEMOS APRENDIDO?
• Aplicar los conceptos de una variable aleatoria
continua.
• Resolver ejercicios de aplicación.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA – DISTRIBUCIÓN NORMAL
¿Qué es y para qué sirve?
Distribución normal
Aplicaciones
Distribución normal
TAREA DOMICILIARIA
1.- La vida útil en años, de un producto es una variable aleatoria continua 𝑋
cuya distribución es descrita por la función de densidad:
𝑓 𝑥 = 
𝑘𝑒−2𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
0, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
a) Halle el valor de la constante “𝑘” y trace la gráfica de la distribución de
probabilidad.
b) Halle la función de distribución acumulada 𝐹(𝑥) de 𝑋.
c) ¿Qué porcentaje de estos productos duran más de 18 meses?
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA – DISTRIBUCIÓN NORMAL
TAREA DOMICILIARIA
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA – DISTRIBUCIÓN NORMAL
2.- La calificación de los alumnos que realizaron un examen final de
Estadística Descriptiva tiene distribución normal con media 10 y desviación
estándar 3. Si la nota mínima para aprobar es 12, ¿Qué porcentaje de
alumnos aprobaron el examen?
3.- Se observó que la cantidad semanal de dinero gastado por una
compañía, durante largo tiempo en mantenimiento y reparaciones, está
normalmente distribuida en forma aproximada con media de $400 y
desviación estándar de $20. Si están presupuestados $450 para la próxima
semana, ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales rebasen la
cantidad presupuestada?