CLASE 10 - Unidad 5 - Segunda Parte

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UNIDAD 5
Segunda Parte
Sobre una media cuando se conoce la desviación estándar 
poblacional
Sobre una media cuando la desviación estándar poblacional es 
desconocida
Sobre una proporción
Sobre la diferencia de medias de muestras independientes
Sobre la media de la diferencia de datos pareados
Sobre la Independencia de dos variables cualitativas
La lógica de todas las pruebas de hipótesis es la
misma. Ahora veremos los aspectos particulares de
algunas de ellas.
Lo que cambia es el estadístico de prueba y su
distribución de probabilidades bajo H0 dependiendo de
sobre qué parámetros se formulan las hipótesis, los
supuestos sobre las variables que intervienen, el diseño
de la experiencia y el tamaño de muestra.
X = Variable sobre cuya población de valores se realizarán las inferencias.
Denotamos con m = E(X) y s = DS(X); esto es, respectivamente, la media
y la desviación estándar de la población de todos los valores de X.
Supuestos: Se necesitará suponer que X se distribuye normalmente
cuando el tamaño de muestra sea pequeño (típicamente n < 30) para que
se pueda conocer la distribución de probabilidades del estadístico de
prueba y hallar los valores críticos de la zona de rechazo o calcular el
valor p.
Hipótesis
H0: m = m0
H1: la que corresponda a cada problema (m < m0 , m > m0 o m  m0).
El estadístico de prueba es ത𝑋 porque es el estimador del parámetro m
sobre el cual se están formulando las hipótesis.
ത𝑋
La distribución de ത𝑋 será exacta o aproximada dependiendo de los
supuestos sobre la distribución de X.
Si X es normal, ത𝑋 es exactamente normal ( ത𝑋  N).
Si no se especifica la distribución de X, se sabe por el Teorema
Central del Límite que ത𝑋 es aproximadamente normal ( ത𝑋  N) si n es
suficientemente grande (digamos n > 30).
Ya se han visto en las clases anteriores los parámetros de ത𝑋: la
misma media de X y la n - ésima parte de su varianza.
Resumiendo:
X  N(m,s)  ഥ𝑿  N(m,
𝝈
𝒏
)
X  ? (m,s) y n ≥ 30  ഥ𝑿  N(m,
𝝈
𝒏
) por el Teorema Central del Límite.
De modo que si el tamaño de muestra es pequeño y se desconoce
la distribución de X, también se desconoce la distribución de ത𝑋.
ത𝑋
En cualquiera de los dos casos antedichos se 
utilizará la distribución Normal del estadístico de prueba 
para determinar la zona de rechazo o valor p.
ഥ𝑿  N(m0,
𝝈
𝒏
)
Una manera alternativa de presentar el estadístico
de prueba es con la media estandarizada. Esto era lo
habitual cuando no se disponía de las aplicaciones;
aunque ya no es necesario, es común verlo aún en la
bibliografía:
ഥ𝑿−𝝁𝟎
𝝈
𝒏
 N(0,1)
Los puntajes en el Early Numeracy Test revised
(ENT-r) se distribuyen normalmente con una media de 19
y una desviación estándar de 6 entre los niños españoles
de 5 años. Se quiere verificar si estos baremos también
corresponden a los niños argentinos de la misma edad de
Sta. Fe. Para ello se toma una muestra aleatoria de 300
niños. La distribución de frecuencias observada permite
sostener el supuesto de que los datos provienen de una
distribución con la misma desviación estándar de la
población española. La media observada fue 19,4.
¿Puede sostenerse con un nivel de significación del 10%
que no hay diferencias entre la media de los niños de la
ciudad de Sta. Fe y los españoles?
RESOLUCIÓN
1) Mencionar la/s variable/s de interés en la población respecto de
la cual se desea hacer inferencia estadística y explicitar los
supuestos mínimos necesarios (si los hubiere) para llevar a cabo la
prueba.
X = Puntaje en el ENT-r de los niños de 5 años de la ciudad de Sta. Fe.
Supuesto: s = 6
2) Plantear las hipótesis por contrastar
H0: m = 19 No difieren en promedio de la población española.
H1: m  19 Difieren en promedio de la población española.
3) Elegir un nivel de significación
a = 0,10
4) Indicar el estadístico de prueba adecuado y explicitar su distribución
bajo la hipótesis nula.
ത𝑋 ≈ 𝑁 19,
6
300
= 𝑁(19; 0,3464)
por el Teorema Central del Límite ya que la muestra es 
suficientemente grande.
Bajo H0
5) Determinar la zona de rechazo de H0 y establecer la regla de
decisión
Como la hipótesis alternativa postula que m  19, se
rechazaría H0 si la media muestral tomara valores
suficientemente inferiores a 19 o suficientemente superiores a
19; es decir es un test bilateral.
Por tanto, la Zona de rechazo, para un nivel de
significación de 0,10 está dada por todos los valores menores
que el percentil 5 o mayores que el percentil 95 de la
distribución normal con media 19 y desviación estándar
0,3464. Es decir, el nivel de significación 0,10 está repartido
en dos colas con la mitad de la probabilidad: 0,05. Los valores
críticos los obtenemos utilizando la aplicación, entrando dos
veces, una para cada percentil.
Se rechazará H0 si y sólo si el valor observado de la media
muestral es inferior a 18,43022 o superior a 19,56978
Zona de rechazo bilateral
6) Calcular el valor observado del estadístico de prueba
En este caso el valor observado de la media es un dato directo del
enunciado del problema; en la realidad cuando se trabaja con una base de
datos hay que calcular la media, usualmente lo hace el mismo programa.
ҧ𝑥 = 19,4
7) Tomar la decisión
Como 18,43022 <19,4 < 19,56978 no se rechaza H0 al 10%.
8) Dar una conclusión en términos del problema planteado
Se concluye que no hay evidencias al 10% de que los niños
de 5 años de la ciudad de Sta. Fe difieran de los de la población
española (la diferencia de 4 décimas que puntuaron por encima de
la media no es estadísticamente significativa).
Como el test es bilateral hay que considerar la
probabilidad de “la cola más corta” y multiplicarla por 2
para comparar con el nivel de significación que está
repartido en dos colas.
En este caso, como el valor observado (19,4) fue
mayor a la media bajo H0 (19), la “cola más corta” es la
probabilidad a derecha de 19,4.
Valor p = 2𝑃 ത𝑋 > 19,4  m = 19 = 2x0,1241 = 0,2482
De haber tomado la decisión sobre la base del valor p
se habría dicho: “Como 0,2482 > 0,10 no se rechaza H0”.
La desviación estándar poblacional, en la práctica, suele
ser desconocida como ocurre con todos los parámetros
poblacionales. Cuando se dice “s conocida”, generalmente debe
entenderse en alguno de estos dos sentidos:
1) Hay un supuesto sobre s que se ha probado previamente. En
nuestro ejemplo el supuesto fue que la desviación estándar de los
niños santafecinos era la misma que la de los españoles. Este
supuesto constituye a su vez una hipótesis estadística (H0: s = 6)
que puede ponerse a prueba y rechazarse o no según cómo sea la
desviación estándar muestral. Esa prueba no está dentro de los
temas de este curso.
2) Se le atribuye a s un valor que surge de estimaciones a partir de
datos preliminares, históricos, y no de la misma muestra que se
utilizará para inferir sobre m.
Lo más común es realizar el test que se verá a
continuación con s desconocida.
Como el estadístico ഥ𝑿  N(m0 ,
𝝈
𝒏
) bajo H0, si s es
desconocida faltaría información para hallar los puntos críticos o
para calcular el valor p. Entonces se necesita estimarla a través
de la desviación estándar S proveniente de la misma muestra
que se utiliza para estimar m. Es decir, que se utiliza la muestra
para estimar conjuntamente a m y a s. Pero esto agrega
variabilidad al estadístico que puede hacer modificar su
distribución.
En este caso, sí se necesita estandarizar ഥ𝑿 y estimar su
error estándar reemplazando s por S.
De modo que el estadístico que se utilizará es 
ഥ𝑿−𝝁𝟎
𝑺
𝒏
.
ത𝑋−𝜇0
𝑆
𝑛
Su distribución depende de si se supone o no que
X es normal y, según esto, del tamaño de muestra.
El denominador
𝑆
𝑛
de
ത𝑋−𝜇0
𝑆
𝑛
se denomina error
estándar del estimador y en las salidas computacionales
en inglés se denota como SE (Standard Error) .
Si X es normal, el estadístico tiene distribución
exacta t de Student con n-1 grados de libertad y por eso
se lo denomina con t.
𝑡 =
ത𝑋−𝜇0𝑆
𝑛
~𝑡𝑛−1
ത𝑋−𝜇0
𝑆
𝑛
Este supuesto de normalidad de X se hace indispensable
si la muestra es pequeña (n < 30), ya que una muestra pequeña
da poca información y no sería posible conocer la distribución del
estadístico si no se conociera la de X. Si n es grande, aunque se
desconociera la distribución de X, el estadístico se distribuye de
manera aproximadamente normal estándar (Teorema de Slutzky).
Por otra parte, cuando n es grande la distribución t de
Student es similar a la normal y lleva prácticamente a los mismos
resultados. Por esa razón es que suele usarse la distribución t en
los softwares (t-test), sea por el supuesto de normalidad de la
variable X, sea porque cuando n es grande es similar a la normal.
Se prefiere evitar supuestos si no es imprescindible
hacerlos. Si se hacen, habría que chequearlos. El supuesto de
normalidad puede chequearse mediante un diagrama de tallo-
hoja, de caja y bigotes, y utilizando los índices de asimetría y
curtosis, entre otros modos.
ത𝑋−𝜇0
𝑆
𝑛
Resumiendo
ത𝑋 − 𝜇0
𝑆
𝑛
 tn-1 si X es Normal.
 N(0,1) si n grande (n > 30).
Ver el artículo de Novo, M. et al (2019). Evaluación de los
efectos de un programa educativo en los problemas de salud
mental en padres separados. Psicothema 2019,31,3, 284-
291.
Los investigadores compararon los puntajes del Brief
Symptom Inventory (BSI) de un grupo de padres separados
que asistieron al programa “Ruptura de pareja, no de familia”
con las medias en el grupo normativo. Tomaremos como
ejemplo el total de síntomas positivos (PST), para el que
hemos simulado los datos. La hipótesis implícita es que, en
promedio, puntúan más alto que la media del grupo normativo
(11,45). Se evaluó con el BSI a 116 progenitores participantes
del programa.
Realizar el test de hipótesis correspondiente, al 1% de
significación, de modo manual y con Statistix. Calcule el valor
p y el tamaño del efecto.
4
42
6
13
21
19
42
15
31
53
21
39
18
31
5
22
26
31
38
Los 116 datos se muestran a continuación y fueron cargados en Statistix.
23
20
29
5
21
16
28
34
26
26
29
12
27
2
3
46
38
28
9
19
17
18
20
10
11
12
29
41
6
23
14
28
35
15
23
51
6
28
16
29
14
7
30
42
50
28
19
18
45
46
13
14
4
27
34
27
16
21
16
1
23
34
19
8
31
24
24
17
35
20
42
20
47
35
49
38
10
15
21
34
23
27
24
22
11
23
25
25
21
30
22
14
22
40
34
15
16
1) X = Puntaje del total de síntomas positivos PST del BSI de los
padres separados que asisten al programa “Ruptura de pareja, no
de familia”.
2) H0: m = 11,45
H1: m > 11,45
3) a = 0,01
4) 𝑍 =
ത𝑋−11,45
𝑆
116
𝑁(0,1) bajo H0 (por el Teorema de Slutzky, ya
que n es grande.
5) Como es un test unilateral a derecha, el valor crítico es el
percentil 99 de la distribución normal estándar (deja una
probabilidad 0,01 a derecha. Éste es: 2,32635. Luego, se rechaza
H0 si y sólo si el valor observado de Z (Zobs) supera a dicho valor.
6) Para el cálculo del Zobs hay que computar la media y la desviación
estándar de los 116 datos. Lo hacemos con Statistix.
ҧ𝑥 = 23,81 𝑦 𝑠 = 11,9012. Estos valores se reemplazan en el estadístico
y se obtiene:
𝑍𝑜𝑏𝑠 =
23,81−11,45
11,9012
116
= 11,1855
7) Como 11,1855 > 2,32635 se rechaza H0.
8) Se concluye que, en promedio, los padres que asisten al programa
puntúan más alto en PST que la población general.
El valor p es prácticamente nulo, ya que 11 es un valor que
excede en mucho los 3 desvíos estándar por encima de la media,
donde se acumula casi toda la probabilidad en una distribución normal.
Tamaño del Efecto
d de Cohen:
23,81−11,45
11,9012
= 1,04  Efecto grande. Hay una diferencia
relevante con respecto a la población normativa.
1) X = Puntaje del total de síntomas positivos PST del BSI de los
padres separados que asisten al programa Ruptura de pareja, no de
familia.
2) H0: m = 11,45
H1: m > 11,45
3) a = 0,01
4) El programa utiliza la distribución t en lugar de la normal, dado
que cuando el tamaño de muestra es grande, son muy similares.
Entonces considera: 𝑡 =
ത𝑋−11,45
𝑆
116
~𝑡116−1 bajo H0.
Media muestral
observada: ҧ𝑥
Valor t observado Valor pGrados
de 
libertad
5)
6) Como 0,0000 < 0,01 se rechaza H0.
7) Conclusión. Los progenitores que asisten al programa puntúan en promedio por
encima de la media del grupo normativo en PST.
Obsérvese que el valor p dio igual con la distribución normal (al hacerlo
manualmente) que con la distribución t.
Los datos fueron simulados, inspirados en el artículo. A
continuación se muestran los resultados verdaderos de los T-test que los
autores reportaron para las distintas dimensiones del BSI. Se resalta la
última línea, correspondiente al PST.
La probabilidad 𝑝 de que un suceso ocurra (éxito) modeliza la proporción de
casos favorables a ese suceso en la población.
Por ejemplo, si se elige un enfermero al azar del sistema de salud de CABA la
probabilidad p de que tenga el síndrome de Burnout corresponde a la proporción p de
enfermeros de CABA que tienen dicho síndrome. Un valor p = 0,15 indica, tanto que hay
una probabilidad 0,15 de que al elegir un enfermero al azar del sistema de salud de CABA
tenga el síndrome de Burnout como que 15 de cada 100 (15/100, en términos porcentuales
15%) de los enfermeros en dicha población, tienen el síndrome.
Otro ejemplo más simple es si se extrae al azar una bolilla de un bolillero
donde hay 6 bolillas rojas y 4 azules. La probabilidad de que salga una bolilla roja es
p = 6/10 = 0,6, que corresponde a la proporción de bolillas rojas en el bolillero.
Utilizamos la palabra “proporción” por su amplia difusión en la bibliografía
estadística aunque lo correcto sería decir “razón”, ya que proporción es una igualdad
entre dos razones (p. ej. 5/10 = 1/2; esa igualdad es una proporción mientras que
5/10 o 1/2 son razones).
෡𝑷
Al ser la probabilidad una característica poblacional, es
un parámetro usualmente desconocido que se lo estima por la
correspondiente proporción muestral o frecuencia relativa
muestral. Es decir, se toma una muestra aleatoria de tamaño n,
se cuenta la cantidad de casos favorables al suceso en cuestión
y se lo divide por n.
Como todo estimador, es un estadístico; una variable
cuyos valores dependen de la muestra que salga sorteada. Se lo
denotará con ෠𝑃 (estimador de p).
෡𝑷
La proporción muestral se obtiene a partir de una variable Y que
cuenta la cantidad de veces que ocurre el suceso de interés en la
muestra de tamaño n. Es decir ෠𝑃=
Y
n
Esta variable Y tiene distribución binomial de parámetros (n, 𝑝).
donde n indica el número de ensayos y 𝑝 indica la probabilidad de
éxito de la variable Bernoulli subyacente a la variable Binomial Y, 𝑝
coincide con la proporción de ocurrencia del suceso en la población.
De acuerdo con lo estudiado acerca de la variables con
distribución binomial, si Y ~ B (n; 𝑝) entonces E(Y) = 𝜇𝑌 = n𝑝 y
DS(Y) = 𝜎𝑌 = n𝑝(1 − 𝑝).
Por tanto, para el estimador proporción muestral ෠𝑃= 
Y
n
, vale 
que sus parámetros son : 
E ( ෠𝑃) = 𝜇 ෠𝑃 = 𝑝 y DS( ෠𝑃) = 𝜎 ෠𝑃 =
𝑝(1−𝑝)
n
Para tamaños de muestras grandes, n  ∞ y para variables
binomiales aproximadamente simétricas, condiciones que pueden
sintetizarse como np ≥ 5 y n(1-𝑝) ≥ 5, se puede aproximar la
distribución binomial por la distribución normal con estos mismos
parámetros, es decir, que para la proporción muestral ෠𝑃 puede
afirmarse que:
෠𝑃  𝑁(𝑝 ; 
𝑝(1−𝑝)
n
) 
෡𝑷
Dicho de otra forma, el Teorema Central del Límite asegura que
a medida que n aumenta las probabilidades obtenidas según el modelo
binomial para la variable ෠𝑃 con sus parámetros más se asemejan a las
obtenidas según el modelo normal con esos mismos parámetros.
Es usual estandarizar al estimador ෠𝑃 ≈ 𝑁(𝑝 ;
𝑝(1−𝑝)
n
) según la
transformación Z =
෠𝑃− 𝜇෡𝑃
𝜎෡𝑃
donde Z es ~ 𝑁(0;1) y reemplazando por la
expresión de sus parámetros se tiene: Z =
෠𝑃−𝑝𝑝(1−𝑝)
n
que es la expresión
de la distribución muestral de la proporción estandarizada.
Valores de ෠𝑃𝜇 ෠𝑃= 𝑝
𝜎 ෠𝑃
෡𝑷
X = Variable Bernoulli sobre cuyo parámetro p se desea inferir.
Hipótesis
H0: p = p0
H1: la que corresponda a cada problema (p < p0 , p > p0 o p  p0).
El estadístico de prueba es ෠𝑃 porque es el estimador del
parámetro p sobre el cual se están formulando las hipótesis.
Su distribución aproximada, bajo H0 es, según se ha visto:
෠𝑃 ≈ 𝑁(𝑝0 ; 
𝑝
0
(1−𝑝
0
)
n
) 
Para que esta aproximación sea suficientemente buena se debe
verificar que n𝑝0 ≥ 5 y n(1-𝑝0) ≥ 5. Utilizando esta distribución se
procede determinando la zona de rechazo o cálculo del valor p para
tomar la decisión como en cualquier otra prueba de hipótesis.
En Rev. Hosp. Ital. B.Aires 2015; 35(1): 9-13, Bonavita, G. Et al.
reportan una proporción de 16,7 % de quinesiólogos del Hospital Italiano con
niveles altos agotamiento (puntajes mayores a 26 en el Maslach Burnout
Inventory-HSS). Afirman textualmente: La baja tasa de Síndrome de Burnout
(SBO) contrasta fuertemente con los resultados encontrados en
publicaciones internacionales, las cuales hallaron niveles de SBO intenso
hasta 5 veces superiores a las informadas en nuestra investigación.
El cuestionario fue respondido por una muestra de 60 kinesiólogos,
10 de los cuales obtuvieron puntajes mayores a 26 en la escala de
agotamiento emocional.
Por otra parte, los baremos del Maslach Burnout Inventory-HSS en su
adaptación española de Granada indican un 35% de enfermeros de la
población española con puntaje superior a 26.
Con fines didácticos imaginaremos que esta muestra de 60 fue
extraída al azar de una población mucho mayor de quinesiólogos similares a
los del Hospital Italiano. Probar que la proporción de quinesiólogos con altos
niveles de SBO hallada en el estudio local es significativamente menor, con
un nivel del 1%, a la hallada entre enfermeros españoles. Calcular valor p y
tamaño del efecto.
X = Condición de tener altos niveles de agotamiento emocional (1) o no
tenerlo (0) en quinesiólogos del Hospital Italiano y similares.
X B(p) 
donde p representa la probabilidad o proporción local de quinesiólogos que
tienen altos niveles de agotamiento emocional según el Maslach Burnout
Inventory-HSS.
H0: p = 0,35 La proporción local es Igual a la de los enfermeros españoles.
H1: p < 0,35 La proporción local es menor a la de los enfermeros españoles.
a = 0,01
Verifiquemos las condiciones de simetría aproximada. 
60x0,35 = 21 > 5 y 60x(1-0,35) = 39 > 5. Se cumplen, luego:
෠𝑃 ≈ 𝑁(0,35 ; 
0,35(1−0,35)
60
) = 𝑁(0,35 ; 0,06158) bajo H0. 
Siendo una prueba unilateral a izquierda, buscamos el valor
crítico en la distribución normal con los parámetros indicados, que
corresponden al percentil 1 de la distribución (probabilidad 0,01 a
izquierda). Se obtiene así: 0,20674.
Se rechaza H0 si y sólo si en la muestra de 60 se observara un
valor de ෠𝑃< 0,20674 (es decir, menos de un 20,67% de kinesiólogos con
alto agotamiento emocional).
Ƹ𝑝 = 10/60  0,1667
Como 0,1667 < 0,20674 se rechaza H0.
Se concluye que la proporción observada es significativamente
menor a la de los baremos españoles.
El valor p = P( ෠𝑃 < 0,1667 / p = 0,35) = 0,00146
Tamaño del efecto
𝑑 =
ො𝑝 −𝑝0
ො𝑝(1− ො𝑝)
=
0,1667−0,35
0,1667(1−0,1667)
= 0,4918  Efecto mediano.
Test sobre la proporción de
una población utilizando una
sola muestra.
Datos: Tamaño de muestra
Cantidad de éxitos en la
muestra.
Valor de la proporción postulado
en H0. En este problema es 0,35.
Relación postulada en la
alternativa. En este caso “<“.
Nivel de confianza de la
estimación por intervalos.
Valor p corregido y sin corregir.
El corregido alude a
un mejoramiento en la
aproximación de la binomial
por la normal, llamada
corrección por continuidad,
que no vemos en este curso.
Por eso, manualmente hemos
calculado sin corregir.
En cualquiera de los
dos casos se rechaza H0 por ser
inferior a 0,01.
Es uno de los más usados para comparar dos grupos;
por ejemplo un grupo control con otro experimental.
Cuando se comparan dos grupos que representan dos
poblaciones a través de una variable cuantitativa como, por
ejemplo, el puntaje en un test, y se toma como resumen de
los mismos las medias; entonces se comparan ambas medias
muestrales como representantes de sus correspondientes
medias poblacionales y de allí se concluye si hubo un efecto
del tratamiento, si las poblaciones difieren o no, o en qué
sentido lo hacen.
X1 X2
m1 m2
?
ഥ𝒙1 ഥ𝒙2𝒔1
𝒔2
𝒏1
𝒏2
X1= Valores de la variable en la Población 1
X2= Valores de la variable en la Población 2
n1 y n2 = Tamaños de muestra.
s1 y s2 = Desviaciones Estándar
de las muestras.
s1 s2
X1 X2
m1 m2
?
ഥ𝒙1 ഥ𝒙2
Las poblaciones se comparan a través de la diferencia de sus medias 
m1-m2 que se estiman con ҧ𝑥1 - ҧ𝑥2.
𝒔1
𝒔2
𝒏1
𝒏2
s1 s2
X1 = Valores de la variable en la Población 1
X2 = Valores de la variable en la Población 2
Supuestos: Si n1 y n2 son pequeños se necesita el supuesto de normalidad 
de las variables X1 y X2.
X1 y X2 son independientes. 
Si s1 ys2 son desconocidos, se hace una prueba de hipótesis 
para decidir si son o no iguales y se procede acorde.
H0: m1 = m2  m1 - m2 = 0  m2 – m1 = 0
H1: la que corresponda al problema: m1 < m2 , m1 > m2 o m1  m2
equivalentemente a m1-m2<0, m1-m2>0 o m1-m2  0
El estadístico de prueba es la diferencia de medias
muestrales (en el mismo sentido en que se haya planteado la
diferencia en las hipótesis) estandarizada bajo H0. Se divide la
diferencia de las medias muestrales por el error estándar
(desviación estándar) de dicha diferencia: 𝑆 ത𝑋1− ത𝑋2
𝑆 ത𝑋1− ത𝑋2será de una manera u otra según se sostenga o no
el supuesto de igualdad de varianzas. No lo explicitaremos según
el caso ni detallaremos su deducción porque resolveremos esta
prueba de hipótesis con Statistix y analizaremos la salida
computacional.
Estadístico
ത𝑋1 − ത𝑋2 − (m1 − m2)0
𝑆 ത𝑋1− ത𝑋2
El valor de la diferencia de parámetros postulado
en H0. Típicamente ese valor es cero (no hay
diferencia entre las poblaciones. Pero también
podrían plantearse otras situaciones en H0. En
este curso sólo abordaremos H0: m1 - m2 = 0
La distribución del estadístico depende de los supuestos y
tamaños de muestra.
Hay una variedad de situaciones que no contemplaremos en
este curso. Nos remitiremos a lo más común, que es el test t a través
de un software. Los grados de libertad también dependen de cada
situación.
Si los tamaños de muestra son pequeños, se necesita el
supuesto de normalidad y en entonces habría que chequearlo.
Resumiendo, utilizaremos que
Estadístico
ത𝑋1− ത𝑋2
𝑆ഥ𝑋1−ഥ𝑋2
 tn donde los grados de libertad n dependen de los
supuestos y tamaños muestrales que no detallaremos aquí.
Se administró la escala del Síndrome de Dependencia de
la Nicotina (NDSS) en una muestra de 41 fumadores que
demandaron tratamiento para dejar de fumar en una Unidad de
Tabaquismo de la Universidad de Santiago de Compostela, entre
marzo de 2007 y noviembre de 2008. También se les administró
el Cuestionario de Screening de Episodios de Depresión Mayor
(MDE; Muñoz, 1998) y se los clasificó en aquellos que habían
tenido algún episodio en el pasado (16) y los que no (25). Los
puntajes (ficticios) en el NDSS para cada grupo fueron cargados
en la base de Sx. Probar que el promedio obtenido para el grupo
que respondió haber tenido episodios de depresión es
significativamente mayor que para el resto. Utilizar un nivel de
significación del 5%. Calcular el tamaño del efecto.
X1 = Puntaje en la escala NDSS de los fumadores que tuvieron algún episodio
de depresión.
X2 = Puntaje en la escala NDSS de los fumadores que no tuvieron episodios de
depresión.
Ambos casos están referidos a quienes solicitaron tratamiento en la unidad
de tabaquismo de Santiago de Compostela entremarzo de 2007 y noviembre
de 2008.
Supuestos: Como las muestras son pequeñas se necesita el supuesto de
normalidad de X1 y X2: X1  N(m1 , s1) y X2  N(m2 , s2).
H0: m1 = m2 ⇔ m1 – m2 = 0
H1: m1 > m2 ⇔ m1 – m2 > 0
a = 0,05
t =
ത𝑋1− ത𝑋2
𝑆ഥ𝑋1−ഥ𝑋2
 tn bajo H0.
En este problema la 
diferencia se contrasta 
contra cero.
Diferencia mayor 
que cero, acorde 
con la alternativa 
planteada.
Mirar primero para
decidir si se sostiene o
se rechaza al 10% el
supuesto de s1 = s2 .
Para concluir sobre la
media, se mira esta línea
porque se rechazó la
igualdad de varianzas; si
no, se miraría la de arriba.
1
2
La tabla presenta las medias, desvíos estándar y errores
estándar de cada muestra y la diferencia entre la mismas.
Luego se hallan los resultados para la prueba de hipótesis
sobre la diferencia de medias bajo el supuesto de que las varianzas
poblacionales sean iguales y también bajo el supuesto de que sean
diferentes; es decir, se contemplan las dos posibilidades.
La salida proporciona abajo el test de hipótesis sobre la
igualdad de varianzas (H0: s1 = s2). Si no se rechaza la H0, entonces
hay que remitirse al test de “Equal Variances” para decidir sobre
las medias; de lo contrario a la línea de abajo “Unequal
Variances”. Para la prueba de hipótesis sobre igualdad de varianzas
se sugiere considerar un nivel de significación de 0,10 porque, en
caso de no rechazarse H0, se tendría mayor potencia.
Como 0,0020 < 0,10 se rechaza la igualdad de
varianzas. Por tanto, vamos a ver el test sobre la diferencia
de medias en la línea “Unequal Variances”.
Como el valor p = 0,0185 < 0,05 se rechaza la
igualdad de las medias en pos de la alternativa que postulaba
que la media en la población de los que habían tenido algún
episodio depresivo era mayor que en la otra población.
Conclusión: la media del puntaje en la escala NDSS
que se observó en los fumadores que dijeron haber tenido un
episodio de depresión mayor fue significativamente mayor
que en el otro grupo.
𝑔 =
ҧ𝑥1 − ҧ𝑥2
𝑛1 − 1 𝑠1
2 + (𝑛2 − 1)𝑠2
2
𝑛1 + 𝑛2 − 2
𝑔 =
4,8250
16 − 1 4,52952 + (25 − 1)9,59172
16 + 25 − 2
= 0,6
Reemplazamos en la fórmula buscando los componentes en la salida
ҧ𝑥1 − ҧ𝑥2
s1
s2
Es un tamaño de efecto mediano.
Como las muestras eran pequeñas, se necesitó
suponer la normalidad de las variables. El aspecto más
importante es la simetría. Los tests de hipótesis resisten
apartamientos moderados del supuesto de normalidad; se
dice que son “robustos” a la falta de normalidad pero al
menos se necesita que la distribución no sea demasiado
asimétrica. Para chequear este supuesto pueden utilizarse
medidas descriptivas como los índices de asimetría y
curtosis, los diagramas de tallo-hoja y de caja y bigotes.
También existen tests de hipótesis sobre la normalidad.
En este ejercicio utilizaremos los diagramas de caja y
las medidas descriptivas.
Los diagramas de caja muestran bastante simetría. También los índices
de asimetría (skew), aunque las distribuciones de los datos muestrales son más
“chatas” que la normal (menos cúrticas). Sin embargo no se rechaza que los datos
pudieran venir de una población normal (o aproximadamente normal); es decir no
se invalidan los resultados del test de hipótesis.
Los autores trabajaron con una muestra de 241
fumadores pero no indicaron cuántos correspondían a cada
grupo. Informaron textualmente (pág.582):
En relación a haber padecido depresión en el último año, los
que contestan positivamente tienen una puntuación
significativamente superior en las escalas NDSS-T (45.11
frente a 39.23, t= 3.164, p<.01) (…) En relación a haber
padecido depresión alguna vez en la vida ocurre algo
semejante, con mayores puntuaciones los que contestan
afirmativamente en las escalas NDSS-T (42.16 frente a
37.71)
Son pares de valores que corresponden a dos
variables medidas sobre cada individuo. Cada individuo
aporta un par de observaciones.
Hemos visto ejemplos de datos pareados al
presentar el coeficiente de correlación lineal r de Pearson
o al clasificar en una tabla de contingencia a un mismo
individuo según dos criterios de clasificación (p. ej. nivel
de ansiedad y de estrés).
Un ejemplo típico de datos pareados es el de los
puntajes de sujetos antes y después de cierta intervención.
Se analiza el efecto que tiene la Terapia de activación conductal
como tratamiento de ansiedad y depresión en supervivientes de cáncer. Para
ello se consideran los puntajes en la HADS-A: Anxiety subscale of HADS
(Hospital Anxiety and Depression Scale) antes (Pre) y después (Post) de
recibir la terapia.
X1= Puntaje Pre
12
9
14 12
X2= Puntaje Post
10 11
16 16
15 13
m1 m2
10
18
9
16
18
7
10
20
11
7
El primer óvalo de la ilustración representa la población de
individuos sobre los que se desea realizar inferencias. En este
ejemplo se trata de supervivientes de cáncer de cierta localidad de
España. A cada uno de ellos “le correspondería” un puntaje antes y
otro después de la terapia “si la hicieran” y si fueran medidos. Es
decir, no toda la población fue medida pero, potencialmente, cada
uno tiene un par de valores. Con siluetas en negro y flechas
punteadas representamos a los individuos de la población que no
participaron de la experiencia y con color y flechas de trazo entero a
quienes participaron de la experiencia, los que constituyen “la
muestra”.
Los otros óvalos representan las poblaciones hipotéticas de
los puntajes de ansiedad pre y post terapia sobre cuya diferencia se
desea inferir a partir de la muestra correspondiente.
Estas poblaciones son las que se desea comparar a
través de sus medias, los valores de
X1 = Puntaje pre terapia.
X2 = Puntaje post terapia.
Lo que se espera es que, si la terapia es efectiva, los
puntajes en ansiedad disminuyan después de la terapia. La
hipótesis alternativa es m1 – m2 > 0.
Se trata, entonces, de una prueba sobre la diferencia
de medias pero que provienen de datos pareados, no como el
caso anterior, donde las poblaciones eran independientes.
El modo en que se procede es generar una única
población restando dichos valores pareados y considerar la
media de esas diferencias: m1 – m2 = mD donde D = X1 – X2 .
La hipótesis queda reformulada así: mD > 0
X1
12 9
14 12
X2
10 11
16
16
15
13
m1 m2
10
18
9
16
18
7 10
20
D=X1-X2
mD-
12
3
-1
2
0
2
11 7
4
5
Cada persona de la población (haya o no participado de la experiencia) tiene
asignada una diferencia (medida o potencialmente medida) en la población de
diferencias. Interesa saber si, en promedio, esas diferencias son nulas o no
(según las hipótesis de interés).
Generada la población de diferencias, el problema se reduce al
caso ya visto de probar una hipótesis sobre una media (mD) con desviación
estándar desconocida y estimada por SD.
Variable D = X1 - X2
Supuesto D  N(mD,sD)
Hipótesis H0: mD= m0 vs H1: mD < m0 , mD > m0 o mD  m0 
Estadístico t =
ഥ𝐷−𝜇0
𝑆
𝐷
𝑛
 tn-1 bajo H0
Cálculo del valor observado del Estadístico.
Se restan los valores de los pares observados (siempre en el mismo
sentido) y con la muestra de las diferencias se procede a calcular la media
y la desviación estándar.
En el contexto de un estudio para analizar el efecto que
tiene la Terapia de activación conductual como tratamiento de
ansiedad y depresión en supervivientes de cáncer se administró la
Anxiety subscale of HADS a una muestra de 17 personas elegidas
aleatoriamente entre las que se curaron de algún tipo de cáncer
en cierta localidad española. Respondieron el HADS antes y
después de recibir la terapia. Los resultados fueron cargados en la
base Sx. A partir de los mismos, pruebe con un nivel del 1% que la
terapia es efectiva para bajar la ansiedad. Realice el
procedimiento manualmente y verifique los resultados con la
salida de un software.
X1 = Puntaje que tendrían las personas curadas de cáncer si
respondieran a la HADS antes de recibir la terapia.X2 = Puntaje que tendrían las personas curadas de cáncer si
respondieran a la HADS después de recibir la terapia.
D = X1 - X2
Supuesto D  N(mD,sD)
Hipótesis H0: mD= 0 vs H1: mD > 0
Estadístico t =
ഥ𝐷−0
𝑆
𝐷
17
 t17-1 bajo H0
Cálculo del valor observado del Estadístico.
Utilizaremos el Statistix para ayudarnos a calcular la
media y la desviación estándar de las diferencias (puede usarse
EXCEL o cualquier otra aplicación).
tobs=
4,2353−0
3,8492
17
= 4,5367
Valor p = P(t16 > 4,5367 / mD= 0) = 0,00017
Como 0,00017 < 0,01 se rechaza H0. 
Tamaño del Efecto
𝑑 =
ҧ𝑥−𝜇0
𝑠
=
4,2353−0
3,8492
= 1,1  Efecto alto
Conclusión: La terapia de activación conductual es
efectiva para disminuir la ansiedad en personas curadas
de algún tipo de cáncer.
Los valores resaltados coinciden con los hallados en la resolución anterior.
Para estudiar la independencia entre dos variables
cualitativas se dispone de una muestra de datos en una tabla de
contingencia. Las frecuencias relativas conjuntas estiman las
correspondientes probabilidades poblacionales.
Ya se ha visto el modo de calcular el coeficiente c2 a
partir de las discrepancias entre las frecuencias conjuntas
observadas y las teóricas bajo la hipótesis de independencia.
Las hipótesis en este caso no son sobre parámetros sino
sobre las distribuciones de probabilidades (estimadas por las
frecuencias relativas observadas). Bajo la hipótesis de
independencia, las probabilidades conjuntas son el producto de
las marginales. En símbolos:
H0 : pXY = pX pY  X e Y son independientes.
H1 : pXY  pX pY  X e Y están asociadas.
El estadístico es
c2 = σ
𝑖=1
𝑛𝑓 σ
𝑗=1
𝑛𝑐 𝑓
𝑜
𝑖𝑗−𝑓
𝑒
𝑖𝑗
2
𝑓𝑒𝑖𝑗
 cn
2
Donde los grados de libertad n = (nf-1)x(nc-1)
La hipótesis de independencia se mantendrá si el valor
observado de c2 está suficientemente cerca de cero; es decir, si hay
poca discrepancia entre las frecuencias conjuntas observadas y las
que se habrían de observar si las variables fueran independientes.
Pero si su valor excede determinado valor crítico (poco probable), se
rechazará la hipótesis de independencia. Por tanto el test de
Independencia es unilateral a derecha.
a
Se rechaza H0 si y sólo si
c2obs > C
Etapa vital del
paciente 
(antecedente)
Inclusión de la familia 
(consecuente)
Sí No Totales
Niñez 17 8 25
Adolescencia 5 15 20
Adultez 5 35 40
Vejez 13 2 15
Totales 40 60 100
Retomando el ejemplo de la diapositiva 3 de la Clase 6,
donde se estudiaba si la etapa vital del paciente estaba
asociada a su decisión de incluir o no a su familia en el
tratamiento. Realizar la prueba de hipótesis utilizando Sx.
Conclusión: La decisión del terapeuta de incluir o no a la familia está 
asociada a la etapa evolutiva del paciente.
Como el valor p  0 se rechaza H0 (la
independencia) para cualquier nivel de
significación.
Cuando se concluye que hay asociación es de interés
analizar en qué consiste la misma. Para ello es útil examinar
cómo resultaron las frecuencias observadas en relación a las
teóricas.
Vemos que dentro de la columna correspondiente al Sí
(inclusión) en el caso de los niños y de los ancianos fue más
frecuente el incluir a la familia que lo que se habría
esperado si fueran independientes mientras que en los
adolescentes y adultos se dio lo contrario.
Por tanto puede decirse que hay una tendencia a que
el terapeuta incluya a la familia si el paciente es niño o
anciano más que si es adolescente o adulto.
AMDG