2C 2017 Claves Recuperatorio Primer parcial Mate

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Material de uso exclusivamente didáctico 
1 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
RECUPERATORIO PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA 
2º Cuatrimestre 2017 (04-12-2017) 
TEMA 1 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
¿Para qué valores de 𝑘 ∈ ℝ el segmento que une los puntos 𝐴 = (−𝑘; 5) y 𝐵 = (−2𝑘; −1) mide 10 unidades de 
longitud? 
 
Respuesta 
Calcular la longitud del segmento que une los puntos 𝐴 y 𝐵 es lo mismo que calcular la distancia entre los entre los puntos 𝐴 y 𝐵. 
Entonces, 
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(−𝑘 − (−2𝑘))
2
+ (5 − (−1))
2
 
𝑑(𝐴, 𝐵) = √𝑘2 + 36 
Debemos hallar los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los cuales la longitud del segmento mide 10 unidades. Esto es lo mismo que pedir que la 
distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 valga 10. 
Luego, 
√𝑘2 + 36 = 10 
𝑘2 + 36 = 100 
𝑘2 = 64 
|𝑘| = √64 ⇔ 𝑘 = 8 ó 𝑘 = −8 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
4𝑥 − 2
3𝑥 + 1
 
Determinar las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales. Verificar mediante el límite correspondiente que 
efectivamente son asíntotas. 
 
Respuesta 
El dominio de la función son todos aquellos valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales el denominador no se anula. 
Entonces 
3𝑥 + 1 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠ −
1
3
 
Luego, el dominio de la función es el conjunto ℝ − {−
1
3
}. 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
RECUPERATORIO PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA 
2º Cuatrimestre 2017 (04-12-2017) 
La recta de ecuación 𝑥 = −
1
3
 es candidata a asíntota vertical. Para decidir si efectivamente es una asíntota vertical debemos analizar 
el límite de la función cuando 𝑥 tiende a −
1
3
. 
Como el numerador de la función no se anula cuando lo evaluamos en 𝑥 = −1/3 (y el denominador sí) tenemos que 
lim
𝑥→−
1
3
 
4𝑥 − 2
3𝑥 + 1
= ∞ 
Entonces, 𝑥 = −
1
3
 es asíntota vertical. 
Para estudiar la existencia de asíntotas horizontales debemos analizar que le sucede a la función cuando 𝑥 tiende a ∞. 
lim
𝑥→∞
 
4𝑥 − 2
3𝑥 + 1
= lim
𝑥→∞
 
𝑥 (4 −
2
𝑥
)
𝑥 (3 +
1
𝑥
)
= lim
𝑥→∞
 
(4 −
2
𝑥
)
(3 +
1
𝑥
)
=
4
3
 
Por lo tanto, la recta de ecuación 𝑦 =
4
3
 es asíntota horizontal. 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar la ecuación de la función cuadrática 𝑔(𝑥) cuyo vértice es el punto 𝑉 = (4; 1) y tiene a 𝑥 = 1 como una de sus 
raíces. 
 
Respuesta 
Sabemos que las raíces equidistan de la abscisa del vértice. 
Sabemos que 𝑥 = 1 es raíz de la función cuadrática y que la distancia a la abscisa del vértice es 3. 
Por lo tanto, la otra raíz de la función cuadrática debe ser 𝑥 = 7. 
La función cuadrática la podemos expresar en forma factorizada: 
𝑔(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)(𝑥 − 7). 
Para conocer el valor de 𝑎, evaluamos la función en las coordenadas del vértice: 
1 = 𝑎 ∙ (4 − 1) ∙ (4 − 7) 
1 = 𝑎 ∙ (3) ∙ (−3) 
1 = −9 ∙ 𝑎 
𝑎 = −
1
9
 
Finalmente 𝑔(𝑥) = −
1
9
(𝑥 − 1)(𝑥 − 7). 
 
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
RECUPERATORIO PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA 
2º Cuatrimestre 2017 (04-12-2017) 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) ≤ 0} 
siendo 
𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥 + 14
 
 
Respuesta 
Primero debemos hallar la función 𝑓 ∘ 𝑔. 
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(3𝑥 + 1) =
3(3𝑥 + 1)
(3𝑥 + 1) + 14
=
9𝑥 + 3
3𝑥 + 15
 
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) =
9𝑥 + 3
3𝑥 + 15
 
Debemos hallar los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 
9𝑥 + 3
3𝑥 + 15
≤ 0 
Debemos considerar dos situaciones: 
 El numerador mayor o igual a cero “y” el denominador negativo: 
9𝑥 + 3 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ −
1
3
 ⇔ 𝑥 ∈ [−
1
3
; +∞) 
3𝑥 + 15 < 0 ⇔ 𝑥 < −5 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −5) 
El conjunto solución en este caso es: 
 𝑆1 = [−
1
3
; +∞) ∩ (−∞; −5) = ∅ 
 El numerador menor o igual a cero “y” el denominador positivo: 
9𝑥 + 3 ≤ 0 ⇔ 𝑥 ≤ −
1
3
 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −
1
3
] 
3𝑥 + 15 > 0 ⇔ 𝑥 > −5 ⇔ 𝑥 ∈ (−5; +∞) 
El conjunto solución en este caso es: 
 𝑆2 = (−∞; −
1
3
] ∩ (−5; +∞) = (−5; −
1
3
] 
Entonces, 
𝐴 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 = (−5; −
1
3
]
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
RECUPERATORIO PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA 
2º Cuatrimestre 2017 (04-12-2017) 
TEMA 2 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar la ecuación de la función cuadrática 𝑓(𝑥) cuyo vértice es el punto 𝑉 = (4; 5) y tiene a 𝑥 = 2 como una de sus 
raíces. 
 
Respuesta 
Sabemos que las raíces equidistan de la abscisa del vértice. 
Sabemos que 𝑥 = 2 es raíz de la función cuadrática y que la distancia a la abscisa del vértice es 2. 
Por lo tanto, la otra raíz de la función cuadrática debe ser 𝑥 = 6. 
La función cuadrática la podemos expresar en forma factorizada: 
𝑔(𝑥) = 𝑎 ∙ (𝑥 − 2)(𝑥 − 6). 
Para conocer el valor de 𝑎, evaluamos la función en las coordenadas del vértice: 
5 = 𝑎 ∙ (4 − 2) ∙ (4 − 6) 
5 = 𝑎 ∙ (2) ∙ (−2) 
5 = −4 ∙ 𝑎 
𝑎 = −
5
4
 
Finalmente 𝑔(𝑥) = −
5
4
(𝑥 − 2)(𝑥 − 6). 
 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dada la función 
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 1
4𝑥 − 2
 
Determinar las ecuaciones de sus asíntotas verticales y horizontales. Verificar mediante el límite correspondiente que 
efectivamente son asíntotas. 
 
Respuesta 
El dominio de la función son todos aquellos valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales el denominador no se anula. 
Entonces 
4𝑥 − 2 ≠ 0 ⇔ 𝑥 ≠
1
2
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
RECUPERATORIO PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA 
2º Cuatrimestre 2017 (04-12-2017) 
Luego, el dominio de la función es el conjunto ℝ − {
1
2
}. 
La recta de ecuación 𝑥 =
1
2
 es candidata a asíntota vertical. Para decidir si efectivamente es una asíntota vertical debemos analizar el 
límite de la función cuando 𝑥 tiende a 
1
2
. 
Como el numerador de la función no se anula cuando lo evaluamos en 𝑥 =
1
2
 (y el denominador sí) tenemos que 
lim
𝑥→
1
2
 
3𝑥 + 1
4𝑥 − 2
= ∞ 
Entonces, 𝑥 =
1
2
 es asíntota vertical. 
Para estudiar la existencia de asíntotas horizontales debemos analizar que le sucede a la función cuando 𝑥tiende a ∞. 
lim
𝑥→∞
 
3𝑥 + 1
4𝑥 − 2
= lim
𝑥→∞
 
𝑥 (3 +
1
𝑥
)
𝑥 (4 −
2
𝑥
)
= lim
𝑥→∞
 
(3 +
1
𝑥
)
(4 −
2
𝑥
)
=
3
4
 
Por lo tanto, la recta de ecuación 𝑦 =
3
4
 es asíntota horizontal. 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
¿Para qué valores de 𝑚 ∈ ℝ el segmento que une los puntos 𝐴 = (−3; 𝑚) y 𝐵 = (0; 2𝑚) mide 5 unidades de longitud? 
 
Respuesta 
Calcular la longitud del segmento que une los puntos 𝐴 y 𝐵 es lo mismo que calcular la distancia entre los entre los puntos 𝐴 y 𝐵. 
Entonces, 
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(−3 − 0)2 + (𝑚 − (2𝑚))
2
 
𝑑(𝐴, 𝐵) = √9 + 𝑚2 
Debemos hallar los valores de 𝑚 ∈ ℝ para los cuales la longitud del segmento mide 5 unidades. Esto es lo mismo que pedir que la 
distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 valga 5. 
Luego, 
√9 + 𝑚2 = 5 
9 + 𝑚2 = 25 
𝑚2 = 16 
|𝑚| = √16 ⇔ 𝑚 = 4 ó 𝑚 = −4 
 
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
RECUPERATORIO PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA 
2º Cuatrimestre 2017 (04-12-2017) 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) ≥ 0} 
siendo 
𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥 + 14
 
 
Respuesta 
Primero debemos hallar la función 𝑓 ∘ 𝑔. 
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(3𝑥 + 1) =
3(3𝑥 + 1)
(3𝑥 + 1) + 14
=
9𝑥 + 3
3𝑥 + 15
 
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) =
9𝑥 + 3
3𝑥 + 15
 
Debemos hallar los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 
9𝑥 + 3
3𝑥 + 15
≥ 0 
 
Debemos considerar dos situaciones: 
 El numerador mayor o igual a cero “y” el denominador positivo: 
9𝑥 + 3 ≥ 0 ⇔ 𝑥 ≥ −
1
3
 ⇔ 𝑥 ∈ [−
1
3
; +∞) 
3𝑥 + 15 > 0 ⇔ 𝑥 > −5 ⇔ 𝑥 ∈ (−5; +∞) 
El conjunto solución en este caso es: 
 𝑆1 = [−
1
3
; +∞) ∩ (−5; +∞) = [−
1
3
; +∞) 
 El numerador menor o igual a cero “y” el denominador negativo: 
9𝑥 + 3 ≤ 0 ⇔ 𝑥 ≤ −
1
3
 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −
1
3
] 
3𝑥 + 15 < 0 ⇔ 𝑥 < −5 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −5) 
El conjunto solución en este caso es: 
 𝑆2 = (−∞; −
1
3
] ∩ (−∞; −5) = (−∞; −5) 
Entonces, 
𝐴 = 𝑆1 ∪ 𝑆2 = [−
1
3
; +∞) ∪ (−∞; −5)
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
RECUPERATORIO PRIMER PARCIAL MATEMÁTICA 
2º Cuatrimestre 2017 (04-12-2017)