clase transitorios 1

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TRANSITORIO
Bibliografía consultada
•Apuntes de la Cátedra
•Sears- Zemasnky -Tomo II
•Fisica para Ciencia de la Ingeniería, Mckelvey
•Serway- Jewett --Tomo II
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𝒊 = 𝒅𝒒𝒅𝒕
𝑽𝒃 − 𝑽𝒂 = −𝒊(𝒕)𝑹
𝑽𝒃 − 𝑽𝒂 = −𝒒(𝒕)𝒄
𝑽𝒃 − 𝑽𝒂 = 𝜺𝒊 = −𝑳𝒅𝑰𝒅𝒕
i
L
i
TRANSITIO
Hasta ahora consideramos que, o bien las cargas estaban quietas
(electrostática), o se movían con velocidad constante, brindando I estable en el tiempo.
Ahora analizaremos que pasa cuando conectamos desconectamos un circuito. 
Vamos a responder a la pregunta:¿ Cómo evoluciona una corriente
desde cero hasta un valor determinado? Cuánto tiempo toma? Qué sucede con la energía?
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CIRCUITO RC
Primero la llave en el borne a : 
se plantea Kirchhoff recorriendo 
el circuito en el sentido horario
Condiciones iniciales : t=0:
el capacitor descargado q(t=0)=0
De (1) i(t=0)=/R
𝜺 − 𝒒(𝒕)𝑪 − 𝑹𝒅𝒒(𝒕)𝒅𝒕 = 𝟎𝜺𝑪 − 𝒒(𝒕)𝑪𝑹 = 𝒅𝒒(𝒕)𝒅𝒕 𝒅𝒕𝑪𝑹 = 𝒅𝒒(𝒕)𝜺𝑪 − 𝒒(𝒕)
𝐢 = 𝐝𝐪𝐝𝐭(2)𝜺 − 𝒒 𝒕𝑪 − 𝑹𝒊 𝒕 = 𝟎(1)
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𝒒(𝒕) = 𝜺𝑪 𝟏 − 𝒆−𝒕𝑹𝑪 = 𝑸 𝟏 − 𝒆−𝒕𝑹𝑪
𝝉 =RC𝒊(𝒕) = 𝒅𝒒𝒅𝒕 = 𝜺𝑹𝒆−𝒕𝑹𝑪
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Energía almacenada en el C cuando i=0
U= ½ Q= ½ C2
Energía entregada por la Batería U=Q
Energía entregada a la resistencia es U= ½ Q
𝒒(𝒕) = 𝜺𝑪 𝟏 − 𝒆−𝒕𝑹𝑪 = 𝑸 𝟏 − 𝒆−𝒕𝑹𝑪
𝒊(𝒕) = 𝒅𝒒𝒅𝒕 = 𝜺𝑹 𝒆−𝒕𝑹𝑪
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Descarga de un capacitor
La llave en el borne b: se plantea Kirchhoff 
recorriendo el circuito en el sentido horario
−𝒒(𝒕)𝑪 − 𝑹𝒊(𝒕) = 𝟎
Condiciones iniciales : t=0: el capacitor cargado q(t=0)=Q𝒒(𝒕) = 𝑸𝒆−𝒕𝑹𝑪
𝒊(𝒕) = 𝒅𝒒𝒅𝒕 = 𝑸𝑹𝑪𝒆−𝒕𝑹𝑪
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𝒒(𝒕) = 𝑸𝒆−𝒕𝑹𝑪Descarga de un capacitor
Carga de un capacitor
𝒒(𝒕) = 𝜺𝑪 𝟏 − 𝒆−𝒕𝑹𝑪 = 𝑸 𝟏 − 𝒆−𝒕𝑹𝑪
𝝉 = 𝑹𝑪
Tiempo de carga o descarga 5
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CIRCUITO RL
𝜺 − 𝑳 𝒅𝒊𝒅𝒕 − 𝑹𝒊(𝒕) = 𝟎
Primero la llave S2 en el 
borne a y S1 cerrada : se 
plantea Kirchhoff recorriendo 
el circuito en el sentido 
horario
𝜺𝑹 − 𝒊(𝒕) = 𝑳𝑹𝒅𝒊𝒅𝒕
𝒙 = − 𝑳𝑹𝒅𝒙𝒅𝒕 න𝟎𝒕 𝑳𝑹𝒅𝒕 = − න𝒙𝟎𝒙𝒅𝒙𝒙𝐥𝐧 𝒙𝒙𝟎 = − 𝑹𝑳 𝒕
𝜺𝑹 − 𝒊(𝒕) = 𝒙𝜺𝑹 − 𝒙 = 𝒊(𝒕)𝒅𝒊𝒅𝒕 = −𝒅𝒙𝒅𝒕
Cambio de variable
Condiciones iniciales : t=0: i(t=0) =0 
( Si 𝑖 𝑡 = 0 ≠ 0 , 𝑑 𝑖𝑑𝑡)𝑡=0 tiende a infinito
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𝐥𝐧 𝒙𝒙𝟎 = −𝑹𝑳 𝒕
𝒙 𝒕 = 𝟎 = 𝒙𝟎 = 𝜺𝑹𝒙 = 𝒙𝟎𝒆−𝑹𝑳𝒕
𝒊(𝒕) = 𝜺𝑹 𝟏 − 𝒆−𝑹𝑳𝒕
𝒊(𝒕 → ∞) = 𝜺𝑹 𝒊(𝒕 = 𝟎) = 𝟎
𝜺𝑹 − 𝒊(𝒕) = 𝑳𝑹 𝒅𝒊𝒅𝒕 = 𝒙(𝒕)
= 𝜺𝑹𝒆−𝑹𝑳𝒕 = 𝜺𝑹 − 𝒊(𝒕)
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𝝉 = 𝑳𝑹
𝒅𝒊𝒅𝒕 = 𝜺𝑳𝒆−𝑹𝑳𝒕
𝒊(𝒕) = 𝜺𝑹 𝟏 − 𝒆−𝑹𝑳𝒕
𝒊(𝒕 → ∞) = 𝜺𝑹 𝒊(𝒕 = 𝟎) = 𝟎
Max t=0
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El circuito anterior se deja el tiempo suficiente para que la 
corriente llegue a su valor de equilibrio I=/R. 
Luego S2 conecta el borne b
0)( =−− tRi
dt
di
L
𝒊(𝒕) = 𝜺𝑹𝒆−𝑳𝒕𝑹
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𝜺 = 𝑳 𝒅𝒊𝒅𝒕 + 𝑹𝒊(𝒕)𝑷 = 𝜺 𝒊 = 𝑳 𝒅𝒊𝒅𝒕 + 𝑹𝒊(𝒕) 𝒊(𝒕)
𝒅𝑼𝒅𝒕 = 𝑳𝒊(𝒕) 𝒅𝒊𝒅𝒕 + 𝑹𝒊𝟐(𝒕) 𝒅𝑼𝑳𝒅𝒕 = 𝑳𝒊(𝒕) 𝒅𝒊𝒅𝒕
𝒅𝑼𝑳 = 𝑳𝒊(𝒕)𝒅𝒊
𝑼𝑳 = න𝒅𝑼𝑳 =න𝒐𝑰𝑳 𝒊 𝒅𝒊 =𝑳න𝒐𝑰 𝒊 𝒅𝒊 𝑼𝑳 = 𝟏𝟐𝑳𝑰𝟐
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Determinar la densidad de energía en un B
volnvol
l
N
Al
l
N
A
l
N
L 2
2
2
2
22
 ====
volB
2
1
n
B
.voln
2
1
ivoln
2
1
iL
2
1
U 2
2
2222

 =





===
B.H
2
1
B.
B
2
1
B
vol
U
u 2B

====

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𝑸(𝒕)𝑪 + 𝑳 𝒅𝒊𝒅𝒕 = 𝟎CIRCUITO LC
La solución a esta ecuación diferencial
Q 𝑡 = 0 = 𝑄0
i(t=0)=0 𝒊 = 𝒅𝑸𝒅𝒕𝑸(𝒕)𝑪 + 𝑳𝒅𝟐𝑸(𝒕)𝒅𝒕𝟐 = 𝟎
𝑸 𝒕 = 𝑪𝒄𝒐𝒔𝒘𝒕 + 𝑫 𝒔𝒊𝒏𝒘𝒕
donde las constantes C y D quedan dadas por las condiciones iniciales. En nuestro caso
tenemos Q(0)=Q0 e I(0)=0, por lo que resulta C= Q0 y D=0.𝑸 𝒕 = 𝑸𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒘𝒕𝒊 𝒕 = −𝑸𝟎 𝒘𝒔𝒆𝒏𝒘𝒕 ¿𝒘?
(1)
Como debe cumplirse la ecs. (1) ó (2)
(2)
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𝑸 𝒕 = 𝑸𝟎 𝒄𝒐𝒔𝒘𝒕𝒊 𝒕 = −𝑸𝟎 𝒘𝒔𝒆𝒏𝒘𝒕
𝝎 = 𝟏𝑳𝑪
= 𝑰𝒎𝒂𝒙
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La suma de UC y UL es una constante y es igual 
a la energía total Q 2máx/2C, o 1 2LI 2máx. 
Las amplitudes de las dos gráficos deben ser 
iguales porque la energía máxima almacenada 
en el capacitor (cuando i = 0) debe ser igual a 
la energía máxima almacenada en el inductor 
(cuando Q = 0)
)t(LI
2
1
)t(Q
C2
1
)t(U)t(U)t(U 22LC +=+=
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CIRCUITO RLC
1. Llave S1 Cerrada , Llave S2 abierta: Se carga el capacitor
2. Llave S1 abierta , Llave S2 cerrada
El circuito RLC es similar al oscilador armónico amortiguado
Carga en función del tiempo para un circuito 
RLC amortiguado. Para 
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