Series Variables MATEMATICAS FINANCIERAS

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Series Variables
MATEMÁTICAS FINANCIERAS 
AUTOR: Ricardo Dueñas Prieto - Doris Caicedo Torres 
ÍNDICE
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Grancolombiano y a la Red Ilumno. Por ende, son 
de uso exclusivo de las Instituciones adscritas a 
la Red Ilumno. Prohibida su reproducción total 
o parcial.
ÍNDICE	
  
Introducción	
  
Recomendaciones	
  académicas	
  
1. 	
  Gradientes	
  o	
  series	
  variables	
  
1.1. 	
  Conceptos	
  
1.2. 	
  Gradiente	
  aritmético	
  o	
  lineal	
  
1.3. Conceptos	
  
1.4. Gradiente	
  aritmético	
  simple	
  cierto	
  con	
  cuotas	
  vencidas	
  y	
  anticipadas	
  
1.5. Gradiente	
  aritmético	
  perpetuo	
  o	
  infinito	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
GENERALIDADES DESARROLLO
4FUNDAMENTOS DE MERCADEO 3 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
01 ------- 
02 ------- 	
  
	
  
	
  
INTRODUCCIÓN	
  
En	
  esta	
  unidad,	
  continuaremos	
  con	
  la	
  construcción	
  de	
  flujos	
  de	
  caja,	
  o	
  movimientos	
  de	
  dinero,	
  en	
  
la	
  que	
  tendremos	
  cuotas	
  que	
  no	
  son	
  fijas,	
  pero	
  que	
  tendrán	
  una	
  constante	
  de	
  variación	
  y	
  es	
  lo	
  
que	
  se	
  denomina	
  gradientes;	
  se	
  les	
  da	
  este	
  nombre	
  precisamente	
  porque	
  tienen	
  una	
  variación	
  
gradual.	
   	
   Estos	
   flujos	
   de	
   caja	
   tan	
   particulares,	
   además	
   de	
   ser	
   utilizables	
   en	
   sistemas	
   de	
  
amortización	
   o	
   de	
   capitalización,	
   son	
   prácticos	
   para	
   la	
   proyección	
   de	
   presupuestos	
   donde	
  
normalmente	
  no	
  tenemos	
  solo	
  valores	
  fijos,	
  sino	
  que	
  estos	
  valores	
  se	
  pueden	
  ajustar	
  o	
  variar	
  de	
  
acuerdo	
  con	
  una	
  constante	
  de	
  variación	
  que	
  puede	
  ser	
  un	
  valor	
  o	
  un	
  porcentaje.	
  
Hay	
  varias	
  clases	
  de	
  gradientes;	
  si	
   la	
  constante	
  de	
  variación	
  que	
  tienen	
   las	
  cuotas	
  es	
  un	
  valor,	
  
decimos	
  que	
  es	
  un	
  gradiente	
  aritmético	
  o	
  lineal,	
  y	
  si	
  la	
  constante	
  de	
  variación	
  es	
  un	
  porcentaje,	
  
es	
  un	
  gradiente	
  geométrico;	
  dentro	
  de	
  estos	
  conceptos	
  generales,	
   las	
  cuotas	
  pueden	
  crecer	
  o	
  
decrecer	
  de	
  acuerdo	
  con	
  los	
  parámetros	
  de	
  la	
  constante	
  de	
  variación;	
  también	
  las	
  cuotas	
  pueden	
  
ser	
  vencidas,	
  anticipadas	
  o	
  diferidas;	
  y	
  tendremos	
  los	
  gradientes	
  perpetuos	
  o	
  infinitos.	
  
Esperamos	
  que	
  con	
  esta	
  unidad	
  se	
  obtenga	
  un	
  mayor	
  conocimiento	
  y	
  manejo	
  de	
   lo	
  que	
  es	
   la	
  
construcción	
  de	
  	
  flujos	
  de	
  caja	
  y	
  del	
  valor	
  del	
  dinero	
  en	
  el	
  tiempo.	
  
RECOMENDACIONES	
  ACADÉMICAS	
  
En	
  esta	
  unidad	
  se	
  exponen	
  y	
  aplican	
   las	
   fórmulas	
  de	
  gradientes	
  de	
  valor	
  actual,	
  valor	
   final;	
   se	
  
despejan	
  los	
  términos	
  que	
  intervienen	
  en	
  estas	
  fórmulas,	
  por	
  lo	
  que	
  se	
  recomienda	
  recordar	
  los	
  
conocimientos	
  de	
  matemáticas	
  básicas	
  	
  y	
  de	
  Excel,	
  para	
  resolver	
  los	
  ejercicios.	
  
Es	
  indispensable	
  que	
  lean	
  las	
  cartillas,	
  vean	
  las	
  teleconferencias,	
  realicen	
  ejercicios	
  y	
  hagan	
  uso	
  
de	
  todas	
  las	
  herramientas	
  de	
  acompañamiento	
  que	
  les	
  ofrece	
  esta	
  modalidad	
  educativa.	
  
DESARROLLO	
  DE	
  CADA	
  UNA	
  DE	
  LAS	
  UNIDADES	
  TEMÁTICAS	
  
1. 	
  Gradientes	
  o	
  series	
  variables	
  
1. Conceptos	
  
Un	
  gradiente	
  es	
  una	
  serie	
  de	
  pagos	
  que	
  no	
  son	
  iguales,	
  pero	
  tienen	
  una	
  constante	
  de	
  variación,	
  
esta	
  puede	
  ser	
  un	
  valor;	
  es	
  lo	
  que	
  da	
  origen	
  al	
  gradiente	
  aritmético	
  o	
  lineal;	
  la	
  variación	
  también	
  
puede	
  ser	
  un	
  porcentaje,	
  es	
  lo	
  que	
  da	
  origen	
  al	
  gradiente	
  geométrico;	
  igualmente	
  esa	
  variación	
  
puede	
  ser	
  positiva	
  o	
  negativa,	
  por	
  lo	
  que	
  los	
  gradientes	
  pueden	
  ser	
  crecientes	
  o	
  decrecientes.	
  
	
  
	
  
Las	
  características	
  de	
  un	
  gradiente	
  son:	
  
• Todos	
  los	
  pagos	
  o	
  son	
  crecientes	
  o	
  son	
  decrecientes	
  de	
  acuerdo	
  con	
  una	
  contante	
  
de	
  variación.	
  
• Los	
  pagos	
  crecen	
  o	
  decrecen	
  en	
  un	
  mismo	
  valor	
  o	
  en	
  un	
  mismo	
  porcentaje.	
  
• Los	
  pagos	
  son	
  hechos	
  en	
  iguales	
  intervalo	
  de	
  tiempo.	
  
• La	
  tasa	
  de	
  interés	
  es	
  la	
  misma	
  de	
  acuerdo	
  con	
  el	
  período	
  de	
  la	
  cuota.	
  
• El	
  período	
  de	
  la	
  cuota	
  debe	
  coincidir	
  con	
  el	
  período	
  de	
  la	
  tasa	
  y	
  con	
  el	
  período	
  de	
  
la	
  constante	
  de	
  variación.	
  
Los	
  gradientes	
  se	
  clasifican	
  en:	
  
• Gradiente	
  aritmético	
  o	
  lineal:	
  si	
  la	
  constante	
  de	
  variación	
  es	
  un	
  valor.	
  
• Gradiente	
  geométrico:	
  si	
  la	
  constante	
  de	
  variación	
  es	
  un	
  porcentaje.	
  
1.2	
  	
  Gradiente	
  aritmético	
  o	
  lineal	
  
1.2.1.	
  Conceptos.	
  
Podemos	
  definir	
  el	
  gradiente	
  aritmético	
  o	
  lineal	
  como	
  los	
  flujos	
  de	
  caja	
  o	
  movimientos	
  de	
  dinero	
  
que	
  se	
  caracterizan	
  por	
  tener	
  cuotas	
  periódicas	
  que	
  van	
  a	
  variar	
  de	
  acuerdo	
  con	
  una	
  constante	
  
que	
  es	
  un	
  valor	
  que	
  se	
  suma	
  o	
  se	
  resta.	
  
Como	
  la	
  cuotas	
  son	
  variables,	
  vamos	
  a	
  identificar	
  cada	
  una	
  de	
  ellas	
  como	
  C1,	
  C2,	
  C3,	
  etcétera;	
  el	
  
término	
   “C”	
   de	
   cuota;	
   o	
   como	
   R1,	
   R2,	
   R3,	
   etcétera;	
   el	
   término	
   “R”	
   lo	
   tomamos	
   de	
   renta;	
   y	
  
llamaremos	
  a	
  la	
  contante	
  de	
  variación	
  “L”	
  de	
  lineal.	
  
Para	
  entender	
  el	
  concepto	
  de	
  esta	
  serie	
  variable,	
  empecemos	
  por	
  construir	
  un	
  flujo	
  de	
  caja.	
  
Ejemplo	
  1	
  
Construir	
  un	
   flujo	
  de	
  caja	
  de	
  cuatro	
  períodos	
  mensuales,	
  que	
   inicia	
  con	
  una	
  primera	
  cuota	
  de	
  
$10.000,	
  y	
  crece	
  mensualmente	
  en	
  $1.000.	
  
Identificamos	
  una	
  C1	
  =	
  10.000,	
  L=1.000	
  y	
  n=4.	
  
6FUNDAMENTOS DE MERCADEO 5 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
Las	
  cuotas	
  son	
  mensuales,	
  la	
  constante	
  de	
  variación	
  es	
  un	
  valor	
  mensual,	
  que	
  se	
  suma,	
  lo	
  que	
  nos	
  
identifica	
  que	
  es	
  un	
  gradiente	
  aritmético	
  creciente	
  y	
  tenemos	
  cuatro	
  cuotas	
  mensuales.	
  
Si	
  la	
  C1	
  =	
  $10.000,	
  tendremos	
  que	
  las	
  siguientes	
  cuotas	
  serán:	
  
C1	
  =	
  $10.000	
  
C2	
  =	
  $10.000	
  +	
  1.000	
  =	
  $11.000	
  
C3	
  =	
  $11.000	
  +	
  1.000	
  =	
  $12.000	
  ó	
  C3=	
  $10.000	
  +	
  1.000	
  +	
  1.000	
  =	
  $12.000	
  
C4	
  =	
  $12.000	
  +	
  1.000	
  =	
  $13.000	
  ó	
  C4=	
  $10.000	
  +	
  1.000+	
  1.000	
  +	
  1.000	
  =	
  $13.000	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  13.000	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  12.000	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  11.000	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  10.000	
  
	
  
0	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  3	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  4	
  
	
  
Del	
  ejemplo,	
  podemosdeducir	
  una	
  primera	
  fórmula,	
  que	
  nos	
  permitirá	
  calcular	
  cualquier	
  cuota	
  
del	
  gradiente	
  aritmético,	
  conociendo	
  la	
  cuota	
  1	
  y	
  la	
  constante	
  de	
  variación	
  “L”.	
  
Fórmula	
  1	
  
Para	
  calcular	
  una	
  cuota	
  en	
  cualquier	
  período	
  del	
  gradiente	
  aritmético.	
  
Cn	
  	
  =	
  C1	
  +	
  (n	
  –	
  1)	
  L	
  
Ejemplo	
  2	
  
Calcular	
  la	
  cuota	
  4,	
  de	
  un	
  gradiente	
  aritmético,	
  que	
  inicia	
  con	
  una	
  primera	
  cuota	
  de	
  $10.000	
  y	
  que	
  
crece	
  mensualmente	
  en	
  $1.000.	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Identificamos	
  una	
  C1	
  =	
  10.000,	
  L=1.000	
  y	
  vamos	
  a	
  calcular	
  la	
  cuota	
  4.	
  
Cn	
  	
  =	
  C1	
  +	
  (n	
  –	
  1)	
  L	
  
C4	
  =	
  10.000	
  +	
  (4-­‐1)	
  1.000	
  
C4	
  =	
  10.000	
  +	
  (3	
  x	
  1.000)	
  
C4	
  =	
  10.000	
  +	
  3.000	
  
C4	
  =	
  $13.000	
  
Ejemplo	
  3	
  
Calcular	
  la	
  cuota	
  4,	
  de	
  un	
  gradiente	
  aritmético,	
  que	
  inicia	
  con	
  una	
  primera	
  cuota	
  de	
  $10.000	
  y	
  que	
  
decrece	
  mensualmente	
  en	
  $1.000.	
  
En	
  este	
  ejemplo	
  estamos	
  indicando	
  que	
  el	
  gradiente	
  aritmético	
  es	
  decreciente,	
  que	
  las	
  cuotas	
  van	
  
a	
  disminuir	
  de	
  acuerdo	
  con	
  un	
  valor	
  constante	
  de	
  $1.000,	
  lo	
  que	
  nos	
  hace	
  “L”	
  negativa.	
  
Identificamos	
  una	
  C1	
  =	
  10.000,	
  L=	
  -­‐1.000	
  y	
  vamos	
  a	
  calcular	
  la	
  cuota	
  4.	
  
Cn	
  	
  =	
  C1	
  +	
  (n	
  –	
  1)	
  L	
  
C4	
  =	
  10.000	
  +	
  (4-­‐1)	
  (-­‐1.000)	
  
C4	
  =	
  10.000	
  +	
  (3)	
  x	
  (-­‐1.000)	
  
C4	
  =	
  10.000	
  -­‐	
  3.000	
  
C4	
  =	
  $7.000	
  
1.2.2.	
  Gradiente	
  aritmético	
  simple	
  cierto	
  con	
  cuotas	
  vencidas	
  y	
  anticipadas.	
  
Al	
  gradiente	
  aritmético	
  o	
  lineal	
  se	
  le	
  puede	
  calcular	
  su	
  valor	
  presente	
  y	
  su	
  valor	
  final	
  o	
  futuro,	
  
teniendo	
  un	
  número	
  previsto	
  de	
  cuotas	
   (cierto),	
  y	
   recordando	
  que	
  se	
  utilizan	
  tasas	
  periódicas	
  
(vencidas),	
  que	
  el	
  período	
  de	
  la	
  cuota	
  debe	
  coincidir	
  con	
  el	
  período	
  de	
  la	
  tasa	
  y	
  con	
  el	
  período	
  de	
  
la	
  constante	
  de	
  variación	
   (simples).	
   Las	
   fórmulas	
   son	
  para	
  cuotas	
  vencidas	
  por	
   lo	
  que	
  el	
   valor	
  
presente	
  nos	
  dará	
  un	
  período	
  antes	
  de	
   la	
  primera	
  cuota	
   (ejemplo:	
  si	
   la	
  primera	
  cuota	
  está	
  en	
  
período	
  uno,	
  el	
  VP	
  nos	
  dará	
  en	
  el	
  período	
  cero)	
  y	
  el	
  valor	
   futuro	
  nos	
  dará	
   inmediatamente	
  se	
  
efectúa	
  la	
  última	
  cuota	
  (ejemplo:	
  si	
  la	
  última	
  cuota	
  está	
  en	
  el	
  mes	
  4,	
  el	
  valor	
  final	
  nos	
  da	
  en	
  el	
  mes	
  
4).	
  En	
  el	
  evento	
  que	
  las	
  cuotas	
  sean	
  anticipadas,	
  las	
  fórmulas	
  deberán	
  multiplicarse	
  por	
  (1+	
  i).	
  
8FUNDAMENTOS DE MERCADEO 7 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
La	
  fórmula	
  de	
  valor	
  presente	
  de	
  un	
  gradiente	
  aritmético	
  (simple,	
  cierto,	
  con	
  cuotas	
  vencidas)	
  es	
  
la	
  siguiente:	
  
Fórmula	
  2	
  
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −
+−
−
+−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −+−
=
nipn
ip
nip
ip
L
ip
nipCVP )1()1(1)1(11 	
  
Donde:	
  
VP	
  =	
  valor	
  presente	
  o	
  valor	
  actual	
  	
  
C1	
  =	
  valor	
  de	
  la	
  cuota	
  1	
  
ip	
  =	
  tasa	
  de	
  interés	
  periódica	
  vencida	
  
L	
  =	
  es	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  constante	
  de	
  variación.	
  
n	
  =	
  es	
  el	
  número	
  de	
  cuotas	
  que	
  tiene	
  el	
  gradiente	
  o	
  flujo	
  de	
  caja.	
  
Cualquier	
  término	
  que	
  interviene	
  en	
  la	
  fórmula	
  puede	
  ser	
  calculado	
  o	
  despejado.	
  
La	
  fórmula	
  de	
  valor	
  presente	
  de	
  un	
  gradiente	
  aritmético	
  (simple,	
  cierto,	
  con	
  cuotas	
  anticipadas)	
  
es	
  la	
  siguiente:	
  
Fórmula	
  3	
  
)1()1(
)1(1)1(1
1 ipipn
ip
ip
ip
L
ip
ip
CVP
n
nn
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
	
  
Donde:	
  
VP	
  =	
  valor	
  presente	
  o	
  valor	
  actual	
  	
  
C1	
  =	
  valor	
  de	
  la	
  cuota	
  1	
  
ip	
  =	
  tasa	
  de	
  interés	
  periódica	
  vencida	
  
L	
  =	
  es	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  constante	
  de	
  variación.	
  
n	
  =	
  es	
  el	
  número	
  de	
  cuotas	
  que	
  tiene	
  el	
  gradiente	
  o	
  flujo	
  de	
  caja.	
  
	
  
	
  
Cualquier	
  término	
  que	
  interviene	
  en	
  la	
  fórmula	
  puede	
  ser	
  calculado	
  o	
  despejado.	
  La	
  fórmula	
  de	
  
valor	
  final	
  de	
  un	
  gradiente	
  aritmético	
  (simple,	
  cierto,	
  con	
  cuotas	
  vencidas)	
  es	
  la	
  siguiente:	
  
Fórmula	
  4	
  
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −+
= n
ip
nip
ip
L
ip
nipCVF 1)1(1)1(1 	
  
Donde:	
  
VF	
  =	
  valor	
  futuro	
  o	
  valor	
  final	
  
C1	
  =	
  valor	
  de	
  la	
  cuota	
  1	
  
ip	
  =	
  tasa	
  de	
  interés	
  periódica	
  vencida	
  
L	
  =	
  es	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  constante	
  de	
  variación.	
  
n	
  =	
  es	
  el	
  número	
  de	
  cuotas	
  que	
  tiene	
  el	
  gradiente	
  o	
  flujo	
  de	
  caja.	
  
Cualquier	
  término	
  que	
  interviene	
  en	
  la	
  fórmula	
  puede	
  ser	
  calculado	
  o	
  despejado.	
  
La	
  fórmula	
  de	
  valor	
  final	
  de	
  una	
  gradiente	
  aritmético	
  (simple,	
  cierto,	
  con	
  cuotas	
  anticipadas)	
  es	
  la	
  
siguiente:	
  
Fórmula	
  5	
  
)1(
1)1(1)1(
1 ipn
ip
ip
ip
L
ip
ip
CVF
nn
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+
= 	
  
Donde:	
  
VF	
  =	
  valor	
  futuro	
  o	
  valor	
  final	
  
C1	
  =	
  valor	
  de	
  la	
  cuota	
  1	
  
ip	
  =	
  tasa	
  de	
  interés	
  periódica	
  vencida	
  
L	
  =	
  es	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  constante	
  de	
  variación.	
  
n	
  =	
  es	
  el	
  número	
  de	
  cuotas	
  que	
  tiene	
  el	
  gradiente	
  o	
  flujo	
  de	
  caja.	
  
10FUNDAMENTOS DE MERCADEO 9 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
Cualquier	
  término	
  que	
  interviene	
  en	
  la	
  fórmula	
  puede	
  ser	
  calculado	
  o	
  despejado.	
  
Ejemplo	
  4	
  
El	
  primer	
  pago	
  mensual	
  de	
  un	
  crédito	
  es	
  de	
  $	
  20.000,	
  el	
  plazo	
  acordado	
  es	
  de	
  5	
  años,	
  con	
  tasa	
  de	
  
financiación	
  del	
  18%	
  NMV	
  y	
  crecimiento	
  de	
  la	
  cuota	
  en	
  $100	
  cada	
  mes.	
  Determinar	
  el	
  valor	
  del	
  
préstamo.	
  
Es	
  un	
  gradiente	
  aritmético,	
  porque	
  la	
  constante	
  de	
  variación	
  es	
  un	
  valor,	
  las	
  cuotas	
  se	
  estiman	
  
vencidas	
  mientras	
  no	
  se	
  diga	
   lo	
  contrario	
  o	
  se	
  trate	
  de	
  un	
  contrato	
  de	
  arrendamiento,	
  hay	
  un	
  
número	
  previsto	
  de	
  cuotas	
  y	
  todos	
   los	
  términos	
  están	
  en	
   igual	
  período	
  y	
  nos	
  piden	
  calcular	
  el	
  
valor	
  presente.	
  
VP=?	
  
C1=	
  20.000	
  
L=100	
  
n=5	
  años	
  =>	
  n=5*12=60	
  meses	
  
18%	
  NMV	
  =>	
  ip=18%/12	
  =	
  1,5%	
  p.m.v	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  de	
  valor	
  presente.	
  
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
60
6060
)015,01(60
015,0
)015,01(1
015,0
100
015,0
)015,01(1
000.20VP 	
  
Despejamos,	
  utilizamos	
   todos	
   los	
  decimales,	
   y	
   solo	
  al	
   final,	
   en	
   la	
   respuesta,	
  aproximamos	
  a	
  2	
  
decimales.	
  
VP	
  =	
  20.000	
  (39,3802688853)	
  +	
  (6.666,66	
  x	
  (39,3802688853-­‐24,5577580032))	
  
VP	
  =	
  787.605,377706	
  +	
  (6.666,66	
  x	
  14,8225108821)	
  
VP	
  =	
  787.605,377706	
  +	
  98.816,739214	
  
VP	
  =	
  $886.422,12Ejemplo	
  5	
  
Un	
   crédito	
   hipotecario	
   se	
   suscribe	
   por	
   valor	
   de	
   $80	
   millones,	
   con	
   plazo	
   de	
   diez	
   años,	
   cuotas	
  
mensuales	
  crecientes	
  en	
  $500	
  y	
  tasa	
  de	
  financiación	
  del	
  12%	
  NMV.	
  
a.	
  Hallar	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  primera	
  cuota.	
  	
  
b.	
  Hallar	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  cuota	
  60.	
  
C1	
  =?	
  
VP=80.000.000	
  
L=500	
  
n=10	
  años	
  =>	
  n=10*12=120	
  meses	
  
12%	
  NMV	
  =>	
  ip=12%/12	
  =	
  1%	
  p.m.v	
  
a.	
  Hallar	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  primera	
  cuota.	
  	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  de	
  valor	
  presente.	
  
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
120
120120
)01,01(120
01,0
)01,01(1
01,0
500
01,0
)01,01(1
1000.000.80 C 	
  
Despejamos,	
   utilizamos	
   todos	
   los	
   decimales	
   y	
   solo	
   al	
   final,	
   en	
   la	
   respuesta,	
   aproximamos	
   a	
   2	
  
decimales.	
  
80.000.000=	
  C1	
  (69,7005220314)	
  +	
  (50.000	
  x	
  (69,7005220314-­‐36,3593735623))	
  
80.000.000	
  =	
  C1	
  (69,7005220314)	
  +	
  1.667.057,42346	
  
80.000.000	
  -­‐	
  1.667.057,42346	
  =	
  C1	
  (69,7005220314)	
  
78.332.942,5765	
  =	
  C1	
  (69,7005220314)	
  
C1	
  =	
  78.332.942,5765	
  /69,7005220314	
  
C1=$1.123.850,16	
  
b)	
  Hallar	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  cuota	
  60.	
  	
  
	
  
12FUNDAMENTOS DE MERCADEO 11 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  
Cn	
  =	
  C1	
  +	
  (n	
  –	
  1)	
  L	
  
C60	
  =	
  1.123.850,16	
  +	
  ((60-­‐1)	
  x	
  500)	
  
C60	
  =	
  1.123.850,16	
  +	
  (59	
  x500)	
  
C60	
  =	
  1.123.850,16	
  +29.500	
  
C60	
  =	
  $1.153.350,16	
  
Ejemplo	
  6	
  
Un	
   ahorrador	
   deposita	
   al	
   final	
   del	
   primer	
   semestre,	
   la	
   suma	
   de	
   $20.000	
   y	
   cada	
   semestre	
   se	
  
compromete	
  a	
   incrementar	
  el	
  valor	
  del	
  depósito	
  en	
  $10.000.	
   	
  Asuma	
  que	
   la	
  cuenta	
  de	
  ahorro	
  
paga	
  intereses	
  del	
  20%	
  NSV.	
  ¿Cuánto	
  dinero	
  se	
  logra	
  acumular	
  en	
  diez	
  años?	
  
VF=?	
  
C1=20.000	
  
L=10.000	
  
n=10	
  años	
  =>	
  n=10*2=20	
  semestres	
  
20%NSV	
  =>	
  ip=20%/2=10%	
  p.	
  semestral	
  vencida.	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  de	
  valor	
  final.	
  
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+
=
20
10,0
1)10,01(
10,0
000.10
10,0
1)10,01(
000.20
20
20
VF 	
  
Despejamos,	
   utilizamos	
   todos	
   los	
   decimales	
   y	
   solo	
   al	
   final,	
   en	
   la	
   respuesta,	
   aproximamos	
   a	
   2	
  
decimales.	
  
VF	
  =	
  20.000	
  (57,2749994933)	
  +	
  (100.000	
  x	
  (57,2749994933-­‐20))	
  
VF	
  =	
  1.145.499,98987	
  +	
  (100.000	
  x	
  37,2749994933)	
  
VF	
  =	
  1.145.499,98987	
  +	
  3.727.499,94933	
  
VF	
  =	
  $4.872.999,94	
  
	
  
	
  
Ejemplo	
  7	
  
Una	
  persona	
  se	
  compromete	
  a	
  ahorrar	
  $30	
  millones	
  en	
  4	
  años,	
  haciendo	
  depósitos	
  trimestrales,	
  
vencidos	
  y	
  crecientes	
  en	
  $50.000	
  cada	
  uno.	
  Si	
  el	
  fondo	
  de	
  capitalización	
  le	
  reconoce	
  intereses	
  del	
  
16%	
  NTV,	
  determinar	
  el	
  valor	
  del	
  primer	
  depósito.	
  
VF=30.000.000	
  
n=4	
  años	
  =>n=4*4=16	
  trimestres	
  
L=50.000	
  
16%	
  NTV	
  =>	
  ip=16%/4	
  =	
  4%	
  p.	
  trimestral	
  vencida	
  
C1=?	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  de	
  valor	
  final.	
  
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−+
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −+
=
16
04,0
1)04,01(
04,0
000.50
04,0
1)04,01(
1000.000.30
16
16
C 	
  
	
  
Despejamos,	
   utilizamos	
   todos	
   los	
   decimales	
   y	
   solo	
   al	
   final,	
   en	
   la	
   respuesta,	
   aproximamos	
   a	
   2	
  
decimales.	
  
30.000.000	
  =	
  	
  C1	
  (21,8245311432)	
  +	
  (1.250.000	
  x	
  (21,8245311432-­‐16))	
  
30.000.000	
  =	
  (C1	
  x	
  21,8245311432)+	
  (1.250.000	
  x	
  5,8245311432)	
  
30.000.000	
  =	
  (C1	
  x	
  21,8245311432)+	
  7.280.663,929	
  
30.000.000-­‐7.280.663,929	
  =	
  C1	
  x	
  21,8245311432	
  
22.719.336,071	
  =	
  C1	
  x	
  21,8245311432	
  
C1	
  =	
  22.719.336,071/21,8245311432	
  	
  
C1=$1.040.999,96	
  
	
  
	
  
14FUNDAMENTOS DE MERCADEO 13 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
Ejemplo	
  8	
  
Calcular	
   el	
   valor	
   de	
   un	
   préstamo,	
   que	
   se	
   adquirió	
   mediante	
   pagos	
   mensuales,	
   efectuando	
   el	
  
primer	
  pago	
  por	
  valor	
  de	
  $1.250.000	
  en	
  el	
  momento	
  de	
  adquirir	
  el	
  crédito	
  y	
  las	
  cuotas	
  van	
  a	
  ir	
  
decreciendo	
  en	
  $10.000	
  cada	
  mes,	
  el	
  plazo	
  acordado	
  es	
  de	
  3	
  años,	
  con	
  tasa	
  de	
  financiación	
  del	
  
2,3%	
  pmv.	
  
En	
  este	
  ejemplo	
  las	
  cuotas	
  son	
  anticipadas	
  y	
  decrecientes.	
  
VP=?	
  
C1	
  =	
  $1.250.000	
  
L=	
  -­‐	
  $10.000	
  
n=3	
  años	
  =>	
  n=3*12=36	
  meses	
  
ip=2,3%	
  p.m.v	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  de	
  valor	
  presente.	
  
)1()1(
)1(1)1(1
1 ipipn
ip
ip
ip
L
ip
ip
CVP
n
nn
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
	
  
)023,01()023,01(36
023,0
)023,1(1
023,0
000.10
023,0
)023,01(1
000.250.1 36
3636
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
VP
	
  
Despejamos,	
   utilizamos	
   todos	
   los	
   decimales	
   y	
   solo	
   al	
   final,	
   en	
   la	
   respuesta,	
   aproximamos	
   a	
   2	
  
decimales.	
  
VP	
   =	
   (1.250.000(24,3026437142)	
   -­‐	
   (434.782,608696	
   x	
   (24,3026437142	
   -­‐	
   15,8774110046)))	
  
x(1,023)	
  
VP	
  =	
  (30.378.304,6428	
  -­‐	
  (434.782,608696	
  x	
  8,4252327096))x	
  1,023	
  
VP	
  =	
  (30.378.304,6428	
  –	
  3.663.144,65635)	
  x	
  1,023	
  
VP	
  =	
  26.715.159,9864	
  x	
  1,023	
  
VP	
  =	
  $27.329.608,67	
  
	
  
	
  
Ejemplo	
  9	
  
Un	
  crédito	
  hipotecario	
   se	
  suscribe	
  por	
  valor	
  de	
  $100	
  millones,	
   con	
  plazo	
  de	
  diez	
  años,	
   cuotas	
  
mensuales	
  crecientes	
  en	
  $10.000	
  y	
  tasa	
  de	
  financiación	
  del	
  1%	
  p.m.v.	
  
a.	
  Hallar	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  primera	
  cuota.	
  
b.	
  Hallar	
  el	
  saldo	
  de	
  la	
  deuda	
  después	
  de	
  pagar	
  la	
  cuota	
  36.	
  
VP=100.000.000	
  
L=10.000	
  
n=10	
  años	
  =>	
  n=10*12=120	
  meses	
  
ip=1%	
  p.m.v	
  
a.	
  Hallar	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  primera	
  cuota.	
  	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  de	
  valor	
  presente.	
  
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
120
120120
)01,01(120
01,0
)01,01(1
01,0
000.10
01,0
)01,01(1
1000.000.100 C 	
  
Despejamos,	
   utilizamos	
   todos	
   los	
   decimales	
   y	
   solo	
   al	
   final,	
   en	
   la	
   respuesta,	
   aproximamos	
   a	
   2	
  
decimales.	
  
100.000.000=	
  C1	
  (69,7005220314)	
  +	
  (1.000.000	
  x	
  (69,7005220314-­‐36,3593735623))	
  
100.000.000	
  =	
  C1	
  (69,7005220314)	
  +	
  33.341.148,47	
  
100.000.000	
  -­‐	
  33.341.148,47=	
  C1	
  (69,7005220314)	
  
66.658.851,53	
  =	
  C1	
  (69,7005220314)	
  
C1	
  =	
  66.658.851,53	
  	
  /69,7005220314	
  
C1=$956.360,86	
  
b.	
  Hallar	
  el	
  saldo	
  de	
  la	
  deuda	
  después	
  de	
  pagar	
  la	
  cuota	
  36.	
  
El	
  saldo	
  de	
  una	
  deuda	
  es	
  el	
  valor	
  actual	
  de	
  las	
  cuotas	
  que	
  faltan	
  por	
  pagar.	
  Lo	
  que	
  significa	
  que	
  
debemos	
  calcular	
  el	
  valor	
  presente	
  en	
  el	
  período	
  o	
  mes	
  36,	
  de	
  la	
  cuota	
  37	
  hasta	
  la	
  cuota	
  120,	
  que	
  
corresponde	
  a	
  (120-­‐36)	
  84	
  cuotas	
  que	
  faltarían	
  por	
  pagar,	
  siendo	
  la	
  primera	
  cuota	
  que	
  faltaríapor	
  pagar,	
  la	
  cuota	
  37.	
  Por	
  lo	
  que	
  debemos	
  calcular	
  la	
  cuota	
  37.	
  
16FUNDAMENTOS DE MERCADEO 15 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  
Cn	
  =	
  C1	
  +	
  (n	
  –	
  1)	
  L	
  
C37	
  =	
  956.360,86	
  +	
  ((37-­‐1)	
  x	
  10.000)	
  
C37	
  =	
  956.360,86	
  +	
  (36	
  x	
  10.000)	
  
C37	
  =	
  956.360,86	
  +	
  360.000	
  
C37	
  =	
  $1.316.360,86	
  
Conociendo	
   la	
  cuota	
  37,	
  ahora	
  calculamos	
  el	
   valor	
  presente	
  en	
  el	
  mes	
  36.	
  Reemplazamos	
  en	
   la	
  
fórmula	
  de	
  valor	
  presente.	
  
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
84
8484
)01,01(84
01,0
)01,01(1
01,0
000.10
01,0
)01,01(1
86,360.316.1VP 	
  
Despejamos,	
   utilizamos	
   todos	
   los	
   decimales	
   y	
   solo	
   al	
   final,	
   en	
   la	
   respuesta,	
   aproximamos	
   a	
   2	
  
decimales.	
  
VP=	
  1.316.360,86	
  (56,6484527634)	
  +	
  (1.000.000	
  x	
  (56,6484527634	
  –	
  36,4152996787))	
  
VP=	
  1.316.360,86	
  (56,6484527634)	
  +	
  (1.000.000	
  x	
  20,2331530847)	
  
VP	
  =	
  74.569.806,2726	
  +	
  20.233.153,0847	
  
VP	
  =	
  $94.802.959,36	
  
Ejemplo	
  10	
  
Un	
  crédito	
  hipotecario	
  se	
  suscribe	
  por	
  valor	
  de	
  $100	
  millones,	
  con	
  plazo	
  de	
  diez	
  años	
  y	
  se	
  va	
  a	
  
cancelar	
   mediante	
   un	
   gradiente	
   aritmético;	
   siendo	
   la	
   primera	
   cuota	
   mensual	
   por	
   valor	
   de	
  
$956.360,86,	
   calcular	
   el	
   valor	
   de	
   la	
   constante	
   de	
   variación	
   mensual	
   “L”,	
   con	
   una	
   tasa	
   de	
  
financiación	
  del	
  1%	
  p.m.v.	
  
VP=100.000.000	
  
C1	
  =956.360,86	
  
L=?	
  
n=10	
  años	
  =>	
  n=10*12=120	
  meses	
  
ip=1%	
  p.m.v	
  
	
  
	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  de	
  valor	
  presente.	
  
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
120
120120
)01,01(120
01,0
)01,01(1
01,001,0
)01,01(1
86,360.956000.000.100
L 	
  
Despejamos,	
   utilizamos	
   todos	
   los	
   decimales	
   y	
   solo	
   al	
   final,	
   en	
   la	
   respuesta,	
   aproximamos	
   a	
   2	
  
decimales.	
  
100.000.000=	
  956.360,86	
  (69,7005220314)	
  +	
  (L/0,01)	
  x	
  (69,7005220314-­‐36,3593735623))	
  
100.000.000	
  =	
  66.658.851,19	
  	
  +	
  (L/0,01)	
  x	
  (33,3411484691)	
  
100.000.000	
  -­‐	
  66.658.851,19	
  	
  =	
  (L/0,01)	
  x	
  33,3411484691	
  
33.341.148,8076	
  =	
  (L/0,01)	
  x	
  33,3411484691	
  
L/0,01	
  =	
  33.341.148,8076	
  /	
  33,3411484691	
  
L	
  =$1.000.000	
  x	
  0,01	
  
L	
  =	
  $10.000	
  
Ejemplo	
  11	
  
Un	
   crédito	
   por	
   valor	
   de	
   $10	
   millones,	
   con	
   plazo	
   de	
   cinco	
   años,	
   se	
   va	
   a	
   cancelar	
   mediante	
   un	
  
gradiente	
  aritmético	
  con	
  cuotas	
  anuales	
  que	
  crecen	
  en	
  $500.000,	
  siendo	
  la	
  primera	
  cuota	
  anual	
  
por	
  un	
  valor	
  de	
  $1.886.800,06,	
  calcular	
  la	
  tasa	
  de	
  interés	
  efectiva	
  anual	
  que	
  se	
  está	
  cobrando.	
  
VP=10.000.000	
  
C1	
  =1.886.800,06	
  
L=500.000	
  
n=5	
  años	
  	
  
ip=?	
  E.A.	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula	
  de	
  valor	
  presente.	
  
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
5
55
)1(5
)1(1000.500)1(1
06,800.886.1000.000.10 i
i
i
ii
i 	
  
18FUNDAMENTOS DE MERCADEO 17 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
Hemos	
  podido	
  ver,	
  que	
  se	
  puede	
  despejar	
  cualquier	
  término	
  que	
  interviene	
  en	
  la	
  fórmula,	
  pero	
  
si	
  se	
  trata	
  de	
  tasa	
  y	
  de	
  número	
  de	
  cuotas,	
  se	
  debe	
  realizar	
  por	
  ensayo	
  y	
  error,	
  suponiendo	
  valores	
  
hasta	
  que	
  el	
  valor	
  presente	
  menos	
  los	
  pagos	
  en	
  valor	
  presente	
  nos	
  dé	
  cero.	
  
Cómo	
  la	
  tasa	
  es	
  efectiva	
  anual,	
  pensamos	
  en	
  un	
  valor	
  que	
  se	
  pagaría	
  anualmente,	
  tomemos	
  para	
  
iniciar	
  el	
  ensayo	
  el	
  15%	
  E.A.	
  
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
5
55
)15,01(5
15,0
)15,01(1
15,0
000.500
15,0
)15,01(1
06,800.886.1000.000.10 	
  
10.000.000-­‐	
   (1.886.800,06	
   (3,35215509801)	
   +	
   (3.333.333,33	
   x	
   (3,35215509801-­‐
2,48588387649)))=?	
  
10.000.000	
  –	
  (6.324.846,44	
  +	
  (3.333.333,33	
  x	
  0,86627142152))=?	
  
10.000.000	
  –	
  (6.324.846,44	
  +	
  2.887.571,41)=?	
  
10.000.000	
  –	
  9.212.417,85	
  =	
  787.582,15	
  
Con	
  una	
  tasa	
  del	
  15%	
  EA,	
  la	
  deuda	
  menos	
  los	
  pagos	
  da	
  $787.582,15,	
  no	
  da	
  cero,	
  por	
  lo	
  que	
  hay	
  
que	
   probar	
   con	
   otra	
   tasa.	
   Como	
   nos	
   dio	
   un	
   valor	
   positivo,	
   tomaremos	
   una	
   tasa	
   más	
   baja.	
  
Ensayemos	
  con	
  el	
  10%	
  EA	
  (es	
  un	
  dato	
  al	
  azar,	
  por	
  eso	
  se	
  llama	
  ensayo	
  y	
  error).	
  
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
+−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−
=
−
−−
5
55
)10,01(5
10,0
)10,01(1
10,0
000.500
10,0
)10,01(1
06,800.886.1000.000.10 	
  
10.000.000-­‐	
   (1.886.800,06	
   (3,79078676941)	
   +	
   (5.000.000	
   x	
   (3,79078676941-­‐
3,1046066153)))=?	
  
10.000.000	
  –	
  (7.152.456,70	
  +	
  (5.000.000	
  x	
  0,68618015411))=?	
  
10.000.000	
  –	
  (7.152.456,70	
  +	
  3.430.900,77)=?	
  
10.000.000	
  –	
  10.583.357,47	
  =	
  -­‐583.357,47	
  
No	
  nos	
  dio	
  cero,	
  pero	
  ya	
  tenemos	
  un	
  rango,	
  un	
  valor	
  positivo	
  y	
  un	
  valor	
  negativo,	
  que	
  significa	
  
que	
  no	
  es	
  15%,	
  tampoco	
  10%,	
  pero	
  está	
  entre	
  15%	
  y	
  10%,	
  el	
  rango	
  no	
  debe	
  ser	
  tan	
  amplio,	
  pero	
  
de	
  todas	
  maneras	
  nos	
  acerca	
  a	
  la	
  respuesta	
  y	
  al	
  tener	
  un	
  rango,	
  nos	
  permite	
  hacer	
  una	
  proporción	
  
de	
  diferencias	
  y	
  calcular	
  una	
  tasa	
  promedio,	
  aproximada.	
  
i	
  =	
  15%	
  =	
  787.582,15	
  
i	
  =	
  	
  X	
  	
  	
  	
  	
  =	
  	
  	
  	
  	
  	
  0	
  
i	
  =	
  10%	
  =	
  -­‐583.357,47	
  
	
  
	
  
Hay	
  cuatro	
  posibles	
  combinaciones,	
  lo	
  importante	
  es	
  que	
  la	
  combinación	
  que	
  tomemos	
  al	
  lado	
  
izquierdo	
  de	
  la	
  igualdad	
  sea	
  la	
  misma	
  que	
  tomemos	
  para	
  el	
  lado	
  derecho	
  de	
  la	
  igualdad.	
  
(15	
  –	
  X)	
  /	
  (15	
  –	
  10)	
  =	
  (787.582,15	
  –	
  	
  0)	
  /	
  (787.582,15	
  -­‐	
  (-­‐583.357,47))	
  	
  
Resolvemos	
  para	
  despejar	
  “X”	
  que	
  correspondería	
  a	
  la	
  tasa	
  con	
  la	
  cual	
  la	
  igualdad	
  nos	
  daría	
  cero.	
  
(15	
  –	
  X)	
  /	
  5	
  =	
  787.582,15	
  /	
  1.370.939,62	
  
(15	
  –	
  X)	
  /	
  5	
  =	
  0,574483469958	
  
15	
  –	
  X	
  =	
  0,574483469958x	
  5	
  
15	
  –X	
  =	
  2,87241734979	
  
-­‐	
  X	
  =	
  2,87241734979	
  –	
  15	
  
-­‐	
  X	
  =	
  -­‐12,13	
  
X	
  =	
  i	
  =	
  12,13%	
  E.A.	
  
Este	
  es	
  un	
  proceso	
  manual,	
  donde	
  la	
  tasa	
  no	
  nos	
  va	
  a	
  dar	
  exacta,	
  pero	
  sí	
  nos	
  aproxima	
  mucho	
  a	
  
la	
  realidad;	
  tenemos	
  la	
  opción	
  de	
  seguir	
  ensayando	
  o	
  también	
  lo	
  podemos	
  resolver	
  por	
  alguna	
  de	
  
las	
  herramientas	
  de	
  Excel,	
  como	
  es	
  la	
  función	
  financiera	
  de	
  TIR,	
  o	
  en	
  una	
  tabla	
  de	
  amortización,	
  
usando	
   la	
   herramienta:	
   buscar	
   objetivo;	
   el	
   manejo	
   de	
   Excel	
   se	
   explica	
   en	
   algunas	
   de	
   las	
  
teleconferencias	
  o	
  en	
  los	
  manuales	
  de	
  esta	
  herramienta.	
  A	
  continuación	
  una	
  breve	
  explicación:	
  
por	
  TIR:	
  
Debemos	
  construir	
  el	
  flujo	
  de	
  caja,	
  que	
  corresponde	
  a	
  la	
  deuda	
  en	
  el	
  período	
  cero	
  y	
  el	
  valor	
  de	
  
cadauna	
  de	
  las	
  cuotas	
  de	
  1	
  a	
  5.	
  El	
  valor	
  de	
  deuda	
  y	
  los	
  pagos	
  deben	
  tener	
  signo	
  contrario,	
  si	
  la	
  
deuda	
  la	
  colocamos	
  negativa,	
  los	
  pagos	
  serán	
  positivos.	
  
-­‐10.000.000	
  
	
  
1.886.800,06	
  
	
  
2.386.800,06	
  
	
  
2.886.800,06	
  
	
  
3.386.800,06	
  
	
  
3.886.800,06	
  
0	
  
	
  
	
  
1	
  
	
  
2	
  
	
  
3	
  
	
  
4	
  
	
  
5	
  
	
  
Ingresamos	
  a	
  fx,	
  financieras,	
  TIR,	
  y	
  en	
  valores	
  señalamos	
  todos	
  los	
  valores	
  del	
  flujo	
  de	
  caja	
  de	
  0	
  a	
  
5	
  (lo	
  que	
  vemos	
  resaltado).	
  
20FUNDAMENTOS DE MERCADEO 19 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
-­‐10.000.000	
  
	
  
1.886.800,06	
  
	
  
2.386.800,06	
  
	
  
2.886.800,06	
  
	
  
3.386.800,06	
  
	
  
3.886.800,06	
  
0	
  
1	
   2	
   3	
   4	
   5	
  
Le	
  damos	
  aceptar	
  y	
  la	
  TIR	
  que	
  para	
  el	
  caso	
  es	
  la	
  tasa	
  de	
  interés	
  con	
  la	
  cual	
  la	
  ecuación	
  o	
  igualdad	
  
nos	
  da	
  cero,	
  da	
  un	
  valor	
  exacto	
  de	
  12%	
  EA.	
  
Como	
  estamos	
  hablando	
  de	
  pagar	
  una	
  deuda,	
  esto	
  se	
  puede	
  visualizar	
  a	
  través	
  de	
  una	
  tabla	
  de	
  
amortización,	
  que	
  tiene	
  como	
  objetivo	
  mostrar	
  qué	
  sucede	
  cada	
  vez	
  que	
  pagamos	
  una	
  cuota	
  en	
  
una	
  deuda,	
  y	
  esta	
  tabla	
  se	
  puede	
  calcular	
  con	
  la	
  herramienta	
  de	
  Excel	
  “buscar	
  objetivo”.	
  
Primero	
  debemos	
  hacer	
  una	
  estructura	
  que	
  consiste	
  en	
  crear	
  fórmulas	
  en	
  las	
  celdas,	
  para	
  darle	
  
instrucciones	
  a	
  Excel.	
  A	
  continuación	
  les	
  muestro	
  la	
  estructura	
  que	
  se	
  requiere	
  para	
  el	
  ejemplo,	
  
copiando	
  la	
  última	
  fila,	
  podemos	
  ampliar	
  el	
  número	
  de	
  períodos.	
  
	
  
	
   A	
   B	
   C	
   D	
   E	
   F	
   G	
  
1	
   Tabla	
  de	
  amortización	
  gradiente	
  aritmético	
  
2	
  
N	
   Saldo	
   Intereses	
   Cuota	
   Amortización	
   Tasa	
   L	
  
3	
   0	
   10.000.000	
   0	
   0	
   0	
   1%	
   500.000	
  
4	
   1	
   =B3-­‐E4	
   =B3*F4	
   1.886.800	
   =D4-­‐C4	
   =F3	
   	
  
5	
   2	
   =B4-­‐E5	
   =B4*F5	
   =D4+G5	
   =D5-­‐C5	
   =F4	
   =$G$3	
  
6	
   3	
   =B5-­‐E6	
   =B5*F6	
   =D5+G6	
   =D6-­‐C6	
   =F5	
   =$G$3	
  
7	
   4	
   =B6-­‐E7	
   =B6*F7	
   =D6+G7	
   =D7-­‐C7	
   =F6	
   =$G$3	
  
8	
   5	
   =B7-­‐E8	
   =B7*F8	
   =D7+G8	
   =D8-­‐C8	
   =F7	
   =$G$3	
  
Estoy	
  colocando	
  en	
  F3	
  un	
  valor	
  de	
  tasa	
  de	
  interés	
  del	
  1%,	
  pero	
  en	
  el	
  proceso	
  este	
  se	
  calcula.	
  
Creada	
   la	
   estructura	
   y	
   colocando	
   los	
   valores	
   dados	
   para	
   el	
   ejercicio,	
   como	
   es	
   el	
   valor	
   de	
  
$10.000.000	
  de	
  la	
  deuda,	
  la	
  constante	
  de	
  variación	
  y	
  una	
  tasa	
  para	
  que	
  el	
  valor	
  no	
  esté	
  en	
  cero,	
  
hay	
  que	
  tener	
  claro	
  que	
  el	
  objetivo	
  al	
  pagar	
  una	
  deuda,	
  es	
  que	
  en	
  la	
  última	
  cuota,	
  el	
  saldo	
  nos	
  de	
  
cero.	
  
	
  
	
  
Nos	
  ubicamos	
  en	
  la	
  celda	
  (para	
  el	
  ejemplo)	
  B8,	
  en	
  la	
  barra	
  de	
  Excel	
  entramos	
  a	
  datos,	
  en	
  datos	
  
buscamos	
  análisis	
  y	
  si	
  o	
  análisis	
  de	
  hipótesis,	
  dependiendo	
  de	
  la	
  versión	
  de	
  Excel	
  que	
  tengamos.	
  
Seleccionamos	
  buscar	
  objetivo,	
  y	
  nos	
  pide	
  la	
  siguiente	
  información:	
  
Definir	
  la	
  celda	
  que	
  para	
  el	
  ejemplo	
  sería	
  la	
  B8.	
  
Con	
  el	
  valor:	
  0	
  le	
  damos	
  cero	
  porque	
  es	
  el	
  saldo	
  de	
  la	
  deuda	
  al	
  pagar	
  la	
  última	
  cuota.	
  
Para	
  cambiar	
  la	
  celda:	
  F3	
  que	
  para	
  el	
  ejemplo	
  corresponde	
  a	
  la	
  tasa.	
  
Le	
  damos	
  aceptar	
  y	
  si	
  la	
  estructura	
  está	
  correcta,	
  nos	
  debe	
  construir	
  la	
  tabla	
  y	
  calcularnos	
  la	
  tasa,	
  
que	
  para	
  el	
  ejemplo	
  en	
  la	
  celda	
  F3	
  debe	
  aparecer	
  12%.	
  
	
   A	
   B	
   C	
   D	
   E	
   F	
   G	
  
1	
   Tabla	
  de	
  amortización	
  gradiente	
  aritmético	
  
2	
   N	
   Saldo	
   Intereses	
   Cuota	
   Amortización	
   Tasa	
   L	
  
3	
   0	
   10.000.000	
   0	
   0	
   0	
   12,00%	
   500.000	
  
4	
   1	
   9.313.200	
   1.200.000	
   1.886.800	
   686.800	
   0,1200	
   	
  
5	
   2	
   8.043.984	
   1.117.584	
   2.386.800	
   1.269.216	
   0,1200	
   500.000	
  
6	
   3	
   6.122.462	
   965.278	
   2.886.800	
   1.921.522	
   0,1200	
   500.000	
  
7	
   4	
   3.470.357	
   734.695	
   3.386.800	
   2.652.105	
   0,1200	
   500.000	
  
8	
   5	
   0	
   416.443	
   3.886.800	
   3.470.357	
   0,1200	
   500.000	
  
Con	
  esta	
  herramienta,	
  podemos	
  calcular	
  también,	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  primera	
  cuota,	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  deuda	
  
(VP),	
  el	
  valor	
  de	
  la	
  contante	
  de	
  variación	
  (L).	
  
1.2.3.	
  Gradiente	
  aritmético	
  perpetuo	
  o	
  infinito.	
  
Si	
  el	
  gradiente	
  es	
  perpetuo	
  o	
  infinito,	
  solo	
  se	
  le	
  puede	
  calcular	
  su	
  valor	
  actual	
  o	
  presente	
  y	
  los	
  
términos	
   que	
   intervienen	
   en	
   la	
   fórmula	
   de	
   valor	
   actual.	
   Igual	
   es	
   indispensable	
   que	
   todos	
   los	
  
términos	
  estén	
  en	
   igual	
  período	
  y	
   las	
  cuotas	
  sean	
  vencidas,	
  si	
   se	
   toman	
  cuotas	
  anticipadas,	
   la	
  
fórmula	
  estará	
  multiplicada	
  por	
  (1+ip).	
  
	
  
22FUNDAMENTOS DE MERCADEO 21 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
Fórmula	
  6	
  
2
1
ip
L
ip
CVP += 	
  Si	
  el	
  gradiente	
  es	
  infinito	
  y	
  las	
  cuotas	
  vencidas.	
  
Fórmula	
  7	
  
)1(
1
2
ip
ip
L
ip
C
VP +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
	
  
Si	
  el	
  gradiente	
  es	
  infinito	
  y	
  las	
  cuotas	
  anticipadas.	
  
Ejemplo12	
  
Se	
  tiene	
  una	
  serie	
  infinita,	
  cuyo	
  primer	
  pago	
  es	
  de	
  $100.000	
  El	
  valor	
  del	
  pago	
  crece	
  cada	
  año	
  en	
  
$200.000	
  y	
  la	
  tasa	
  de	
  interés	
  es	
  del	
  15%	
  efectivo	
  anual.	
  Determinar	
  el	
  valor	
  presente.	
  
n	
  =>∞	
  
C1=100.000	
  
L=200.000	
  
ip=15%	
  
VP=?	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula:	
  
2
1
ip
L
ip
CVP +=
	
  
2
15,0
000.200
15,0
000.100
+=VP 	
  
VP	
  =	
  666.666,67	
  +	
  8.888.888,89	
  
VP=$9.555.555,56	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Ejemplo	
  13	
  
Se	
   tiene	
   una	
   serie	
   infinita,	
   cuyo	
   primer	
   pago	
   es	
   de	
   $100.000	
   realizado	
   en	
   el	
   período	
   cero	
  
(anticipado).	
  El	
  valor	
  del	
  pago	
  crece	
  cada	
  año	
  en	
  $200.000	
  y	
  la	
  tasa	
  de	
  interés	
  es	
  del	
  15%	
  efectivo	
  
anual.	
  Determinar	
  el	
  valor	
  presente.	
  
n	
  =>∞	
  
C1=100.000	
  (anticipada)	
  
L=200.000	
  
ip=15%	
  
VP=?	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula:	
  
)1(
1
2
ip
ip
L
ip
C
VP +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
	
  
)15,01(
15,0
000.200
15,0
000.100
2
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=VP 	
  
VP	
  =	
  (666.666,67	
  +	
  8.888.888,89)	
  (1,15)	
  
VP=$9.555.555,56	
  x	
  1,15	
  
VP=$10.988.888,89	
  
Ejemplo	
  14	
  
Si	
  contamos	
  con	
  un	
  capital	
  de	
  $10.000.000,	
  ¿cuánto	
  es	
  el	
  valor	
  del	
  primer	
  retiro	
  anual	
  que	
  se	
  
puede	
  realizar,	
  en	
  una	
  serie	
  infinita	
  creciente	
  en	
  $200.000	
  anuales,	
  con	
  un	
  rendimiento	
  del	
  15%	
  
efectivo	
  anual?	
  
n	
  =>∞	
  
C1=?	
  
L=200.000	
  
ip=15%	
  
VP=10.000.000	
  
24FUNDAMENTOS DE MERCADEO 23 POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO
	
  
	
  
	
  
Reemplazamos	
  en	
  la	
  fórmula:	
  
2
1
ip
L
ip
CVP +=
	
  
2
15,0
000.200
15,0
1
000.000.10 +=
C
	
  
10.000.000=	
  (C1/0,15)	
  +	
  8.888.888,89	
  
10.000.000	
  –	
  8.888.888,89	
  =	
  C1	
  /	
  0,15	
  
1.111.111,11	
  =	
  C1	
  /	
  0,15	
  
C1	
  =	
  1.111.111	
  x	
  0,15	
  
C1	
  =	
  $166.666,67	
  
	
  
POLITÉCNICO GRANCOLOMBIANO - 2016 ©