INTEGRALES TRIPLES

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INTEGRALES TRIPLES 
Definición por los 4 pasos: 
Sea f una función de tres variables definida sobre una región R cerrada y acotada de 𝑅3. 
Paso 1: 
Se divide o particiona a la región R mediante planos paralelas a los planos coordenados. El 
conjunto de todos los paralelepípedos completamente contenidos en R se llama una partición 
interna P de R. 
 
La norma de la partición P es la longitud de la diagonal más larga de los paralelepípedos de la 
partición y se denota |𝑃| 
Paso 2: 
Las áreas de cada uno de los n rectángulos de la partición interna P están representados por 
∆𝑉1, ∆𝑉2, … , ∆𝑉𝑛 respectivamente. 
A continuación en cada rectángulo se elige un punto arbitrario (𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖) 
Paso 3: 
Se considera la suma de Riemann, es decir se forma la suma de productos 
𝑓(𝜉1, 𝜂1, 𝛾1). ∆𝑉1 + 𝑓(𝜉2, 𝜂2, 𝛾2). ∆𝑉2 + ⋯ + 𝑓(𝜉𝑛, 𝜂𝑛, 𝛾𝑛). ∆𝑉𝑛 = ∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖). ∆𝑉𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Paso 4: 
Se considera el límite de la suma de Riemann cuando ‖𝑃‖ → 0 y 𝑛 → ∞ 
Si este límite existe se define como la integral doble de la función 𝑓(𝑥, 𝑦) en la región R. 
lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝑉𝑖 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
 𝑑𝑉 
 
 
 
Definición: 
Sea f una función de tres variables definida en una región R cerrada y acotada de 𝑅3. La 
integral triple de f sobre R se define 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
 𝑑𝑉 = lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝑉𝑖 𝑠𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
Teorema de evaluación de integrales triples 
Sea 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) una función continua en una región cerrada y acotada R de 𝑅3. Entonces 
a) Si R es tipo 𝑆1,2 y es la gráfica de 𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑔1(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑔2(𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅′} donde 
𝑅′ es la proyección de R sobre el plano 𝑥𝑦, entonces 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝐴 = ∬ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑧
𝑔2(𝑥,𝑦)
𝑔1(𝑥,𝑦)
]
𝑅′
 𝑑𝐴 
 
b) Si R es tipo 𝑆2,3 y es la gráfica de 𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/ℎ1(𝑦. 𝑧) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2(𝑦, 𝑧), (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅′} donde 
𝑅′ es la proyección de R sobre el plano 𝑦𝑧, entonces 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝐴 = ∬ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑥
ℎ2(𝑦,𝑧)
ℎ1(𝑦,𝑧)
]
𝑅′
 𝑑𝐴 
 
 
 
c) Si R es tipo 𝑆2,3 y es la gráfica de 𝑅 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑘1(𝑥. 𝑧) ≤ 𝑦 ≤ 𝑘2(𝑥, 𝑧), (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅′} donde 
𝑅′ es la proyección de R sobre el plano 𝑥𝑧, entonces 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝐴 = ∬ [ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑦
𝑘2(𝑥,𝑧)
𝑘1(𝑥,𝑧)
]
𝑅′
 𝑑𝐴 
 
PROPIEDADES 
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones continuas en una región R cerrada y acotada de 𝑅3 y sea 𝑘 una constante 
entonces: 
1 − ∭ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 = 𝑘. ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 
2 − ∭[𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ± 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)]
𝑅
𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 ± ∭ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 
3 − 𝑆𝑖 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∀(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 ≤ ∭ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 
4 − ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅1
𝑑𝑉 + ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅2
𝑑𝑉, donde R es la unión de dos 
regiones disjuntas 𝑅1 𝑦 𝑅2 (no tienen puntos en común excepto puntos fronteras) 
 
Demostración de la propiedad 1 
∭ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 = lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑘. 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝑉𝑖 
∭ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 = lim
‖𝑃‖→0 
𝑘. ∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝑉𝑖 
 
 
∭ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 = 𝑘. lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖)
𝑛
𝑖=1
. ∆𝑉𝑖 
∭ 𝑘. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 = 𝑘. ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 
 
Demostración de la propiedad 2 
∭[𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ± 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)]
𝑅
𝑑𝑉 = lim
‖𝑃‖→0 
∑[𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖) ± 𝑔(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖)]
𝑛
𝑖=1
. ∆𝑉𝑖 
∭[𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ± 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)]
𝑅
𝑑𝑉 = lim
‖𝑃‖→0 
∑[𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖). ∆𝑉𝑖 ± 𝑔(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖). ∆𝑉𝑖]
𝑛
𝑖=1
 
∭[𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ± 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)]
𝑅
𝑑𝑉 = lim
‖𝑃‖→0 
[∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖). ∆𝑉𝑖
𝑛
𝑖=1
± ∑ 𝑔(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖). ∆𝑉𝑖
𝑛
𝑖=1
] 
∭[𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ± 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)]
𝑅
𝑑𝑉 = lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑓(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖). ∆𝑉𝑖
𝑛
𝑖=1
± lim
‖𝑃‖→0 
∑ 𝑔(𝜉𝑖 , 𝜂𝑖 , 𝛾𝑖). ∆𝑉𝑖
𝑛
𝑖=1
 
∭[𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) ± 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)]
𝑅
𝑑𝑉 = ∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 ± ∭ 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 
 
NOTAS ESPECIALES 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑅
𝑑𝑉 = 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑛𝑎𝑑𝑎, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑟 
ser cero, positivo, negativo. No puedo simetría de región 
 
𝑆𝑖 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∭ 𝑑𝑉
𝑅
= 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖𝑜𝑛 𝑅 
Siempre debe ser positivo. Si puedo simetría de región