Teorema de Green

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Resumen 
Invierno 2019 
Teorema de Green 
El teorema de Green es un resultado matemático que relaciona el flujo de un 
campo vectorial a través de una región con la circulación del campo vectorial 
alrededor de la frontera de la región. 
Definición 
El teorema de Green establece que, para un campo vectorial definido en una 
región plana con una frontera simple, el flujo del campo vectorial a través de la 
región es igual a la circulación del campo vectorial alrededor de la frontera de la 
región. 
Importancia 
El teorema de Green es una herramienta importante en el análisis matemático y la 
física. Se utiliza para resolver problemas de flujo, circulación y potencial. 
Aplicaciones actuales 
El teorema de Green se aplica en la actualidad en una gran variedad de campos, 
entre los que se incluyen: 
• Matemáticas: El teorema de Green se utiliza en el análisis matemático, la 
teoría de funciones y la geometría diferencial. 
• Física: El teorema de Green se utiliza para modelar el flujo de fluidos, el 
movimiento de los fluidos y el comportamiento de los campos magnéticos. 
• Ingeniería: El teorema de Green se utiliza en el diseño de estructuras, 
máquinas y sistemas. 
• Ciencias naturales: El teorema de Green se utiliza para modelar el flujo de 
calor, la difusión de sustancias y el crecimiento de los cultivos. 
Ejemplos 
Algunos ejemplos de aplicaciones del teorema de Green son: 
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• En física, se utiliza para calcular el flujo de un fluido a través de una tubería 
o el movimiento de un fluido alrededor de un objeto. 
• En ingeniería, se utiliza para calcular la tensión en una estructura o la 
fuerza en un mecanismo. 
• En ciencias naturales, se utiliza para calcular la difusión de una sustancia a 
través de una membrana o el crecimiento de un cultivo en un medio. 
Conclusión 
El teorema de Green es una herramienta importante que se utiliza para resolver 
problemas de flujo, circulación y potencial. Se aplica en una gran variedad de 
campos, desde las matemáticas y la física hasta la ingeniería y las ciencias 
naturales. 
Formas del teorema de Green 
El teorema de Green tiene dos formas, una para campos vectoriales de dos 
dimensiones y otra para campos vectoriales de tres dimensiones. 
Forma de dos dimensiones 
La forma de dos dimensiones del teorema de Green establece que, para un 
campo vectorial definido en un plano con una frontera simple, el flujo del campo 
vectorial a través de la región es igual a la circulación del campo vectorial 
alrededor de la frontera de la región. 
∫_D (P dx + Q dy) = ∫_C (P_y - Q_x) dx dy 
donde: 
• D es la región plana. 
• C es la frontera de la región. 
• P y Q son las componentes del campo vectorial. 
• P_y y Q_x son las derivadas parciales de P y Q con respecto a y y x, 
respectivamente. 
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Forma de tres dimensiones 
La forma de tres dimensiones del teorema de Green establece que, para un 
campo vectorial definido en un espacio con una frontera simple, el flujo del campo 
vectorial a través de la región es igual a la circulación del campo vectorial 
alrededor de la frontera de la región. 
∫_V (P dx + Q dy + R dz) = ∫_S (P_n) dS 
donde: 
• V es la región espacial. 
• S es la frontera de la región. 
• P, Q y R son las componentes del campo vectorial. 
• P_n es la componente normal del campo vectorial P en la superficie S. 
Métodos de aplicación del teorema de Green 
El teorema de Green se puede aplicar a una variedad de problemas de flujo, 
circulación y potencial. Algunos métodos comunes para aplicar el teorema de 
Green son: 
• Método del flujo: Este método consiste en utilizar el teorema de Green para 
calcular el flujo de un campo vectorial a través de una región. 
• Método de la circulación: Este método consiste en utilizar el teorema de 
Green para calcular la circulación de un campo vectorial alrededor de una 
frontera. 
• Método de la integral doble: Este método consiste en utilizar el teorema de 
Green para convertir una integral doble en una integral simple. 
Conclusiones 
El teorema de Green es una herramienta importante que se utiliza para resolver 
problemas de flujo, circulación y potencial. Se aplica en una gran variedad de 
campos, desde las matemáticas y la física hasta la ingeniería y las ciencias 
naturales. 
Resumen 
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