Castegnaro_(Curso de calculo)-financiero-CAP 4 Tasas de interes

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. CAPÍTULO'N
TASAS DE INTERÉS
'~Objetivo
·'Comprender diferentes tasas utilizadas en el mercado y poder mane-
. jarlas aplicándolas en cualquier situación.
.,~.:"".(.,.,
"si bh~~;ca~o~ I~forinación fínanclera en" cualquier periódico nos encon-
.' tramos coplas siguientes notaciones:
<se analizará más adelante>
Ditetentesnombresde T.NA
"•. Tasa nominalanualde interés paraelplazo de "m" días
• Tasa, nominal anual de int. capitalizablecada "ttivdies .
"'.,.::-...~~
• Tasa nominalanualde interésconvertiblecada "m 11 días
'e Tasa anual vencidacapitalizable cada"m" días
T.N.A. (365/m) =i (365/m)
Tasaconvenida o contractual de la operación. Es una
tasa de trabajo expresada anualmente y capitaliza
Jfi5veces en elaño, según el plazo"m"al que está referida.
m
Ceso 1: Decido inmovilizarme por 1 año, mediante la colocación de
una unidad de capital por ese plazo.
Dato: TNAdel 36,5% para una operación a un año de plazo, en donde
.la capitalización de intereses se hace una vez al año. No hay duda de
,que el monto de una unidadde capital será (1 + 0,365).
b) Caso 2: Decido inmovilizarme por 1 año, mediante la colocación de
una unidad de capital por un semestre, renovándolo por otro segmen-
to igual de tiempo.
70 AíDA B. CASTEGNARO
Dato: TNAes del 36,5% para una operación a 180 días de plazo.
Significa que debo hallar el monto al cabo de una fracción de período
que es un semestre con una tasa para ese subeperíodo -semestr~--:­
y nos queda: Año de 3~O días.
1
1
~ [1+ O~:~5 )
-----... (1+O,1~25)
Ahora bien, si consideramos el año de 3.65 días tenemos:
1
1
•. (1+~~;~;80J
---~... (l+ 0,18)
De esa forma la operación resulta sincréníca: pudimos adecuar la tasa de
interés para el plazo de la operación. '
La pregunta que nos debemos hacer es' cómo sigue la capitalización, re-
novando la operación por otro período semestral. Se responde por sí sola por
la propia definición de la TNA, pues el"pl~zoal que está referida" es el ínter-
valo de tiempo al final delcual se reinvierte la operación. . .... ' , ,
- . '. " _, . • ... "_ '. ",~,_ '. , ~'. : ,f -,.:,.':').:.: . :; .'
Respecto al año podernos usar360 ó 365 días. Nuestro mercado usa gene-.
ralmente 365 días y por eso así seguimos.
Consideraremos el año de 365 días pues el año civil es el generalmente
utilizado en nuestros mercados financieros, establecida por la ya derogada
Circular R.P. 12 de Banco Central de la República Argentina. Sin embargolo
dispuesto en tema de tasas se mantuvo en el ordenamiento normativo de
1981: Comunicaciones OPASI-l (Operaciones PASIvas) en su punto'6.3.3 ti-
tulado "Divisor fijo" del Capítulo 1 de Depósitos consignaba "Se utilizará el
de 365 días", también en la OPRAC-l (Operaciones Activas) y reforzado a
través de la CONAU (CONtabilidad y Auditoría) -normativa que regula el
funcionamiento de las entidades flnancíeras->. Aclaramos que, si bien esas
Comunicaciones han sido reemplazadas por otras, mantienen lo aquí refe-
rido, hasta la Comunicación itA" 3052 que dispone para casos como los prés..
tamos hipotecarios y prendarios un divisor de 360 días. Más adelanteco-
mentaremos las normas de B.C.R.A. que regulan las operaciones tanto de
depósito como de préstamos en materia de tasas de intereses y base sobre
las que se aplican. -
TASAS DE INTERÉS 71
o
l·
180
I
365
(1+0,18), ---. (1+0,18)365/180
1,3988~ 1,18
. ?\:partir de la T.N.A. que es una "Tasa Periódica" aparece el concepto de
. "Tasaprcporcional" que es una tasa subperiódica utilizada para ir armando
laevoiucíón de la operación y observamos que no produce el momo de 1,365
,sincl-muchomás.
Aritesdeconñnuarrepasemos:
TaSá-pr()p()rc~o~aldem días denotada como im
ITAS~ ~ROPORCION¿~DE ~'m" días
im
TASA SUBPERIODICAperíodo de
- .capitalización
TASAPERÍODICA
tt-JoAopara .elplazo de uin "días ··1
Vimosque en nuestro ejemplo:
Que capitaliza cada
Tasa proporcional
, 0,365 =O 18
'180 = 365 . , .
180
".!
Supongamos que la operación queda definida para un plazo de 30 días' a
iguaIT.N:A. para ese plazo, es decir: .
J(365/30) = 0,365 -+ buscamos im
72, AÍDA B. CASTEGNARO
Que capitaliza cada
r-:- ~ ~ r:jO"días~~,. '
~65130\=O.3~ _ ~ ~
Tasa proporcional
· _··0,365 -O 03 '
I~o- 365, '~ o;' .., •
3,0
_ y así sucesivamente... En un cuadro de valores volcamosIos resultados'
. que surgen, según sea el intervalo 'de tiempo al que se refiere lá ~tasanqminar ,:
anual que suponemos,. y nos queda: . , 0°.,
m T.N.A' i m
365 0,365 0,365
180 0,365 '0,18
90 . 0,365 0,09'
30 0,365 0,03
·15 0,365 0,015
1 {J,365 0,001
- "
., "Pódemos concluír qu~~'~stas tasas subperiódicas ¡m denominadas "tasas .
proporcionales de m días" guardan una relación directa con la tasa nominal
anual-la tasa periódica- sólo que corresponden a diferentes períodos ti
intervalos de tiempo. Se denominan así, porque tienen entre síla misma re-o
lación que entre los períodos. Pues i30= 0,03 e iI8o= 0,18 son tasas proporciona-
les de 30 días y de 180 días respectivamente, la segunda 6 veces mayor a la
primera, pues está referida a un intervalo de tiempo 6 veces mayor que el de
30 días. Dicho de otro modo, el tanto de interés correspondiente a diferentes' .
períodos tiene la misma relación que entre sus períodos y por eso son pro-
porcionales (ej.0,18/0,03=180/30=6). . . ~
pues:
proporcional j(365Jm>
Vemos que j es un coeficiente anual nominal. Nominal porque no toma
en cuenta los intereses de los intereses. Es como aplicar el interés simple.
En el ejemplo de la capitalización de una unidad de capital a una tasa
semestral al cabo de un ano cuyo monto es (1+0,3988) surge de tomar en...
cuenta: .
- Que la T.N.A está referida a un plazo de m días, pues ya expresamos que
es el tanto que capitaliza cada "m" días, eso significa que cada m días los inte-
TASAS DE INTERÉS
reses se incorporan al capital y para calcular el monto debimos considerar .
esta convención exponencial capitalizando con la tasa im a interés compues-
to (365/m) veces en el año. o •
Así,se desprenden dos importantísimos conceptos que son troncales para
recordar cómo calculamos los tantos de interés:
. Período de capitalización-m---:
Intervalo al final del cual se capitalizan los intereses. Por eso también puede
definirse como el tiempo que medía entre dos fechas sucesivas en las cuales
los interesesse incorporan al capital.
F~ecuenciade capitalizacióno de conversión-3651m-:
Cantidad de veces que en el año Ios intereses se incorporan al capital
generando más inter.eses. Se aplica entonces, la convención exponencial.
Determinamos cuál es el tanto de interés anual que resulta, al que deno-
minaremos T.E.A. (considerando el ejercicio ya planteado).
a) T;N.A.(~ J= 0,365
180 o
\1
0
1
01
c:::::
180
I
(
1+ 0,365.1801
365 )
(1+0,18)
. (1,18)
T.E.A. ='1,3988 -1 = 0,3988
¿Qué pasaría síel capital se e..oloca por 30 días, en vez de. IBa días, al mis-
mo tanto nominal anual de interés del 36,5% y renovamos la operación la
cantidad de veces que el año de 365 días lo permite?
b) T.N;A'[~ ) =0,365
10 30 60 90 // 360 . //365
1
días
1 (1~0.365.30)(1+0t36°5.30)2 (1+0.365.30)3 ... (1+0.3'65.30)12 (1+0,365.30)'<365130)
. 365 o 365 365 365 365' ,-
1 (1+O,03) (1+0,03)2 (1+0,03)3 (1+0,03)12. (1+0,03)<365/30)
1 1,03 1,0609 1,0927 1,42576 1,"328
c::= ~
T.E.A. =1,4328 -1 =0,4328
74 AiDA B. CASTEGNARO
Entonces: si al monto al cabo de 1 año le restamos la unidad de capital
colocada nos genera el incremento de capital por todo ese período que rela-
cionado con esa unidad de capital nos da una tasa de interés anual que para
diferenciarla de la nominal la llamamos efectiva. También podríamos haberla
denominado exponencial o a interés compuesto, pero se denomina T.E.A.
En general:
1112
···(l+J· m) 12 u+J. ~m')365/30
. , (365/m)" . (365/mr ..
365 365
3211°
1 (l+j(:}65/m).m) (1+j(365/mrffi)2.(1+j(365/mrm)3
365 365 365
1 (l+i m)
1
<=
(1+i ) (365/in) ~
m '.
. ( 1+ i 365)
<'.. ... 365 [• )365 . m 13~5
T~=.,.: ;365 = (1+ ;365) -1 = (1+i:)-;;- -1 = .•• 1+--!!?-- -1
.... ~. .l!oo. • ,365
)
La tasa subperiódica ¡mno produce iguales montos al cabo de un año.'
Vimos que al capitalizar con la tasa i
30
= 0,03,365/30 veces en el año el valor_
final de 1,4328 resultó mayor al valor final de 1.,3988 resultante de capitalizar
con la tasa ¡ISO= 0,18, 365/180 veces en el año. .
Observamos queno da elmismo valor final cepitelizendo 1 v~.?' al año que cada
semestre, que cada mes,... y podríamosseguir así: . .
• disminuyendo el período. de cepitsllzedon, o .
• incrementando la.frecuencia de ~pjtalizacjón .'
Para que la tasa subperiódica ¡ro produzca iguales montos al cabo de un
año, es decir dada la misma TNA referida a períodos "m" distintos pero que
produzca iguales valores finales, deberíamos capitalizar a interés simple con
la tasa proporcional; de esta forma los intereses del capital no estarían gene-
rando intereses, ya que la tasa proporcional de m días considera que los inte-
reses del capital no genera intereses -régimen a interés simple-.
. Pero por definición, ello no es así.
El concepto de T.EA. es el rendimiento efectivo de una unidad de capital
al cabo de 1 año. .
El esquema a partir de una TNA es el siguiente:
TASAS DE INTERÉS
J365 • m
• m1=-·--
m 365
75
Acontinuación volcamos algunos valores hallados, considerando la mis-
ma T.N.A.pero con diferentes frecuenciasde capítalízacíon (365/m); o bien
,condiferentes períodos de capitalización (m). -
m T.NA T.EA. Monto de una unidad de
de interés de interés capital al cabo de 1 año
365 0,365 0,365 (1+0,365)= 1,365
180 0,365 0,3988 (1+0,18Y65BlJO= 1,3988
90 0,365 0,4184 (l+0,09j165°O=1,4184
30 0,365 0,4328 (l+0,03y65fJo= 1,4328
15 0,365 0,4366 (1+0,015f6sRs=1,4366
1 0,365 0,4403
.~.
(1+0;001165= 1,4403
e
Observamos el cuadro de valores en donde llegamos a montos diferentes .:
'apartir de una misma T.N.A. pero que capitaliza cada "m" días distintos.
Por eso vemos a continuación los factores de capitalización:
, z : , . 365 365 365 365
~(.. ·.1 +0,365.111>(1 +0,365.15115>(1 +0,365.30130 >...(.1+ 0,365.1801180>...
365 ) 365) 365).., 365 .)
,:->1,4403 > ,1,4366 > 1,4328 >... 13988 >....
.Dadala'misma T.N.A.para m 1= ~ a medida queT m J,T.EA.
Por eso es NECESARIO que la T.N.A. esté referida a un plazo determina-
do, pues produce rendimientos efectivos diferentes, y estaTNA no sirve para
toma de decisiones. Es una tasa de trabajo y debemos utilizar la tasa efectiva.
76 AiOA B. CASTEGNARO
Recordemos considerar siempre el período de capitalización al que. se
refiere la T.N.A.,pues es el que me señala la cantidad de veces que se acum\l-'
lan los intereses para generar más intereses.
La T.E.A.es la tasa que está actuando sobre la operación, es aquella ala
que efectivamente se coloca un capital. Si el verdadero rendimiento lo' está
dando la TASA EFECTNA, entonces partiendo de ésta: ¿Cómo.calculamos la
T.N.A.para los distintos "m" en función de la T.E.A.? Ejemplo: queremos ob-
tener un rendimiento del 43,28% efectivo anual.
Planteamos la equivalencia financiera entre el monto de una unidad.de
capital en función de la tasa nominal anual para el plazo de m días.-inc;ógni-
ta- y el monto en fun~ió~de la TEA que e~.dato y despeja~o.s:.·. .
- .. [ J365 • m J3~5
(l +;365) = 1+ ~65
-. ... ..ea... •. ~
[{ ' )..!!!- ] 365. i(~( 1+;,., 365-1 .-;;;
m T.BA. ·T.N.A Forma de cálculo de la TEA en {unción
de la T.N.A. para elplazo de "m" dfa~
365 0,4328 0,4328 -.
180 0,4328 0,3935 [(1+0,4328%-lr65 =0.1941. 365',' . 180.. 180,:
90 0,4328 -0,3761· [ ~. ] 365' . 365
. (1 + 04328):~65_-1 ',-.-'= O 0927 ~-.-'.' '.• j~ , . . .. ,. 90 ~ . , .",90 .
60 0,4328 0,3704 . [ (1 + 04328;:" -lJ 365 = 00609. 365. .
.. , 60'· '.. 60"
30 0,4328 0,3650 ' . [(1+0 4328~:,-lr65 =003. 365
, 30' 30
15 0,4328 0,3623 [ rs J365 365., (t+0,4328)365 -} .-.-=0,0149.-
15 - 15
1 0,4328 0,3598 [ (1 +0:4328 )~~, - 1].365 =0,001.365
En el cuadro -última columna- aparecen, antes de determinar la TNA,
los siguientes tantos: 0,1941; 0,0927; 0,0609; 0,03; 0,0149 Y0,001. Son las tasas
subperiódicas para cada uno de los (Cm" (intervalo de tiempo al que se refiere
la operación). Muchos de ellos están reflejados en el diagrama anterior.
TASAS DE lNTERÉS 77
..' ~quivalente o efectiva. i o
.m
m
':im=(l +;365.)365 -1
i(365/m) <..
365
i365 = (1 + im r;- -1
"··~··Srn·os preguntamos ¿qué nos conviene más: colocar un capital por 15
días a la tasa subperíódíca del l ,49%, o por30 días a la tasa para ese subperíodo
det3~.oporsü días a la tasa subperiódica trimestraldel s.zzss.o... Determi-
namosIosmontos al cabo de un plazo dado, que puede ser un año; y vemos
quetodasproducen el mismo valor final d~:'1,4328. Produciendo una indife-
.: rencíafinanciera.
Estas tasas subperiódicas que capitalizan 365/m veces en el año
>~unperíodo-generan igual monto que capitalizando la tasa
'periódicél~65.unasola vez; pues son entre sí tasas equivalentes.
¡ ...
\ Debemos recordarelsupuesto con el que se elaboran las tasas y es consi-:
d~:rárql.l:~en-ca~á renovación se mantiene constante ese tanto.
c2¡'~:'·:~i:ilrieinOS<íuealléii~rla'Cótivenienc;:ia de una inversión y eldato es la
,r.NzA.yapudímos ver que no es un tanto que sirve para tomar decisiones ya
que 110 es una verdadera tasa es una intensidad, una tasa de trabajo, hay que
.trabajarlapara descubrir cuál es el rendimiento efectivo que podrá ser para'
cualquier intervalo de tiempo que nos propongamos: 1 día, 1 mes...
Podemos observar que estamos trabajando con"tasas discretas" pues-este
período-de capitalización también es discreto al tratarse de m=l; 2; 10; 30...
,·<~,.¿Qtié pasaríasi la tasa de interés ya no es discreta sino que el período de-
'~apitalizaciónes tan chico como resulte posible? Entonces estaríamos traba-
[ando co~ "tasas continuas" y constituyen: .
Qn ca~oparticular:
c~pitaiización·Continua
, .:Sila"T.NA:se refiere auna frecuencia de capitalización -+:00, lo que signi-
fícaqueel período de capitalización es un intervalo de tiempo tan pero tan
pequeño que~ O, se trata de una capitalización continua y la tasa que actúa
generalmente es conocida como la tasa instantánea.
Siendo j (00) = la tasa nominal instantánea o
78 AiDA B. CASTEGNARO
Si a la frecuencia de capitalización ? 365/m la denominamos n, ya la
TEA= i, entonces:
(
.J" .. [ i -] . . .[(1+ i)n-'.-iJ
(l+i)=I+~despejamosjynosquedaj=n. (1+i)~-1 obien j= ... n-
1
Así expuesto, nos sirve para poder resolver un cociente indeterminado en
el límite y lo solucionamos matemáticamente derivando en forma indepen-
diente el numerador y el denominador de la expresión, hasta que no quede
más la indeterminación (Regla de L' Hopital). " -
lirnj. =lim(,(l+i( -1)=lim[(-I).(l+i);.ln<l+i).n-:
2=.I.']=ln<l+i)
n-+oo (~) n-+oo.·, n- l n-+ oc 't-l)..n-2 , .~ - .
~ ~ ., , , ., -.,. ~ ..
Entonces: lim j·(n) =ln(l+ i)
n-700
~ I " Es'lmportante el análísísde la función, pues me permite conocerque, por
másque incremente la frecuencia de capitalización, nose reduce. en igual
medida la T.N.A.,ya que tiene un límite. .
Entonces si tuviésemos que graficar la función de la T.N.A. deberíamos
analizar las derivadas para saber que se trata de una función decreciente y
cóncava al origen. .
Vemos que para derivar yeu.v
ttY' =uv« u. v' u=n
u'=l
v= (l+i)lIn -:- 1
v'= (i+i)l/n.ln(l+i) ~1).n·-2 ..
dj(n) =[.(1 +i)~ -1].+ n.(1 + i)~ .In(1 + i)(-l).n-2
. dn
dj(n) =(l+i)~.[I-In{l+i).n-1J-l<O
dn· .
Función decreciente
d
2
j(n) =(l +i)~ .10(1 +i).n-2 [ -1+ In{1+ i)n-' +1Jdn . .
TASAS DE INTERÉS 79
,1
d2jtn), (. . .)! [ . f ~J (1+ i); .ln 2 (1+ i) ,--= 1+1 IJ. 10(1 +1) . n . = 3 > O Función cóncava alorigen.
dn n'
, ,
Para saberlos valores particulares de dicha función y proceder a su gráfi-
ca; ya tenemos n tendiendo a infinito y nos falta n 4 o.
l.·.•..... "('.'.''.(.1.+,. i.)...~- -.1. J.",. (-.i).O.+i);.tn.'(1 +i).n-21m '. ..., '=..: - . = +00
n~O .' -'n-:- l . (-1).n-2 :
.;.. • r
, Paragrafícar la función necesitamos:
n j(n)
,0 '~oo
00 'j(oo) = (ln(l+i) =0
.'~o=.t.asanominal instantánea es una intensidad, es el tanto en el cam-
po continuo como j esel tanto en el campo discreto ynos permite llegar
aresultados iguales al cabo de un período de tiempo. Es la fuerza del in-
<:terés yes el tantocontinuo de crecimiento de una unidad de capital, oel
, tantonominal instantáneo.' -~
Sílnü-sí) ·=;b~·
'(l+i)"~'e~
í =e~':", l'; Si nuevamente queremos volver a despejar O
.• g = InO + i) = ln(l+ i) Eltanto instantáneo es el logaritmo natural o
Ine neperiano de (l+i)
Del gráfico se observa que para conseguir el mismo rendimiento efectivo
'la tasa nominal anual debe disminuir si aumenta n (frecuencia de capitaliza-
ción) pues permite más veces incorporar los intereses al capital. Pero tiene
unlímite, que' es el In (l-i.i).Lafuncíón es asintótica.
~ ", _", 1.
'.. Tieile como asíntotas
In (1+i) \fn4 00 n=O \fn~O
j(n)
111
!
I._._.._.._ _.J _.._ _.__._.._._._._ .
~
!
o
IlnO+i>=O
80
Vemos que:
AíOA B. CASTEGNARO
i = j(l) :> j(2) > j(3» j(4),... > j(oo)
. -. . . . -
Ejemplo: Si quiero obtener una tasa efectiva anual de interés del10%".
¿cuál será elvalor de la T.N.A:considerando diferentes frecuencias de cap ita .. ,
lízación -n-1 Determine- también para los casos singulares en que lafre-
cuencia de capitalización tome valores particulares como Oe-oo.' "
n
j(n)= n.[(l+i); -1]
o '1'+00
1 ',j(1)=i=O,10
2 I j (2)= 2.[(1~i)i-l1=~~09761
j(3)=3.[(1+i)LIJ=0'09684 .
4· I j(4t=4.[(1+i)~-I] =0,09646
365 I j (365)= 365.[(1 +i)3~ -1] =0,09532
00 I j(oo)=ln(l+O,~)=O,~9531
Equivalencias entre los distintos iectores de c~pi.ta!ización
r:
/. 1365} 365 • m m 365
(1 + i ) =11+ (~) =(1+ i)-;;; = eh
365 365 m,
En donde:
i365 = T.E.A. Tasa EfectivaAnual deInterés
j{3657m)= T.N.A. Tasa Nominal Anual de In~eréspara.elplazo de m días, o
bien que capitaliza cada m días, _
. i ='. Tasa Equivalente de m días. . .
ID _
O = Tasa instantánea'de in"terésanual
Aplicaciones.
1) Si el día 24.07 deposité $ 850 obteniendo el 18.08 un valor final de
$ 892,50. ¿,Cuál es la tasa de interés correspondiente a ese plazo? A
continuación, determinar la T.E.M. .
Rta.: 0,05 Y 0.0603 .
I
J
TASAS DE INTERÉS
i25 = 42,5 / 850 = 0,05
i = (1 + 0,05 ) 30/25 - 1= 0,060330 .
81
"
2) Hallar las tasas efectivas anuales y efectivas mensuales al 56% nomi-
nal anual para 30, 60 Y120 días.
Rta:TEA= 0,7289; 0.7087; 0.6720.
TEM = 0.046; 0.045; 0.043.
Cálculo de la T.E.A.
(l + 0.56 * 30 )365/30 - 1 = 0,7289.
365
(l + 0.56 * 60) 365/60 - 1 = 0,70,8652
365
(1 + 0.56 * 120) 3651120 ~ 1 = 0.6719901
365
.. - .'.~'--',} ~ ~
" Cálculo de la T.E.M.
, ...~
(l + 0,7289)30/3~5 - 1 = 0,046
(l + 0,708652) 30/365 - 1 = 0.045
(l + 0,6719901) 30/365 - L: = 0.043
3) Hallar la tasa diaria equivalente a un rendimiento anual del 72,85%........... .
ííd) = (l +0,7285)1/365 - 1 = 0,0015
4) Una persona dispone dIe $ 600 por el plazo de 90 días ypuede invertir-
los de la siguiente manera: . '\, ,\
a) Un depósito por 30 días al 48% de interés contractual anual para
ese plazo, renovándolo por 2 períodos más de igual plazo.
b) Un depósito por 90 días al 48% de interés contractual anual para
ese plazo.
Determinar: I
a) La alternativa de inversión más conveniente.
b) Cuál debe ser la tasa de interés nominal anual para el plazo de 90
días para que ésta sea equivalente a la alternativa a).
Rta: a) alternativa. a).
b) j(365/(901= 0,4992
82 AiDA B. CASTEGNARO
(
0,48.30 \J
a) C(n) = 600 1+-- I
365 )
C(n) = 600 (1 + ¡JO ) J
C(n) = 673.85
C(n)= 600 (1+°,48.9°1=671.01
365 )
b) (1 + ¡Jo) 3 =(l+ j,¡o5190l • 90); despejo j (365/90)
365
l.
(1+0,03945205)3 = (1+0,123087) Las tasas de interés que se encuentran entre
paréntesis en los dos miembros son equivalentes entre sf.Partímos de.
0,123087 que es de 90 días y sabiendo que debe resultar a otra tasa propor-
cional de 1año. Hacemos el cálculo.
Podemos comprobar que si el capital de $600 lo colocamos a la tasa i(365/90)=
0,4992 que capitaliza cada 90 días, genera un valor final de 673,85 equivalen-
._.~ tea! que-arroja la tasa-i3ó=O,03945. '
5) iCuál será la tasa anual instantánea que corresponde aln,28% anual
efectiva? . -
Rta.:d= 0,5439.
(1+0,7228) = el'
o= In (1+ 0,7228) /ln e.
6) Si la tasa instantánea anual de interés es del 78,2%. Cuál es la Corres-
pondiente tasa nominal anual de interés para ~l plazo de 90 días.
Rta.:j(365/90¡=0,8625.
[
i3M • 90 J3:~
1+ 90 =eo siendo 0=0,782
.. _ 365
,~ ., ;~
j (365/90) =
(
0.782'90 I 365
e 365 -1 *-
90
)
7) Si la tasa efectiva mensual es del 4,6%, cuál es la tasa anual instantá-
nea que corresponde a la tasa anual efectiva.
Rta.: O' =0,5472.
o = In [(1 + 0,046 )365130].
cr = 0,5472 , .
I
8) iQué me conviene más: invertir una cuantía de capital al 65%nomi-
nal anual vencido para el plazo de 170 días, siendo éste el plazo de la
- operación, oal 65% efectivo anual vencido?
(1+ 0,046)365/30 = é
. TASAS DE INTERÉS 83 1
I
I
I
Rta.: a).
- Se sabe que a iguales tasas, por el proceso de capitalización, cuando
existen 2 ó más períodos de conversión, siempre i365/170 > j3651170' Si se
quiere comprobar: lo más sencillo resulta determinar la tasa equiva-
lente de 170 días.
i(170) = 0,65 * 170
, 365
".
í" (170) = (1 + 0,65)170/365 ·1
, =0,3027.
I
,. ~ ,
= 0,2627. .
.,
9) Si la entidad xx debió constituir en el Banco Central del país XX un
depósito especial de $ 10.000 Ysólo ingresó $ 8.500. Cuál será el cargo
que deberá abonar en concepto de defecto en la integración, si las
tasas de redescuento mensuales -venddas- que se aplican son del
10,075%; 10,085% Y10,085% para los meses de octubre, noviembre y
diciembre, respectivamente.
El vencimiento de la integración operó el 20 de octubre y el cálculo
del cargo se efectúa con fecha 1 de enero del año siguiente.
Rta: 395.021
a) Cálculo de la tasa de cargo -i(c)- por 73 días.
i(c) = [ (1 + 0,10075)12/30 * (l + 0,10085) * (l + 0,10085)31/30]
i(c) = 0,263347163
.b) Cálculo del cargo -C-
C = 1.500.000 * i(c) = 395.021
~~ ..:',~", . Recordemos que para B.C.R.A.la T.E.M. tiene bas'e=30 días.
-:... ....~. I
10) Una entidad registró la siguiente posición de cartera de depósitos a
, plazo -capitales-:
Tipo de línea de la cartera Promedio de saldos de capitales
-en miles de$-
Mes de octubre Mes de noviembre
Plazo lijo a 7 días 258.700.- 308.000.-
Plazo lijo a 14 días 135.000.- 112.000.-
Plazo lijo a 30 días 350.000.- 412.000.-
84 AiDA B. CASTEGNAR.O
Si las tasas de interés nominales anuales de estos depósitos fueron:
~~~ , Octubre
7 dfas ""24;20%------'
14dfas lB,'{6%
30 dfas 20,Q %
Noviembre
'24;65%"
20,20%
23,00%
l',.'
Determinar la tasa promedio ponderada mensual de la cartera de ca-
pitales, considerando el período comprendido entre octubre y no-
viembre.
.Bta.: 0,018
1) Cálculo de la tasa equivalente a la correspondiente a los distintos
períodos al que está referida cada línea de depósitos.
Mes de octubre
Ceoitsl TNA(m) Plazo T.E.M. Interés
258.700 0.2-t26 7 0.02 5.174
135.000 0.1876 14 0.01548 20.898
350.000 0.208 30 0.0171 5.985
743.700 13.248.8
Mes de noviembre
Ceoitel TNA(m) Plazo T.E.M Interés
308.000 0.2465 7 0.0204182 6288.81
112.000 0.2020 14 0.0166763 1867.75
412.000 0.23 30 0.0189041 7788.49
832.000 15.945.05
"
i(oct) = 13248,8
74370
i(oct) = 0,0178147
iínov)e 15945.05
832000
i(nov)=0,0191647 ".. .) ~
<.
, t;.. ,
i media = 0.0178147 * 743700 + 0.01916747 * 832000
(743700 + 832000)
= 0,018
Se consideró que los depósitos del primer mes no eran renovados
con sus intereses, caso contrario debía haberse trasladado al mes
,sigui~nte los mismos a los fine~ de calcular la tasa me~i~. ('C'
11) Usted es el responsable del armado de las tasas nominales anuales.
Para ello se le solicita integre un cuadro de valores suponiendo plazos
de colocación desde 30 días hasta 55 días con variación diaria. Se co-
noce la T.E.A. que será del 26,48% por operaciones hasta 45 días de
plazo inclusive y posteriores del 27,26%.
Deberá para ello. utilizar alguna planilla de cálculo tipo Excel.
TASAS DE INTERÉS 85
I
I
PLAZO TEA TNA FORMATOS
REALIZADOS
30 0,2648 0,2372 CeldaA3 Escribir el plazo inicial. En este caso es 30
31 0,2648 0,2373 Celda 83 Escribir eldato. Acá TEA ES 0.2648
32 0,2648 0,2373 CeldaC3 Plantear la fórmula de TNA=f(TEA)
33 0,2648 0,2374 =[(1+B3)I\(A3/365)-1)]*(3651AJ)
34 0,2648 0,2375 I I
35 0,2648· 0,2376 . Celda M Como aumentan en 1. El formato es
36 0,2648 0,2377 =+A3+1 I
37 0,2648 0,2377 ¡::~eld~s C,Ql,J3 Copiamos 63 y Pegamos el valor constante
3B 0,2648 0,2378 ~ Copiamos C3 y la pegamos en C4
39 0,2648 0,2379 I
40 0,2648 0,2380 Demás celdas Es un copiado y pegado
41 0,2648 0.2380
42 0,2648 0,2381
43 0,2648 0,2382
44 0,2648 0,2383
45 0,2648 0,2383
46 0,2726 0,2448
47 0,2726 0,2448
48 0,2726 0,2449
49 0,2726 0,2450
50 0,2726· 0,2451
51 0,2726 0,2452
52 0,2726 0,2452
53 0,2726 0,2453
54 0,2726 0,2454 '-'>#
·55 0,2726 0,2455
Podemos ver la rapidez con que se trabaja conociendo la fórmula de
aplicación y así podemos probar con otras tasas.