Sem 12 - longitud de circunferencia, área de regiones poligonales y áreas triangulares

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Geometría
Profesor: ALAN PAUL SOSA CAUTIProfesor: ALAN PAUL SOSA CAUTI
LONGITUD DE CIRCUNFERENCIA
Definición:
En el gráfico:
La longitud de una circunferencia 𝒞 es el limite del perímetro de un
polígono regular inscrito en dicha circunferencia 𝒞 cuando el número
de lados del polígono crece ilimitadamente (tiende al infinito).
• 𝑉1𝑉2𝑉3𝑉4…𝑉𝑛: Polígono
regular de 𝑛 lados.
• 𝒞: Circunf. circunscrita al
polígono regular.
• 𝑃𝑛: Perímetro de la reg.
poligonal regular.
• ℓ𝒞: Longitud de la
circunferencia 𝒞.
ℓ𝑐 = lim
𝑛→∞
𝑃𝑛
Observación:
En el gráfico se muestra los polígonos
regulares inscritos en la circunferencia 𝒞.
Notamos que al aumentar el número de lados
el perímetro tiende a la longitud de la
circunferencia 𝒞.
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Teorema: La razón entre la longitud de una circunferencia ℓ𝒞 y su diámetro 2𝑅 es constante para todas las
circunferencias.
En el gráfico
ℓ𝓒
𝟐𝑹
=
ℓ𝓒´
𝟐𝑹´
= 𝒄𝒕𝒆.
se cumple:
Demostración: En la figura, sean:
• 𝐴𝐵 y 𝐴´𝐵´: lados de los polígonos
reg. de 𝑛 lados inscritos en 𝒞 y 𝒞´.
• 𝑃𝑛 y 𝑃´𝑛: perímetros de las regiones
poligonales regulares.
• ℓ𝑛 y ℓ´𝑛: longitudes de 𝒞 y 𝒞´.
• △𝐴𝑂𝐵 ∼△ 𝐴´𝑂´𝐵´:
ℓ𝑛
𝑅
=
ℓ´𝑛
𝑅´
• 𝜃𝑛 y 𝜃´𝑛: medida de los ∢𝑠 centrales.
• Notamos: 𝜃𝑛 = 𝜃´𝑛
→
𝑛ℓ𝑛
2𝑅
=
𝑛ℓ´𝑛
2𝑅´
→
𝑃𝑛
2𝑅
=
𝑃´𝑛
2𝑅´
lim
𝑛→∞
𝑃𝑛
2𝑅
• Tomando límites:
= lim
𝑛→∞
𝑃´𝑛
2𝑅´
→
lim
𝑛→∞
𝑃𝑛
2𝑅
=
lim
𝑛→∞
𝑃´𝑛
2𝑅´
∴
ℓ𝒞
2𝑅
=
ℓ𝒞´
2𝑅´∎
Definición:
El valor de la constante 
ℓ𝒞
2𝑅
es 𝜋.
Teorema:
En el 
gráfico
ℓ𝒞 = 2𝜋𝑅
Donde:
𝜋 = 3,1416… (valor aprox.)
La longitud 
de la 
circunf. 𝒞
de radio 𝑅
es 2𝜋𝑅.
𝜋: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
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Longitud de Arco:
Análogamente al procedimiento para calcular la longitud de una circunferencia, podemos definir la longitud de
una arco cualquiera de ella.
Definición:
La longitud del arco 𝐴𝐵 de una circunferencia, considerando a 𝐴𝑃1𝑃2𝑃3…𝑃𝑛−1𝐵 una poligonal regular abierta de
𝑛 lados inscrita en dicho arco, es el límite de 𝐴𝑃1 + 𝐴𝑃2 + 𝐴𝑃3 +⋯+ 𝐴𝑃𝑛−1𝐵 cuando 𝑛 crece
indeterminadamente (tiende al infinito).
En el gráfico:
• 𝐴𝑃1𝑃2𝑃3…𝑃𝑛−1𝐵:
Poligonal regular
abierta de 𝑛
lados inscrita en
el arco 𝐴𝐵
• ℓ෢𝐴𝐵: Longitud del
arco 𝐴𝐵
Por definición:
ℓ෢𝐴𝐵 = lim𝑛→∞
𝐴𝑃1 + 𝑃1𝑃2 + 𝑃2𝑃3 +⋯+ 𝑃𝑛−1𝐵
∀ 𝑃𝑖 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛 − 1
ℓ෢𝑨𝑩 =
𝜽𝝅𝑹
𝟏𝟖𝟎°
= 𝜽𝒓𝒂𝒅 𝑹
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El área de una región plana es la medida de la extensión de dicha región. Para efectuar esta medida es necesario tener una unidad
de comparación; esta unidad es la región unitaria la cual, es una región cuadrada cuya longitud de su lado es 1𝑢.
Región unitaria Región plana
El área de una 
región unitaria 
es una unidad 
cuadrada.
De esta manera, el área es el 
número que indica cuántas 
veces contiene una región a la 
región unitaria.
Notación:
Área de la región ℝ: 𝔸ℝ
En el gráfico, aproximadamente 
el área de la ℝ es:
𝔸ℝ = 11𝑢
2𝔸 = 1𝑢2
Axioma: El área de una región plana es igual a la suma de las áreas de todas sus regiones parciales.
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Área de una región cuadrada:
El área de una región cuadrada es igual al cuadrado
de la longitud de su lado.
En el gráfico
𝐴𝐵𝐶𝐷 es un 
cuadrado
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷: Área 
de la región 
cuadrada
𝔸𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝒂
𝟐
Notas:
• Dos regiones congruentes tienen igual área.
• Dos regiones equivalentes son aquellas que tienen
igual área.
• Dos regiones isoperimétricas son aquellas que
tienen igual perímetro.
Demostración:
 Si 𝑎 ∈ ℕ:
Sin perder 
generalidad asumimos 
que 𝑎 = 4𝑢 (pero se 
prueba análogamente 
para todo 𝑎)
• Se divide en 4 partes
iguales cada lado,
luego trazamos
paralelas a los lados.
• Se observa que se forman 42 cuadrados cuyo lados miden 1𝑢.
• Del postulado: 𝕊 = 1𝑢2
• Por axioma: 𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 16𝕊 ∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 16𝑢
2
 Si 𝑎 es irracional, la prueba se realiza con límites y de igual manera se
concluye que:
∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎
2
∎
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Área de una región rectangular: El área de toda región rectangular es igual al producto de las longitudes de dos lados contiguos.
𝔸𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝒂𝒃
En el gráfico
Demostración:
• Tomando dos lados consecutivos del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 construimos
exteriormente cuadrados, relativos a dichos lados.
𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 2𝕊 + 𝑎2 + 𝑏2 ∴ 𝕊 = 𝑎𝑏∎
𝔸𝐻𝐵𝐹𝐽
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷: Área de la 
región rectangular
Observación:
En un rectángulo a sus lados
se les conoce como sus
dimensiones
• Por axioma: += 𝔸𝐶𝐹𝐸𝐷 𝔸𝐴𝐷𝐺𝐻+ +
𝑎 + 𝑏 2= 𝕊 + 𝑎2 + 𝕊 + 𝑏2
• Reemplazando:
2𝑎𝑏 = 2𝕊
• 𝐴𝐵𝐶𝐷 ≅ 𝐷𝐸𝐽𝐺 por axioma:
𝔸𝐻𝐵𝐹𝐽 += 𝕊 𝔸𝐶𝐹𝐸𝐷 𝔸𝐴𝐷𝐺𝐻+ 𝕊+
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 𝔸𝐷𝐸𝐽𝐺
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝔸𝐷𝐸𝐽𝐺 = 𝕊
• Por teorema:
→ →
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Área de una región paralelográmica: El área de toda región paralelográmica es igual al producto de las longitudes de un lado y su
respectiva altura.
𝔸𝑨𝑩𝑪𝑫 = 𝒂𝒉
En el gráfico
𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷: Área de la región paralelográmica
𝐴𝐵𝐶𝐷: Paralelogramo
Demostración: • Trazamos la altura 𝐵𝐻: 𝐵𝐻 = ℎ
• Si: 𝐴𝐻 = ℓ → 𝐻𝐷 = 𝑎 − ℓ
• Prolongamos 𝐴𝐷 y trazamos la altura 𝐶𝐽: 𝐶𝐽 = ℎ
• 𝐴𝐵𝐻 ≅ 𝐷𝐶𝐽: → 𝐷𝐽 = ℓ y 𝔸𝐴𝐵𝐻 = 𝔸𝐷𝐶𝐽 = 𝕊𝐿 − 𝐿 − 𝐿
• Se observa: 𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝔸𝐻𝐵𝐶𝐽 y 𝐻𝐽 = 𝑎 − ℓ + ℓ = 𝑎
• Por teorema: 𝔸𝐻𝐵𝐶𝐽 = 𝑎ℎ ∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝑎ℎ∎
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ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES
Fórmula básica: El área de toda región triangular es igual al semiproducto de la longitud de un lado y la altura relativa a dicho lado.
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒃𝒉
𝟐
𝔸𝑷𝑸𝑹 =
𝒎𝒏
𝟐
𝔸𝑴𝑵𝑳 =
𝒂𝒉
𝟐
Demostración:
• Vamos a probar
el área de una
región triangular
acutángula.
• Se construye el paralelogramo 𝐴𝐵𝑃𝐶
• △ 𝐴𝐵𝐶 ≅△ 𝐵𝑃𝐶:
𝔸𝐵𝑃𝐶 = 𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝕊
Observación:
• En todo triángulo
la longitud de
una altura es
inversamente
proporcional a la
longitud del lado
al cual es
relativa.
“Es decir a 
mayor lado le 
corresponde 
menor altura y 
viceversa”
→ 𝐵𝑃 = 𝑏 y 𝐴𝐵 = 𝑃𝐶 = 𝑎
𝐿 − 𝐿 − 𝐿
→
• Sabemos: 𝔸𝐴𝐵𝑃𝐶 = 𝑏ℎ → 2𝕊 = 𝑏ℎ ∴ 𝕊 =
𝑏ℎ
2 ∎
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Fórmula trigonométrica:
El área de toda región triangular es igual al semiproducto de las
longitudes de dos de sus lados multiplicado por el seno de la medida
del ángulo que estos determinan.
Teoremas Adicionales:
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒂𝒄
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒃𝒏
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝜶
Cálculo del área de una región triangular equilátera:
𝔸𝑷𝑸𝑹 =
𝓵𝟐 𝟑
𝟒
𝔸𝑴𝑵𝑳 =
𝒎𝓵
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝝎
En el gráfico:
△ 𝑃𝑄𝑅 es equilátero
Prueba: • Se traza la altura 𝐵𝐻
• En el ⊿𝐴𝐻𝐵:
𝐵𝐻 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝛼
• Por fórmula básica:
𝔸𝐴𝐵𝐶 =
𝑏 𝑐 𝑠𝑒𝑛𝛼
2
∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶 =
𝑏𝑐
2
𝑠𝑒𝑛𝛼∎
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Fórmula de Herón:
El área de una región triangular es igual a la raíz cuadrada del producto del semiperímetro, con
las sustracciones de este con las longitudes de cada uno de sus lados.
Nota:
Triángulo heroniano:
Así, tenemos los siguientes
triángulos heronianos, cuyas
longitudes de sus lados son:
3; 4 𝑦 5 , 13; 14 𝑦 15 ,
4; 13 𝑦 15 , … pues sus áreas
son respectivamente los
números enteros: 6; 84; 24; …
Donde; 𝑝: semiperímetro de la región
triangular 𝐴𝐵𝐶.
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒑 𝒑 − 𝒂 𝒑 − 𝒃 𝒑 − 𝒄
Se dice que un triángulo es
heroniano si las longitudes de sus
tres lados y su área son números
enteros.
Prueba: • Se traza la altura 𝐵𝐻
• Por el Teorema de Herón:
• Por fórmula básica: 𝔸𝐴𝐵𝐶 =
𝑏ℎ
2
ℎ =
2
𝑏
𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐
∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶
= 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 𝑝 − 𝑐 ∎
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Fórmulas Adicionales: Cálculo del área de una región triangular en función al:
 Inradio:
En el gráfico,
𝑟: inradio
Siendo:
𝑝 =
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒑𝒓
Demostración: Demostración:
 Circunradio:
En el gráfico,
𝑅: circunradio
𝔸𝑨𝑩𝑪 =
𝒂𝒃𝒄
𝟒𝑹
• Del gráfico: 𝔸𝐴𝐵𝐶
𝔸𝐴𝐵𝐶
𝑐𝑟
2
+
𝑎𝑟
2
𝑏𝑟
2
+
𝔸𝐴𝐼𝐵 𝔸𝐴𝐼𝐶+ 𝔸𝐵𝐼𝐶 +
𝔸𝐴𝐵𝐶 =
𝑐𝑟 + 𝑎𝑟 + 𝑏𝑟
2
=
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑟
2
∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝑝𝑟 ∎
• Por fórmula básica: 𝔸𝐴𝐵𝐶 =
𝑏ℎ
2
• Por teorema de semejanza: 𝑎𝑐 = 2𝑅ℎ → ℎ =
𝑎𝑐
2𝑅
• Reemplazando: 𝔸𝐴𝐵𝐶 =
𝑏
2
𝑎𝑐
2𝑅
∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶 =
𝑎𝑏𝑐
4𝑅 ∎
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
=
=
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 Exradio:
𝑅𝑎: exradio
𝑝 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒑 − 𝒂 𝑹𝒂
Demostración:
• Del gráfico:
𝔸𝐴𝐵𝐶
𝑎𝑅𝑎
2
+
𝔸𝐴𝐵𝐶
∴ 𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝑝 − 𝑎 𝑅𝑎∎
• Reemplazando: + =
𝑐𝑅𝑎
2
𝑏𝑅𝑎
2
+
𝑐𝑅𝑎
2
𝑏𝑅𝑎
2
−
𝑎𝑅𝑎
2
=
𝔸𝐴𝐵𝐶
𝑅𝑎
2
= 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 2𝑎
𝑅𝑎
2
= 𝑐 + 𝑏 − 𝑎
𝑅𝑎
2
= 2𝑝 − 2𝑎
En el gráfico
=𝔸𝐴𝐵𝐸𝑎𝐶 𝔸𝐴𝐵𝐶 + 𝔸𝐵𝐸𝑎𝐶 = 𝔸𝐴𝐵𝐸𝑎 + 𝔸𝐴𝐶𝐸𝑎
Donde:
Observación:
En el gráfico anterior, siendo 𝑅𝑏 y 𝑅𝑐 los
exradios relativos a los lados 𝐴𝐶 y 𝐴𝐵,
respectivamente
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒑 − 𝒃 𝑹𝒃
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒑− 𝒄 𝑹𝒄
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Teoremas: Inradio y Exradios:
En el gráfico; 𝑟: inradio y 𝑅𝑎, 𝑅𝑏 y 𝑅𝑐: exradios
𝔸𝐴𝐵𝐶 = 𝑟𝑅𝑎𝑅𝑏𝑅𝑐
En un Triángulo 𝐴𝐵𝐶 donde 𝑟 es su inradio; ℎ𝑎, ℎ𝑏 y ℎ𝑐 son
las longitudes de las alturas y 𝑅𝑎, 𝑅𝑏 y 𝑅𝑐 son sus exradios.
1
𝑟
=
1
ℎ𝑎
+
1
ℎ𝑏
+
1
ℎ𝑐
1
𝑟
=
1
𝑅𝑎
+
1
𝑅𝑏
+
1
𝑅𝑐
1
ℎ𝑎
+
1
ℎ𝑏
+
1
ℎ𝑐
=
1
𝑅𝑎
+
1
𝑅𝑏
+
1
𝑅𝑐
𝑅𝑎 + 𝑅𝑏 + 𝑅𝑐 ≥ 9𝑟
Se cumple:
ℎ𝑎 + ℎ𝑏 + ℎ𝑐 ≥ 9𝑟
1
𝑅𝑎
=
1
ℎ𝑏
+
1
ℎ𝑐
−
1
ℎ𝑎
1
𝑅𝑏
=
1
ℎ𝑎
+
1
ℎ𝑐
−
1
ℎ𝑏
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Cálculo del área de una región limitada por un triángulo rectángulo:
En todo triángulo 
rectángulo
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒎𝒏
En todo triángulo rectángulo
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒓𝑹𝒃
En todo triángulo 
rectángulo
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝒎𝒏
En todo triángulo rectángulo
𝔸𝑨𝑩𝑪 = 𝑹𝒂𝑹𝒄