CLASE 14 - kevin Bellido

Vista previa del material en texto

GEOMETRÍA 
Poliedros 
 
POLIEDROS 
Definición.- 
Un poliedro es la reunión de cuatro o 
más regiones poligonales no 
coplanares y tales que cada una de 
sus aristas pertenece precisamente 
a dos regiones adyacentes o 
contiguas. Las regiones poligonales 
que determinan el poliedro se llaman 
caras del poliedro; los lados de los 
polígonos son las aristas y los 
vértices de los mismos son los 
vértices del poliedro. 
Elementos.- 
Vértices: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J 
Aristas: AB, BC, CD, DE, AE, AG, BH, CI, 
EF, DF, GH, HI, JI , GJ y FJ 
Caras: ABCDE, EDF, AEG, BCIH, CDFJI, 
GHIJ, EFJG y ABHG 
F 
 
Diagonal.- 
La diagonal de un poliedro es el 
segmento que une dos vértices 
no situados en una misma cara. 
En la figura AG es una 
diagonal del poliedro 
Poliedros convexos y no convexos 
A un poliedro se le denomina poliedro convexo 
si su interior es un conjunto convexo, en caso 
contrario al poliedro se le denomina poliedro no 
convexo. 
Poliedro convexo Poliedro no convexo 
 
CLASIFICACIÓN 
Los poliedros se clasifican según el 
número de caras que poseen, es así 
que se les llama: 
• Tetraedro si tiene 4 caras 
• Pentaedro si tiene 5 caras 
• Hexaedro si tiene 6 caras 
• Heptaedro si tiene 7 caras 
• Octaedro si tiene 8 caras 
• Nonaedro si tiene 9 caras 
• Decaedro si tiene 10 caras 
• Endecaedro si tiene 11 caras 
• Dodecaedro si tiene 12 caras 
• Pentadecaedro si tiene 15 caras 
• Icosaedro si tiene 20 caras 
En general, se dice poliedro de siete, nueve, 
diez, … caras, sin embargo, hay algunos 
poliedros que toman nombres especiales, 
como el prisma, la pirámide, etc. 
TEOREMAS 
Teorema de Euler 
En todo poliedro convexo, la suma del 
número de caras y vértices es igual al 
número de aristas aumentado en 2. 
Donde 
C: número de caras 
V: número de vértices 
A: número de aristas 
C + V = A + 2 
 
Número de Aristas 
En todo poliedro convexo, el número de 
aristas es igual a la mitad de la suma del 
número de lados de cada una de las 
caras del poliedro. 
 
Donde 
C3: número de caras triangulares 
C4: número de caras cuadrangulares 
C5: número de caras pentagonales 
A = 
3C3 + 4C4 + 5C5 + . . .
2 
Suma de medidas de los ángulos 
interiores de todas las caras 
La suma de las medidas de los ángulos 
internos de todas las caras de un 
poliedro convexo es igual a 360 
multiplicado por la diferencia entre el 
número de aristas y el número de caras. 
mi = 360(A - C) 
mi = 360(V - 2) 
 
POLIEDROS REGULARES 
Definición.- 
Un poliedro convexo es regular si 
las caras son regiones poligonales 
regulares congruentes entre sí y 
todos sus ángulos poliedros son 
congruentes. 
Teorema.- 
Solo existen cinco clases de 
poliedros regulares y estos son: el 
tetraedro regular, el hexaedro 
regular, el octaedro regular, el 
dodecaedro regular y el icosaedro 
regular. 
 
Tetraedro Regular.- 
Longitud de 
la Altura 
Área de la 
superficie total 
Volumen 
h = 
a 6
3 
AST = a² 3 V = a³ 212 
 
Hexaedro Regular.- 
 
Longitud de 
la diagonal 
Área de la 
superficie total 
Volumen 
d = a 3 AST = 6a² V = a³ 
Octaedro Regular.- 
 
Longitud de 
la diagonal 
Área de la 
superficie total 
Volumen 
d = a 2 AST = 2a² 3 V = a³ 23 
 
Dodecaedro Regular.- 
 
C = 12 
V = 20 
A = 30 
Icosaedro Regular.- 
 
C = 20 
V = 12 
A = 30 
 
POLIEDROS REGULARES CONJUGADOS 
Definición.- 
Se denominan poliedros regulares conjugados a aquellos poliedros regulares 
en los que el número de caras de uno de ellos es igual al número de vértices 
del otro y viceversa. 
Poliedro 
Regular 
N.° de 
caras 
N.° de 
vértices 
N.° de 
aristas 
Tetraedro 4 4 6 
Un tetraedro regular es el 
conjunto de otro tetraedro 
regular. 
Hexaedro 6 8 12 
Son conjugados 
Octaedro 8 6 12 
Dodecaedro 12 20 30 
Son conjugados 
Icosaedro 20 12 30 
 
POLIEDROS REGULARES CONJUGADOS 
Existen varios métodos para determinar al poliedro regular conjugado de otro 
poliedro regular, siendo uno de ellos la unión de los centros de cada cara de un 
poliedro regular 
 
 
En la figura se muestran a los poliedros regulares conjugados determinados al unir 
los centros de las caras de otro poliedro regular