ARITMÉTICA_SEMANA 01

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE JULIACA 
DIRECCIÓN DE ADMISIÓN 
CENTRO PREUNIVERSITARIO 
 
 Av. Nueva Zelandia N° 631 Urbanización La Capilla. Teléfono 328722 – Juliaca - Perú 
 
 
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NOCIÓN DE CONJUNTO 
Conjunto es una palabra sin definición, pero 
nos da la idea de una colección de objetos 
diferentes sin orden bien definidos, que puede 
o no tener características en común. Cada 
objeto del conjunto se llama elemento. 
 
REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS 
Los conjuntos se denotan con letras 
mayúsculas y los elementos con letras 
minúsculas, y se pueden representar por medio 
de diagramas de Venn Euler o encerrados 
entre llaves. 
ENTRE LLAVES 
Se ponen los elementos entre llamas 
 
DIAGRAMA DE VENN EULER 
 
RELACIÓN DE PERTENENCIA 
Es una relación que se da únicamente entre 
elemento y su conjunto. 
 
Ejemplo: 
 
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS 
Se dice que un conjunto está correctamente 
determinado cuando se puede establecer, sin 
ambigüedad, si un elemento dado es elemento 
o no del conjunto. Estos pueden determinarse 
de dos maneras. 
POR EXTENCIÓN O FORMA TABULAR 
Es cuando se menciona todos y cada uno de 
los elementos o se da una idea de la sucesión 
de estos. 
Ejemplo 
  2;3;5;7A  (Extensión) 
POR COMPRENSIÓN O FORMA 
CONSTRUCTIVA 
 Cuando se enuncia a sus elementos por medio 
de una propiedad o cualidad común a ellos y 
que es válida solo a estos elementos 
Ejemplo 
 / , 10, :A x x N x x primo  
(Comprensión) 
En el ejemplo “x” es el elemento buscado y 
“ ” es la condición que 
debe cumplir el elemento. 
Observación 
UNIDAD 01 
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Esquema de un conjunto por comprensión: 
 
CARDINAL DE UN CONJUNTO 
Es el número de elementos diferentes que tiene 
un conjunto. Se denota por: n(A), #(A), |A|. 
Ejemplos 
     2; 7; 3;5 ; 7 4A n A   
      5; 2; 5; 7; 7 5;2;7 3B n B    
Los elementos que se repiten se consideran 
como un solo elemento. 
CONJUNTOS ESPECIALES 
CONJUNTO VACÍO 
Es aquel conjunto que no posee elementos, se 
le denota por ( o { }). El cardinal de este 
conjunto es 0. 
Ejemplo 
 / } { 4 5A x x      
CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON 
Aquel conjunto que posee un sólo elemento y 
el cardinal de este conjunto es 1 
Ejemplo 
 A = {a} 
B = {5} 
C = {8 } 
CONJUNTO UNIVERSAL 
Es un conjunto que sirve de referencia a todos 
los otros conjuntos incluidos en él, es decir 
contiene a todos los conjuntos considerados y 
se denota por U. 
Ejemplo: Para los conjuntos 
 A = {x/x es un cuadrilátero} y 
 B = {x/x es un triángulo} 
 B = {x/x es un pentágono} 
 
 → U = {x/x es un polígono} es el conjunto 
universal 
CONJUNTO POTENCIA DE A. P(A) 
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos 
los subconjuntos que tiene A. 
  }/{ P A x x A  
Ejemplo 
Si { ; }A m n entonces 
 
Se cumple que el total de elementos del 
conjunto potencia está dado por: 
 
En nuestro ejemplo. 
  2( ) 2 4n P A   
Por lo que el conjunto potencia tiene 4 elementos, 
y los subconjuntos propios son 3, dado que 
restamos el conjunto. 
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 
INCLUSIÓN (⊂) 
Cuando todo elemento de A es elemento de B. 
A ⊂ B ⟷ ∀ x ∈ A: x ∈ B 
Se cumple: 
 
- A esta incluido en B 
- A es subconjunto propio de B 
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IGUALDAD (=) 
Los conjuntos A y B son iguales cuando 
poseen los mismos elementos. 
Se cumple: 
   A B B A 
 
DISJUNTOS 
Es cuando los conjuntos no poseen elementos 
comunes. 
Veamos el gráfico. 
 
COMPARABLES 
Es cuando solo uno de los conjuntos contiene 
al otro, es decir cuando uno de ellos está 
incluido en el otro. 
Se cumple: 
Que A ⊂ B o que B ⊂ A 
Veamos el siguiente ejemplo. 
Sean:   4; 7;6A  
   2;3;4;5;6;7B  
Notamos que los elementos del conjunto A están 
en el conjunto B 
Como A ⊂ B entonces A y B son comparables. 
COORDINABLES O EQUIPOTENTES 
Es cuando existe una biyeccion entre ellos, en 
otras palabras existe una relación de uno a uno 
entre sus elementos, para cada elemento del 
conjunto A existe un único elemento en el 
conjunto B. 
Se cumple. 
 
Cuando A y B son finitos, entonces: 
 ( )n A n B 
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 
COMPLEMENTO 
Al complemento A de un conjunto en lógica 
propocional se le asocia con la frase “No A”. 
Notación: A
c
, C’; A 
Por comprensión se define como 
{ / }cA x x U x A    
Gráficamente, 
 
El complemento del conjunto A es toda la 
región sombreada. 
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Propiedades: 
I) A y A
c
 son conjuntos disjuntos 
II) U
c 
=  
III)  
c
 = U 
IV)       cn A n A n U  
INTERSECCIÓN 
Los elementos de la intersección de A con B 
son elementos comunes de A y B. Notación: 
Por comprensión se define 
{ / }A B x x A x B     
Gráficamente, A  B se representa de las 
siguientes formas: 
 
Propiedades 
I) A B A  o A B B  
II) A y B son conjuntos disjuntos si y solo si 
 A B   
III) Si B A , ocurre que A B B  
IV) CA A   
UNIÓN O REUNIÓN 
La unión de A con B es todo el elemento de A 
con los elementos de B. 
Notación: “ ” 
Por compresión se define que 
{ / }A B x x A x B     
 
Propiedades 
I) Para dos conjuntos de A y B 
cualesquiera, ocurre que: 
    ( ) ( )n A B n A n B n A B     
II) A y B son conjuntos disjuntos si y solo 
si:     ( )n A B n A n B   
III) Si B A ocurre que A B A  
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DIFERENCIA 
La diferencia de los conjuntos A y B (en ese 
orden) está formada por los elementos de A 
que no pertenecen al conjunto B. 
Por comprensión se define 
{ / }A B x x A x B     
Gráficamente, A B se representa de las 
siguientes formas: 
 
Propiedades 
I)  ( ) ( )n A B n A n A B   
II) Cuando A y B son disjuntos, ocurre que 
A B A  
III) Si B A ocurre que B A   
DIFERENCIA SIMÉTRICA 
La diferencia simétrica de A y B está formada 
por los elementos que pertenecen solo a A y 
solo a B. 
Notación: 
Por comprensión se define 
{ / ( ) ( )}A B x x A B x B A       
Gráficamente AB se representa de las 
siguientes formas. 
 
Propiedades 
I) {( ) ( )} A B A B A B    
{( ) ( )} A B A B B A    
II) Cuando A y B son disjuntos, ocurre que: 
A B A B   
III) Si B A ocurre que: 
A B A B   
 
DIAGRAMA DE CARROLL 
Es un diagrama usado para agrupar cosas de 
una manera sí/no. Números y objetos son 
categorizados como x (teniendo una cualidad 
x) o no x (no teniendo este atributo). Es un 
plano dividido en rectángulos, en el que cada 
región representa a un conjunto con dos o más 
características, es de mucha utilidad para 
conjuntos distintos. 
Se usa el siguiente gráfico. 
Veamos el siguiente ejemplo ilustrativo. 
En un salón de 90 alumnos, 35 son mujeres, 62 
son deportistas, y 12 son mujeres no 
deportistas. ¿Cuántos hombres no son 
deportistas 
Construimos el diagrama y lo rellenamos con 
los datos. 
 
De los datos deducimos que el total de 
hombres no deportistas son 16. 
 x + 12 = 28 
 x = 16 
 
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Pregunta 1 
Si los conjuntos A = {3; a-b} y B = {ab; 54}. 
Son unitarios; calcular a
2
 - b
2 
 
a) 15 
b) 6 
c) 10 
d) 45 
e) 8 
 
Pregunta 2 
Si el conjunto A tiene 3 elementos ¿Cuántos 
subconjuntos propios tiene el conjunto 
potencia de P(A) 
a) 23 - 1 
b) 28- 1 
c) 216- 1 
d) 2256 - 1 
e) 264 - 1 
 
Pregunta 3 
Se tiene los siguientes conjuntos: 
2 1
/ 1 9
3 2
2 1
/ 2 6
3
a a
A a
b
B b b
 
     
 
 
     
 
 
Hallar el conjunto potencia de: 
a) 2 
b) 4 
c) 8 
d) 16 
e) 32 
 
 
 
 
Pregunta 4 
Se tiene dos conjuntos “A” y “B” tales que: 
   
 
2
( ) ( ')
( ( ') ) 128
( ) 17
–
n A B n A
n P A
n U
n A n B 
 


 
Si U es el conjunto universal. 
Hallar: el conjunto potencia de ) 
a) 512 
b) 8 
c) 256 
d) 128 
e) 64 
 
Pregunta 5 
El conjunto A tiene dos elementos menos que 
el conjunto B, que por cierto posee 3072 
subconjuntos más que A. si tales conjuntos 
disjuntos. ¿Cuál es el cardinal de ? 
a) 19 
b) 21 
c) 20 
d) 22 
e) 24 
 
Pregunta 6 
6.- Si A B 0 y además: 
 
 
 
Hallar ] 
a) 32 
b) 16 
c) 8 
d) 4 
e) 64 
 
 
 
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Pregunta 7 
Si A 16 subconjuntos, B tiene 8 subconjuntos 
y ( )A B tiene 32 subconjuntos ¿Cuántos 
subconjuntos propios tiene ( )A B ? 
a) 2 
b) 8 
c) 4 
d) 6 
e) 3 
 
Pregunta 8 
De 150 alumnos, 104 no postulan a la UNI, 
109 no postulan a la PUC, y 70 no postulan a 
estas universidades. ¿Cuántos postulan a 
ambas? 
a) 7 
b) 5 
c) 6 
d) 10 
e) 9 
 
Pregunta 9 
De cierto número de figuras geométricas se 
sabe que 60 son cuadriláteros, 20 son rombos, 
30 son rectángulos y 12 no son rombos ni 
rectángulos. ¿Cuántos son cuadrados? 
a) 5 
b) 3 
c) 2 
d) 6 
e) 4 
 
Pregunta 10 
De un grupo de 1800 estudiantes; el número de 
los que solo rindieron el segundo examen, es 
la mitad de los que rindieron el primero. El 
número de los que rindieron solo el primer 
examen es el triple de los que rindieron ambos 
exámenes e igual al número de los que no 
rindieron ningún examen. ¿Cuántos no 
rindieron ningún examen? 
a) 900 
b) 1000 
c) 800 
d) 600 
e) 700 
 
Pregunta 11 
Se hizo una encuesta a 50 personas sobre 
preferencias respecto a dos revistas A y B, se 
observa que los que leen las dos revistas son el 
doble de los que leen solo A, el triple de los 
que leen solo B y el cuádruplo de los que no 
leen ninguna de las dos revistas. ¿Cuántas 
personas no leen ninguna de las 2 revistas? 
a) 6 
b) 2 
c) 8 
d) 12 
e) 10 
 
Pregunta 12 
En una ciudad se determinó que a la cuarta 
parte de la población no le gusta la natación ni 
el futbol, a la mitad les gusta la natación, a los 
5/12 les gusta el futbol. ¿A qué parte dela 
población le gusta solamente uno de los 
deportes mencionados? 
a) 9/12 
b) 1/4 
c) 7/12 
d) 4/12 
e) 1/2 
 
Pregunta 13 
De 120 alumnos que rindieron una prueba que 
contienen los cursos A, B y C se sabe que: se 
anuló 10 pruebas y el resto aprobó por lo 
menos un curso, los que aprobaron el curso A, 
desaprobaron B y C, hay 20 alumnos que 
aprobaron B y C. ¿Cuántos aprobaron un solo 
curso? 
a) 60 
b) 90 
c) 70 
d) 100 
e) 80 
 
 
 
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Pregunta 14 
De un total de 99 personas, 5 hablan inglés y 
español únicamente, 7 español y alemán 
únicamente y 8 inglés y alemán únicamente. Si 
el número de personas que hablan alemán, 
español e inglés son el doble, el triple y el 
cuádruple del número de personas que hablan 
los tres idiomas respectivamente. ¿Cuántas 
personas hablan español? 
a) 46 
b) 36 
c) 31 
d) 41 
e) 51 
 
Pregunta 15 
En un avión que se dirige al Cusco, viajan 300 
turistas. Se sabe que 140 son peruanos, 120 
son europeos y 150 son profesionales. De estos 
últimos, 58 son europeos y 66 son peruanos. 
¿Cuántos de los turistas no son europeos ni 
peruanos? 
a) 14 
b) 40 
c) 58 
d) 74 
e) 26