Sem 11 - Polígonos regulares

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Geometría
Profesor: ALAN PAUL SOSA CAUTIProfesor: ALAN PAUL SOSA CAUTI
POLÍGONOS REGULARES
Definición: Es aquel polígono convexo, equilátero y equiángulo a la vez.
Teorema: Todo polígono regular se puede inscribir y circunscribir a dos circunferencias concéntricas.
Se tiene el polígono 
regular 𝑉1𝑉2𝑉3𝑉4…𝑉𝑛
ℓ𝑛: longitud del lado
Figuras asociadas:
𝒞1: Circunf. circunscrita
𝒞2: Circunf. inscrita
𝑅: Circunradio
𝑟: Inradio
𝑂: Centro del polígono
△ 𝑉1𝑂𝑉2: △Elemental
𝜃𝑛: Medida del ∢central
𝑎𝑝: Apotema 𝑂𝐻 = 𝑟
𝜶𝒏 =
𝟏𝟖𝟎° 𝒏 − 𝟐
𝒏
𝜽𝒏 = 𝒆𝒏 =
𝟑𝟔𝟎°
𝒏
Al dividir una circunferencia en 𝑛 partes
iguales 𝑛 ∈ ℤ 𝑛 > 2 y al unir en
forma consecutiva los puntos de división,
mediante segmentos de recta, se forma
un polígono regular.
Importante:
Recordar:
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Cuadrilátero Bicéntrico:
En el gráfico;
𝐴𝐵𝐶𝐷 esta inscrito a 𝒞1
y circunscrito a 𝒞2
𝐴𝐵𝐶𝐷 es Bicéntrico
Entonces:
𝟏
𝒓𝟐
=
𝟏
𝑹 − 𝒙 𝟐
+
𝟏
𝑹 + 𝒙 𝟐
Se cumple:
𝟏
𝒓𝟐
=
𝟏
𝒂𝟐
+
𝟏
𝒄𝟐
=
𝟏
𝒃𝟐
+
𝟏
𝒅𝟐
Es aquel cuadrilátero que está inscrito y circunscrito a dos circunferencias.
Demostración:
• 𝐴𝐵𝐶𝐷: inscrito → 2𝛼 + 2𝛽 = 180°
• Sabemos que: 𝑆𝑒𝑛2𝛼 + 𝐶𝑜𝑠2𝛼 = 1
→ Τ𝑟 𝑎 2 + Τ𝑟 𝑐 2 = 1
∴
1
𝑎2
+
1
𝑐2
=
1
𝑟2
• Por T. Cuerdas: 𝑎𝑚 = 𝑐𝑛
• Por T. Cálculo de la mediana:
𝑚2 + 𝑛2 = 2𝑥2 +
2𝑅 2
2
• Reemplazando:
𝑅2 − 𝑥2
𝑎
2
+
𝑅2 − 𝑥2
𝑐
2
= 2𝑥2 + 2𝑅2
𝑅2 − 𝑥2 2
1
𝑎2
+
1
𝑐2
= 𝑅 + 𝑥 2 + 𝑅 − 𝑥 2
1
𝑟2
=
𝑅 + 𝑥 2 + 𝑅 − 𝑥 2
𝑅 − 𝑥 𝑅 + 𝑥
2
∴
1
𝑟2
=
1
𝑅 − 𝑥 2
+
1
𝑅 + 𝑥 2∎
 Si un polígono está inscrito y circunscrito a dos circunferencias es regular
 Si un polígono equiángulo está inscrito en una circunferencia es regular
Si un polígono equilátero está inscrito en una circunferencia es regular 𝑉
𝐹
𝐹
= 𝑅2 − 𝑥2
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Cálculo del lado: ℓ𝒏
En el gráfico, 
se tiene el 
polígono 
regular 
𝑉1𝑉2𝑉3…𝑉𝑛
de 𝑛 lados, 
circunradio 𝑅
y medida de 
su ángulo 
central 𝜃𝑛
En el △ elemental 𝑉1𝑂𝑉2, por el Teorema de Cosenos:
ℓ𝑛
2 = 𝑅2 + 𝑅2 − 2𝑅𝑅 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛
ℓ𝑛
2 = 2𝑅2 − 2𝑅2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛
ℓ𝑛
2 = 𝑅2 2 − 2 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛
ℓ𝑛 = 𝑅 2 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛
Cálculo del apotema: 𝒂𝒑
En el gráfico, 
se tiene el 
polígono 
regular 
𝑉1𝑉2𝑉3…𝑉𝑛
de 𝑛 lados, 
longitud de su 
lado ℓ𝑛
circunradio 𝑅
y medida de 
su ángulo 
central 𝜃𝑛
𝒂𝒑 =
𝟏
𝟐
𝟒𝑹𝟐 − ℓ𝒏
𝟐 =
𝑹
𝟐
𝟐 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽𝒏
Por el teorema de Pitágoras en el ⊿𝑂𝐻𝑉1:
𝑎𝑝
2 = 𝑅2 −
ℓ𝑛
2
2
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Cálculo del lado del polígono regular de doble número de lados ℓ𝟐𝒏 :
Siendo:
𝐴𝐵: Lado del polígono regular de 𝑛 lados ℓ𝑛
𝐴𝑃: Lado del polígono regular de doble número de
lados ℓ2𝑛
• Por teorema de cosenos en el △ 𝐴𝑂𝑃
ℓ2𝑛
2 = 𝑅2 + 𝑅2 − 2𝑅𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑛
• En el ⊿𝑂𝐻𝐴: 𝑂𝐻 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃2𝑛
• Se observa que 𝑂𝐻 es apotema del polígono de 𝑛
lados:
𝑂𝐻 =
1
2
4𝑅2 − ℓ𝑛
2
• Reemplazando:
ℓ2𝑛
2 = 2𝑅2 − 2𝑅
1
2
4𝑅2 − ℓ𝑛
2
ℓ𝟐𝒏 = 𝟐𝑹
𝟐 − 𝑹 𝟒𝑹𝟐 − ℓ𝒏
𝟐
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Polígonos regulares notables: Son aquellos polígonos regulares en el cual la longitud de su lado 𝓵𝒏 y apotema 𝒂𝒑 se calcula
(de forma exacta) en función a su circunradio 𝑅.
 Triángulo equilátero: 𝓵𝟑  Cuadrado: 𝓵𝟒
 Medida del ángulo central:
 Longitud del lado:
𝜃3 = 120°
ℓ3 = 𝑅 3
 Longitud del apotema: 𝑎𝑝3 =
𝑅
2
 Medida del ángulo central:
 Longitud del lado:
𝜃4 = 90°
ℓ4 = 𝑅 2
 Longitud del apotema: 𝑎𝑝4 =
𝑅 2
2
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶: 
Triángulo 
equilátero
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷: 
Cuadrado
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Hexágono regular: 𝓵𝟔
 Medida del ángulo central:
 Longitud del lado:
𝜃6 = 60°
ℓ6 = 𝑅
 Longitud del apotema: 𝑎𝑝6 =
𝑅 3
2
Observación:
En todo 
hexágono 
regular al trazar 
las diagonales 
cuyos extremos 
son vértices 
opuestos se 
determinan 6
triángulos 
equiláteros.
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹: Hexágono regular
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Octógono regular: 𝓵𝟖
𝜽𝟖 = 𝟒𝟓° ℓ𝟖 = 𝑹 𝟐 − 𝟐
𝒂𝒑𝟖 =
𝑹
𝟐
𝟐 + 𝟐
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻: Octógono regular
Teorema:
Teorema:
𝐵𝐶 2 = = 4𝑅2 − 𝑅2 2 − 22𝑅 2 − 𝑅 2 − 2
2
= 𝑅2 2 + 2
Observación:
• Al octógono regular
también se le llama
octágono regular.
Recordar:
ℓ𝑛 = 𝑅 2 − 2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛
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Dodecágono regular: 𝓵𝟏𝟐
𝜽𝟏𝟐 = 𝟑𝟎° ℓ𝟏𝟐 = 𝑹 𝟐 − 𝟑
𝒂𝒑𝟏𝟐 =
𝑹
𝟐
𝟐 + 𝟑
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽𝐾𝐿: Dodecágono regular
Teorema:
Teorema:
𝐵𝐶 2 = = 4𝑅2 − 𝑅2 2 − 32𝑅 2 − 𝑅 2 − 3
2
= 𝑅2 2 + 3
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Decágono regular: 𝓵𝟏𝟎
𝜽𝟏𝟎 = 𝟑𝟔° ℓ𝟏𝟎 = 𝑹
𝟓 − 𝟏
𝟐
𝒂𝒑𝟏𝟎 =
𝑹
𝟒
𝟏𝟎 + 𝟐 𝟓
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽: Decágono regular
Prueba:
• Se traza la ceviana interior 𝐺𝑃 tal que:
𝑚∢𝑂𝐺𝑃 = 36°
• Los △𝑠 𝑂𝐺𝑃 y 𝐺𝑃𝐻 son isósceles:
→ 𝐺𝑃 = ℓ10 y 𝑂𝑃 = ℓ10
• Por el teo. de la bisectriz en el △𝑂𝐺𝐻:
𝑅
ℓ10
=
ℓ10
𝑅 − ℓ10
→ 𝑅 𝑅 − ℓ10 = ℓ10
2
→ 𝑅2 − 𝑅ℓ10 = ℓ10
2
→ 0 = ℓ10
2 + 𝑅ℓ10 − 𝑅
2 ℓ10→
−𝑅 ± 𝑅2 − 4 1 −𝑅2
2 1
=
−𝑅 ± 𝑅2 + 4𝑅2
2
=
−𝑅 + 5𝑅2
2
=
−𝑅 + 𝑅 5
2
=ℓ10→ ∴ ℓ10 = 𝑅
5 − 1
2
∎
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Pentágono regular: 𝓵𝟓
𝜃5 = 72°
ℓ5 =
𝑅
2
10 − 2 5 𝑎𝑝5 = 𝑅
5 + 1
4
En el gráfico:
𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸: Pentágono regular
Prueba:
Nota:
• Por el Teo. de las Proyecciones en el △𝑂𝐶𝑃:
• Calculando 𝑎𝑝5:
𝑅2 − ℓ10
2 = 𝑎𝑝5
2
− 𝑅 − 𝑎𝑝5
2
𝑅2 − 𝑅
5 − 1
2
2
= −𝑅2 + 2𝑅𝑎𝑝5
2𝑅2 −
𝑅2
4
6 − 2 5 = 2𝑅𝑎𝑝5
2𝑅 −
3𝑅
2
+
𝑅 5
2
= 2𝑎𝑝5
∴ 𝑎𝑝5 = 𝑅
5 + 1
4
∎
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Cuadro de resumen
Nombre ℓ𝑛 𝑎𝑝𝑛
3
4
5
6
8
10
12
Triángulo 
equilátero
Cuadrado
Hexágono 
regular
Pentágono 
regular
Octógono 
regular
Decágono 
regular
Dodecágono 
regular
𝜃𝑛
120°
90°
72°
60°
45°
36°
30°
ℓ3 = 𝑅 3
ℓ4 = 𝑅 2
ℓ5 =
𝑅
2
10 − 2 5
𝑛
ℓ6 = 𝑅
ℓ8 = 𝑅 2 − 2
ℓ10 = 𝑅
5 − 1
2
ℓ12 = 𝑅 2 − 3
𝑎𝑝3 =
𝑅
2
𝑎𝑝5 = 𝑅
5 + 1
4
𝑎𝑝8 =
𝑅
2
2 + 2
𝑎𝑝4 =
𝑅 2
2
𝑎𝑝6 =
𝑅 3
2
𝑎𝑝10 =
𝑅
4
10 + 2 5
𝑎𝑝12 =
𝑅
2
2 + 3
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Sección áurea
División de un Segmento en Media y Extrema razón:
Dado el segmento 𝐴𝐵, un punto 𝑃 divide a dicho segmento en media y extrema razón, si
la razón entre los segmentos determinados por el punto 𝑃 (mayor entre menor) es la
misma que la razón entre todo el segmento y el segmento mayor.
En el gráfico,
sea 𝑃 un punto de 𝐴𝐵
Si 𝑃 divide en media y extrema razón a 𝐴𝐵, 𝐴𝑃 > 𝑃𝐵 entonces:
𝑨𝑷
𝑷𝑩
=
𝑨𝑩
𝑨𝑷
• Reemplazando: 𝑥
ℓ − 𝑥
=
ℓ
𝑥
→ 𝑥2 = ℓ2 − 𝑥ℓ → 𝑥2 + 𝑥ℓ − ℓ2 = 0
𝒙 = ℓ
𝟓 − 𝟏
𝟐
𝐴𝑃 es la sección áurea de 𝐴𝐵
𝜙 =
5 + 1
2
: número áureo
Teoremas:
 El lado de un decágono regular es
congruente a la sección áurea de su
circunradio.
 El lado de un pentágono regular es
congruente a la sección áurea de su
diagonal.
 Siendo ℓ5, ℓ6 y ℓ10 lados de polígonos
regulares con un mismo circunradio,
se cumple:
𝑃𝐵 es congruente a la sección áurea de 𝐴𝑃
ℓ𝟏𝟎
𝟐 + ℓ𝟔
𝟐 = ℓ𝟓
𝟐