Castegnaro_(Curso de calculo)-financiero-CAP 2 Regimen de capitalizacion a interes compuesto

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- ,- ~- ." ...- ~.-..
CAPÍTULO JI
REGIMEN DE CAPITALIZACIÓN
A INTERÉS COMPUESTO
Realizaremos elcuadro de marcha de unaoperación de depósito de $ 1.000
colocado a una tasa de interés periódica sínretiro es decir con reinversión
periódica de intereses, considerando por ejemplo que el período es de 30
días (mensual) y la tasarle interés mensual es del 10%.
Para ello ubicaremos dicha operación en el eje detiempo para una mejor
comprensión.
Esdecir:
Capital C, =1.000
Tasa de interés'mensual i
30
= 0,1
Eje de tiempo
10-03 9-04 .9-05
O 1 2 . P (p+1 ) . (n-1) n
_ 1__ 1_'_'_' '1' I I_~_._.11__1 1
<:(0) =1.000 C(l)=l.lOO C(2)=1.210 ce» C(p+l) ...
I(O;nl= 11 + 12 + Ip + IP+1 + ... .+ I~
I(O;n) = Ca. i + C¡ . i + Cp_1 • i + Cp • i + ... +Cn_l • i
48 AíDA B. CASTEGNARO
Cuadro de marcha delmontante o valor Iinel
REG1MEN DE CAPJTAL1ZACJON A ¡NTERESCOMPUESTO ca 1.000 i 0,10' c..:...._....._•.~•••.,••_ ..._ .-r-..........._.~_.".j
Fecha-¡P---¿';ñcev¡-o----~-'-~orte ---c----¡-j·~m-,lIfa-----~-·--·-·~-:-·--~--:---
Capital deI momo O /.000 ,CO Cú ·
~cf!!il!!.!J!!.do J_ /00= Í. OO!~!. ºJ.~LL(º!~!)=h~{,!!-..!-_-_.".-c-~~_¿~~_~'_--c~_" __:"_'_~_' ~_~
Ñfontanle al momo J 1.100 = 1.000-:' lOO ¡ CI e" -f' JI = el} -:.. Ct~i = e" (J ·f··O . . Cl =Cll(l+i)-.
J!!!.~ésdel periodo 2__ l.!O = J.JO(L~!l.J!L_J_!.(J!J.L~lJ~= CL,!....__~ -r-r-r-r-r-r- .._._._~..:...,:-¿--..._-:'_._'.,_,_..,_
Montante al momo2 1.210 = J.I00-7/ /0 ¡C] zz: CI ~ CI.i = C¡ ( l ~ .i) . '.- '. C2 =C l{ 1+ it
1 1 C y (J+ i) (J. i) = C» (17ii . . . ..
ro-os ¡O
9-0-1 ! 1
19-05 !2
¡ , .
Entonces se induce que: . C(n-Jj = Co (/ '. i) n-l
. lfn-l:n)=k/_'i.:_'_.
e; = e, (Y+-. .r
~~~~ri~~_- ~~~=~~~_.,_. ~~~_._~.',
Montante ¡en= C,) +/1 +... + 1n = Cn=Co(J+.ij",
. ,'! . . . .':;"'" .",
Proporcionalidad: Los.intereses totales son proporcionalessólo al capi-
tal, no así a la tasa de interés y al tiempo. De todas formas, en el mundo real
podemos decir que no siempre resulta válida, pues depende de lascuantías y
de sus' posibilidades de inversión, ya que las.alternativas de colocación de
cuantías importantes generan una rentabilidad mayor que con las peql;leñ~s.
La proporcionalidad con respecto al capital también se entíendecomo
"el monto generado por la suma de capitales es lasumade los montos deriva-
dos de cada uno de esos capitales" ~propie~adaditiva-c." ~'. . t.
~ ., . ...,.- -.- -. .
Conociendo el montante se puede determinar Iosintereses totales de la
operación: .... 'o
I(O;n) = C<nl·· C{o).=. AC(O)
I(O;n) =C, [(1 + ~.~) ~.:-ll .
Aligual que hicimos en el Régimen de Capítalízacíon anterior, en un pe- .
queño cuadro resumimos las fórmulas que surgen a partir del monto-para el
cálculo de cada uno de sus componentes. . . ", 1 .. .
, .
Rézimen de Caoitalización a Interés Compuesto
Monto en =e, [( 1+ it
Intereses 1(0;0) =Co [ ( 1 + i )n - T ]
Capital
C=~ C:> I(O;n)inic,ial -,
o (1 + i)" O, (1+i)"::-1 ..
Tasa de I
Interés __ (en J11- -.-
eo
loge" -Iog Co
Plazo n= log(l + i)
RÉGIMEN DE CAPITALIZACiÓN A INTERÉS COMPUESTO
Cuadro de valores de la función, sus variaciones absolutas y relativas .
Mom. Capital al Interés Interés I Intensidad
momento p acumulado periódico Periódica
hasta p I
p. C(p) I(O;p) I(p-l ;p) II(p-l ;p)
C
p
_
1
O 1000. - - I -
1 1.100 100 100 J 0,10
2 1.210 210 110 I O,JO
3 1.331 331 121 I 0,10
Análisis y Gráñco de la 'función financiera
49
La función financiera ( 1+ ¡)O es una magnitud que representa el valor
final o monto o montante deun capital inicial de una unidad monetaria lue-
go de n periodos valuado a la tasa i periódica, considerando la convención
exponencial, es decir la reinversión periódica de intereses.
Tiene la característica de generar intereses periódicos crecientes (aun-
que la tasa de interés sea constante), pues se calculan sobre los montos, con
excepción del primer período en que se calcula sobre el capital, ello hace que
produzca intereses.no solo e~ capital sino los intereses acumuados al mismo;
de allí que la función que se ~rafique sea una curva.
F(n) =(1 + i )0
F"(ri)=·(l+i)~.[ In ("1+i)]2> O .... funcíórrcéncava
F'(n) = Jl+i)o.ln(l+i)
n
> O ... función creciente V'n~O
V'n~'
o 1
1 ~. l+i
00 00
Se trata de una función exponencial, pues a medida que aumentan los
períodos de capitalización aumentará el valor final.
Lafunción exponencial es de la forma y = b aX yen nuestro caso f(n) =
(1 + i )0; en donde la función monto se origina en 1 pues corta al eje de las
ordenadas en el punto 1cuando n=O (origen de la operación). Aligual que en
la ley financiera a interés simple acá seguimos analizando la capitalización,
cómo evoluciona ese capital a través del tiempo y tendrá sentido financiero
sólo si i>O.
50 AíOA B. CASTEGNARO
f(n)= (1+i.)n
f(O)= 1
01---...-.....- ......---·
123 n
Vemos que es la representación de una curva creciente, cóncava al orí ...
gen, cuya variable dependiente es el monto y la ordenada al origen es elcapi...
tal original, acá representamos el tiempo corrióvariable independiente, mañ...
teniendo constante la tasa.
Podríamos haber analizado la función considerando variable la tasa .de
interés y constante el tiempo.
e >
,qaracterist!cas del régimen de capitaliz~ci6n~a inter~scompuesto
)- Los intereses se calculan siempre sobre el monto al inicio de cada
período.
)- Los intereses periódicos son crecientes.
)- El interés acumulado es la suma de los intereses que crecen en pro ...
gresión geométrica cuya razón es (1+i).. - - .. ,
)- Elvalor final crece en progresíongeométríca cuyarazón es (1+i).::"'
.;;. .r
)- La proporcionalidad de los intereses .s"e dacon resI?ecto. aCo~-'
)- La reÍaci6n entre el interés periódico y elcapitaI generador-e-quees.. '
el monto alinicio- es una constante y coincide con la tasa contrae...
tual periódica. .
> La ley financiera de capitalización (1+i.)n está definida para n30;para .
un capital de una unidad monetaria, en donde en el momento pel
valor (l+i)~ > (l+i)(P-I) en el momento (p... l), ya que seríaun absurdo
. , considerar intereses negativos. "
> Tienecomofactorrecíproco (1+\)" =(l+ir" ya que elpr~ductode;
ambos factores (1+i)n y (1+i)-n es igual a l. Este 20 factor lo veremos
más adelante, pero estaría expresando la inversa del proceso de capi...
talización, y ese factor recíproco es el factor de actualización a interés
compuesto, la ley conjugada de descuento.
~ Tiene una ley prolongada de descuento que es (l+i)-n pues podemos
capitalizar y actualizar y llegamos a Co' Es decir: Co(l+i)n {1+ o-n=c
o
'
j
RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN A INTERÉS COMPUESTO
» Es escindible ya que el monto generado por un capital inicial no varía
al separarla en varios capitales sucesivos y reinvertirlos cada vez.
En general es escindible si f(x). f(y) =I(x-y)
. ..
Acá sería C'(l+i)n (1+ i)P= e (l+i)fi+P.0 - o
Sinembargo, en elmundoreal a veces las operaciones'colocadas con
esta ley financiera no sonescindibles.
Tasa~viriables ·en~l;égiIilendecapitalizacióna interés compuesto
l)~bemospl~ritear la fórmula de monto considerandoque ias'tasas de
colocación sean diferentes en cada renovación de la operación y podríamos
entonces, hacer algunos agregados en-el cuadro de marcha insertando el
subíndice en el tanto de interés de cada período de forma tal que resumi-
damente nos quedaría:
o 2 (n-l)
I~_~ ~ '1_· II I ~__
n
11 '.
Cn,= e, .lll(l+ij ) ] .
j=l
S~pongaInosun capital 'de $ í.ooo tomado en préstamo a dev~lver den-. .
tro de 4 meses conjuntamente con sus intereses devengados mensualmente,
siendo las tasas de aplicación vigentes en cada período de devengamiento
del 1,5% mensual para el primer período mensual, el 1,8% mensual para el
segundo y así sucesivamente el 1,72% yell,6%.. Se pretende hallar:
, .
a) el valor final pa~ado por todo concepto;
b) la tasa media mensual resultante. ,
Para resolver el primer punto aplicamos la fórmula de monto
n _ _ ,
C4 =1.000 .[I1 (1+ij )1; siendoi1' = O,015;i2 =O,Ói8;i3 = 0,0172;i4 =0,016
j=l
C
4
= 1.000 ( 1+ 0.,015). (1+0.018). (1+0.0172).(1+0.016)
C
4
=1.000 (1+0,06786)= 1.067,86
C4. =1.067,86
52 AíDA B. CASTEGNARO
Posteriormente, planteamos entonces la equivalencia financiera en don-
de podemos expresar que el monto generado por un capital colocado a una
tasa i (representativa de todo el plazo» tasa media o promedio) debe serequí-
valente al monto generado por el mismo capital colocado a diferentestasas
Periódicas i, 'J
n
Co(l+i)n =c o .[n (l+ij ) ]
j=1
Si despejamos el valor de "i" encontramos un promedio geométrico:'
1
i =[rr(1+i)];; -:'í
J=1
1 ) .
i = [(1 +0,015),(1 +u,018).)(1 +0,0172).(1 +0,016)P -1 =(1+0,06786)4 -1.=:=.0,0165~9
"Pód~moscomprobar que el monto generado por ese capital de 1.000.coJo-
cado a una tasa constante del 1,6549%mensual da un valor final de $ 1.067,86.
Otra forma de hallar la tasa media es relacionando el monto y el capital
inicial; de allí conseguimos la variación absoluta que es el incremento del
capital por todo ~el plazo; en nuestro ejemplo: 1067!86~ 1000 =67,86:
Si el incremento del capital lo relacionamos con el capital original arroja-
una variación relativa que es el tanto de interés por todo elperíodo -en este
caso cuatrimestral-:
67,86 =O06786
1000 '
Como tenemos que determinar la tasa subperíódica, una tasa mensual y
estamos trabajando con el criterio exponencial, la fracción de la cantidad de
períodos en este caso estará como operación inversa de la potenciación que
es la raíz, ' e, .' ;
(1+0,06786) ='(1+ ;)4 -1
Como prueba de ello, podríamos haber partido del valor hallado al capí-
talizar a interés compuesto por las diferentes tasas de interés periódicas el
capital Inicial arrojando un monto de 1067,86 = 1000 ( 1 + i)4 Ydespejando í:
1
i =e~:0)4 -1 =(1,06620)~ =0,016549
Observemos bien cómo podemos leer cada uno de los pasos en esa fór-
mula derivada de "í":
-
RÉGGMEN DE CAPITALIZACiÓN A INTERÉS COMPUESTO
~oociente entre paréntesis representa el valorflnafde 1unidad decapí-
__~ capíralízada a la tasa del plazo total de la operación, en este caso
:"'..:.~::::rrestraly al tener el exponente fraccionario estamos hallando el valor
=~ al. cabo de un subperíodo -mensual para nuestro ejercicio-i-. Luego
::'~~..,....os la unidad de capital invertido cuya resta arroja el tanto de interés
;-==5c.:co, que coincide con el interés periódico de una unidad de capital.
Ejemplos en nuestro contexto financiero
?ensemos en las aplicaciones del régimen de interés compuesto además
::= 2. colocación de un depósito aplazo con reinversión periódica de intere-
ses podemos agregar la operación de préstamo deun capital con reembolso
.:=::2.?hal e interesesal vencimiento, el cálculo del devengamiento de intere-
~6 ie las cuentas a la vista', la elaboración de las series estadístícasdiarías de
:=:.~=o Central, la elaboración de coeficientes tales como "el e.E.R.y el e.v.s.
_:5sístemas de préstamos delmercado financiero institucionalizado, cálcu-
;:5::e moratorias ímposítívas que permiten la cancelación de deudas en cuo-
-:::'=ú1tiples. '-, ~..'
_J..-=2r:a.ciones
o 1 n. n'+n"=lO
'__' 11_--,--_ 1 11 :: . I
Co=200 . 'Cn='301,76
i¡=O,035 ,i1=O,045
301:76 =200 * ( 1 +O,035)n' *( 1 + O:045)n'"
3~~6 =(1+0,035)"' (1+ 0,045iC}--n' .
Ig301,76-1g 200 =n 'lg 1,035+ (10- n') Ig1,045-
Ig301,76-lg200 =n"(lg1,035-lgl,045)+ 101g1;045
r:' Ig301,76-1g200-10Ig1,045 -0,01253123 =3
(lg1,035 -lg1,045) -0,00417595
Si ~~=3 Yn'+0"=10 -> 0"=7
·54 AÍDA B. CASTEGNARO
1' •. 2) . E120.12 un depositante coloca $ 80 por un plazo de 10 dias siendo la
L .. - .1. tasa efectiva mensual del 7%. Elvalor obtenido se vuelve a invertir en
otra entidad que paga el 7,5% efectivo mensual, por un plazo de 20
días. Determinar el monto reunido y los intereses de toda la opera-
ción. - t
Rta.: CCn)= 85,87 t{O;n)=5,87.
20/12 30/12 19/01
/_------_/_------_/
Co=80 i7=f(i30=O,07) i20=f(i30=O,075)
..1,'-_~
C(n) = 80 * (1+0,07)00/30) * (1+0,075) (20/3;1~ ~=> Cín) == 85,87
eCO) = 80.00
I(O,n) ~ 5,87
3) Cuál fue la tasa de colocación de un capital de $ 100, si estuvo coloca-
do durante 30 días, con una capitalización cada 10 días, obteniéndose
un interés total de $ ~,50.
Rta.:i = 0,018.
° 1 2 3
- 1 1 1__1
Co=100 C3=10S,SO
5,50 = 100 * [ (1 + i) 3 - 1].
i =0,018:
4) -Si se depositó hace 14 meses $ 1000 al 5% mensual de interés' y al
cumplir 5 ·meses la operación, se efectué un cierto retiro. Posterior-
mente al cumplirse los 11 meses de iniciada la operación se colocan
$ 1139,08 con lo-cual actualmente se posee un monto igual al que
originariamente se esperaba reunir sólo con el capital inicial. Se pide
determinar el importe del retiro efectuado, sabiendo que existe en
toda la operación reinversión periódica mensual de intereses.
Rta.:R ~ 850.
n=14
. ,
C
14
6° 1 5 11
1 1__11 1 ' __11 ' __-
Co= 1.000 i 1=O,05 R 1.139,08
{ [1000.(1+0,05)5- R(5)]. (1+0,05) 6 + 1139,08}. (1,05) 3 =1000 .(1+0,05) 14
~ --.
RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN A INTERÉS COMPUESTO'
, ..Si el valor despejado de R(5) lo reemplazamos en la ecuación anterior'
elvalor final obtenido será de 1.980.
,'5l-,Srcleseamo~s hacerundepósito que arroje un valor final de $ 3389,88
yteniendo en cuenta un descuento del 2% aplicado sobre los intere-
,sesa cargo del depositante. Calcular cuál será el importe a depositar
,", .sí estar colocado 11 meses estimando que la tasa para los primeros 5
meses sea del 5,5% mensual y para el resto la tasa mensual es la ante-
rior adicionada en un punto mensual. Considerar que se reinvierten
periódicamente (mensual) los intereses.
Rta.: C(O)= 1800.
o 1 5 11
/_'.._'_/_,_//__/_-------_/
e, 11= 0,055 i2~º,065. Cn= 3.389,88
a=O~02
, ,~~.
~3389,88-;~C(Ó) .C i+ '0,98:*0,055) -~ ",( 1+ 0,98* 0,06'5)6 '
'·6) "Determinar el tiempo enqueun capital de $ 2.100 colocado a un tan-
, to de interés del 5,9% mensual y otro de $ 2400 invertido al 4,5% men-
~. " sual produce en el mismo valor final. Considerar que todos los meses
se reinvierten los intereses.
'Rta.: n= 10 meses. <
o 1
1 1
~ Co= 2.100 Cn=2.100 (1+O,0591n
Co= 2.400 Cn=2.400 (1+0,045)n
2100 *(1+ 0~059) n = 2400 * ( 1 + 0~045) n
lag 2.100+ n.log 1,059 =log 2400 + n log 1,045
~ ~ lag 2.100~ lag 2.400 = -0,05799195::: 10 '
log1;045,-log 1,059 -0,0057797
,7) Calcular el tiempo en que una cierta suma de dinero estuvo colocada
a las tasas de interés pactadas, sabiendo que se depositó en una enti-
dad financiera que capitaliza los intereses cada 40 días y paga por los
días
petiodos
_ .
.~Q.. . AíOA B. CASTEGNARO
,1 ¡ • ). depósitos el 8,5% efectivo mensual y posteriormente modifica la tasa-
po,... -e -. al 192% efectiva anual, si el valor final reunido fue de $ 1661,38 Ylos -
intereses ganados en toda la operación fue de $1.311,38 al cabo de
560 días. .
Rta.:n(l) =10 n(2) =4.
o . 40 80 560
O 1 2 14
I / / // /
Co=(1.661,38-1.311,38) C14=1.661,38
r40 =f(i30=O,O~S) f"40 =f(i36s=I,92)
(1661,38 - 1311,38)*' (1+0,1149) (01) * (1+O,1246) (02) = 1661,38 .
8) Calcular el tiempo que debe transcurrir para que un capítalde $ 20.0 -
. # .'" -colocadoa interés cotnpuesto a la tasa del 9,2% trimestral se triplique.
Rta.:n= 12,48 trimestres.
o 1 n
/_--_/_-_//_--_/
CO: 200 igo=0,092 Co=3. 200
200 . ( 1+ 0,092)0 =3 .200.
log3
n= .
log(l +0,092)
La interpretación fraccionaria es que se necesitan más de 12 trimes~' -
tres, pudiéndose colocar el capital por ese plazo entero y luego por 42
días a un tanto de interés equivalente al 9,2% trimestral.:': -
9) Determinar el tiempo que debe transcurrir para que una colocación
de $ 160 sufra una variación relativa del 30%, suponiendo una tasa de .
interés del 5% mensual acumulativa. .
Rta.: 5,38 meses.
o 1 n
/_--_/_-_//_-_/
CO=160 - i30=0,05 Cn=160+0,30. 160=208
208 =160 * ( 1 + 0,05) o
(Considerar la interpretación financiera del plazo)
RÉGIMEN' DE CAPITALIZACiÓN A INTERÉS COMPUESTO 57
10) Determinar cuál es la tasa de interés bimestral, tal que triplique un
,,capital de·$350 al cabo de 8 bimestres, considerando la reinversión
periódica deintereses, ' , .:
'Rta.: ¡(GO) = 0,1472.
o 1 n=8
/_-_/__//__/
Co= 350 í60 Cn=3. 350
350= 3. 350 (l+i) 8
'(.,:>.Jlt Cuál es el número de períodos en que un capital de $ 200 colocado a
". :'·u~a tasa del 3,2% mensual a interés compuesto se duplica.
>,,'Rta.: n = 22.'
','O' '1,' , n
I 1__' ~'// /
. '.Co=200 í30=O,032 Cn=2~ 200
200=2. 200 * (1 + 0,032) n .
-~'ri;'log2' .t -log.I,Ó32'
·12) Cuál es el 'capital que' al 5%'mensual en 3 meses ha producido a inte-
rés compuesto un monto que supera en$ 200 al que se hubiera obte-
.nído aesa tasa a interés simple.
~ ,
".Rta.:(Co) = 26229,5.
O 1 2 n~
/ / / I
e, i
30
=0,OS C
n=Co·(1+0,05)3.:
Co i30=0,OS ¡. Cn=Co.(I+~,0§.3)+200.
. .
13fDentro'de cuántos días un capital de $ 5000 colocado al 0,3% equíva-
.Jente diario produce un interés de $ 503.
o . 1 2 n
/ / /__//' l
Ca= 5.000 i l = 0,003 en= 5.503
I(O;n) = 503