integralesdoblesproblema45

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Problemas resueltos de integrales dobles                Matemáticas I               Curso  2011­2012   
 
45. Calcular, mediante coordenadas cartesianas, las siguientes integrales: 
 
 siendo , , 1, 0 
 
 
Observando el dibujo, lo más cómodo es parametrizar el recinto de la siguiente forma 
 
 
 
 
Así nuestra integral resulta 
1 2
1
2
1
8
3
8 
 
0
1
2
0 1
 
Problemas resueltos de integrales dobles                Matemáticas I               Curso  2011­2012   
 Este valor coincide además con el área del recinto (puedes calcularla con las fórmulas básicas de 
cálculo de áreas de figuras regulares, pues el recinto está formado por un triángulo y un rectángulo); 
pero esto ya lo sabíamos, porque una el área de un recinto es precisamente 
 
 
 
 siendo , /0 , 1, 0 
 
 
Como el recinto es el mismo, parametrizamos de igual forma la integral (sólo cambia el integrando) 
 
 
Realizamos primero la integral indefinida respecto de la variable calculando una primitiva 
 2 
Así nuestra integral resulta 
 2
1
2 
1
2 1
1
2 2 8 5 12 
1
2 8
1
2 5
1
 2 12
11
2 15
11
3840 
 
 
 
 
 
 
 
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 siendo , / 16, , 6 , 0, 1 
 
 
 
 
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En esta ocasión hemos dividido el recinto en dos como se ve en el dibujo para tomar con referencia fija 
la variable , quedando la variable acotada entre dos funciones de . Así resultan integrales que se 
pueden resolver. Si hubiésemos invertido los papeles de las variables (la entre valores fijos y la 
variable acotada entre funciones de , necesitamos 3 recintos diferentes y las integrales resultantes 
tienen un poco más de dificultad, pero también salen) 
 
Así los recintos parametrizados son: 
 
 
 
Así nuestra integral queda: 
 
1
2
1
2 
1
2
6 1
2 
16
 
1
2 12
36 1
2 
256
 
1
2 2 12 36 ln
| |
4
1
4
256
4 
1
2
27
2 36ln 2
3
4
1
4 16 64 3 15 18 ln 2 
 
1 2
6 
2 4
 
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 siendo , /1 2, 0 , 
 
 
 
 
 
La parametrización del recinto puede ser 
 
 
 
Por tanto esta integral se puede resolver 
√ √
2 2
√
 
 
1 2
0 √ 
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2
√ 1
2
1
2
1
2 4
3 2
2
3
4 
 
Donde la primitiva de la última integral se ha calculado por partes haciendo (puede comprobarlo el 
alumno) 
 
 
 
 
 
 2 1 siendo , / 1, , 1 
 
 
 
 
 
 
 
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Observando de nuevo el dibujo tenemos una parametrización fácil del recinto 
 
 
 
 
Así nuestra integral quedaría 
2 1 2 1 
 
2 1 2 1 2 1 
2 1 2 1 
2 1 2 1 
2 1 2 1 
 
3
4 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 1
1 1
 
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 siendo , / 0, 1 1, 2 1 
 
 
 
 
 
 
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los recintos parametrizados son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2 
1
2 3 4
1
2 2 
1
2 3 3 2
1
2 3 
(Termine el alumno las operaciones y así practica) 
1
0 1 2
 
2
0 1 1