Sem 17 - Poliedros, poliedros regulares y conjugados

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Profesor: ALAN PAUL SOSA CAUTI
POLIEDRO
Definición:
Es la unión de cuatro o más regiones planas tal que cada
uno de sus lados pertenecen precisamente a dos regiones
adyacentes no coplanares.
Elementos:
• Caras: Son las regiones planas (poligonales).
• Arista: Es el lado común a dos caras contiguas.
• Vértice: Es el punto de concurrencia de tres o más
aristas.
Nota:
“El nombre del poliedro depende del número de caras”
En el gráfico:
“Cada una de las regiones planas (poligonales) tiene 
un lado en común”
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Diagonal: Es aquel segmento cuyos extremos son
vértices de distintas caras.
En el 
octaedro 
mostrado 
en el 
gráfico
Es la intersección del sólido limitado por
el poliedro con un plano secante a el.
• Número de caras: 𝐶 = 8
• Número de vértices: 𝑉 = 9
• Número de aristas: 𝐴 = 15
𝑵°𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔 = 𝑪𝟐
𝒗 − 𝑨 − 𝑵°𝒅𝒊𝒂𝒈.𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔
• Número de diagonales: 𝑁°𝑑𝑖𝑎𝑔. = 𝐶2
9 − 15 − 13
𝑁°𝑑𝑖𝑎𝑔. = 36 − 28 = 8
Sección plana:
La sección plana determinada en un poliedro es una región
plana (triangular, cuadrangular, …).
3 △𝑠, 4 𝑐𝑢𝑎𝑑. 𝑦 1 𝑝𝑒𝑛𝑡.
En todo poliedro de 𝑎
caras triangulares, 𝑏
caras cuadrangulares, 𝑐
caras pentagonales, …
𝐴 =
3𝑎 + 4𝑏 + 5𝑐 + ⋯
2
Importante:
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Poliedro Convexo:
Es aquel poliedro que 
limita un conjunto convexo, 
además las secciones 
planas determinadas por 
cualquier plano son 
convexas.
Teorema de Euler:
Poliedro No Convexo:
Es aquel poliedro que
limita un conjunto no
convexo, además existe
una sección plana no
convexa.
En todo poliedro convexo el número de caras aumentado
en el número de vértices es igual al número de aristas
aumentado en dos.
𝐶 = 10
𝑉 = 9
𝐴 = 17
𝑪 + 𝑽 = 𝑨 + 𝟐
7 △𝑠
2 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎.
1 𝑝𝑒𝑛𝑡𝑎𝑔.
Al poliedro que cumple con el Teorema de Euler se le 
llama poliedro Euleriano
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𝑺𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 ∢𝒔 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓𝒆𝒔
𝒅𝒆 𝒕𝒐𝒅𝒂𝒔 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔
= 𝟑𝟔𝟎° 𝑽 − 𝟐
Observación:
𝐶 = 11 𝑉 = 16 𝐴 = 24
“Los sólidos que no cumplen con el Teorema de Euler 
(no convexo) se le llama no Eulerianos”
, y
11 + 16 = 24 + 3
Cálculo de las suma de los ángulos interiores de las caras
de un poliedro Euleriano:
En todo poliedro Euleriano (poliedro simple) la suma de
los internos de todas sus caras es igual a 360°
multiplicado con el número de vértices disminuido en
dos.
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POLIEDROS REGULARES
Definición: Es aquel poliedro en el cual sus caras son
regiones poligonales regulares y congruentes
entre si, donde en cada vértice concurre el
mismo número de aristas.
Solo existen 5 poliedros regularesImportante:
Analizando el ángulo poliedro determinado en cada vértice,
ya que el debe ser equilátero y sus caras regulares (es decir
de medidas 60°, 90°, 108°, 120°, … .
Para un triedro: Para un ángulo tetraedro:
“no existe”
Para un ángulo
pentaedro:
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TETRAEDRO REGULAR:
“Las cuatro caras son regiones 
triangulares equiláteras”
𝔸𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 𝑎
2 3
𝐷𝐻: altura
𝐻: baricentro
ℎ =
𝑎 6
3
𝕍𝑜𝑙 =
𝑎3 2
12
Nota:
Siendo 𝐴𝐵𝐶𝐷
un tetraedro 
regular
𝐶𝑀𝐷: 
plano de 
simetría
𝜃: med. del ángulo diedro entre dos caras
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 Τ1 3
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HEXAEDRO REGULAR:
“Las 6 caras son 
regiones cuadradas”
𝔸𝑠𝑢𝑝. = 6𝑎
2
𝕍𝑜𝑙 = 𝑎
3
𝑑: diagonal
𝑑 = 𝑎 3
𝑂: centro del hexaedro 
regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻
Nota:
El cubo presenta 4 diagonales
𝐵𝐹𝐻𝐷 es 
un 
rectángulo
𝐸𝐺𝐷 es un 
triángulo 
equilátero
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OCTAEDRO REGULAR:
“Las 8 caras son 
regiones triangulares 
equiláteras”
𝔸𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 = 2𝑎
2 3
En el gráfico
𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁: 
octaedro regular
𝕍𝑜𝑙 =
𝑎3 2
3
𝐴𝐵𝐶𝐷, 𝑀𝐴𝑁𝐶 y 
𝑀𝐵𝑁𝐷 son 
cuadrados
𝐴𝐶, 𝐵𝐷 y 𝑀𝑁
son diagonales
𝑂: centro del octaedro regular
𝐶 = 8
𝑉 = 6
𝐴 = 12
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DODECAEDRO REGULAR:
“Las 12 caras son regiones 
pentagonales regulares”
Se determinan 20
triángulos equiláteros
Se determinan 
30 cuadrados
𝐶 = 12 𝑉 = 20
𝐴 = 30
𝑁. °𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝐶2
20− 30 − 5 × 12
𝑁. °𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 = 100
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ICOSAEDRO REGULAR:
“Las 20 caras 
son regiones 
triangulares 
equiláteras”
Se determinan 12
Pentágonos regulares
𝐶 = 20 𝑉 = 12
𝐴 = 30
𝑁. °𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝐶2
12− 30 − 0 × 20
𝑁. °𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 = 36
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POLIEDROS CONJUGADOS
Definición: Son un par de poliedros regulares en los que el número de caras de uno es igual al número de vértices 
del otro.
Conjugado 
inscrito de un 
Tetraedro regular
Sea 𝐴𝐵𝐶𝐷 un 
tetraedro regular
donde; 𝑂1, 𝑂2, 
𝑂3 y 𝑂4 son 
centros de sus 
caras
𝑂1𝑂2𝑂3𝑂4: Tetraedro regular conjugado del 
tetraedro 𝐴𝐵𝐶𝐷
Se cumple:
𝒃 =
𝒂
𝟑
Demostración:
• Como 𝑂4 es baricentro:
𝐵𝑀 = 𝑀𝐶 =
𝑎
2
𝐴𝑂4 = 2 𝑂4𝑀 = 2𝑛
• 𝑂1 es baricentro:
𝐷𝑂1 = 2 𝑂1𝑀 = 2𝑛
𝐷 − 𝑂1 −𝑀
• 𝐴𝐷𝑀~𝑂4𝑂1𝑀:
𝑎
𝑏
=
3𝑛
𝑛
∴ 𝑎 = 3𝑏∎
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Conjugado inscrito de un Hexaedro regular
Sea 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻 un hexaedro regular
𝑂1, 𝑂2, 
𝑂3, 𝑂4, 
𝑂5 y 𝑂6
son 
centros 
de sus 
caras
𝑂1 − 𝑂2𝑂3𝑂4𝑂5 − 𝑂6: Octaedro regular 
conjugado del hexaedro 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻
Se cumple: 𝒃 =
𝒂 𝟐
𝟐
donde:
Conjugado inscrito de un Octaedro regular
Sea 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁
un octaedro regular
donde:
𝑂1, 𝑂2, 𝑂3, 
𝑂4, 𝑂5, 𝑂6, 
𝑂7 y 𝑂8 son 
centros de 
sus caras
𝑂1𝑂2𝑂3𝑂4 −
𝑂5𝑂6𝑂7𝑂8: 
Hexaedro regular 
conjugado del 
octaedro 𝑀 −
𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁
Se cumple:
𝒃 =
𝒂 𝟐
𝟑
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