Aritmética 3

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
3
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AritméticA
Matemática
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 aritmética
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Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
MateMática Delta 3 - aritMética 3
PresentaciónPresentación
Estimado estudiante, nos alegramos que hayas concluido bien el ciclo anterior y que, al igual 
que nosotros, estés entusiasmado en este nuevo año, con todas las ganas de aprender más y 
conocer nuevos temas, teorías y personajes que hicieron de la Matemática una de las ciencias más 
importantes que el hombre ha desarrollado.
Por ello, te presentamos este material didáctico para que te sirva de apoyo y puedas encontrar 
en sus páginas todo lo que necesites para estar preparado ante las situaciones problemáticas que 
encuentres en tu vida escolar.
El contenido teórico que te mostramos a continuación, permitirá que continúes fortaleciendo 
tus capacidades y competencias matemáticas, y que estas sean, a su vez, aplicadas en tu vida 
cotidiana; el uso de tu razonamiento lógico debe estar en constante dinamismo, esto te llevará a 
un siguiente nivel.
La distribución de las asignaturas ya las conoces: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y 
Razonamiento Matemático; en ellos encontrarás todo el contenido programado para este grado.
Asimismo, complementamos lo planteado con algunas preguntas que han sido tomadas de 
exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés mejor 
preparado.
Inicia el año escolar dispuesto a aprender nuevos temas y continúa durante todo el año con la 
misma dedicación.
Delta Editores
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
5k – 12
4k – 12
10
Tema 1
 Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de objetos reales o 
abstractos que reciben el nombre de elementos del conjunto.
G
A
NS
F
Podemos observar que este concepto nos da la idea que un conjunto está formado 
por varios elementos (pluralidad), lo cual no es absoluto, ya que existen conjuntos 
formados por un solo elemento y conjuntos que no tienen elementos.
Ejemplos:
•	 El	conjunto	formado	por	el	presidente	del	Perú.
•	 El	conjunto	de	los	números	naturales	mayores	que	7	y	menores	que	8.
•	 El	conjunto	formado	por	los	incas	del	Tahuantinsuyo.
•	 El	conjunto	formado	por	los	números	naturales	menores	que	100.
Los	conjuntos	se	representan	mediante	letras	mayúsculas	y	los	elementos	encerrados	
mediante llaves «{ }»; si los elementos son letras se representan generalmente con 
letras	minúsculas	 separados	 por	 comas,	 y	 si	 son	 números	 separados	 por	 puntos	 y	
comas.
Ejemplos:
Conjuntos I
A = {a, b, c, d, e}
Elementos	del	conjunto	A
C = {Marisol, Ana, Cristina}
Elementos	del	conjunto	C
B	=	{0;	1;	2;	3;	4;	...	;	100}
Notación
Los elementos de un 
conjunto pueden ser 
personas,	números,	
colores, letras, etc.
La teoría de 
conjuntos se atribuye 
a George Cantor, 
matemático alemán 
quien demostró que 
el conjunto de los 
números	enteros	
positivos tenía el 
mismo	número	de	
elementos que el 
conjunto de los 
números	pares.
	=	{0;	1;	2;	3;	4;	5;	...}
P	=	{2;	4;	6;	8;	10;	...}
Mucho	más	
sorprendente 
todavía resultó el 
descubrimiento de 
que a pesar que los 
números	reales	son	
más grandes que los 
enteros positivos, 
Cantor descubrió 
que el tamaño de los 
enteros positivos es 
infinito	numerable	y	el	
de	los	reales	infinito	
no numerable. Para 
esta demostración, 
Cantor recurrió al 
famoso método 
llamado «reducción al 
absurdo».
¿Sa bía s qu e.. .?
D	={2;	3;	5;	7;	11;	13;	17;	...}
Números	primos
E	=	{1;	3;	6;	10;	15;	21;	28;	...}
Números	triangulares
F	=	{1;	1;	2;	3;	5;	8;	13;	21;	34;	...}
Sucesión de FibonacciNúmeros	naturales	
menores	que	101
Título del tema
Para una mejor 
organización, 
los temas están 
numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollo 
del tema
4
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
Síntesis
Contenido 
del tema, que 
incluye teoremas, 
postulados, 
fórmulas, 
propiedades, 
leyes, etc., 
resumido en 
organizadores 
gráficos para tener 
un panorama 
general del 
contenido.
Modela y 
resuelve
Los problemas 
con numeración 
impar serán 
resueltos por el 
docente, mientras 
que los pares 
serán resueltos 
por el estudiante 
siguiendo la 
secuencia 
realizada.
65MateMática DELTA 3 - aritMética
Ejercicios resueltos
Dados los conjuntos:
A = {6; 8; 9} y B = {5; 6; 10}
Halla la suma de elementos del rango de la 
relación R.
R = {(a ; b) ∈ A × B/ a > b}
Resolución:
Sea T = {x ∈ / 4 < x ≤ 8} y la relación binaria R 
definida por:
R = {(x ; y) ∈ T2/ x < y}
Encuentra la suma de los elementos del Ran(R)
Resolución:
Sobre el conjunto N = {1; 4; 5}
Se define una relación R, tal como se muestra en 
el diagrama cartesiano.
Si el gráfico representa una relación R, descubre 
la condición o regla de correspondencia de R y 
halla su rango.
Dados los conjuntos:
A = {2; 7; 8} y L = {1; 4; 5; 6; 9}
Determina la suma de elementos del rango de la 
relación R.
R = {(a ; b) ∈ A × L/ a < b}
Resolución:
Sea P = {x ∈ / 1 ≤ x ≤ 6} y la relación binaria R 
definida por:
R = {(x ; y) ∈ P2 / x + y = 5}
Calcula la suma de los elementos del Ran(R).
Resolución:
1 4 9 16
1
0
2
3
4
1 4 5
1
0
4
5
1 4
5
6
2 
3 
Rpta. 11
Rpta. 21
Rpta. 24
Rpta. R no es una relación de equivalencia.
Rpta. 10 Rpta. x = y2 ∧ Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
¿Es R una relación de equivalencia?
Resolución:
Resolución:
Se obtiene la relación:
R = {(6 ; 5), (8 ; 5), (8 ; 6), (9 ; 5), (9 ; 6)} 
El rango de R es:
Ran(R) = {5; 6}
La suma es 5 + 6 = 11
Los elementos de la relación son:
R = {(5 ; 6), (5 ; 7), (5 ; 8), (6 ; 7), (6 ; 8), (7 ; 8)} 
El rango de R será:
Ran(R) = {6; 7; 8}
La suma de elementos:
6 + 7 + 8 = 21
Comprobamos si se cumple las propiedades
1. Reflexiva: (1 ; 1), (4 ; 4), (5 ; 5) ∈ R
 ⇒ R es reflexiva.
2. Simétrica: (1 ; 4) ∈ R ⇒ (4 ; 1) ∈ R
 (5 ; 1) ∈ R ⇒ (1 ; 5) ∉ R
 ⇒ R no es simétrica.
R = {(2 ; 4), (2 ; 5), (2 ; 6), (2 ; 9), (7 ; 9), (8 ; 9)} 
El rango de R es:
Ran(R) = {4; 5; 6; 9}
La suma es: 4 + 5 + 6 + 9 = 24
Los elementos de la relación son:
R = {(1 ; 4), (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1)} 
Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
La suma de los elementos del rango son: 
1 + 2 + 3 + 4 = 10
x = y2 Ran(R) = {1; 2; 3; 4}
106
Síntesis
Proporción geométrica
Discreta
Sus cuatro términos 
son diferentes.
Componer respecto al antecedente y 
consecuente
d es la cuarta proporcional 
de a, b y c.
c es la tercera proporcional. 
b es la media proporcional.
Se lee: 
a es a b como c es a d.
Además:
a y d → términos extremos
b y c → términos medios
a y c → antecedentes
b y d → consecuentes
Continua
Sus términos medios 
son iguales.
Descomponer respecto al antecedente 
y consecuente
Componer y descomponer a la vez
TiposEs la igualdad 
de dos razones.
Teoremas
=
a
b
c
d
=
a
b
c
d
=
a
b
b
c
a + b
b
=
c + d
d
a + b
a
=
c + d
c
a – b
b
=
c – d
d
a – b
a
=
c – d
c
a + b
a – b =
c + d
c – d
y
respecto al 
consecuente
respecto al 
consecuente
respecto al 
antecedente
respecto al 
antecedente
y
y
b + a
b – a =
d + c
d – c
Siendo:
A = tercera proporcional de 9 y 12.
B = cuarta proporcional de 8; 32 y 2.
Halla el valor de A × B.
Siendo:
M = tercera proporcional de 5 y 15.
N = media proporcional de 9 y 25.
Halla el valor de M ‒ N.
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta. 
Modela y resuelve 
1 2
nombre de la 
sección
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o 
simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de 
la situación 
planteada. Espacio para resolver 
el problema.
nombre de la 
sección
Nombre 
de la sección
5MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y 
demuestra
se plantean 
preguntas 
que han sido 
organizadas 
por niveles de 
complejidad y de 
elección múltiple, 
en las cuales 
el estudiante 
demostrará lo 
aprendido durante 
la sesión.
Test
Esta 
evaluación 
incluye 
preguntas 
del contenido 
de los temas 
desarrollados 
en la unidad 
y son de 
elección 
múltiple.
6
nombre de la 
sección
número de test
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
alternativas
Espacio para 
realizar anotaciones 
de resolución.
alternativas
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas 
de acuerdo a la unidad.
152
 
Sabiendo que A es D.P. al cuadrado de B, calcula 
el valor de (m + p) a partir del siguiente cuadro.
A 45 320 p
B 3 m 10
A es D.P. con B pero es I.P. con C2; si A = 10, 
B	=	25	y	C	=	4,	halla	A,	cuando	B	=	64	y	C	=	8.
Siendo A D.P. al cuadrado de B pero I.P. al cubo 
de C, encuentra el valor de (m + p) a partir del 
siguiente cuadro.
A 12 125 p
B 4 m 8
C 5 3 2
La magnitud A es D.P. con B2; si cuando A = 25, 
B	=	20,	determina	el	valor	de	A	cuando	B	=	16.
Se sabe que (x + 2) es D.P. con (y – 3). Si x = 10, 
entonces y = 19; descubre el valor de x, si y = 31.
La magnitud X es D.P. con Y, pero I.P. al cuadrado 
de Z. Si X = 10, Y = 4 y Z = 14, calcula X cuando 
Y	=	16	y	Z	=	7.
Practica y demuestra
Nivel I
1
2
4
5
 
3 6
 
 
A 12 B 14 C 16
D 18 E 8
A 152 B 156 C 160
D 164 E 164
A 510 B 512 C 508
D 506 E 520
A 4 B 6 C 8
D 10 E 12
A 754 B 756 C 	 758
D 760 E 744
A 16 B 17 C 18
D 19 E 21
MateMática DELTA 3 - aritMética
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
9999MateMática DELTA 3 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Sean los conjuntos A y B y la relación R.
A = {2; 4; 5} ∧ B = {2; 3; 9}
R = {(x ; y) ∈ A × B / (x + y) es un número primo}
Descubre el valor de n(R) + n(A × B).
5
C D
BA
100120
1064
C D
BA
2014
1921
C D
BA
23
54
C D
BA
3042
4038
Sea la igualdad de los pares ordenados:
(3x + y ; 5x – y) = (18 ; 14) 
Calcula la suma de los elementos del par 
ordenado (x3 ; y2)
Determina la suma de los elementos del dominio de 
R1 con la suma de los elementos del rango de R2.
A = {3; 4; 5; 6; 7}
R1 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y = 11}
R2 = {(x ; y) ∈ A × A / x + y = 9}
Sean los conjuntos C y D:
C = {x ∈ ; 2 < x < 5} D = {y ∈ ; 0 ≤ x < 3}
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ C × D / x ≥ y } 
Halla cuántos elementos tiene el Dom(R).
3 6 
Dados A = {2; 5; 7} y B = {3; 4}, determina la 
relación definida por:
R = {(x ; y) ∈ A × B / x . y = número par}
Encuentra el producto de los elementos del 
Ran(R).
4
C D
BA
117
1012
C D
BA
1415
1812
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {x ∈ ; 2 < x < 8} B = {x ∈ ; 1 ≤ x < 6}
Se define la relación R.
R = {(x ; y) ∈ A × B / x + y = 8}
Halla la suma de elementos del Ran(R).
1
2
7MateMática Delta 3 - aritMética
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
ca
nt
id
ad
Traduce 
cantidades a 
expresiones 
numéricas.
Conjuntos I 10
Notación
Determinación de conjuntos
Relación de pertenencia y cardinalidad de un conjunto
Conjuntos II 25
Clasificación de un conjunto
Conjuntos especiales
Relación entre conjuntos
Conjuntos III 39
Operaciones entre conjuntos
Complemento de un conjunto y diferencia simétrica
Diagramas para la resolución de problemas con conjuntos
Producto cartesiano y relaciones binarias 55
Par ordenado
Producto cartesiano
Propiedades de las relaciones binarias
Razones 85
Definición
Homogeneización de razones
Proporciones101
Teoremas de la proporción
Clasificación de las proporciones
Promedios 115
Medidas de tendencia central
Teoremas
Magnitudes proporcionales 139
Magnitud
Cantidad
Relación entre dos magnitudes
Regla de tres 156
Regla de tres simple
Regla de tres compuesta
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre los 
números y las 
operaciones.
Usa estrategias 
y procedimientos 
de estimación y 
cálculo.
argumenta 
afirmaciones 
sobre las 
relaciones 
numéricas y las 
operaciones.
Índice
Leonhard Paul Euler fue un matemático, físico y astrónomo 
suizo, nacido en Basilea el 15 de abril de 1707, hijo de Paul 
Euler y Marguerite Brucker. Desde su infancia, mostró gran 
capacidad y pasión por las matemáticas.
La familia de Euler tenía una buena amistad con la familia 
Bernoulli, que eran un grupo de matemáticos y físicos 
suizos; Johan Bernoulli, al ver la aptitud del pequeño 
Leonhard, lo adiestró y se volvió su maestro. 
Leonhard Euler
Euler ingresó a la Universidad de Basilea a los 13 años y durante su estancia en la universidad fue 
comparado con Newton y Descartes. En 1726 Euler finalizó su Doctorado con una tesis sobre la 
propagación del sonido, y al año siguiente obtuvo el segundo lugar en un concurso organizado 
por la Academia de las Ciencias de Francia; el primer lugar lo obtuvo Pierre Bouger, padre de 
la arquitectura naval.
Viajó a San Petersburgo tras aceptar una propuesta en la Academia de Ciencias de Rusia en el 
puesto que anteriormente ocupaba su amigo Daniel Bernoulli en el departamento de medicina; 
poco después, fue ascendido al de matemáticas. Aprendió el idioma ruso y decidió establecerse 
ahí. En 1731, fue designado director del departamento de matemáticas y física en la Academia 
de Ciencias de Rusia y en 1734 se casó con Katharina Gsell, con quien tuvo 13 hijos, pero solo 5 
de ellos llegaron a la edad adulta.
En el año 1741, debido a los conflictos políticos que tenían lugar en Rusia, Euler y su familia 
decidieron trasladarse a Alemania, en el cual acepta trabajar en el puesto de director de la 
Academia de Berlín. En Berlín vivió 25 años y escribió más de 380 artículos. Publicó también 
Introducción al análisis de los infinitos y Fundamentos del cálculo diferencial.
Gracias a que poseía gran conocimiento, fue solicitado para ser tutor de la princesa Anhalt-
Dessau, quien era sobrina del rey de Prusia, Federico II el Grande. Euler escribió cientos de cartas 
dirigidas a la princesa, las mismas que tiempo después serían recopiladas en Cartas a una 
princesa alemana.
Euler sufrió toda su vida de la vista; al principio quedó ciego del ojo derecho y le echó la culpa 
a los trabajos hechos para la Academia de San Petersburgo; luego, perdió la visión del ojo 
izquierdo, tan solo a pocas semanas de haber sido diagnosticado con cataratas.
Pero la productividad mental de Euler no se vio afectada debido a su enfermedad, sino que, 
cuentan las anécdotas que había memorizado las fórmulas de trigonometría, las seis potencias 
de los primeros cien números primos y La Eneida de Virgilio. ¡Tenía una memoria fotográfica!
La vida de otro 
genio
 matemático
8
Aportes a la Matemática
Introdujo el concepto de función matemática, la notación 
moderna de las funciones trigonométricas, el número e, la letra 
griega que representa el símbolo para sumatorias (Σ), la letra i para 
los números imaginarios y la letra pi (π) para simbolizar el cociente 
entre la longitud de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Unió 
la naturaleza de la distribución de los números primos con sus ideas del 
análisis matemático. Logró demostrar la divergencia de la suma de los inversos 
de los números primos, y descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y 
los números primos.
Leonhard Euler fue el primero en resolver el problema conocido como problema de los puentes 
de Köningsberg, y su solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos y de grafos 
planares. Pudo realizar grandes avances en la mejora de las aproximaciones numéricas para 
resolver integrales, hasta el punto de conocerse hoy en día como aproximaciones de Euler.
Aún con su discapacidad, Euler continuó con su trabajo; 
le dictaba a su hijo mayor, haciendo que su prestigio y 
reconocimiento de parte de la comunidad científica se 
acrecentara.
Euler y su familia regresan a San Petersburgo en el año 
1766, pero las cosas no le fueron tan bien; primero, su casa 
se incendió y en segundo lugar, murió su esposa luego de 
cuarenta años de casado. Sin embargo, vuelve a contraer 
nupcias con Salomé Abigail Gsell, su cuñada.
El matemático falleció el 18 de septiembre de 1783 en 
la ciudad de San Petersburgo a causa de un accidente 
cerebrovascular.
Desempeños
• Establece relaciones entre datos y acciones de comparar e igualar cantidades. Las transforma a 
expresiones matemáticas (modelos) que incluyen operaciones con conjuntos, razones y proporciones, 
y regla de tres.
• Compara dos expresiones numéricas (modelos) y reconoce cuál de ellas representa todas las 
condiciones del problema señalando posibles mejoras.
• Expresa con diversas representaciones y lenguaje matemático su comprensión sobre la teoría de 
conjuntos, la proporcionalidad y regla de tres. Usa este entendimiento para interpretar las condiciones 
de un problema en su contexto. Establece relaciones entre representaciones.
• Selecciona, emplea y combina estrategias, recursos, y procedimientos diversos para determinar la 
solución en una situación con conjuntos y para determinar las medidas de tendencia central.
• Plantea afirmaciones sobre la teoría de conjuntos, el producto cartesiano, las relaciones binarias y las 
relaciones de proporcionalidad. Justifica dichas afirmaciones usando ejemplos y comprueba la validez 
de sus afirmaciones.
Fuentes:
personajeshistoricos.com, biografiasyvidas.com, euston96.com, britannica.com
9MateMática Delta 3 - aritMética
5k – 12
4k – 12
10
Tema 1
 Se entiende por conjunto a la colección, agrupación o reunión de objetos reales o 
abstractos que reciben el nombre de elementos del conjunto.
G
A
NS
F
Podemos observar que este concepto nos da la idea que un conjunto está formado 
por varios elementos (pluralidad), lo cual no es absoluto, ya que existen conjuntos 
formados por un solo elemento y conjuntos que no tienen elementos.
Ejemplos:
•	 El	conjunto	formado	por	el	presidente	del	Perú.
•	 El	conjunto	de	los	números	naturales	mayores	que	7	y	menores	que	8.
•	 El	conjunto	formado	por	los	incas	del	Tahuantinsuyo.
•	 El	conjunto	formado	por	los	números	naturales	menores	que	100.
Los	conjuntos	se	representan	mediante	letras	mayúsculas	y	los	elementos	encerrados	
mediante llaves «{ }»; si los elementos son letras se representan generalmente con 
letras	minúsculas	 separados	 por	 comas,	 y	 si	 son	 números	 separados	 por	 puntos	 y	
comas.
Ejemplos:
Conjuntos I
A = {a, b, c, d, e}
Elementos	del	conjunto	A
C = {Marisol, Ana, Cristina}
Elementos	del	conjunto	C
B	=	{0;	1;	2;	3;	4;	...	;	100}
Notación
Los elementos de un 
conjunto pueden ser 
personas,	números,	
colores, letras, etc.
La teoría de 
conjuntos se atribuye 
a George Cantor, 
matemático alemán 
quien demostró que 
el conjunto de los 
números	enteros	
positivos tenía el 
mismo	número	de	
elementos que el 
conjunto de los 
números	pares.
	=	{0;	1;	2;	3;	4;	5;	...}
P	=	{2;	4;	6;	8;	10;	...}
Mucho	más	
sorprendente 
todavía resultó el 
descubrimiento de 
que a pesar que los 
números	reales	son	
más grandes que los 
enteros positivos, 
Cantor descubrió 
que el tamaño de los 
enteros positivos es 
infinito	numerable	y	el	
de	los	reales	infinito	
no numerable. Para 
esta demostración, 
Cantor recurrió al 
famoso método 
llamado «reducción al 
absurdo».
¿Sa bía s qu e.. .?
D	=	{2;	3;	5;	7;	11;	13;	17;	...}
Números	primos
E	=	{1;	3;	6;	10;	15;	21;	28;	...}
Números	triangulares
F	=	{1;	1;	2;	3;	5;	8;	13;	21;	34;	...}
Sucesión de FibonacciNúmeros	naturales	
menores	que	101
11MateMáticaDelta 3 - aritMética 11
 Un conjunto puede ser determinado por extensión o por comprensión.
Determinación por extensión
Un conjunto se determina por extensión, nombrando uno a uno a todos los elementos 
que lo constituyen.
Ejemplo:
A	=	{2;	4;	6;	8;	10}
B	=	{12;	14;	16;	...	;	120}
C = {enero, febrero, marzo, ... , diciembre}
Determinación por comprensión
Un conjunto se determina por comprensión, enunciando o expresando cada elemento 
con	la	característica,	código	o	propiedad	común	que	los	identifica.
Ejemplo 1
M = {x / x es un postulante a medicina} 
Se lee como: 
El	conjunto	M	está	 formado	por	 todos	 los	elementos	x	 tal	que	x	es	un	postulante	a	
medicina.
Ejemplo 2 
Determina por extensión el conjunto D = {(x2	+	7)	/	x	 ;	–4	<	3x	<	23}.
Resolución:
•		Los	elementos	del	conjunto	D	son	de	la	forma	(x2	+	7).
•		Las	condiciones	para	la	variable	x	son:
 x ∧	–	4	<	3x	<	23
 x ∧ – 4
3
	<	x	<	233
 x ∧ –	1,3	<	x	<	7,7
Los	valores	que	toma	x	son:	–1;	0;	1;	2;	3;	4;	5;	6;	7
Entonces,	reemplazando	los	valores	de	x	en	x2	+	7	tendremos:
Determinación de conjuntos
Cuando se expresa 
un conjunto por 
comprensión, se 
utilizan variables 
para indicar la forma 
de sus elementos, 
veamos:
{f(x) / x cumple p}
Donde:
•	f(x) es la forma 
que tiene cada 
elemento.
•	p es(son) la(s) 
propiedad(es) o 
condición(es) que 
cumple la variable x.
Por ejemplo:
{x2	+	1	/	x	 ;	x	<	4}
•	(x2	+	1)	es	la	forma	
que tiene cada 
elemento.
•	p = x ;	x	<	4	son	
las condiciones que 
cumple la variable x.
Otro ejemplo:
{(3x	−	1)	/	x	 , 
−3	<	x	<	6}
Donde:
•	(3x	−	1)	es	la	forma	
que tiene cada 
elemento.
•	p = x ,	−3	<	x	<	6	
son las condiciones 
que cumple la 
variable x.
Recu e rda
(–1)2	+	7	=	8	 (2)2	+	7	=	11	 (5)2	+	7	=	32
(0)2	+	7	=	7	 (3)2	+	7	=	16	 (6)2	+	7	=	43
(1)2	+	7	=	8	 (4)2	+	7	=	23	 (7)2	+	7	=	56
Finalmente, el conjunto D es:
D	=	{7;	8;	11;	16;	23;	32;	43;	56}
12
Ejemplo 3
Halla	los	elementos	de	E	=	{(x3	–	5)	/	x	∈ ; –14	˂	2x	+	5	˂	2}.
Resolución:
•	 Analizamos las condiciones y evaluamos los valores de la variable x.
x ∈ ∧	–14	<	2x	+	5	<	2
x ∈ ∧	–19	<				2x				<	–3
x ∈ ∧ –192 	<				x					<	–
3
2
 
x ∈ ∧	–9,5	<				x					<	–1,5
⇒	x	=	−9;	−8;	−7;	−6;	−5;	−4;	−3;	−2
•	 Los	elementos	del	conjunto	E	son	de	la	forma	x3	–	5	entonces:
(–9)3	–	5	=	–734	 (–5)3	–	5	=	–130
(–8)3	–	5	=	–517	 (–4)3	–	5	=	−69
(–7)3	–	5	=	–348	 (–3)3	–	5	=	–32
(–6)3	–	5	=	–221	 (–2)3	–	5	=	–13
Finalmente,	el	conjunto	E	será:
E	=	{–734;	–517;	–348;	–221;	–130;	–69;	–32;	–13}
Relación de pertenencia
Decimos	que	un	elemento	pertenece		a	un	conjunto,	si	forma	parte	de	dicho	conjunto.	
En	caso	contrario	diremos	que	no	pertenece	a	tal	conjunto.
Ejemplo: 
Sea	el	conjunto	A	=	{5;	3;	{4};	2;	{5}}
Determinamos el valor de verdad de cada proposición. 
•	 5	∈ A ⇒		 5	pertenece	al	conjunto	A		 ...	es	verdadero
•		 3	∉ A ⇒		 3	no	pertenece	al	conjunto	A		 ...	es	falso
•		 {4}	∈ A ⇒		 {4}	pertenece	al	conjunto	A		 ...	es	verdadero
•		 2	∉ A ⇒		 2	no	pertenece	al	conjunto	A		 ...	es	falso
•		 {5}	∉ A ⇒		 {5}	no	pertenece	al	conjunto	A		 ...	es	falso
Cardinal de un conjunto
El	cardinal	de	un	conjunto	se	refiere	al	número	de	elementos	que	tiene	cuando	estos	
son sometidos a un proceso de conteo.
 Ejemplo:
	A	=	{5;	3;	{4};	2;	{5}}
	Este	conjunto	tiene	5	elementos,	cinco	objetos	distintos.	Por	lo	tanto,	su	número	cardinal	
es	5.
	n(A)	=	5;	también	#	A	=	5.
El	cardinal	de	un	
conjunto se simboliza 
de las siguientes 
formas:
n(A) o #	A
x A se lee como:
•	 x pertenece al 
conjunto A. 
O también:
•	 x es elemento de A.
x A se lee como:
•	 x no pertenece 
al conjunto A. 
También	como:	
•	 x no es elemento 
de A.
Algunos conjuntos 
numéricos 
importantes
Números	naturales
	=	{0;	1;	2;	3;	...}
Números	enteros
	=	{0;	±1;	±2;	±3;	...}
Números	racionales
 = { / a ∈ ; b ∈ ; b ≠	0}
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
a
b
13MateMática Delta 3 - aritMética
Ejercicios resueltos
Se tiene el conjunto A, tal que:
A = {x3	–	1	/	x	∈ ;	3	<	x	<	8}
Calcula	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Resolución:
Rpta. 744 
Determina por extensión, los elementos de cada 
conjunto:
a) A = {x2/ x ∈ ;	x	es	impar;	3	<	x	<	13}
x = 5;	7;	9;	11
Reemplazando en la condición:
A	=	{25;	49;	81;	121}
b) B = {x / x es letra de la palabra divisibilidad}
 B = {d, i, v, s, b, l, a}
c) C = {x / x ∈ ;	es	primo	menor	que	30}
C = {2;	3;	5;	7;	11;	13;	19;	23;	27}
d) D = {x / x es vocal de la palabra sábana}
 D = {a}
Halla los elementos e indica el cardinal de cada 
conjunto:
a) K = {x / x es vocal de la palabra estacionamiento}
K = {e, a, i, o}
⇒	n(K)	=	4
b) J = {x / x ∈ ;	x	es	D(40)}
 J = {1;	2;	4;	5;	8;	10;	20;	40}
 ⇒	n(J)	=	8
c) L = {x / x es provincia del departamento de 
Madre de Dios}
L = {Manu,	Tahuamanu,	Tambopata}
 ⇒	n(L)	=	3
x	=	4;	5;	6;	7
Reemplazando en la condición.
 ( )3	 –	 1
	 43	 –	 1	 =	 63
	 53	 –	 1	 =	 124
	 63	 –	 1	 =	 215
	 73	 –	 1	 =	 342
Ahora	el	conjunto	A	será:
A	=	{63;	124;	215;	342}
Sumando sus elementos:
	 63	+	124	+	215	+	342	=	744
1
2 4
Determina por comprensión, cada conjunto:
a)	 E	=	{sábado, domingo}
E	=	{x / x es día de la semana, cuyo nombre 
termina en vocal}
b) F = {125;	216;	343;	512;	729}
 F = {x3	/ x ∈ ;	4	<	x <	10}
c) G = {Pisco,	Chincha,	Ica,	Palpa,	Nasca}
G = {x / x es provincia del departamento de 
Ica}
d) H = {1;	2;	3;	5;	6;	10;	15;	30}
 H = {x / x ∈ ; x es	D(30)}
e)	 I	=	{60;	72;	84;	96;	108}
 I	=	{12x	/	x ∈ ;	4	<	x ≤	9}
 
3
14
Síntesis
Conjuntos I
Notación 
Los conjuntos se representan mediante letras 
mayúsculas	 y	 los	 elementos	 encerrados	
mediante llaves «{ }»; si los elementos son 
desconocidos se representan generalmente 
con	letras	minúsculas	separados	por	comas,	
y	 si	 son	números,	 separados	por	 puntos	 y	
coma.
Determinación 
•	 Por extensión
 Un conjunto se determina por extensión, 
nombrando uno a uno a todos los 
elementos que lo constituyen.
	 Ejemplo:
	 M	=	{2;	3;	5;	7;	11;	13;	17;	...}
•	 Por comprensión
 Un conjunto se determina por comprensión, 
enunciando o expresando cada elemento 
con la característica, código o propiedad 
común	que	los	identifica.
	 Ejemplo:
	 M	=	{x	/	x	es	un	número	primo}
Representación gráfica 
Diagrama de 
Venn	‒	Euler
A B
Diagrama de 
Lewis Carrol
B
A
M N
Se tiene el conjunto M, tal que: Se tiene el conjunto A, tal que: 
M	=	{(3a	+	5)	/	a	 ;	1	<	a	<	6}
Calcula	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Resolución: Resolución:
A	=	{(7n	+	3)	/	x	 ;	–3	<	n	<	3}
Calcula	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve 
21
15MateMática Delta 3 - aritMética
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Se tiene el conjunto A, tal que:
A = {(x2	+	5)	/	x	 ;	–4	<	x	<	3}
Determina	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Se tiene el conjunto A, tal que:
A = {(x2	–	5)	/	x	 ;	–5	<	x	<	2}
Determina	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
 
Se tiene el conjunto P, tal que:
P = {(x2	+	4)	/	x	 ;	5	<	2x	+	1	<	13}
Halla	la	suma	de	los	elementos	de	dicho	conjunto.
Se tiene el conjunto C, tal que:
C	=	{(4x2	+	7)	/	x	 ;	–7	<	3x	–	2	<	8}
Halla	la	suma	de	los	elementos	de	dicho	conjunto.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3 4
5 6
16
Se tiene el conjunto B, tal que:
B	=	{(3x2	+	1)	/	x	 ;	16	<	3x	+	5	<	24}
Encuentra	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Se tiene el conjunto D, tal que:
D	=	{(2x2	+	5)	/	x	 ;	16	<	6x	+	5	<	30}
Encuentra	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Rpta. 
Rpta. 
Rpta.
Rpta.
Se tiene el conjunto P, tal que:
P = {(x3	+	7)	/	x	 ;	–5	<	4x	+	3	<	21}
Descubre	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Se	tiene	el	conjunto	E,	tal	que:
E	=	{(x3	+	7)	/	x	 ;	–15	<	4x	–	7	<	–2}
Descubre	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
7 8
9 10
17MateMática Delta 3 - aritMética
Sea el conjunto universal, calcula la suma de los 
elementosque	hay	en	cada	uno	de	los	conjuntos	
A, B y C. Sabiendo que:
	=	{9;	10;	11;	...	;	27}
A = {x 		/	x	tiene	suma	de	cifras	igual	a	5}
B = {x 		/	x	tiene	producto	de	cifras	igual	a	6}
C = {x / x2	tiene	como	última	cifra	al	1}
Sea el conjunto universal, calcula la suma de los 
elementos	que	hay	en	cada	uno	de	los	conjuntos	
A, B y C. Sabiendo que:
	=	{9;	10;	11;	...	;	27}
A = {x 		/	x	tiene	suma	de	cifras	igual	a	7}
B = {x 		/	x	tiene	producto	de	cifras	igual	a	8}
C = {x / x2	tiene	como	última	cifra	al	9}
Rpta. Rpta.
Se tiene el conjunto B, tal que: Se tiene el conjunto A, tal que:
Rpta. Rpta.
B =
x	+	1
x	–	1
x 	;	1	<	x	≤ 5 A =
x	–	2
x	+	2
x 	;	–2	<	x	≤ 2	
Determina	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Determina	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	 dicho	
conjunto.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
11 12
13 14
18
Se	tiene	el	conjunto	E,	tal	que: Se tiene el conjunto B, tal que:
E	=
n2	–	16
n	–	4
19	≤	5n	+	8	≤	35;	n	∈ B =
n2	–	9
n	–	3
–18	≤	4n	–	9	≤	–1;	n	∈ 
Halla	 la	suma	de	 los	elementos	que	 tiene	dicho	
conjunto.
Halla	 la	suma	de	 los	elementos	que	 tiene	dicho	
conjunto.
 
Rpta. Rpta.
Se tiene el conjunto B, tal que: Se tiene el conjunto F, tal que:
B	=	{(2x – x) / x ∈ ;	–1	<	x	≤	4}
Encuentra	la	suma	de	de	los	elementos	que	tiene	
dicho	conjunto.
F	=	{(3x + x) / x ∈ ;	–2	<	x	≤	3}
Encuentra	la	suma	de	de	los	elementos	que	tiene	
dicho	conjunto.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
15 16
17 18
19MateMática Delta 3 - aritMética
Descubre	 el	 número	 de	 elementos	 que	 tiene	 el	
conjunto A y la suma de elementos de B. Da como 
respuesta la suma de ambos resultados, sabiendo 
que los conjuntos A y B son:
A = {(x2	+	1)	/	x	∈ ;	–4	<	x	<	6}
Descubre la suma de elementos que tienen los 
conjuntos A y B. Da como respuesta la suma de 
ambos resultados, sabiendo que los conjuntos 
A y B son:
A = {(x2	–	1)	/	x	∈ ;	–3	<	x	<	4}
Rpta. Rpta.
B =
x
2
∈ / x ∈ A B =
x	+	1
2
∈ / x ∈ A
Resolución: Resolución:
19 20
20
Calcula la suma de elementos que tienen los 
conjuntos A y B. Da como respuesta la suma de 
ambos resultados, sabiendo que los conjuntos 
A y B son:
A = {(x3 – x) / x ∈ ;	–4	<	x	<	3}
Calcula la suma de elementos que tienen los 
conjuntos A y B. Da como respuesta la suma de 
ambos resultados, sabiendo que los conjuntos 
A y B son:
A = {(x3 + x) / x ∈ ;	–3	<	x	<	3}
Rpta. Rpta.
B =
x2	+	2
2
∈ / x ∈ A B =
x2	–	2
2
∈ / x ∈ A
Resolución: Resolución:
21 22
21MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
Sea el conjunto M, tal que:
M	=	{(3x	+	7)	/	x	∈ ;	7	<	2x	+	1	<	15}
Halla la suma de los elementos del conjunto M.
1
Sea el conjunto R, tal que:
R = {(x4	–	5x2	+	4)	/	x	∈ ;	0	≤	x2	≤	9}
Encuentra	la	suma	de	sus	elementos.
Sea el conjunto P, tal que:
P	=	{(3a	+	5)	/	a	∈ ;		1	<	a	<	6}
Calcula la suma de elementos del conjunto P.
Sean los conjuntos A, B y C:
A	=	{(3x	+	2)	/	x	∈ ;		–2	<	x	<	5}
B = {(x2	+	3)	/	x	∈ ;		–3	<	x	≤	4}
C	=	{(2x	–	1)	/	x	∈ ;		2x	<	6}
Determina la suma	de	los	elementos	que	hay	en	
cada conjunto, da como respuesta la suma de 
estos resultados.
Sea el conjunto A, tal que:
A = {(x2	–	5)	/	x	∈ ;	10	<	3x	+	5	<	22}
Descubre la suma de sus elementos.
Sea el conjunto B, tal que:
B	=	{(3x + x) / x ∈ ;		–1	<	x	≤	5}
Halla la suma de sus elementos.
2
3
6
5
4
A 	 84	 B 	 85	 C 	 86
D 	 87	 E 	 88
A 	 60	 B 	 62	 C 	 64
D 	 65	 E 	 66
A 	 379	 B 	 380	 C 	 381
D 	 382	 E 	 384
A 	 60	 B 	 68	 C 	 62
D 	 64	 E 	 66 A 	 42	 B 	 46	 C 	 38
D 	 40	 E 	 44
A 	 32	 B 	 33	 C 	 34
D 	 35	 E 	 36
22
Nivel II
Sea el conjunto A, tal que:
B = {x2 / x ∈ ;	20	<	3x	+	3	<	34}
Encuentra	la	suma	de	sus	elementos.
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A	=	{2x	/	x	∈ ;	2	≤	x	<	7}
B =
x
2
∈ / x ∈ ;	1	<	x	≤	9
Descubre la suma de elementos de cada conjunto.
Sean los conjuntos A, B y C, tales que:
A = {x / x ∈ ;		6	<	x	<	12}
B	=	{x	+	4	/	x	∈ ;		5	<	x	<	10}
C = {x2	+	1	/	x	∈ ;		3	<	x	<	8}
Calcula la suma de los elementos en cada 
conjunto y da como respuesta la suma de estos 
tres resultados.
9
10
12
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A	=	{(4x	–	1)	/	x	∈ ;	4	<	x	<	12}
B =
x
3
∈ / x ∈ A
Determina la suma de los elementos del conjunto 
A y también del conjunto B. Da como respuesta la 
suma de ambos resultados.
8
Sean los conjuntos C y B, tales que:
C = {x2	–	1	/	x	∈ B	;	x	≤	8}
B	=	{2x	+	1	/	x	∈ 	;	1	≤	x	≤	5}	
Halla la suma de los elementos del conjunto C.
11
Sea el conjunto P, tal que:
P	=	{3x	/	x	∈ ; 2x	+	1 ∈ ;	2	<	x	≤	15}
Calcula la suma de sus elementos.
7
A 	 310	 B 	 314	 C 	 315
D 	 320	 E 	 330
A 		 40	y	12	 B 		 38	y	10	
C 		 38	y	12	 D 		 40	y	10
E 		 42	y	8
A 	 42	 B 	 45	 C 	 48
D 	 51	 E 	 53
A 	 264	 B 	 266	 C 	 268
D 	 270	 E 	 272
A 	 80	 B 	 78	 C 	 84
D 	 86	 E 	 92
A 	 210	 B 	 214	 C 	 218
D 	 221	 E 	 225
23MateMática Delta 3 - aritMética
13
 
 
 
 
Si A = {x ∈ 	/	36	<	(x	–	1)2	<	144},	determina	el	
número	de	los	elementos	de	A.
Encuentra	el	cardinal	de	B.
B	=	{x		/	(			x	+	1	−	1)	∈ ;	x	≤	15}
14
15
16
17
18
Descubre la suma de elementos del conjunto D.
D = {x3 / x ∈ ;	–5	<	x	<	2}
Halla el cardinal de F.
F = {x / x es	 un	 departamento	 del	 Perú,	 cuyo	
nombre inicia con «L»}
Sean los conjuntos:
A = {x / x ∈ ;	3	≤		x	<	8}
B	=	{x	+	1	/	x ∈ ;	0	≤		x	<	4}
Calcula el resultado de n(B) . n(A).
Sean los conjuntos:
C = {x / x es consonante de la palabra inecuación}
D = {x / x es vocal de la palabra ecuación}
Determina el resultado de n(C)n(D) + n(D)n(C).
A 	 22	 B 	 19	 C 	 21
D 	 18	 E 	 20
A 	 4	 B 	 5	 C 	 12
D 	 8	 E 	 10
A 	 2	 B 	 4	 C 	 5
D 	 3	 E 	 1
A 	 6	 B 	 2	 C 	 5
D 	 4	 E 	 3
A −150 B −99 C −76
D 125 E 134
A 56 B 57 C 24
D 48 E 58
24
Sean los conjuntos:
E	=	{x	/	x	∈ ;	x	es	M(12),	156	<	x	≤	216}
F = {x / x ∈ ;	x	es	D(51)}
Encuentra	el	resultado	de:	
n(F) .	n(E)	–	[n(F)	+	n(E)]
Sean los conjuntos:
G = {x / x ∈ ;	x	es	D(20)}
H = {x / x ∈ ;	x	es	M(6),	215	<	x	<	241}
Determina n(G) .	n(H)	–	[n(G)	+	n(H)].
Encuentra	el	cardinal	de	J.
J = {x / x es provincia del departamento de
 Lambayeque}
Calcula el cardinal de K.
K = {x / x es un país de América cuyo nombre 
inicia con «c»}
Sea el conjunto J, tal que:
J = {2x	/ x ∈ ;			3x	–	2	∈ ;	2	≤	x	<	15}
Halla la suma de sus elementos.
19
23
24
22
21
Descubre el cardinal de H.
H = {		x	+	3	–1	/ x ∈ ;	6	≤	x	≤	22}
20
Nivel III
A 	 19	 B 	 12	 C 	 11
D 	 17	 E 	 51
A 	 17	 B 	 18	 C 	 19
D 	 12	 E 	 21
A 	 5	 B 	 4	 C 	 3
D 	 2	 E 	 1
A 	 5	 B 	 1	 C 	 2
D 	 3	 E 	 4
A 	 22	 B 	 21	 C 	 23
D 	 24	 E 	 20
A 1 B 3 C 5
D 2 E 4
Tema
25MateMática Delta 3 - aritMética
2
De	acuerdo	al	número	de	elementos	que	tienen,	los	conjuntos	se	pueden	clasificar	en	
finitos o infinitos.
Conjunto finito
Es	un	conjunto	formado	por	un	número	determinado	de	elementos.	
Por lo tanto, se puede expresar por extensión y su proceso de 
conteo tiene fin.
B = {x / x es un día de semana}
C = {primavera, verano, invierno, otoño}
D = {xx / x ∈ ;	3	˂	2x	<	11}
E	=	{x	/	x	es	un	número	primo	menor	que	20}
Conjunto infinito
Conjunto	formado	por	un	número	indeterminado	de	elementos.	
Por lo tanto, no se puede expresar por extensión y su proceso 
de conteo no tiene fin.
F = {x / x es una estrella de la Vía Láctea}
G	=	{x	/	x	es	un	número	primo}
H	=	{1;	3;	5;	7;	9;	...}
J		=	{(x	+	3)	/	x	>	6}
Dentro de los conjuntos infinitos, algunos de ellos tienen elementos que pueden ser 
sometidos a un proceso de conteo pero nunca tendrá fin tal conteo. Otros conjuntos 
tienen elementos que ni siquiera pueden ser contados porque no sabremos dónde 
empezar ni tampoco dónde terminar.
De	allí	que	podemos	hablar	de	conjunto	 infinito	numerable	o	de	conjunto	 infinito	no	
numerable.
El	 conjunto	 de	 los	 números	 primos:	 2;	 3;	 5;	 7;	 11;	 13;	 ...	 es	 infinito y Euclides lo 
demostró con un razonamiento muy elegante.
¿Es igual el # al # ?
Todo	 comienza	 cuando	 Cantor	 buscaba	 una	 formade	 comparar	 el	 tamaño	 de	 dos	
conjuntos sin necesidad de contar los elementos que contienen. De esta forma llegó 
a la conclusión de que dos conjuntos tienen el mismo cardinal, si podemos poner, 
mediante cierta función, en correspondencia unívoca cada elemento de un conjunto 
con un y solo uno de los elementos del otro. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de 
cuatro	cucharas	y	otro	de	cuatro	tenedores,	podemos	agrupar	cada	cuchara	con	cada	
tenedor	y	como	hemos	encontrado	una	correspondencia	afirmamos	que	el	conjunto	de	
las	cucharas	y	el	de	los	tenedores	tienen	el	mismo	tamaño	o	cardinal.
Este	teorema	aparentemente	trivial	tiene	la	gracia	de	que	en	ningún	momento	se	impone	
que los conjuntos deban ser finitos. Así pues, es perfectamente válido si consideramos 
conjuntos	 infinitos	 de	 objetos.	 Pensemos	 en	 el	 conjunto	 de	 los	 números	 enteros	
positivos	y	el	de	los	números	pares.	Los	dos	conjuntos	son	infinitos,	pero	podríamos	
pensar	que	hay	más	números	enteros	positivos	que	números	pares,	ya	que	en	este	
último	conjunto	no	se	encuentran	elementos	que	sí	están	en	el	conjunto	de	los	enteros	
positivos. Sin embargo, realicemos una sencilla correspondencia.
+:	1;		2;		3;		4;			5;		...	;		n;		...
 P:	2;		4;		6;		8;		10;	...	;		2n;		...
Como veremos, simplemente asociamos cada elemento de + con su doble que se 
encuentra como elemento en P,	de	allí	que	hemos	encontrado	una	correspondencia	
válida para afirmar que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal.
El h ot e l más 
g ra n de de l 
mu n do
Dos grandes 
hoteleros	que	
querían construir el 
hotel	más	grande	
del mundo se 
reunieron a dialogar 
sobre el asunto 
y comenzaron 
por el primer y 
más obvio tema a 
discutir: cuántas 
habitaciones	tendría.	
—¿Qué te parece 
si construimos un 
hotel	con	1000	
habitaciones?	—No,	
porque si alguien 
construyera uno de 
2000	habitaciones,	
nuestro	hotel	ya	no	
sería tan grande. 
Mejor	hagámoslo	
de	10	000.	—Pero	
podría ser que 
alguien construyera 
uno	de	20	000	
y volveríamos a 
quedarnos con un 
hotel	pequeño.	
Construyamos un 
hotel	con	1	000	000	
de	habitaciones,	
ese	sería	un	hotel	
grande. —Y qué 
tal si alguien 
construyera uno 
con... Como siempre 
podría llegar a 
haber	un	hotel	más	
grande, llegaron 
a la conclusión de 
que era necesario 
hacer	un	hotel	con	
habitaciones	infinitas	
de manera que 
ningún	otro	hotel	
del mundo pudiera 
superar su tamaño…
Conjuntos II
Clasificación de un conjunto
5k – 12
4k – 12
26
Conjuntos especiales
Conjunto vacío
Conjunto que no posee elemento alguno. Se representa por { } o ∅.
Ejemplos:
M = {x / x ∈ ;	7	˂	x	˂	8}	=	∅
P	=	{x	/	x	es	un	cuadrilátero	de	5	lados}	=	{ }
Conjunto unitario
Es	el	conjunto	que	tiene	un	solo	elemento.
Ejemplos:
S = {x / x ∈ ;	7	˂	x	˂	9	}																													=	{8}
P	=	{x	/	x	es	cifra	par	del	número	35	479}			=	{4}
Conjunto universal
Es	aquel	conjunto	que	mínimamente	está	formado	por	todos	los	elementos	motivo	de	
estudio, por lo tanto contiene a todos los conjuntos analizados. Se representa por el 
símbolo .
Ejemplo:
 = {x / x ∈ }	=	{0;	1;	2;	3;	...}
A	=	{1;	3;	5;	7;	9}
B	=	{0;	2;	4;	6;	8}
Relación entre conjuntos
Inclusión
Se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B, si todo elemento de A también 
pertenece al conjunto B.
Definición matemática:
A ⊂ B ⇔ (∀ x ∈ A → x ∈ B)
El	cual	se	lee	como:	
A está incluido en B, si y solo si, todo elemento x que pertenece al conjunto A también 
pertenece al conjunto B.
Ejemplo:
A = {níquel, cromo, vanadio}
B = {oro, níquel, platino, cromo, plata, vanadio, sodio}
C = {oro, platino, vanadio}
Observamos que:
A ⊂ B y se lee como: A está incluido en B.A es subconjunto de B.
C ⊂ B y se lee como: C está incluido en B.C es subconjunto de B.
A ⊄ C y se lee como: A no está incluido en C.
A no es subconjunto de C.
Repa sa
∅ es una letra vocal 
utilizada en las 
lenguas danesa y 
noruega.
Al conjunto vacío 
también se le conoce 
como conjunto nulo.
Antiguamente se 
consideraba al 
conjunto universal 
como	«El	conjunto	
de todas las cosas»; 
sin embargo, está 
demostrado que 
dicho	conjunto	
no existe, porque 
suponer la existencia 
de	dicho	conjunto	
conduce a la 
paradoja de Rusell. 
•	1 •	3
•	5 •	7
•	9
A
•	4 •	6
•	0 •	2
•	8
B
•	Ni
•	V
A
•	Cr
•	Na
•	Au
•	Pt
CB
27MateMática Delta 3 - aritMética
Si M ⊂ R y R ⊂ P ⇒ M ⊂ P
Además:
M = {verde, amarillo, negro}
R = {negro, azul, verde, amarillo, rojo}
P = {azul, amarillo, rojo, negro, blanco, verde, anaranjado, marrón}
Observamos que:
Conjuntos iguales
Un conjunto A es igual a otro conjunto B, si A está incluido en B y B también está 
incluido en A.
Definición matemática:
A = B ⇔ (A ⊂ B ∧ B ⊂ A)
Ejemplo:
A	=	{2;	4;	6;	8;	10}
B	=	{10;	8;	6;	4;	2}
C	=	{x	/	x	es	par;	x	<12}
Vemos que:
Llamado	también	conjunto	de	partes	de	un	conjunto.	Es	 la	 relación	que	existe	entre	
el conjunto A y todos los subconjuntos que se pueden formar con sus elementos, 
incluyendo el conjunto vacío.
Definición matemática:
P(A) = {x / x ⊂ A}
Ejemplo:
Sea	el	conjunto	A	=	{5;	7;	9}
Los subconjuntos de A son:
∅, {5};	{7};	{9};	{5;	7};	{5;	9};	{7;	9};	A
son	8	subconjuntos	de	A
Entonces,	el	conjunto	potencia	de	A	se	denota	como	P(A),	
Luego:
P(A) = {∅;	{5};	{7};	{9};	{5;	7};	{5;	9};	{7;	9};	A}
Además,	el	número	de	elementos	de	P(A)	se	calcula	como	2n(A):
n[P(	A)]	=	2	n(A)
Conjunto potencia
Los términos 
pertenencia o 
inclusión son 
diferentes, pero 
muchas	veces	
se les confunde. 
Por ejemplo, es 
frecuente decir «yo 
pertenezco a este 
grupo» o «yo estoy 
incluido en este 
grupo» y en ambos 
casos se entiende 
lo mismo. Pero en la 
teoría de conjuntos 
estos son diferentes.
La relación de 
pertenencia se da 
entre elementos de 
un conjunto y este. 
No es correcto decir 
que un elemento 
está incluido en un 
conjunto. Veamos:
Sea	A	=	{5;	2;	{6;	2}}
Entonces:
•	5	∈ A
•	{6;	2}	∈ A
•	{6;	2}	⊄ A
La relación de 
inclusión se da entre 
conjuntos.
Import a nt e
Re cu e rda
•	2 •	4
•	8 •	6
•	10
A
•	10
•	4
•	8 •	6
•	2
•	10
•	4 •	8•	6•	2
B C
⇒ A = B = C
Si A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A = B
Si B ⊂ C y C ⊂ B ⇒ B = C
⇒ A = B = C
Se dice que B es 
subconjunto propio 
(partes propias) de A, 
si B es subconjunto 
de	A	pero	B	≠ A.
Es	correcto	decir	
que un subconjunto 
está incluido en un 
conjunto mayor. 
28
Halla los elementos de cada conjunto e indica 
cuántos	son	finitos.
• A = {x / x ∈ ; x es par}
• B = {x / x es letra de la palabra universidad}
• C = {x / x ∈ ;	x	<	5}			
• D = {x / x ∈ ;	x	es	M	(5),	8	<	x	<	34}	
•	 E	=	{x	/	x	es	letra	de	la	palabra	computación}
Resolución:
Se tiene los conjuntos unitarios P y Q, tales que 
P	=	{2x	+	3y;	39}	y	Q	=	{5x	–	4y;	17}.	Encuentra	el	
valor de x2 + y2.
Resolución:
Dados los conjuntos:
C	=	{x	–	1	/	x	∈ ;	–3	<	x	<	3}
D	=	{2x	+	3	/	x	∈ ;	–2	<	x	<	3}
Descubre	el	valor	de	n[P(C)]	+	n[P(D)].
Resolución:
Halla los elementos de cada conjunto e indica 
cuántos son vacíos.
•	 A	=	{x	/	x	es	una	cifra	par	del	número	19	397}
• B = {x / x ∈ ;	x	es	M(12),	26	<	x	<	35}
• C = {x / x es un país de América cuyo nombre 
inicia con L}
Resolución:
Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor 
de mn.
A	=	{2m	+	6;	15};	B	=	{10;	nm – 10};	(n	>	0)
Resolución:
Se tienen los conjuntos iguales y unitarios A y B, 
tales que:
A	=	{2a	–	b;	c}
B	=	{3c	–	14;	3b	–	8}	
Determina el valor de a2 + b2 + c2.
Resolución:
1 4
5
6
2
3
Rpta. Hay	3	conjuntos	finitos.
Rpta. 130
Rpta. 48Rpta. 32 
Rpta. 110 Rpta. Todos
Hallamos los elementos:
A	=	{2;	4;	6;	8;	...}
B = {u, n, i, v, e, r, s, d, a}
C	=	{...;	–2;	–1;	0;	1;	2;	3;	4}
D	=	{10;	15;	20;	25;	30}
E	=	{c,	o,	m,	p,	u,	t,	a,	c,	i,	n}
Hallando los elementos:
•	 C	=	{–3;	–2;	–1;	0;	1}		⇒ n(C)	=	5
⇒ n[P(C)]	=	25	=	32
•	 D	=	{1;	3;	5;	7}		⇒ n(D)	=	4
⇒ n[P(D)]	=	24	=	16
•	 Calculando	n[P(C)]	+	n[P(D)]:		32	+	16	=	48
Hallando los elementos:
A = { }
B = ∅
C = { }
Todos	son	vacíos.
•	 Calculando mn
	 25	=	32
•	 Hallando n
 n2	–	10	=	15
	 	 n	=	5
•	 Hallando m
	 2m	+	6	=	10
	 						m	=	2
•	 Hallandoc
	 3c	–	14	=	c
	 	 c	=	7
•	 Calculando:
 a2 + b2 + c2	 =	62	+	52	+	72
	 	 =	36	+	25	+	49
	 	 =	110
•	 Hallando b
	 3b	–	8	=	7
	 						b	=	5
•	 Hallando a
	 2a	–	5		=	7
	 							a	=	6
Hallando los valores de x e y:
2x	+	3y	=	39	→	(×4)	→				8x	+	12y	=	156
5x	–	4y		=	17	→	(×3)	→ 15x	–	12y	=			51
																																							23x										=	207
																																																					x	=	9
																																																					y	=	7
∴ Calculando x2 + y2: 
				92	+	72	=	81	+	49	=	130
Ejercicios resueltos
29MateMática Delta 3 - aritMética
Síntesis
Conjuntos II
Clases de conjuntos
• Finito
	 Es	 un	 conjunto	 formado	 por	 un	 número	
determinado de elementos. Por lo tanto, se 
puede expresar por extensión y su proceso de 
conteo tiene fin.
• Infinito
	 Conjunto	formado	por	un	número	indeterminado	
de elementos. Por lo tanto, no se puede expresar 
por extensión y su proceso de conteo no tiene fin.
Conjuntos especiales
• Vacío
 Conjunto que no posee elemento alguno. Se 
representa por { } o ∅.
• Unitario
	 Es	el	conjunto	que	tiene	un	solo	elemento.
• Universal
	 Es	aquel	conjunto	que	mínimamente	está	formado	
por todos los elementos motivo de estudio, por lo 
tanto contiene a todos los conjuntos analizados. 
Se representa por el símbolo .
Relaciones entre conjuntos 
• Inclusión
 Se dice que el conjunto A está incluido en el 
conjunto B, si todo elemento de A también 
pertenece al conjunto B.
• Conjuntos iguales
 Un conjunto A es igual a otro conjunto B, si A está 
incluido en B y B también está incluido en A.
• Conjuntos potencia
 Llamado también conjunto de partes de un 
conjunto.	 Es	 la	 relación	 que	 existe	 entre	 el	
conjunto A y todos los subconjuntos que se 
pueden formar con sus elementos, incluyendo el 
conjunto vacío.
Dados los conjuntos:
A	=	{x	+	5	/	x	∈ ;	−2	<	x	≤	4}
B	=	{3x	−	1	/	x	∈ ;	−1	<	x	≤	3}
Calcula	n[P(A)]	−	n[P(B)],	si	n(L)	se	 lee	cardinal	
de	L	o	número	de	elementos	de	L.
Resolución: Resolución:
Modela y resuelve 
1 2 Dados los conjuntos:
M	=	{2x	+	1	/	x	∈ ;	−2	≤	x	≤	1}
N	=	{x	−	5	/	x	∈ ;	−2	<		x	≤	3}
Calcula	n[P(M)]	+	n[P(N)],	si	n(L)	se	lee	cardinal	
de	L	o	número	de	elementos	de	L.
Rpta. Rpta.
30
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Se tiene los conjuntos unitarios P y Q, tales que:
P	=	{3x	+	5y;	43}
Q	=	{4x	–	3y;	9}
Determina el valor de x2 + y2.
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A	=	{5x	+	7y;	117}
B	=	{9x	–	13y;	–71}
Determina el valor de x2 + y2.
Rpta. Rpta. 
Se tienen los conjuntos iguales A y B, tales que:
A = {a2	+	1;	12}
B	=	{a	–	b;	17}
Halla todos los posibles valores de (a + b), siendo 
a	y	b	números	enteros.
Se tienen los conjuntos iguales A y B, tales que:
A = {a2	–	1;	17}
B	=	{b	–	a;	35}
Halla todos los posibles valores de (a + b), siendo 
a	y	b	números	enteros.
Rpta. Rpta. 
3 4
5 6
31MateMática Delta 3 - aritMética
Sea el conjunto A de la forma:
A = {x2	+	1	/	x	∈ ;	8	<	2x	+	1	<	19}
Encuentra	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	A	 y	 el	
número	de	subconjuntos	que	tiene.
Sea el conjunto B de la forma:
B	=	{x(x	–	2)	/	x	∈ ;	–5	<	5x	+	3	<	10}
Descubre la suma de sus elementos con el 
número	de	subconjuntos	que	tiene.
Sea el conjunto A de la forma:
A = {x2	–	3	/	x	∈ ;	‒12	<	3x	‒	7	<	0}
Encuentra	 la	 suma	 de	 los	 elementos	 de	A	 y	 el	
número	de	subconjuntos	que	tiene.
Sea el conjunto C de la forma:
C	=	{x(x	+	2)	/	x	∈ ;	–2	<	4x	–	3	<	8}
Descubre la suma de sus elementos con el 
número	de	subconjuntos	que	tiene.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
7 8
9 10
32
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A = {a2	+	1;	3a	–	1}
B	=	{3x	+ y;	x	–	y	–	8}
Calcula el valor de a + x + y, sabiendo que a es 
par.
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A	=	{		a	+			b	;	16}
B	=	{		a	–			b	;	10}
Determina el valor de a2 – b2.
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A = {a2	+	2;	8a	–	10}
B	=	{3x	– y;	x	+	y	+	10}
Calcula el valor de a + x – y, sabiendo que a es el 
mayor posible.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Se tiene los conjuntos unitarios A y B, tales que:
A	=	{		x	+			y	;	12}
B	=	{		x	–			y	;	6}
Determina el valor de x2 – y2.
11 12
13 14
33MateMática Delta 3 - aritMética
15 16Sea el conjunto A, tal que:
A	=	{7;	8;	10}
Halla si las proposiciones son verdaderas (V) o 
falsas (F).
I.		 {8}	∈ P(A) ( ) 
II.		 Ø		⊂ P(A) ( )
III.		 {10;	4}	∈ P(A) ( ) 
IV.		 {{8;	7}}	⊂ P(A) ( )
V.		 {10;	12}	∈ P(A) ( )
Sea el conjunto A, tal que:
A	=	{6;	{8};	9}
Halla si las proporciones son verdaderas (V) o 
falsas (F).
I.		 {8}	∈ P(A) ( )
II.		 Ø		∈ P(A) ( ) 
III.		 {6;	9}	∈ P(A) ( ) 
IV.		 {{8};	9}	⊂ P(A) ( )
V.		 {{8};	6}	∈ P(A) ( )
 
 
 
 
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Se tiene los conjuntos iguales y unitarios A y B, 
tales que:
A	=	{2a	–	b;	c}
B	=	{3c	– 12;	4b	–	10}
Encuentra	el	valor	de	a2 + b2 + c2.
Se tiene los conjuntos iguales y unitarios A y B, 
tales que:
A	=	{4a	–	b;	2c}
B	=	{5c	– 21;	4b	–	10}
Encuentra	el	valor	de	a2 + b2 + c2.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
17 18
34
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
Conociendo el conjunto A, tal que:
A	=	{1;	2;	{3};	4;	{5}}
Descubre la veracidad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones.
I.		 {2}		 ⊂ A ( )
II.		 {2;	4}	 ⊂ A ( )
III.		 {4}	 ⊂ A ( )
IV.		 {{5};	3}		⊂ A ( )
Se tienen los conjuntos iguales A, B y C, tales 
que:
A	=	{3a	+	5;	7}
B	=							–	2;	29
C	=	{5c	+	14;				d	+	2}
Se tienen los conjuntos iguales A, B y C, tales 
que:
A	=	{4a	+	9;	6}
B	=							–	1;	21
C	=	{8c	–	3;				d	+	4}
Si c; d ∈ , calcula el valor de a + b + c + d. Si c; d ∈ , calcula el valor de a + b + c + d.
Conociendo el conjunto A, tal que:
A	=	{6;	8;	{4};	6;	{2}}
Descubre la veracidad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones.
I.		 {8}		 ⊂ A ( )
II.		 {{2};	{4}}	 ⊂ A ( )
III.		 {4}	 ⊂ A ( )
IV.		 {{2};	8}		 ⊂ A ( )
Rpta. Rpta.
b
3
b
4
19 20
21 22
35MateMática Delta 3 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
Halla los elementos de cada conjunto e indica 
cuántos son infinitos.
A = {x / x ∈ ; x es impar} 
B = {x / x es letra del alfabeto con que se forma un 
número	romano}	
C = {x / x ∈ ;	x	<	–3}	
D = {x / x es nombre de una persona que inicie 
con a} 
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A	=	{2a	+	b;	13}	 B	=	{b	+	2;	3a	–	b}
Si ambos conjuntos son unitarios, calcula el valor 
de a × b.
1
2
Sean los conjuntos A y B, tales que:
A = {n2	+	1;	–6}
B	=	{2	–	m;	10}
Si ambos conjuntos son iguales, determina el 
valor de (m + n).
3
Sea	 A	 un	 conjunto	 que	 tiene	 4	 elementos,	
encuentra cuántos subconjuntos tiene.
Sea el conjunto A, tal que:
A = {x2	+	1	/	x	∈ ;	–3	≤	x	≤	4}
Descubre cuántos subconjuntos tiene.
Si	 el	 conjunto	 A	 tiene	 16	 subconjuntos,	 halla	
cuántos elementos tiene el conjunto A.
4
5
6
A 	 11	 B 	 8	 C 	 5
D 	 11	o	5	 E 	 10	o	6
A 	 12	 B 	 15	 C 	 20
D 	 24	 E 	 18
A 	 2	 B 	 3	 C 	 4
D 	 5	 E 	 6
A 	 1	 B 	 3	 C 	 Solo	2
D 	 4	 E 	 0
A 	 2	 B 	 6	 C 	 4
D 	 8	 E 	 16
A 	 4	 B 	 64	 C 	 8
D 	 16	 E 	 32
36
A 	 28	 B 	 36	 C 	 24
D 	 54	 E 	 42
Calcula cuántos subconjuntos tienen A y B en 
total.
A = {x2 / x ∈ ;		–2	<	x	<	5}
B	=	{2x	–	x	/	x	∈ ;		–1	<	x	<	3}
Determina cuántos subconjuntos tiene el conjunto 
D, tal que: D = { 2x	+	1 ∈ / x ∈ ;	2	<	x	<	15}
Sea el conjunto A, tal que:
A = {x2	+	1	/	x	∈ ;	–3	<	x	<	3}
Encuentra	 la	 suma	 de	 sus	 elementos con el 
número	de	subconjuntos	que	tiene.
Nivel II
Sean los conjuntos:
A	=	{x	/	x	es	impar;		x	≤	13}
B	=	{x	/	x	es	impar;		3	<	x	≤	11}
C	=	{2x	/	x	es	primo	menor	que	17}
Halla qué proposiciones son ciertas.
I.				A	está	incluido	en	B.
II.		 C	no	está	incluido	en	B.
III.		A	no	está	incluido	en	C.
Calcula los elementos de cada conjunto e indica 
cuántos son unitarios.
• A = {x / x ∈ ;	x	es	cifra	par	de	36	754}• B = {x / x es país de América cuyo nombre 
 inicia con r}
• C = {x / x ∈ ;	x	es	par,	3	<	x	<	4}
•	 D	=	{x	/	x	es	puerto	chileno	donde	se	encuentra	 
 anclado el monitor «Huáscar»}
A 	Solo	II		 B 	Solo	III	
C 	II	y	III		 D 	I	y	III	
E 	Solo	I
7
8
9
11
12
Descubre el valor de a . b . c, si A, B, C y D son 
conjuntos iguales, tales que:
A	=	{a	+	2;	a	+	1}																B	=	{7	–	a;	8	–	a}
C	=	{b	+	1;	c	+	1}																D	=	{b	+	2;	4}
10
A 	 40	 B 	 14	 C 	 28
D 	 20	 E 	 38
A 	 2	 B 	 4	 C 	 8
D 	 16	 E 	 32
A 	 12	 B 	 14	 C 	 16
D 	 18	 E 	 20
A 	 1	 B 	 3	 C 	 2
D 	 4	 E 	 0
37MateMática Delta 3 - aritMética
A 	 13	 B 	 25	 C 	 10
D 	 20	 E 	 8
A 	 67	 B 	 31	 C 	 61
D 	 23	 E 	 35
A 	 1	 B 	 2	 C 	 3
D 	 4	 E 	 5
A –10 B 11 C 	 10
D –11 E 	 8
Dados los conjuntos A = {a; b} y B = {a; b; {b}}, 
determina	el	número	de	elementos	de	P(A	∩ B).
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {a2	+	2a;	b3	–	b}																B	=	{2a;	15}
Encuentra	el	valor	de	a2 + b2; sabiendo que a y b 
son enteros.
13 16
14
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A	=	{m	+	2;	n2	+	9}																		B	=	{10;	–9}
Descubre el valor de m × n; sabiendo que m y n 
son enteros.
15
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A	=	{2m	+	6;	2}																								B	=	{10;	p	–	3}
Halla el valor de m2 + p2.
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {m2	–	1;	2}																								B	=	{18	–	p2;	8}
Calcula el mayor valor de m3 + p; sabiendo que m 
y p son enteros.
17
18 Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A	=	{3x	+	5;	12;	8x	–	4}															B	=	{3x	+	6;	11}
Determina el cardinal del conjunto: 
L = {x2;	2x;	x	+	2;	3x	–	4}.
A 	 1	 B 	 2	 C 	 4
D 	 8	 E 	 16
A 	 20	 B 	 11	 C 	 25
D 	 13	 E 	 29
38
A 15 B 	 18	 C –12
D 	 25	 E 	 9
A 28 B 	 52	 C 5
D 	 25	 E 	 10
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A = {m2	+	1;	31}																		B	=	{26;	n2	–	5}
Encuentra	el	mayor	valor	de	m	×	n;	sabiendo	que	
m y n son enteros.
Dados los conjuntos unitarios:
C = {x2 – y2;	45}											y									D	=	{x	+	y;	15}
Calcula el valor de x – y.
Si los conjuntos A y B son iguales, determina el 
valor de x2 – y2.
A	=	{x	+	y;	8}												y													F	=	{16;	x	– y}
Si el conjunto A es unitario, encuentra el valor de 
(a + b)2. 
A	=	{a	+	2b;	3b	–	a	+	2;	11}
19
22
23
24
20
21
Si los conjuntos A y B son iguales, tales que:
A	=	{2a2	–	1;	13}															B	=	{2a2	–	5;	3b	+	2}
Descubre el mayor valor de a × b; sabiendo que 
a y b son enteros.
Si los siguientes conjuntos son iguales:
A = {x3	+	2;	20}										y									B	=	{29;	y5 –	4x}
Halla el valor de (x + y)2.
Nivel III
A –15 B 	 18	 C –12
D 	 28	 E 	 30
A 3 B 	 5	 C 15
D 	 10	 E 	 2
A 	 64	 B 	 164	 C 	 128
D 	 256	 E 	 132
A 	 36	 B 	 49	 C 	 14
D 	 12	 E 	 56
Tema
39MateMática Delta 3 - aritMética
3
Conjuntos III
Unión o reunión
Sean A y B dos conjuntos cualquiera, la unión de A y B se representa como A ∪ B y 
será el conjunto formado por elementos que pertenecen al conjunto A, al conjunto B o 
a ambos.
Definición matemática:
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} 
A = {1; 2}
B = {2; 3}
1
A B
• 1 • 2 • 3
A ∪ B = {1; 2; 3}
A = {2; 4}
B = {1; 3}
2
A B
A ∪ B = {1; 2; 3; 4}
• 2
• 4
• 1
• 3
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {1; 2}
3
A
• 1
• 2
• 5
• 3
• 4 • 6
B
A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = A
Intersección
Sean A y B dos conjuntos, la intersección de A y B se representa como A ∩ B, y será 
el conjunto formado por los elementos que son comunes tanto al conjunto A como al 
conjunto B.
Definición matemática:
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
A = {a, b}
B = {b, c}
1
A B
• a • b • c
A ∩ B = {b}
A = {a, b, c, d}
B = {a}
3
A
• a
• b
• c • d
B
A ∩ B = {a} = B
A = {a, b, c}
B = {d, e, f}
2
A B
A ∩ B = ∅
• b
• a
• c
• e
• d
• f
• A ∪ A = A
• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ B ∪ C
 = (A ∪ B) ∪ C
 = A ∪ (B ∪ C)
 = (A ∪ C) ∪ B
• A ∪ ∅ = A
• Si A ⊂ B 
 ⇒ A ∪ B = B 
Ade más
Cuando A ∩ B = ∅, 
afirmaremos que A 
y B son conjuntos 
disjuntos.
Recu e rda
• A ∩ A = A
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ B ∩ C
 = (A ∩ B) ∩ C
 = A ∩ (B ∩ C)
 = (A ∩ C) ∩ B
• Si A ⊂ B 
 ⇒ A ∩ B = A 
Operaciones entre conjuntos
5k – 12
4k – 12
40
Diferencia
Sean A y B dos conjuntos, la diferencia de A menos B se representa como A – B, 
y será el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A pero no 
pertenecen al conjunto B.
Definición matemática:
Complemento de un conjunto
Sea A un conjunto, su complemento se representa como (AC ; A'; A) , y es el conjunto 
formado por los elementos que pertenecen al conjunto universal pero no pertenecen al 
conjunto A.
Definición matemática: 
AC = – A = {x / x ∈ ∧ x ∉ A}
Ejemplo:
 = {I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X}
A = {I, II, III, V, VI}
B = {IV, III, VIII, X, VII}
El complemento de A = AC = {IV, VIII, VII, X, IX}
El complemento de B = BC = {I, II, V, VI, IX}
A – B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
• El conjunto A – B 
no es lo mismo 
que el conjunto 
 B – A, es decir:
 A – B ≠ B – A 
• Si A ⊂ B 
 ⇒ A – B = ∅
¿Sa bía s qu e.. .?
Impo rt a nt e
Not a
A = {m, n, p}
B = {n, q}
1
A B
• m • n • q
A – B = {m, p} 
B − A = {q}
• p
A = {3; 7}
B = {5; 8}
2
A B
A – B = A 
B – A = B
• 3
• 7
• 8
• 5
A = {a, b, 2; 3}
B = {a, b}
3
A
B
A – B = {2; 3} 
B – A = ∅
• 2
• 3
• a
• b
• I
• III
• IV
• VIII
• X
• VII
• IX
• II
• V
• VI
A B
• (AC)C = A
• C = ∅
• ∅C = 
• A ∩ AC = ∅
• A ∪ AC = 
Leyes de De Morgan
• (A ∪ B)C = AC ∩ BC 
• (A ∩ B)C = AC ∪ BC
Si A ∩ B = ∅ además 
AC = B, entonces 
diremos que A y 
B son conjuntos 
complementarios.
41MateMática Delta 3 - aritMética
Ade más
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
Diferencia simétrica
Sean A y B dos conjuntos, la diferencia simétrica entre ellos se representa como A B, y 
es el conjunto formado por la unión de A – B y B – A. 
Definición matemática: 
A B = {x / x ∈ (A – B) ∨ x ∈ (B – A)}
Ejemplos:
A = {1; 2; 3}
B = {3; 4; 5}
1
A B
•1
A B = {1; 2; 4; 5}
•2
•3
• 4
• 5
A = {1; 2; 3}
B = {4; 5}
2
A B
• 2
• 1
• 3
• 4
• 5
A B = {1; 2; 3; 4; 5}
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {1; 2}
3
A
• 1• 3
• 4 • 6
B
• 2
• 5
A B = {3; 4; 5; 6}
Producto cartesiano
Sean A y B dos conjuntos no vacíos, su producto cartesiano se representa como A × B, 
y es el conjunto formado por pares ordenados de la forma (x ; y) de tal modo que 
(x ∈ A) y (y ∈ B).
Definición matemática:
A × B = {(x ; y) / x ∈ A ∧ y ∈ B}
Ejemplo: 
Dados los conjuntos A = {1; 3} y B = {2; 4; 5; 6}.
El producto cartesiano:
A × B = {(1 ; 2), (1 ; 4), (1 ; 5), (1 ; 6), (3 ; 2), (3 ; 4), (3 ; 5), (3 ; 6)}
Para representar el producto cartesiano A × B, podemos utilizar diagramas sagitales (de 
flechas) y diagramas cartesianos; así, por ejemplo: 
Diagrama sagital del producto cartesiano A × B
• 1
• 3
• 2
• 4
• 5
• 6
A B
• A B 
 = (A – B) ∪ (B – A)
También
• A B 
 = (A ∪ B) – (A ∩ B)
• El conjunto A × B 
 no es igual al 
conjunto B × A, 
es decir:
 A × B ≠ B × A
• El conjunto 
producto 
 A × A también 
se representa 
como A2, 
simbólicamente:
 A × A = A2
• El cardinal se 
halla: 
 #(A × B) = #A . #B
42
Diagramas para conjuntos
Diagrama de Venn - Euler
Son figuras geométricas planas cerradas como el círculo, el rectángulo, la elipse, etc., 
usadas para representar gráficamente a los conjuntos.
Diagrama de Lewis Carrol
Utilizado en representación de varios conjuntos disjuntos que al unirse dan el conjunto 
universal.
Ejemplo:
Sean
• H = Conjunto de hombres
• M = Conjunto de mujeres
• C = Conjunto de personas casadas
• S = Conjunto de personas solteras
• F = Conjunto de personas que fuman
En (1) : Están los hombres solteros que no fuman
En (2) : Están los hombres casados que fuman
En (3) : Están las mujeres casadas que fuman
En 2 y 3 : Están las personas casadas que fuman
Diferencias DiferenciasSimilitudes
A B
4
1
5
6
2
7
3
8
personas que fuman (F)
hombres (H) mujeres (M)
casadas (C)
solteras (S)
43MateMática Delta 3- aritMética
Sean los conjuntos B y C, tales que:
C = {x2 + 1 / x ∈ ; x ≤ 6}
B = {2x – 1 / x ∈ ; 10 < 3x + 8 < 27}
Calcula la suma de los elementos de C ∩ B.
Resolución:
De un grupo de 120 personas, 70 son hombres, 
60 usan anteojos, 15 mujeres no usan anteojos. 
¿Cuántos hombres no usan anteojos?
Resolución:
Dados:
A = {2x + 3 / x ∈ ; 3 < x < 7} y 
B = {x2 – 2 / x ∈ ; 3 < x < 6}
Determina la suma de los elementos de A Δ B.
Resolución:
1
De 120 alumnos se obtuvo lo siguiente: 45 
aprobaron Comunicación, 46 Inglés y 38 
Matemática; además, 7 aprobaron Comunicación 
e Inglés, 8 Inglés y Matemática, 10 Matemática y 
Comunicación y 4 aprobaron las tres asignaturas. 
¿Cuántos no aprobaron ningún curso?
Resolución:
3
5
De un aula del Instituto Delta hay 15 ajedrecistas 
de los cuales 10 son hombres, 15 hombres no 
son ajedrecistas y 30 son mujeres. ¿Cuántos 
estudiantes hay en dicha aula?
Resolución:
6
2
De un grupo de 47 alumnos, 29 juegan básquet, 
27 juegan tenis y 5 prefieren otro deporte. 
¿Cuántos prefieren básquet y tenis?
Resolución:
4
C = {1; 2; 5; 10; 17; 26; 37}
B = {1; 3; 5; 7; 9; 11}
C ∩ B = {1; 5}
Suma de elementos: 1 + 5 = 6
Hallando x
29 + 27 – x = 42
 56 – 42 = x
 14 = x
Entonces son 14 alumnos 
que prefieren los dos 
deportes
45 hombres no usan anteojos.
Total: 25 + 30 = 55 estudiantes
= 60
= 15
A = {11; 13; 15}
B = {7; 14; 23; 34}
A Δ B = {7; 11; 13; 14; 15; 23; 24}
Suma de elementos: 107
x = 120 – (45 + 35 + 4 + 24)
 120 – 108
x = 12
Rpta. 6
Rpta. 107
Rpta. 12 Rpta. 55
Rpta. 45
Rpta. 14
(120) C(45) I(46)
M(38)
x
332
6 4
4
35
24
H
70
M
50
Anteojos
No 
usa 45 15
Sí 
usa 25 35
H
25
M
30
Ajedrecistas
Sí 10
No 15
Ejercicios resueltos
(47)
B(29) T(27)
x
27 – x
5
44
Síntesis
Unión
A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
Intersección
A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Diferencia simétrica
A B = {x / x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (B − A)}
Diferencia
A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
Complemento
AC = U − A = {x / x ∈ U ∧ x ∉ A}
Nota: Como consecuencia de la diferencia entre conjuntos 
se obtiene el complemento de un conjunto.
Modela y resuelve 
Sean los conjuntos: Sean los conjuntos:
A = {x + 5 / x ∈ ; 7 < x ≤ 13}
B = {2x + 3 / x ∈ ; 4 ≤ x < 10}
Halla n[(A ∪ B)] − n[(A ∩ B)].
P = {x + 7 / x ∈ ; 5 ≤ x ≤ 11}
Q = {3x − 2 / x ∈ ; 4 ≤ x < 8}
Halla n[(P ∩ Q)] + n[(P − Q)].
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
1 2
Conjuntos III
A
A B A
B
A B A B A
B
A B
A B A
B
A B
A B A B A
B
45MateMática Delta 3 - aritMética
Un colegio cuenta con 476 estudiantes, de los 
cuales se sabe que a 150 de ellos les gusta practicar 
aritmética y a 170 les gusta practicar geometría. Si 
los que no practican estos cursos son el cuádruple 
de los que practican ambos cursos, calcula cuántos 
estudiantes practican solo geometría.
Un colegio cuenta con 827 estudiantes, de los 
cuales se sabe que a 480 de ellos les gusta practicar 
álgebra y a 515 les gusta practicar trigonometría. 
Si los que no practican estos cursos son la cuarta 
parte de los que practican ambos cursos, calcula 
cuántos estudiantes practican solo álgebra.
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Durante todo el mes de agosto, Enrique salió a pasear 
con Angélica y/o con Beatriz. Si el número de días 
que paseó solo con Angélica y el número de días que 
paseó solo con Beatriz se encuentran en relación de 
5 a 9 respectivamente, determina cuántos días como 
mínimo salió a pasear con las dos.
Durante todo el mes de enero, Arturo salió a pasear 
con Carmen y/o con Delia. Si el número de días 
que paseó solo con Carmen y el número de días 
que paseó solo con Delia se encuentran en relación 
de 4 a 7 respectivamente, determina cuántos días 
como mínimo salió a pasear con ambas.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
3 4
5 6
46
Sean los conjuntos A y B, de los cuales se sabe 
que A, B y (A ∩ B) tienen 128; 32 y 8 subconjuntos, 
respectivamente. Encuentra cuántos elementos 
tiene P(A ∪ B).
Rpta. Rpta.
Sean los conjuntos A y B, de los cuales se sabe que 
A, B y (A ∩ B) tienen 256; 64 y 16 subconjuntos, 
respectivamente. Encuentra cuántos elementos 
tiene P(A ∪ B).
De cierta cantidad de personas, 150 hablan inglés 
y 180 hablan francés. Si los que hablan solo inglés 
y los que hablan solo francés están en relación de 
4 a 5 respectivamente, y los que no hablan estos 
idiomas son 20 menos de los que hablan solo 
inglés; descubre cuántas personas son.
De cierta cantidad de personas, 232 hablan inglés 
y 246 hablan alemán. Si los que hablan solo inglés 
y los que hablan solo alemán están en relación de 
5 a 7 respectivamente, y los que no hablan estos 
idiomas son 37 menos de los que hablan solo 
inglés; descubre cuántas personas son.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
7 8
9 10
47MateMática Delta 3 - aritMética
Se realizaron tres pruebas de selección para cierto 
colegio, al cual se presentaron 278 alumnos. De los 
alumnos participantes se sabe que 170 aprobaron 
la primera prueba, 150 la segunda y 130 la tercera; 
también, 50 aprobaron la primera y la segunda 
prueba, 70 la primera y tercera, y 80 la segunda 
y tercera prueba. Si 10 alumnos no aprobaron 
ninguna prueba, ¿cuántos alumnos fueron 
admitidos, si basta con aprobar dos pruebas?
Se realizaron tres pruebas de selección para cierto 
colegio, al cual se presentaron 305 alumnos. De los 
alumnos participantes se sabe que 182 aprobaron 
la primera prueba, 156 la segunda y 136 la tercera; 
también, 45 aprobaron la primera y la segunda 
prueba, 72 la primera y tercera, y 84 la segunda 
y tercera prueba. Si 18 alumnos no aprobaron 
ninguna prueba, ¿cuántos alumnos fueron 
admitidos, si basta con aprobar dos pruebas?
Rpta. Rpta.
De un grupo de alumnos se sabe que a 22 de 
ellos les gusta solo aritmética, 13 prefieren solo 
geometría, los que prefieren aritmética son 
el triple de los que gustan ambos cursos. Si el 
número de alumnos que no gustan de los cursos 
mencionados son cuatro más de los que gustan 
geometría; halla cuántos alumnos son.
De un grupo de alumnos se sabe que a 36 de 
ellos les gusta solo biología, 27 prefieren solo 
física, los que prefieren biología son el cuádruple 
de los que gustan ambos cursos. Si el número 
de alumnos que no gustan de los cursos 
mencionados son nueve menos de los que gusta 
física; halla cuántos alumnos son.
Rpta. Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
11 12
13 14
48
En un salón de clase de una institución educativa 
de secundaria, se tomó examen a 65 estudiantes. 
El número de hombres es la mitad del número de 
aprobados y el número de mujeres aprobadas 
es el cuádruple del número de hombres 
desaprobados. ¿Cuántos hombres aprobaron el 
examen, si 2 mujeres desaprobaron?
En un salón de clase de una institución educativa 
de secundaria, se tomó examen a 74 estudiantes. 
El número de hombres es la tercera parte del 
número de aprobados y el número de mujeres 
aprobadas es el quíntuple del número de hombres 
desaprobados. ¿Cuántos hombres aprobaron el 
examen, si 4 mujeres desaprobaron?
De 64 personas que practican fútbol y/o tenis, 
se sabe que el número de mujeres que practican 
solo fútbol es menor en 14 que los hombres que 
practican solo tenis, es también la mitad de las 
mujeres que practican solo tenis, y es la cuarta 
parte de las personas que practican ambos 
deportes. Si los hombres que practican solo 
fútbol son tantos como las mujeres que practican 
solo tenis, calcula la cantidad de personas que 
practican solo fútbol.
De 97 personas que practican básquet y/o vóley, 
se sabe que el número de mujeres que practican 
solo básquet es menor en 13 que los hombres 
que practican solo vóley, es también la tercera 
de las mujeres que practican solo vóley, y es 
la cuarta parte de las personas que practican 
ambos deportes. Si los hombres que practican 
solo básquet son tantos como las mujeres que 
practican solo vóley, calcula la cantidad de 
personas que practican solo vóley.
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Resolución: