cinematica en 1D

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Fisica I 
 
 
Elaborado por: José Luis Peraza y Sinay Rojas 
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“La Universidad Técnica del Estado Venezolano” 
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA 
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE “ 
Vicerrectorado Barquisimeto 
Departamento de Estudios Generales y Básicos 
Sección de Física 
 
 
 
MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 
 
Prof. Sinay Rojas 
 
 
 
 
Unidad I, UNEXPO, Venezuela, 2021. 
Derechos Reservados. Prohibida su reproducción total o parcialmente para usos 
comerciales. Permitida su descarga exclusivamente con fines de aprendizaje 
 
 
 
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“La Universidad Técnica del Estado Venezolano” 
Tabla de Contenido 
 CINEMATICA 
 Movimiento en una Dimensión ………… ………………………………….……..……… 3 
 Definiciones Básicas ……………………………………………………….………..……. 3 
 Movimiento y Reposo .………………………………………………………………….. 3 
 Sistema de Referencia .………………………………………………………..………… 3 
 Posición ………………………………………………………………………..……..… 4 
 Desplazamiento ………………………………………………………………………… 4 
 Distancia ………………………………………………………………………….……... 5 
 Velocidad Media ……………………………………………………………….……… 6 
 Rapidez Media …………………….……………………………………………………. 6 
 Velocidad Instantánea ..……………………………………………………………….… 6 
 Aceleración Media …….………………………………………………………………… 7 
 Aceleración Instantánea ………………………………………………………………… 7 
 Estudio del Movimiento a lo largo del eje x …………………………………….………... 8 
 Movimiento Rectilíneo Uniforme ……………………………..……………………….. 8 
 Movimiento con aceleración Constante ……..………………………..……………….. 8 
 Movimiento con aceleración variable ……………..………………………………..….. 9 
 Estudio del Movimiento a lo largo del eje y ……………………………………….…… 10 
 Caída Libre …………………………………...……………………………. ………… 10 
 Lanzamiento vertical hacia arriba ……….…………………………………………… 10 
 Lanzamiento vertical hacia abajo …….………………………………………..…….. 11 
 
 
 
 
 
 
 
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CINEMÁTICA 
1.- Movimiento en Una Dimensión: 
La cinemática se encarga de estudiar el 
movimiento de los cuerpos sin importar la causa 
que los produce. 
En otras palabras se describirá el 
movimiento de un objeto mientras se ignoran las 
interacciones con agentes externos que puedan 
causar o modificar dicho movimiento. 
Estudiaremos el movimiento de un cuerpo 
alrededor de un solo eje que puede ser el eje x o 
y, movimiento unidimensional. 
Consideraremos solo el movimiento 
traslacional, El cuerpo que se traslada, todas sus 
partes experimentan un cambio de posición y se 
mueven en la misma trayectoria, en este 
movimiento se toma un punto representativo del 
cuerpo, es decir el cuerpo puede ser considerado 
como una partícula sin importar su tamaño, un 
simple punto de masa. Por ejemplo si queremos 
describir el movimiento de la tierra alrededor del 
sol, puede considerarse a la tierra como una 
partícula. 
Describamos ciertas definiciones básicas 
para el estudio de este movimiento. 
2.- Definiciones Basicas: 
Movimiento y Reposo: Se dice que un cuerpo 
esta movimiento con respecto a otro cuando su 
posición relativa al segundo cuerpo, está 
cambiando con el tiempo. Si la posición relativa 
no cambia con el tiempo se dice que el objeto se 
encuentra en reposo. 
Tanto el movimiento como el reposo son 
conceptos relativos, es decir depende de la 
referencia con que se estudie el movimiento. Por 
ejemplo un carro se encuentra en movimiento 
respecto a un árbol, pero las personas dentro del 
auto están reposo respecto a ellas mismas dentro 
del auto. Como se puede observar el movimiento 
y el reposo depende de la referencia con que se 
estudie. 
Sistema de Referencia: Es un sistema que se 
utiliza para ubicar un objeto en el espacio. Para 
ello se debe tener un objeto de referencia (origen 
O) y direcciones especificas (o conjunto de ejes 
x, y y z). Es decir, es un conjunto de coordenadas 
que se requiere para poder determinar la posición 
de un punto en el espacio. 
 
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Posición: La posición de una particula se define 
como un vector que del origen del sistema de 
referencia al punto donde se encuentre la 
particula. Se denota con la letra 𝑟 cuando la 
partícula esta en el plano o en el espacio. 
 
 
Cuando la partícula se mueve con una 
trayectoria rectilínea, conviene coincidir la 
dirección del movimiento con el sistema de 
referencia si la partícula está a lo largo de un solo 
eje, se denota la posición con �⃗� o �⃗�. Pero en el 
movimiento rectilíneo se puede suprimir el 
vector unitario del vector posición y trabajar 
únicamente con su componente escalar. Lo 
mismo se puede aplicar para otras cantidades 
vectoriales como desplazamiento, velocidad y 
aceleración. 
Quedaría entendido que un valor positivo 
para dicha magnitud física, significa que el 
vector apunta en el sentido del eje positivo, 
mientras que un valor negativo significa que el 
vector apunta en el sentido negativo del eje. 
 𝑟 = �⃗� = 𝑥𝑖̂ 
 
 
 
 
 
 
Desplazamiento: Se define el vector 
desplazamiento al cambio del vector posición 
durante un intervalo de tiempo. Es decir sea �⃗�1 
la posición de un objeto en el instante 𝑡1 y �⃗�2 es 
su posición en el instante 𝑡2, el desplazamiento 
será operacionalmente 
 ∆�⃗� = �⃗�2 − �⃗�1 = (𝑥2 − 𝑥1)𝑖̂ 
El desplazamiento es una cantidad 
vectorial, ya que viene de la resta de dos vectores 
x 
𝑖 ̂
0 
 
Sentido positivo Sentido negativo 
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y su unidad de medida es el metro. 
 
En esta figura observamos que la persona 
recorre 8 metros al norte, luego 12 metros al este 
y finalmente 8 metros al sur, para determinar el 
desplazamiento solo importa el punto de inicio o 
partida y el punto de llegada, por lo que al unir el 
inicio con el final marca el desplazamiento de la 
persona. Por lo tanto operacionalmente se 
determina 
 ∆𝒙⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒙𝒇⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝒙𝒊⃗⃗⃗⃗ (1) 
Esto representa la posición final menos la 
posición inicial de la persona, el signo del 
resultado indica la dirección en un sistema de 
coordenadas definido. En el caso de la figura 
indicara que el desplazamiento es 12 metros 
hacia la derecha o hacia el este. 
Cuando el objeto termina en la misma posición 
que donde comenzó el desplazamiento será cero. 
 
 y no necesariamente la distancia tendrá que 
serlo. 
Distancia: Se define operacionalmente como la 
sumatoria de los diferentes módulos 
(magnitudes) de desplazamientos. 
 𝑑 = ∑|∆𝑟| (2) 
Esta expresión es general, si la partícula 
se mueve en un solo eje, ya sea el x o y, la 
ecuación puede expresarse como 
Para el eje x 𝑑 = ∑|∆�⃗�| (3) 
Para el eje y 𝑑 = ∑|∆�⃗�| (4) 
La distancia es una cantidad escalar 
siempre positiva, y se mide mediante unidades 
de longitud, principalmente el metro, según el 
Sistema Internacional de Unidades. 
 
La figura muestra que para moverse del 
punto A al punto B, se puede realizar varios 
desplazamientos Pero la distancia total recorrida 
A B 
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seria la suma de la magnitud de cada 
desplazamiento realizado. Es decir 
 𝑑 = |8 𝑚| + |12 𝑚| + |8 𝑚| = 28 𝑚 
La distancia total recorrida es de 28 m y 
el desplazamiento realizado es de 12 m al Este. 
 
Velocidad Media: La velocidad media o la 
velocidad promedio se define como la rapidez de 
cambio del desplazamiento durante un intervalo 
de tiempo, operacionalmente se define como la 
razón del desplazamiento y el intervalo de 
tiempo. 
 𝒗𝒎⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
∆𝒙⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝒕
= 
𝒙𝒇⃗⃗ ⃗⃗ ⃗−𝒙𝒊⃗⃗ ⃗⃗
𝒕𝒇−𝒕𝒊
 (5) 
 
 Utilizando unidades del Sistema 
Internacional (S.I.) tanto en el numerador 
(metros) como en el denominador (segundos), se 
puede deducir la unidad de medida en el Sistema 
Internacional (S.I.) de la velocidad es el metro 
por segundo [m/s] 
La velocidad media es una cantidad 
vectorial, por lo que su dirección y su sentido son 
los mismos que los del vector desplazamiento. 
Rapidez Media: Se define operacionalmente 
como la razón entre la distancia total recorrida y 
el intervalo de tiempo que se utilizó para 
recorrerla. 
 𝑣𝑚 =
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 
 (6) 
La rapidez media es una cantidad escalar 
positiva y la unidad de medida en el Sistema 
Internacional es [m/s]. 
.Velocidad Instantánea: Se define como la 
velocidad en cualquier instante o en un punto 
específico de la trayectoria. La velocidad 
instantánea se aproxima al valor de la velocidad 
media entre dos puntos muy próximos. En 
términos matemáticos se dice que la velocidad 
instantánea es el límite del cociente entre el 
vector desplazamiento y el tiempo, cuando el 
tiempo tiende a cero. 
�⃗⃗⃗� = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
�⃗⃗⃗� = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒙⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝒕
 = 
𝒅𝒙⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝒕
 
 �⃗⃗⃗� =
𝒅�⃗⃗⃗�
𝒅𝒕
=
𝒅𝒙
𝒅𝒕
�̂� (7) 
La velocidad instantánea es la derivada 
del vector desplazamiento con respecto al tiempo 
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En el futuro el término velocidad se 
referirá siempre a la velocidad instantánea, Y 
cuando se habla de rapidez instantánea se refiere 
al módulo (magnitud) de la velocidad 
instantánea 
 Rapidez = |�⃗�| 
Su unidad en el sistema Internacional SI 
es el metro por segundo (m/s). 
 
Aceleración Media: La aceleración media se 
define como el cambio en la variación de la 
velocidad con respecto al tiempo. 
Operacionalmente es la razón entre el cambio de 
velocidad y el intervalo de tiempo. 
 𝒂𝒎⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =
∆𝒗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝒕
= 
𝒗𝒇⃗⃗ ⃗⃗⃗−𝒗𝒊⃗⃗ ⃗⃗
𝒕𝒇−𝒕𝒊
 (8) 
 
Su unidad en el Sistema Internacional SI 
es el metro por segundo cuadrado (m/s2). 
Aceleración Instantánea: Se define como la 
aceleración en cualquier instante, La aceleración 
instantánea se aproxima al valor de la 
aceleración media entre dos puntos muy 
próximos. En términos matemáticos se dice que 
la aceleración instantánea es el límite de la razón 
(∆�⃗� ∆𝑡⁄ ) cuando el intervalo de tiempo, ∆𝑡, 
tiende a cero. Por otro lado se puede decir que la 
aceleración instantánea es la derivada del vector 
velocidad con respecto al tiempo. 
�⃗⃗⃗� = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
�⃗⃗⃗� = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒕→𝟎
∆𝒗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝒕
 = 
𝒅𝒗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝒕
 
 �⃗⃗⃗� =
𝒅�⃗⃗⃗�
𝒅𝒕
=
𝒅𝒗
𝒅𝒕
�̂� (9) 
La aceleración también se puede expresar 
como la segunda derivada de la posición con 
respecto al tiempo. 
 𝑎 =
𝑑
𝑑𝑡
(
𝑑𝑥
𝑑𝑡
) =
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
 
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La aceleración es una cantidad vectorial 
que nos indica el cambio de la velocidad por 
unidad de tiempo. Se representa por la letra �⃗�, y 
su unidad en el sistema internacional (SI) es el 
𝑚/𝑠2. Cada instante, o sea en cada punto de 
la trayectoria queda definido un vector velocidad 
que, en general, cambia tanto en módulo como 
en dirección al pasar de un punto a otro de la 
trayectoria. La dirección de la velocidad 
cambiará debido a que la velocidad es tangente a 
la trayectoria y ésta, por lo general, no es 
rectilínea. Siempre la aceleración estará en la 
misma dirección del vector cambio de velocidad. 
Cuando la aceleración tiene el mismo 
sentido que la velocidad, significa que el valor 
absoluto de ésta va en aumento y el movimiento 
se dice que es acelerado. 
Si la aceleración y la velocidad tienen 
sentido contrarios, significa que el valor absoluto 
de la velocidad disminuye y se dice que el 
movimiento es retardado o desacelerado. 
Lo importante cuando un cuerpo tiene 
aceleración, no es el signo de la aceleración, sino 
que los vectores �⃗� y �⃗� tengan signos iguales 
(acelerado), u opuestos (desacelerado). 
 
3.- Estudio del Movimiento a lo Largo 
del Eje x: 
Movimiento Rectilineo Uniforme (M.R.U): Se 
define como el movimiento a velocidad 
constante, se describe mediante la ecuación 
�⃗� = 
𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑡
 → �⃗�𝑑𝑡 = 𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ 
Integrando ambos términos de la 
ecuación tenemos 
∫ 𝑑𝑥
𝑥𝑓
𝑥0
= 𝑣 ∫ 𝑑𝑡 → 𝑥𝑓 − 𝑥𝑖 = 𝑣𝑡
𝑡𝑓
𝑡0
 
 𝑥𝑓 = 𝒙𝒊 + 𝒗𝒕 (10) 
Movimiento con aceleración constante: Si un 
cuerpo realiza un cambio de velocidad durante 
un intervalo de tiempo, se puede decir que esta 
acelerado y es constante durante ese tiempo. 
 Para estudiar el movimiento con 
aceleración constante, podemos encontrar las 4 
ecuaciones que controlan este movimiento 
partimos de: 
𝑎 = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 → 𝑎𝑑𝑡 = 𝑑𝑣 
∫ 𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑡
𝑡𝑓
𝑡𝑖
𝑣𝑓
𝑣𝑖
 
𝑣𝑓 − 𝑣𝑖 = 𝑎𝑡 
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 𝒗𝒇 = 𝒗𝟎 + 𝒂. 𝒕 (11) 
Por otro lado tenemos, la definición de 
velocidad 
 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 → 𝑑𝑥 = 𝑣. 𝑑𝑡 
Si consideramos que esta acelerado 
𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + 𝑎. 𝑡, introducimos esta valor en la 
ecuación anterior, tenemos 
𝑑𝑥 = (𝑣0 + 𝑎. 𝑡)𝑑𝑡 → 𝑑𝑥 = 𝑣0𝑑𝑡 + 𝑎. 𝑡𝑑𝑡 
Integrando 
∫ 𝑑𝑥 = 𝑣0 ∫ 𝑑𝑡
𝑡𝑓
𝑡𝑖
+ 𝑎 ∫ 𝑡𝑑𝑡
𝑡𝑓
𝑡𝑖
𝑥𝑓
𝑥𝑖
 
 𝒙𝒇 − 𝒙𝒊 = 𝒗𝟎𝒕 + (
𝟏
𝟐
) 𝒂𝒕𝟐 (12) 
Ahora partiendo de la definición de 
aceleración 
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
Multiplicando y dividiendo por dx 
 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
.
𝑑𝑥
𝑑𝑥
 → 𝑎 = 𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑥
 
 𝑣. 𝑑𝑣 = 𝑎. 𝑑𝑥 → ∫ 𝑣. 𝑑𝑣 = 𝑎 ∫ 𝑑𝑥
𝑥𝑓
𝑥𝑜
𝑣𝑓
𝑣𝑜
 
 𝐯𝐟
𝟐 = 𝒗𝟎
𝟐 + 𝟐𝒂(𝒙𝒇 − 𝒙𝒊) (13) 
Para obtener la última ecuación se puede 
partir de la ecuación (11) despejamos a 
 𝑎 =
𝑣𝑓−𝑣𝑜
𝑡
 
Introduciendo el valor de a en ecuación 
(12), tenemos 
 𝑥𝑓 − 𝑥𝑜 = 𝑣𝑜𝑡 +
1
2
(
𝑣𝑓−𝑣𝑜
𝑡
) 𝑡2 
 𝒙𝒇 − 𝒙𝒐 = (
𝒗𝒐+𝒗𝒇
𝟐
) 𝒕 (14) 
Movimiento con aceleración variable: Cuando 
la aceleración no es constante, no se puede 
utilizar las ecuaciones que se dedujeron en la 
sección anterior. Pero si a varia con el tiempo, se 
puede usar la relación 𝑣 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡⁄ , para obtener 
la velocidda como una función del tiempo si x es 
una función del tiempo y se puede usar 𝑎 =
𝑑𝑣 𝑑𝑡⁄ para obtener una aceleración en función 
del tiempo si v es una función del tiempo, es 
decir se encuentran esa cantidades físicas por 
derivación. 
Pero el proceso inverso también es 
posible y consiste en hallar por integración la 
posición dada la velocidad o la aceleración. 
 Si se conoce la aceleración como 
función del tiempo, para obtener la velocidad 
partimos de la definición de aceleración 
 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 → 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎. 𝑑𝑡 
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Una vez obtenida la velocidad como 
función del tiempo, se puede obtener la posición 
x con la definición de velocidad 
 𝑣
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 → 𝑑𝑥 = ∫ 𝑣. 𝑑𝑡 
se puede obtener la velocidad y la 
posición como función del tiempo integrando la 
función de la aceleración 
 
4.- Estudio del Movimiento a lo Largo del 
Eje y: 
El movimiento a lo largo del eje y se 
caracteriza por ser un movimiento rectilíneo con 
aceleración constante, la misma es la aceleración 
de la gravedad �⃗�, la es una manifestación de la 
atracción universal que impulsa los cuerpos 
hacia el centro de la tierra, debido a que los 
cuerpo se mueven en el campo gravitacional. 
Cerca de la superficie terrestre el valor de 
g (magnitud) es aproximadamente 9,8 m/s2, 
980 cm/s2 o 32 pies/s2. Siempre la aceleración de 
un cuerpo en caída es verticalmente hacia abajo. 
En esta sección las ecuaciones son las 
mismas del movimiento con aceleración 
constante, en las cual sustituimos x por y, y la 
aceleración �⃗⃗� la estudiaremos ahora como la 
aceleración de la gravedad �⃗⃗�. 
En esta sección estudiaremos tres tipos de 
movimientos que ocurren a lo largo del eje y: 
 
Caída libre: Se caracteriza en que el cuerpo cae 
libremente desde el reposo, 𝑣𝑜 = 0. En este caso 
el movimiento es acelerado (la velocidad y la 
aceleración tienen signos iguales, ya que apuntan 
en la misma dirección) 
 
 
Lanzamiento vertical hacia arriba: Se 
caracteriza en que el cuerpo es lanzado hacia 
arriba con velocidad inicial, 𝑣𝑜 ≠ 0. En este caso 
los cuerpos suben, pero a medida que se mueven 
su velocidad va disminuyendo (sube 
desacelerado, la velocidad y la aceleración tienen 
signos contrarios) hasta un punto máximo donde 
el cuerpo alcanza el reposo (vf = 0) y luego cae 
libremente por efecto de la gravedad (bajo 
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acelerado, la velocidad y la aceleración tiene 
signos iguales). 
 
 
Lanzamiento vertical hacia abajo: Se 
caracteriza en que el cuerpo es lanzado 
verticalmente hacia abajo con velocidad inicial, 
𝑣𝑜 ≠ 0. En este caso el cuerpo baja acelerado (la 
velocidad y la aceleración tiene signos iguales).