MAGNITUDES De VECTORES

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MAGNITUDES ESCALARES 
Y VECTORIALES
CAPITULO II
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1. VECTORES Y ESCALARES
2. ELEMENTOS DE UN VECTOR, CONCEPTO DE DIRECCION Y SENTIDO
3. ALGEBRA DE VECTORES
4. METODOS GRAFICOS Y ANALITICOS
5. COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES
6. VECTORES UNITARIOS
7. VECTORES EN TRES DIMENSIONES
8. EL PRODUCTO ESCALAR (PUNTO)
9. EL PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ)
10. PRODUCTO MIXTO
11. REPRESENTACION VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE
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CONTENIDO
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OBJETIVOS
Muchas magnitudes físicas quedan completamente
definidas por un número y una unidad, estas
magnitudes se llaman escalares. Ej. el volumen, la
temperatura, el tiempo, la masa, etc.
Magnitud Escalar
Volumen = 10 m3
Número
Unidad
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Una magnitud vectorial, además de un
número y una unidad, requieren de una
dirección y sentido; como ocurre con la
velocidad, desplazamiento o la fuerza.
V = 80 km /hr, 
horizontal, 
de izquierda a 
derecha
Magnitud
Dirección
Sentido
5
v
Longitud = Módulo
θ Dirección
Sentido
Punto de 
aplicación
X
y
0
P
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2.2. ELEMENTOS DE UN VECTOR
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A) Vectores colineales.- Son aquellos vectores que
están contenidos en una misma línea de acción.
A B C
A, B y C son vectores colíndales
O x
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TIPOS DE VECTORES
B) Vectores concurrentes.- Son aquellos vectores
cuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto.
A
B
C
O
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TIPOS DE VECTORES 
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C) Vectores coplanares.- Son aquellos vectores que
se encuentran en el mismo plano.
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TIPOS DE VECTORES
D) Vectores iguales.- Son aquellos vectores que
tienen la misma intensidad, dirección y sentido.
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TIPOS DE VECTORES 
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E) Vector opuesto.- Se llama vector opuesto (-A) de
un vector A cuando tienen el mismo módulo, la misma
dirección, pero sentido contrario.
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TIPOS DE VECTORES 
La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a + 0 = 0 + a = a
a + a' = a' + a = 0
a' = -a
CONMUTATIVA
ASOCIATIVA
ELEMENTO NEUTRO Ó 
VECTOR CERO
ELEMENTO SIMÉTRICO U 
OPUESTO A'
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2.3. ALGEBRA DE VECTORES
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Se puede sumar vectores en forma gráfica o analítica.
Para la primera opción los métodos son geométricos,
debiendo realizarse una construcción a escala. Los
resultados obtenidos por este método no tienen un elevado
grado de precisión, por lo que mejor resulta utilizar el
método analítico.
La suma de vectores da como resultado otro vector.
El vector resultante produce el mismo efecto que todos
juntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial no
es lo mismo que la suma aritmética.
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2.4. METODOS GRAFICOS Y ANALITICOS
Para dos vectores
concurrentes y coplanares,
se unen los dos vectores
uno a continuación del otro
para formar un triángulo, el
vector resultante se
encontrará en la línea que
forma el triángulo y su punto
de aplicación coincidirá con
el origen del primer vector.
A
B
R = A + B
A
B
R
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pentágono
A) METODOS GRAFICOS
1. Método del Triángulo
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Para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar la
resultante se une a los vectores por el origen
(deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el
vector resultante se encuentra en la diagonal, y su punto de
aplicación coincide con el origen de los dos vectores.
A
Bθ θ
α
β
A
B
R
R = A + B
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2. Método del Paralelogramo
Para dos o más vectores concurrentes y coplanares. Se
unen los vectores uno a continuación del otro para luego
formar un polígono, el vector resultante se encontrará en
la línea que forma el polígono y su punto de aplicación
coincidirá con el origen del primer vector.
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3. METODO DEL POLIGONO
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B
A
En el caso de que el origen del primer vector
coincida con el extremo del último, el vector
resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono
cerrado”.
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4.- VECTOR NULO
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B) METODOS ANALITICOS
Método del teorema del paralelogramo
 
��� 
θ 
�� 
�� 
��� 
��� 
θcos2222 ⋅⋅⋅++= BABAR
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Método del teorema de los cosenos
 
αcos2222 ⋅⋅⋅−+= BABAR
��� 
θ 
�� 
��� 
α 
β 
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Método del teorema de los senos
 
θβα sen
A
sen
B
sen
R ==
��� 
θ 
�� 
��� 
α 
β 
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Método del teorema de Lamy
 
θβα sen
A
sen
B
sen
C ==
�� 
θ �� 
��� 
α 
β 
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Método del teorema de Pitágoras
Rx 
θ 
Ry R 
( ) ( )22 AyAxR +=
( )
Ax
AyTg =θ
Para calcular la resultante se aplica la formula:
Para calcular la dirección o ángulo que
forma el vector con la horizontal :
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Un vector que se encuentre en el plano xy puede
representarse como la suma de un vector paralelo al eje x
y otro paralelo al eje y. Estos dos vectores que
designaremos en la figura como Vx y Vy, se llaman
componentes vectoriales rectangulares del vector V.
y
xθ
V = Vx + Vy
Vy
Vx
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5. DESCOMPOSICION DE VECTORES
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DESCOMPOSICION DE VECTORES
A
β
θ
C
α
B
T
Paso N° 1 Paso N° 2 
A 
β 
θ 
C 
α 
B 
T 
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DESCOMPOSICION DE VECTORES
Paso N° 3 
A 
β 
θ 
C 
α 
B 
T 
By 
Bx Cx 
Cy 
Ax 
Ay 
Las componentes son:
Vx = V cos θ 
Vy = V sen θ 
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DESCOMPOSICION DE VECTORES
Paso N° 4
 
T 
By 
Bx Cx 
Cy 
Ax 
Ay 
TsenCsenAsenBRy
RxTCyAyBy
RyVy
ABCRx
RxAxBxCx
RxVx
−⋅−⋅+⋅=
=−−+
=
⋅−⋅+⋅=
=−+
=
∑
∑
θβα
βαθ coscoscos
Paso N° 5
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6. COMPOSICION DE VECTORES
Paso N° 6
 
φ 
R Ry 
Rx 
Paso N° 7
( ) ( )22 RyRxR +=
( )
Rx
RyTg =ϕ
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7. VECTORES EN EL ESPACIO
Para graficar un vector en el espacio se sigue los 
siguientes pasos:
Primero: Ubicar las componentes X y Y en un plano 
cartesiano
Segundo: En el punto donde se intersecan ambas 
componentes se traza una paralela al eje Z 
Tercero: Encima del nuevo eje se dibuja la componente 
del vector en el eje Z si es positivo hacia adelante y si es 
negativo hacia atrás.
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Ax= 4
Ay= 3
Az= 3
x
y
z
VECTORES EN EL ESPACIO
Ubicar el vector en el espacio, A=(4,3,3)
La magnitud de un vector unitario (versor) es igual a uno,
y no tiene unidades. Su único propósito es indicar una
dirección y sentido en el espacio de un determinado
vector. En un sistema de coordenadas xy, utilizaremos el
vector unitario i en la dirección positiva del eje x, y el
vector unitario j en la dirección positiva del eje y.
iAA xx =
jAA yy =
y
x
i
j α
A
Ax
Ay
A = Ax i + Ay j
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VECTORES UNITARIOS
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z
y
j
k
Si los vectores se representan en el
espacio, es necesario utilizar un tercer
vector unitario k en la dirección del eje z.
i
kAjAiAA zyx ++=
x
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TRIADA ORTOGONAL DE VECTORES UNITARIOS
Si el vector se
representa en
el espacio,
este tiene tres
componentes
rectangulares:
Vx, Vy, Vz,
como se
muestra en la
siguiente
figura:
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VECTORES EN EL ESPACIO 
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COSENOS DIRECTORES
( ) ( ) ( ) 1coscoscos 
cos
 cos
cos
222 =++









=
=
=
θβα
θ
β
α
A
Az
A
Ay
A
Ax
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2.8. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES 
 ��� 
θ �� 
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2.9. PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
 
��� 
θ 
�� 
 
 
��= ������ 
( ) ( ) ( )kAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAyBxA
k
ByBx
AyAx
j
BzBx
AzAx
i
BzBy
AzAy
BzByBx
AzAyAx
BxA
BzByBxBAzAyAxA
))rr
))rr
rr
⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅=
+−==
==
ˆ
 ˆ 
:Entonces
 ),,( ),,(
1 Metodo a)
( )θsenBABxA ⋅⋅= rrrr 
2 Metodo b)
•PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
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2.10. PRODUCTO MIXTO DE VECTORES
( )
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]AyBxByAxCzAzBxBzAxCyAzByBzAyCx
CzCyCx
BzByBx
AzAyAx
CBxA
⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅=∀
==∀
 
 
r
o
rr
 
���� 
���� 
���� 
Y 
X 
Z 
 
 
 
( )
( )
( )kCzjCyiCxC
kBzjByiBxB
kAzjAyiAxA
 
 
 
++=
++=
++=
r
r
r
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2.11. REPRESENTACION VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE
θcos2 21
2
2
2
1 SSSSS ++=
EJEMPLO
 
���� 
� 
���� 
� 
���� 
� 
���� 
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20
GRACIAS
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