LIMITE Y CONTINUIDAD

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LIMITE 
Noción Intuitiva de límite de una función 
Sea una función f definida en un intervalo (c, d) que contiene al número a, excepto 
en a donde la función puede o no existir, entonces cuando escribimos: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝐿 ∈ 𝑅 
L, si existe, es único y finito 
Definición rigurosa 
Sea 𝑓 una función definida en cada número de algún intervalo abierto que 
contiene a “𝑎”, excepto posiblemente en el punto 𝑥 = 𝑎. 
Se dice que el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende al punto 𝑎, existe y se escribe: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿, si y solamente si, para todo ∈> 0, existe un 𝛿 > 0 tal que 
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓(𝑥) − 𝐿| <∈ 
 
Limite lateral izquierdo 
lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿− 𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑑𝑜 ∈> 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 
𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓(𝑥) − 𝐿−| <∈ 
 
 
 
 
 
 
 
Limite lateral izquierdo 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿+ 𝑠𝑖 𝑑𝑎𝑑𝑜 ∈> 0 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝛿 > 0 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 
𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + 𝛿 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑓(𝑥) − 𝐿+| <∈ 
 
 
 
LIMITE EN UN PUNTO 
Condición de existencia: Se dice que existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 si 
𝑖) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) 
𝑖𝑖) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) 
𝑖𝑖𝑖) lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) 
 
 
Si los limites laterales existen pero son distintos, o si por lo menos uno de ellos no 
existe, NO EXITE el límite. 
PROPIEDADES DE LOS LIMITES 
1) lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℜ 5) lim
𝑥→𝑎
[𝑘𝑓(𝑥)] = 𝑘
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
 𝑘 ∈ ℜ 
 
2) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 6)lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
 
 
3) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) . lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 7)lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛 = √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 
 
4) lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
 𝑠𝑖 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0 
 
 
 
 
Asíntota vertical 
Se analiza el límite en los valores que no pertenecen al dominio y debe dar ±∞ 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ±∞ diremos que la recta x = a es una asíntota vertical. 
NOTA: 
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑑 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑒𝑛 (𝑎, 𝑑) 
Asíntota horizontal 
Se analiza el límite en ±∞ y debe dar un número real. 
lim
𝑥→±∞
𝑓(𝑥) = 𝑏 diremos que la recta y = b es una asíntota horizontal. 
 
¿Qué es una indeterminación? 
Es una operación matemática cuyo resultado no está definido. 
0
0
 ; 
∞
∞
 ; 0. ∞ ; 00 ; ∞0 ; 1∞ 
0
0
= 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛, 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 
∞
∞
: 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑥𝑛(𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑦/𝑜 
𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑑𝑜𝑟) 𝑦 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 
𝑎
∞
→ 0 
∞ − ∞: 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 
∞
∞
 
 
 
 
LIMITES NOTABLES O LIMITES FUNDAMENTALES 
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
= 1 , lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 1 , lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)
𝑥
= 𝑒 , lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑔(𝑥)
)
𝑔(𝑥)
= 𝑒 
lim
𝑥→0
(1 + 𝑥)
1
𝑥 = 𝑒 , lim
𝑥→0
(1 + 𝑔(𝑥))
1
𝑔(𝑥) = 𝑒 
 
CONTINUIDAD 
Definición de función continua en un punto 
Una función f es continua en un punto de abscisa “a” si: 
a) ∃ 𝑓(𝑎) 
b) ∃ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
c) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
Definición de función discontinua en un punto 
Una función f es discontinua en un punto de abscisa a (x=a) si no se verifica por lo 
menos una de las tres condiciones de continuidad en un punto. 
Tipos de discontinuidades 
Las discontinuidades se clasifican en: 
1) Evitables cuando existe el límite en el punto: existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). Podemos 
redefinir la función. 
2) No evitables o inevitables cuando no existe el límite: No existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
Pueden presentarse los distintos casos: 
i) Finitas: cuando existen los limites laterales pero no son iguales. 
ii) Infinitas: cuando al menos uno de los limites laterales es +∞ ó − ∞ 
 
 
 
 
Propiedades de funciones continuas 
Teorema 1 
Si f(x) y g(x) son funciones continuas en 𝑥 = 𝑎, también son continuas en a las 
siguientes funciones: 
a) 𝑦 = 𝑘. 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
b) 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 
c) 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 
d) 𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 𝑐𝑜𝑛 𝑔(𝑎) ≠ 0 
e) Si g(x) es continua en 𝑥 = 𝑎 y f(x) es continua en g(a), entonces la función 
compuesta fog es continua en 𝑥 = 𝑎 
Teorema 2 
Las funciones algebraicas enteras (polimoniales) son continuas en el conjunto de 
los números reales. 
Teorema 3 
Las funciones algebraicas fraccionarias son continuas para todo valor de x, excepto 
para aquellos valores que anulas el polinomio denominador. 
Teorema de Bolzano 
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ con 𝑎 < 𝑏 y f una función continua en [𝑎, 𝑏], verificando que 
𝑓(𝑎) < 0 𝑦 𝑓(𝑏) > 0 o (𝑓(𝑎) > 0 𝑦 𝑓(𝑏) < 0). Entonces existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal 
que 𝑓(𝑐) = 0 
 
Teorema del Valor Intermedio 
Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en [𝑎, 𝑏] y 𝑘 un numero cualquiera entre 
𝑓(𝑎) 𝑦 𝑓(𝑏), entonces existe al menos un número 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑐) = 𝑘 
 
 
 
Teorema de Weierstrass 
Toda función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], tiene al menos un máximo y 
mínimo absolutos en [𝑎, 𝑏].