Castegnaro_(Curso de calculo)-financiero-PARTE III- CAP 16 Tasa de interes con riesgo

Vista previa del material en texto

· PARTE 111
OPERACIONES ALEATORIAS
(NO CIERTAS)
CAPíTULO XVI
TASA DE INTERÉS CON RIESGO
Definición
" El riesgo es cualquier variación en un resultado.
} Una persona acreedora no sabe a ciencia cierta si cobrará lo que se le
debe. Toda operación tiene incertidumbre. El tema está en que se pueda esti-
mar la probabilidad de recupero.
,¡. .~ .• ..
De todas formas existen en general dos tipos de riesgo:
>- Elriesgo mercado que afecta a las operaciones en su conjunto. Elpro-
blema del riesgo mercado está representado por las amenazas que
en el conjunto de la economía de un país o por-efecto de la globa-
Iización pueden arrastrar a nuestra operación.
.... "
,>- Elriesgo inherente a la operación individual, es un riesgo único o pro-
pio específico de cada operación. Si estamos tomando en considera-
ción el riesgo de no pago por la otra parte podemos cubrirnos con
una prima de riesgo que incrementa el tanto de interés.
Objetivo •
, ~ t », ~~ \:
En estecapítulo s610 trabajaremos con el coeficiente de riesgo como com-
ponente de la tasa de interés transformando una operación cierta en aleatoria,
ya Quedecisiones en contexto de riesgo e incertidumbre es tema de adminis-
tración financiera.
:sie~entosa consideraren la operación
Si Co=
i =
ir =
p=
,-.
q =
w=
·'·'1
Capital colocado como Operación de Inversión
Tasa de interés para una determinada operación "sin riesgo"
Tasa de interés que contiene el componente "riesgo" para una de-
terminada operación
Probabilidad de recuperar ese capital colocado como Operación
de Inversión p = (l-q).
Probabilidad de perder ese capital colocado como Operación de
Inversión q= (l-pl,
Coeficiente de recupero de ese capital colocado como Operación
de Inversión.
458 AínA B. CASTEGNARO
..:-:[
Nuestro disparador es una operación cierta, sin riesgo con una T.E.M es
del 0,8%. ¿Qué recargo debería aplicarse a este tanto de interés sin riesgo,
considerando que la probabilidad de recuperar ese capital es del 75%? .
o 1
1 1
En nuestro ejemplo:, Co=1 Cl=Co' (1+0,008)~:,
Op.de Invetsián "sinriesgo" Ca=1 'Cl=Co' (1+i) ," .
Es decir, que si se trata de un capital de $ 1.000colocado a la T.E.M:":"sin
riesgo- del 0,8% obtengo un valor final cierto de $ 1.008.
Side estudios efectuados se determina que la operación está condiciona-
da a una probabilidad de recuperar la unidad de capital invertidoes un 75%"
denominamos p~ 0,75 -en tanto por uno-. De otra forma, significa que'la I~
probabilidad de perder la unidad de capital invertido es del 25%. Es decir j
q=O,25 =-en tanto por uno->.
..1., ....
1
En nuestro ejemplo:
En nuestro ejemplo:
o 1
1 1 , .
Ca= 1 Cl=CO' (1+0,008)
1 1
Planteamos la equivalencia entre Tasa sin Riesgo (i) yTasa con Riesgo (ir).
•c . ......
-. ..; ..."
(1 + i) = (l+jt).p
(1+ 0,008).= (1+it)0,75
i' (1+0,008) -1=0344 ... ::.
0,75 '
1'.
-.. ,
":...;:.;.~
':t:"'~ . ~:rt ff",
~ ". 'J!'~':'~-~~El
.'.
Si ese mismo capital de $ 1.000 lo coloco a la T.E.M. -con riesgo- del .
34,4%obtendría un valor final de $1344; pues hicimos: 1000* (1+0,344) =1344. ,.
Si se cumple esa probabilidad de pérdida del 25% del capital, significa que
perdería $ 336 (1334 . 0,25) quedando un valor final neto de $ 1.008, tal como
en la operación sin riesgo. .' ..
Como nos piden el recargo que deberá hacerse a la tasa de interés libre de
riesgo para conformar la tasa de interés que incluye el componente riesgo,
hacemos: (1+0,008) (1+R) = (1+0,344)
En forma general: (l+i) .(l+R) = (1+ir)
Despejamos y vemos que la tasa con riesgo:
TASA DE INTERÉS CON RIESGO 459
-,
ir= (l-eí) (1+R) -1 ; siendo i= tasa libre de riesgo y R=prima por riesgo o
recargo. Si queremos hallar en cuánto se ha recargado la tasa libre despeja-
mosR:
R{]+;']_] Prima por riesgo en tanto por uno.
]+i
Siguiendo con el ejemplo: R{1 +0'344]_] =0,333
]+0,008
" ,- ~
Considerando el disparador anterior, pero el capital que se pierde no es
,- el todo sino una porción: entonces la equivalencia planteada es otra y nos
queda de la siguiente manera:
o 1,--------,
Op.de Inversión "sin riesgo": Co= 1 CI= Co ' ( 1«i)
- Op.de Inversión "con riesgo":Co= 1 Cl=~.l (l+i')p+ (l+i')w.q]
~" 'Esdecir:
ti; .-
. Co ' (1+i) =Co.1(1+it)p+ (1+i')w.q}
Co ' (1+i) =Co ' ( (1+if)p + (l+i')w.{l-p)]
e-
Despejamos la tasa de interés con el componente riesgo "ir":
Co.(l+i):Co.[p+i'.p+w+wi' -p.w- ps....w]
(J+i) =[r.(p+w- p.w)+ p+w- p.w]
., (1+i)-(p+w- p.w),-.;.......;..---:;~_-:..........:..
(p+w-p.w)
ir (1+i) -1 Ta~deinteIésconprimaderiesgoenfuncióndel/p"
(p+W- p.W)
Si (l-q)=p entonces reemplazamos en la formula anterior y queda:
i'= (1+i) -1
(1-q)+w-(l-q).w
i' = (1+i) -1
(l-q)+w-w+qw
i' - (1+i) -1
(l-q)+qw
Tasa de interésconprima de riesgoen función de "q"
460 AiDA B. CASTEGNARO
Caso particular de análisis: .
, -
1=;1= (1+;)
(1+1-1)
-r (1+;)
1 =--'-----'--
(P+W-p.w)
a) p=l w=l ~ Certeza de recuperar el capital. La probabilidad de
cobrar es el 100% de todo el capital. Se trata de una Operación Financiera
cierta. -, ~ r', T ,1' ~ r -¡ r', ¡
-. \ - ~- ~~ l' '''~ , '
__ ': • l.
La tasa con riesgo coincide a la tasa libre de riesgo.
b) q=l w=O ~ Certeza de no recuperar el capital.
.r' (1+;)
1 =---''---'---
I-q+w.q
1= (1+;) i =00
(1-1+0)
"\. ,
En estas condiciones no tiene sentido financiero pre5t"l"'Un ~{p,pi~Q1 ~\lij
sabemos no vamos a cobrar.
, , ...., . .f .~
Aplicaciones
1) Determinar la tasa de interés activa'que deberá aplicarse enla línea de
Préstamos Personales-Tarjetas, si la tasa sin riesgoes del 4,5%mensualy ,
se estima un riesgo del 40%de perder todo el capital (obien del 60%de
recuperar todo el capital). Luego,calcular el recargo aplicado -R::-.
Rta.: i' = 74,17% R = 66,67%
i = 0,045
q = 0,40-probabilidad de perder el capital-
w = O-coeficiente de recuperación del capital- -
( 1 + i) = (1 + ir) p + (l + ir) w q
"
1. ....
en función a "q" despejando queda:
ir = 1 + i _ 1
1-q+wq
ir = 1.045 -1= 1.045 _1=0,7417
1 - 0,40 + O. 0,40 1 - 0,40 .-
R= 1 + ir _ 1 = 1 + 0,7417 _ 1 = 0,6667
1 + i 1 + 0,045
En el caso de tratarse de una operación cierta el monto de $ 100 ini-
cial es $ 1045, suponiendo que la tasa aplicada en una operación
aleatoria es del 74,17% elvalor final sería $ 1741,7ysise cumple con la
estimación de q=0,40se estaría perdiendo el 40%(1741,7*0,4= $ 696,7)
TASA DE INTERÉS CON RIESGO 461
", :
1"0; 2)
, "'1 .
l...': ~ .
y arribamos a un valor final neto de $1.045.Eltema de análisis será la
viabilidad de una alta tasa de interés a la que se vería expuesta una
operación de este tipo. ,
Comprobación: la tasa con riesgoserá:
ir= u-u. (1+R) -1
ir= (1+0,045). (1+0,6667) -1 = 0,7417
.Calcular la tasa de interés activa que contenga el componente riesgo
que deberá cobrarse en una línea de Préstamos Personales si la tasa
activa sin riesgo es del 4,5%mensual y se considera una probabilidad
del 60%de recuperar sólo el 55%de la inversión (o bien probabilidad
del 40%de perder el 45% de la inversión). Determinar el recargo R.
Rta.: i' = 0,2744 R = 21,95%.
,-...
11.
i = 0,045
p,= 0,60 -+ q= (l-p) = 0,40 .
w =0,55-coeficiente de recuperación del capital-
, (1 + i) = (l + ir) p + (1+ ir) w q
(1+ 0,045) = (1+ir) 0,60 + (l+i r) .0,55.0,40
en función a "p" despejando queda:
ir = 1 + i _ 1
p+w-wp
ir = 1.045 _1 = 1.045 _1 = 0,2744
0.60 + 0.55 -0.55.0.60 0.82
De otra forma:
ir = 1 + _ 1
1-q+wq
: ir. = l.p45 _1 = 1.045 _1 = 0,2744
1- 0040 + 0.55.0,40 0.82
"
R = 1 + ir _ 1 =
1 + i
1 + 0.2744 _ 1 = 0,2195
1 + 0,045
En este caso el capital financiero logrado con una tasa de interés libre
de riesgo para una inversión supongamos de $ 1 es $ 1,045.
o 1,--------,
Op.deInversión "sin riesgo ": Co= 1
Op.deInversión "sinriesgo": Co= 1
Cl = Co' ( i-n
C1= 1.( 1+0,045)=1,045
462 AíDA B. CASTEGNARO
Op. de Inversión "con riesgo" Co=1
Op. de Inversión "con riesgo" Co=1
Cl= c.. ta-n p + a-n w. qJ
CJ=1.[(1+0,2744)0,60+ (1+0,2744)0,55.0.40)
CJ=1.2744.0,60+ 1,2744.0,55.0.40
CJ=0,76464 + 0,280368 =1,045 •
-..~ -
Comprobamos que a una tasa sin riesgo del 4,5% el valor final ciertogenerado por un capital de $ 1.000 es de $ 1045: . ,
Pero si la operación es aleatoria y aplicamos una tasa del 27,44% el
valor final aleatorio de este capital inicial de $ 1.000 es de $ 1.274,40.
De generarse la pérdida -base del cálculo- estimada en la probabi-
lidad del 40% de perder el 45% de la inversión, estaríamos cuantifi-
cándola en $ -229,4 (1274,40 • 0,40 • 0,45) quedando un valor finw
neto de $ 1.045 (1274,4- 229,4). Nadie me puede asegurar que ello
ocurra. Es un cálculo de probabilidades basado en estimaciones. ,
. '
3) Calcular la tasa de interés activa que deberá cobrarse en la línea de.
- 1?réstamos Personales si la tasa sin riesgo es del 4,5% mensual y se
considera una probabilidad del 85% de recuperar sólo el 55% de la
inversión (o bien probabilidad del 15%de perder el 45% de la inver-
sión). Determinar el recargo R., '
Rta.: i'= 12.06% R=7,2%.
i= 0,045
p= 0.85
w=0,55
, (1 + i) = (1 + ir) p + (1+ ir) w q
en función a "p" despejando queda:
ir = 1 + _ 1
P + w~wp
ir = 1.045 _ 1 =
0.85 + 0.55 -0.55.0.85
en función a "q" despejando queda:
ir = 1 + i _ 1
1 - q s- w q
1.045 _1 = 0,1206
0.9325
ir = 1.045 _1 = 1.045 _1 = 0.1206'
1- 0.15 + 0.55.0.15 0.9325
R = 1 +
1 +
i' _ 1 = 1 + 0,1206 _ 1= 0,072
·1 + 0,045
TASA DE INTER~S CON RIESGO 463
,~,4) Calcular la tasa de interés activa que deberá cobrarse en la línea de
i ' Préstamos Personales si la tasa sin riesgo es del 4,5% mensual y se
considera una probabilidad del 85% de recuperar sólo el 5% de la
inversión (o bien probabilidad del 15%de perder el 95%de la inver-
o " , sión). Determinar el recargo R.
'. -.
,'~~.l, .r
'Rta.: r = 21,87% R =16,62%.
. r :
r
\.'
i = 0,045
P = 0,85
w =0,05
(1+ i)= (1+ir)p +(l+jr)w q
, 1 ,
ir = 1.045 _ 1 = 1.045 _ 1 = 0,2187
0.85 + 0.05 -0.05*0.85 0,8575
en función a "p" despejando queda:
, r~
¡
''\,u,
ir = 1" + i _1
p+ w-wp
..~. "
,.
I _
.,*"Ttr .
R = 1 + i' _ 1 '= 1 + 0.2187 1 = 0,1662
- .: ,» 1 + i -' 1 + 0,045
-' .• , • C' ,
5) Calcular la tasa de interés activa que deberá cobrarse en la línea de
Préstamos Personales si la tasa sin riesgo es del 4,5% mensual y se
considera una probabilidad del 10%de recuperar sólo el 5%de la in-
versión (o bien probabilidad del 90% de perder el 95% de la inver-
sión). Determinar el recargo R.
Rta.: 621% (sin sentido financiero); R = 589,95%.
i =0,045
p= 0,10
w:=0,050
1 '(1 + i),= (l + iT ) P + (1 + ir) W q
en función a "p" despejando queda:
, ir = 1 + i _ 1
P +w-wp
." .¡
t ' = 1.045 _ 1= 1.045 _ 1 = 6,21
0.10 + 0.05 -0.05.0.10 0.145
R = 1 +
1 +
i' _ 1 = 1 + 6.21 _1,= 6,8995
1 + 0,045
No tiene sentido financiero.
464 An», B. CASTEGNARO
El planteo sería que del valor final aleatorio de $ 7,21 como pierdo el
90% del 95% de 7,21, es decir estimé la pérdida en $ 6.165
(7,21*0,95*0,90= 6,165) se obtendría un neto de $ 1,045.
6) Qué tasa debe aplicarse siendo la tasa sin riesgo del 3% y se considera:
a) probabílídaddel süss de recuperar sólo el 70% de la inversión.
b) probabilidad del 90% de recuperar sólo el 40% de la inversión.
e) probabilidad del 10% de perder el 60% de la inversión.
- ,
Rta.: a) 11,17%; b) 11,17%; e) 11,17%.
a) ir = 1 + i _ 1
p-s w v p w
b) ir = 1 + i _ 1
P +w -pw
= 1 + 0,045 _ 1 = 0,1117
0,80 + 0,70 - 0,80.0,70
= 1 + 0.045 _ 1 = 0,1117
0,90 + 0,40 - 0,90 . 0,40
e) ir = 1 + i
l-q +qw
1 = 1 + 0.045
-~ : 1 - 0,10 + 0,10.0,40
1 = 0,1117-
A continuación integramos en un cuadro valores de la tasa de interés
con riesgo resultante según los tantos que se aplican de p y w; algu-
nos de los cuales surgen de los ejercicios anteriores. -
Vemos que a medida que la probabilidad de recupero del capital dis-
minuye, entonces la tasa con riesgo aumenta. De la misma manera si
el coeficiente de recuperación del capital es más bajo, indefectible-
mente será más alta la tasa de interés con riesgo.
Es decir: ir= f( p;w).
sa libre de riesgo _.í
_probabilidad de réc~
~ícientede'
i p w ir .. r:
0,045 1 0,0450 , ..
0,045 0,9 0,9 0,0556
0,045 0,9 0,8 0,0663
0,045 0,9 0,7 0,0773
0,045 0,9 0,6 0,0885
0,045 0,9 0.5 0,1000
0,045 0,9 0,4 0,1117
0,045 0,9 0,3 0,1237
0,045 0,9 0,2 0,1359
0,045 0,9 0,1 0,1484
0,045 0,85 0,55 0,1206
0,045 0,85 0,05 0,2187
0,045 0,8 0,7 0,1117
0,045 0,6 0,55 0,2744 ---
0,045 0,1 0,9 0,1484
0,045 0,1 0,5 0,9000
0,045 0,1 0,05 6,2069
ESQ1IEMA DE OPERACIONES ALEATORIAS (NO CIERTAS)
ClONES I OPERACIONES ALEATORIAS
RTAS NOCIERTAS
(Parte I1I)
I I
I CAPITAL UNICO I ICAPITALES MULTIPLES I
I
(RENTAS)
IClONES
E
lZACION I I
RA OPERACIONES DE OPERACIONES
loXVIII •
CAPITALIZACION ACTUARIALESarte) (Capítulo XVII)CON SORTEOS
I c,<
I
PROBABIUDAD PROBABIUDAD
CONSTANTE CRECIENTE
(Capítulo XVIII) (Capítulo XVIII)
-
I
SEGUROS SOBRELAVIDA SEGUROS SOBRE Ll\ VIDA
A· EN CASO DE VIDA B • EN CASO DE MUERTE
(Capítulo xvm yC- MIXTOS
(Capítulo XVIO
II . ,
ISEG. DE CAPITAL I RENTAS RESERVAS
DIFERIDO VITALICIAS MATEMATICAS
I
SISTEMA
. .............. . JUBILATORIO
ARGENTINO
OPERA
CIE
OPERA
D
CAPITAL
PU
(Cap(tu
lap
¡
. J
. ,
1
".
."
-.