Guia_de_Ejercicios_Algebra_Lineal_Parcial_1

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA
U
N
E
X
P
O
Álgebra Lineal
Gúıa de Ejemplos y Ejercicios
Aplicaciones de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
Todos los ejemplos y ejercicios que se presentan a continuación fueron extráıdos del
libro “Álgebra Lineal y sus Aplicaciones” en su tercera edición cuyo autor es “David C.
Lay”.
A continuación daremos algunos ejemplos que muestran la aplicación de los sistemas
de ecuaciones lineales en variadas situaciones de la vida cotidiana.
Con mucha frecuencia en economı́a se presentan problemas que llevan a un sistema
de ecuaciones lineales, a continuación presentamos un ejemplo que produce una situación
que se conoce como equilibrio de mercado.
Ejemplo 1 (Aplicación a la economı́a). Suponga que una economı́a consiste en los sec-
tores de carbón, electricidad y acero, y que el rendimiento de cada sector se distribuye
entre los diferentes sectores como en el cuadro 1, donde las entradas de una columna
representan fracciones de la producción total de un sector.
La segunda columna del cuadro 1, por ejemplo, muestra que la producción total de
electricidad se divide como sigue: 40% de carbón, un 50% de acero y el restante 10% de
electricidad. (El sector eléctrico trata este 10% como un gasto en que incurre para hacer
funcionar su negocio.) Ya que debe tomarse en cuenta la producción total, las fracciones
decimales de cada columna deben sumar 1.
Los precios (es decir, valores en moneda) de la producción total de los sectores de
carbón, electricidad y acero se denotarán por pC, pE y pS, respectivamente. Si es posible,
encuentre los precios de equilibrio que permiten a los ingresos de cada sector igualar sus
gastos.
Distribución del rendimiento de:
Carbón Electricidad Acero Comprado por:
0.0 0,4 0,6 Carbón
0,6 0,1 0,2 Electricidad
0,4 0,5 0,2 Acero
Cuadro 1: Una Economı́a Sencilla
Solución. Un sector observa una columna para ver a dónde va su produccón y examina
una fila para ver qué necesita como entradas. Por ejemplo, la primera fila del cuadro 1
1
indica que el sector carbón recibe (y paga por) el 40% de la producción del sector eléctrico
y el 60% de la producción de la producción de acero. Puesto que los valores respectivos de
producción totales son pE y pS, el sector carbón debe gastar 0, 4pE unidades monetarias
por su producción de electricidad y 0, 6pS por su parte de producción de acero. Entonces
los gastos totales del carbón son de 0, 4pE + 0, 6pS unidades monetarias. Para hacer que
los ingresos del sector carbón, pC , sean iguales a sus gastos, se desea
pC = 0, 4pE + 0, 6pS (1)
La segunda fila del cuadro 1 de intercambio muestra que el sector eléctrico gasta 0, 6pC
en carbón, 0, 1pE en electricidad y 0, 2pS en acero. Entonces, el requisito ingresos/gastos
para electricidad es
pE = 0, 6pC + 0, 1pE + 0, 2pS (2)
Por último, la tercera fila del cuadro 1 de intercambio conduce al requisito final:
pS = 0, 4pC + 0, 5pE + 0, 2pS (3)
Para resolver el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3), rescribamos cada ecuación para
obtener el sistema homogéneo:



pC −0, 4pE −0, 6pS = 0
−0, 6pC +0, 9pE −0, 2pS = 0
−0, 4pC −0, 5pE +0, 8pS = 0
Al hallar la FERF de la matriz del sistema


1 −0, 4 −0, 6
−0, 6 0, 9 −0, 2
−0, 4 −0, 5 0, 8


obtenemos


1 0 −31/33
0 1 −28/33
0 0 0


que equivale al sistema
{
pC −31/33pS = 0
pE −28/33pS = 0
o bien
{
pC = 31/33pS
pE = 28/33pS
Por lo tanto la solución general del sistema viene dada por:


pC
pE
pS

 =


31/33pS
28/33pS
pS

 =
1
33
pS


31
28
33

 con pS ≥ 0
2
Esto quiere decir que cualquier valor no negativo de pS genera un equilibrio en la
economı́a dada. Por ejemplo, si hacemos pS = 33 (millones de unidades monetarias),
entonces pC = 31 y pE = 28 (ambos en millones de unidades monetarias), esto es, los
ingresos y los gastos de cada uno de los tres sectores son iguales si la producción de
carbón, de electricidad y de acero se valora en 31, 28 y 33 millones de unidades monetarias
respectivamente.
En las reacciones qúımicas están involucradas varias sustancias, unas como reactivos,
digamos r1, r2, . . . , rn, y otras como productos, digamos p1, p2, . . . , pm. Dado que los áto-
mos no se crean ni se destruyen, la cantidad de átomos en los reactivos debe ser igual a
los átomos correspondientes en los productos, estas reacciones qúımicas se denotan por
“ecuaciones” del tipo
(x1)r1 + (x2)r2 + · · ·+ (xn)rn → (xn+1)p1 + (xn+2)p2 + · · ·+ (xn+m)pm
donde x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2, . . . , xn+m son enteros positivos que garantizan que la can-
tidad de átomos en la reacción permanece igual. El significado de la “ecuación” es el
siguiente, x1 moléculas del reactivo r1, x2 moléculas del reactivo r2, . . ., xn moléculas
del reactivo rn se combinan para obtener xn+1 moléculas del producto p1, xn+2 molécu-
las del producto p2, . . ., xn+m moléculas del producto pm. La busqueda de los valores
x1, x2, . . . , xn, xn+1, xn+2, . . . , xn+m es lo que se conoce en qúımica como “balanceo”. Vea-
mos como se aplica éste principio en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2 (Balanceo qúımico). Cuando se quema gas propano (C3H8), éste se combina
con ox́ıgeno (O2) para formar dióxido de carbono (CO2) y agua (H2O) de acuerdo a la
ecuación qúımica siguiente
(x1)C3H8 + (x2)O2 → (x3)CO2 + (x4)H2O
Hallar valores x1, x2, x3, x4 que balanceen ésta ecuación.
Solución. Un método sistemático para balancear ecuaciones qúımicas consiste en esta-
blecer una ecuación matemática que describa el número de átomos de cada tipo presente
en una reacción. Como la ecuación dada involucra tres tipos de átomo (carbono (C),
hidrógeno (H) y ox́ıgeno (O)), construyamos una matriz real 3 × 1 para cada reactivo y
cada producto en dicha ecuación, la primera, segunda y tercera componete de dicha ma-
triz representa la cantidad de átomos de carbono, hidrógeno y ox́ıgeno, respectivamente,
que tiene la molécula, aśı que C3H8, O2, CO2 y H2O son representados, respectivamente,
por las matrices


3
8
0

 ;


0
0
2

 ;


1
0
2

 y


0
2
1


Aśı que la ecuación dada puede ser expresado por
x1


3
8
0

+ x2


0
0
2

 = x3


1
0
2

+ x4


0
2
1


3
o equivalentemente
x1


3
8
0

+ x2


0
0
2

+ x3


−1
0
−2

+ x4


0
−2
−1

 =


0
0
0


o bien


3 0 −1 0
8 0 0 −2
0 2 −2 −1




x1
x2
x3

 =


0
0
0


La FERF de la matriz de éste sistema es


1 0 0 −1/4
0 1 0 −5/4
0 0 1 −3/4


Por lo tanto x1 =
1
4
x4; x2 =
5
4
x4 y x3 =
3
4
x4 con x1, x2, x3, x4 ∈ N, aśı que tomando x4
cualquier múltiplo natural de 4, obtenemos una solución del sistema dado, por ejemplo,
tomando x4 = 4, tenemos que x1 = 1; x2 = 5 y x3 = 3. Para este valor de x4 la ecuación
balanceada es
C3H8 + 5O2 → 3CO2 + 4H2O
ésta solución presenta los mı́nimos valores para las variables (¿por qué?).
Los sistemas de ecuaciones lineales surgen de manera natural cuando cient́ıficos, in-
genieros o economistas estudian el flujo de algunas cantidades a traves de una red. Por
ejemplo, los planeadores urbanos e ingenieros de tráfico monitorean el patrón de flujo del
tráfico en una cuadŕıcula formada por las calles de una ciudad. Los ingenieros eléctricos
calculan el flujo de corriente que transportan los circuitos eléctricos. Y los economistas
analizan la distribución de productos entre fabricantes y consumidores que tiene lugar me-
diante una red de mayoristas y vendedores al menudeo. Para muchas redes, los sistemas
de ecuaciones lineales involucran cientos e incluso miles de variables y ecuaciones.
Una red consiste en un conjunto de puntos llamados uniones o nodos, con ĺıneas o
arcos denominados ramas que conectan a algunos o todos los nodos. La dirección delflujo
se indica en cada arco y la cantidad (o tasa) de flujo se muestra o se denota por medio
de una variable.
El supuesto básico del flujo de redes es que el flujo que entra a la red es el mismo
que sale de la red, y que el flujo entrante en un nodo es igual al flujo saliente del nodo.
El problema del análisis de redes consiste en determinar el flujo presente en cada arco
cuando se conoce cierta información parcial (como las entradas a la red).
Ejemplo 3 (Flujo de redes). En la red la figura 1 se muestra el flujo del tráfico (en
veh́ıculos por hora) sobre varias calles de un solo sentido en el centro de Baltimore durante
un d́ıa t́ıpico temprano por la tarde. Determine el patrón de flujo general para la red.
Solución. Anote las ecuaciones que describen el flujo, y después encuentre la solución
general del sistema. Etiquete las intersecciones de las calles (nodos) y los flujos desconoci-
dos en los arcos, como se muestra en la figura 1. En cada intersección, establezca el flujo
entrante igual al flujo saliente,
4
Figura 1: Calles de Baltimore
Intersección Flujo entrante Flujo saliente
A 300 + 500 = x1 + x2
B x2 + x4 = 300 + x3
C 100 + 400 = x4 + x5
D x1 + x5 = 600
También, el flujo total entrante a la red (500 + 300 + 100 + 400 = 1300) es igual al flujo
total saliente (300 + x3 + 600 = x3 + 900), lo cual se simplifica a x3 = 400. Combine
ésta ecuación con un reordenamiento de las primeras cuatro ecuaciones para obtener el
siguiente sistema de ecuaciones lineales:











x1 +x2 = 800
x2 −x3 +x4 = 300
x4 +x5 = 500
x1 +x5 = 600
x3 = 400
La matriz ampliada de este sistema es:






1 1 0 0 0 800
0 1 −1 1 0 300
0 0 0 1 1 500
1 0 0 0 1 600
0 0 1 0 0 400






cuya FERF es:






1 0 0 0 1 600
0 1 0 0 −1 200
0 0 1 0 0 400
0 0 0 1 1 500
0 0 0 0 0 0






5
la cual equivale al sistema







x1 +x5 = 600
x2 −x5 = 200
x3 = 400
x4 +x5 = 500
obteniendo la solución del sistema















x1 = 600− x5
x2 = 200 + x5
x3 = 400
x4 = 500− x5
x5 está libre
x1, x2, x3, x4, x5 ∈ N
Un flujo negativo en un arco de red corresponde al flujo que va en dirección opuesta al
sentido mostrado en el modelo. Como en este problema las calles van en un solo sentido,
ninguna de las variables puede ser negativa, además, debido a que las variables en este
problema representan cantidad de carros, éstas tienen que ser enteras, en conjunción, se
tiene que x1, x2, x3, x4, x5 ∈ N. Este hecho conduce a ciertas limitaciones sobre los posibles
valores de las variables, a saber x5 ≤ 600 (pues 600 − x5 = x1 ≥ 0); x5 ≥ −200 (pues
200+x5 = x2 ≥ 0); x5 ≤ 500 (pues 500−x5 = x4 ≥ 0). Por lo tanto 0 ≤ x5 ≤ 500. Podŕıa
pensanse que el sistema en cuestión tiene infinitas soluciones, sin embargo, debido a que
x5 ∈ N y 0 ≤ x5 ≤ 500, se tiene que el sistema tiene una cantidad finita de soluciones, a
saber, 501 soluciones, una solución por cada valor posible de x5.
Ejercicios
1. Suponga que una economı́a tiene solamente dos sectores: bienes y servicios. Cada
año, bienes vende el 80% de su producción a servicios y se queda con el resto,
mientras que servicios vende un 70% de su producción a bienes y retiene el 30%.
Para la producción anual de los sectores de bienes y servicios, encuentre precios de
equilibrio que permitan que los ingresos de cada sector equivalgan a sus gastos.
2. Suponga que una economı́a tiene tres sectores, agricultura, mineŕıa y manufactura.
Agricultura vende el 5% de su producción a mineŕıa, el 30% a manufactura y
retiene el resto. Mineŕıa vende un 20% de lo que produce a agricultura, un 70%
a manufactura y conserva el resto. Manufactura vende el 20% de su producción
a agricultura, el 30% a mineŕıa y se queda con el 50%. Determine el cuadro de
intercambio para ésta economı́a, donde las columnas describan el modo en que la
producción de cada sector se intercambia entre los tres sectores. Desarrolle y resuelva
un sistema de ecuaciones lineales que represente los precios de equilibrio para ésta
economı́a.
3. Considere una economı́a con tres sectores: qúımicos y metales, combustibles y ener-
ǵıa, y maquinaria. Qúımicos vende el 30% de su producción a combustibles, un
50% a maquinaria, y retiene el resto. Combustible vende un 80% de su producción
a qúımicos, el 10% a maquinaria, y retiene el 10%. Maquinaria vende el 40% a
qúımicos, el 40% a combustibles y conserva el resto.
6
a) Construya el cuadro de intercambio para ésta economı́a.
b) Desarrolle un sistema de ecuaciones que conduzca a precios con los cuales
los ingresos de cada sector equivalgan a sus gastos. Luego escriba la matriz
aumentada que pueda reducirse por filas para encontrar dichos precios.
c) Encuentre un conjunto de precios de equilibrio cuando el precio para la pro-
ducción de maquinaria es de 120 unidades monetarias.
4. Suponga que una economı́a tiene cuatro sectores, agricultura (A), enerǵıa (E), ma-
nufactura (M), y transporte (T). El sector A vende un 10% de su producción a E,
el 25% a M, y retiene el resto El sector E vende un 30% de su producción a A,
un 35% a M. un 25% a T, y conserva el resto. El sector M vende el 30% de su
producción a A, el 15% a E, un 40% a T, y conserva lo restante. El sector T vende
el 20% de su producción a A, el 10% a E, el 30% a M, y se queda con el 40 por
ciento.
a) Construya el cuadro de intercambio para esta economı́a.
b) Encuentre un conjunto de precios de equilibrio para esta economı́a.
Balancee las ecuaciones qúımicas de los ejercicios 5 a 10 usando el enfoque con ecuaciones
matriciales que se analizó en el ejemplo 2.
5. El sulfato de boro reacciona de manera violenta con el agua para formar ácido
bórico y sulfato de hidrógeno gaseoso (el olor de los huevos podridos). La ecuación
no balanceada es:
B2S3 +H2O → H3BO3 +H2S
[Para cada compuesto, construya una matriz que enliste el número de átomos de
boro (B), hidrógeno (H) y ox́ıgeno (O).]
6. Cuando se mezclan soluciones de sulfato de sodio y nitrato de bario, el resultado es
fosfato de bario (como un precipitado) y nitrato de sodio. La ecuación no balanceada
es:
Na3PO4 +Ba(NO3)2 → Ba3(PO4)2 +NaNO3
[Para cada compuesto, construya una matriz que enliste al número de átomos de
sodio (Na), fósforo (P ), ox́ıgeno (O), bario (Ba) y nitrógeno (N).]
7. Alka-Seltzer contiene bicarbonato de sodio (NaHCO3) y ácido ćıtrico (H3C6H5O7).
Cuando una tableta se disuelve en agua, la siguiente reacción produce citrato de
sodio (Na3C6H5O7), agua (H2O) y dióxido de carbono (gaseoso, CO2):
NaHCO3 +H3C6H5O7 → Na3C6H5O7 +H2O + CO2
8. La siguiente reacción entre permanganato de potasio (KMnO4) y sulfato de man-
ganeso (MnSO4) en presencia de agua produce dióxido de manganeso (MnO2),
sulfato de potasio (K2SO4) y ácido sulfúrico (H2SO4):
KMnO4 +MnSO4 +H2O → MnO2 +K2SO4 +H2SO4
7
9. PbN6 + CrMn2O8 → Pb3O4 + Cr2O3 +MnO2 +NO
10. La siguiente reacción qúımica puede usarse en algunos procesos industriales, como
en la producción de arsénico (AsH3):
MnS + As2Cr10O35 +H2SO4 → HMnO4 + AsH3 + CrS3O12 +H2O
11. Encuentre el patrón de flujo de la red que se muestra en la figura. Suponiendo que
todos los flujos son no negativos ¿cuál es el máximo valor posible para x3?
12. a) Encuentre el patrón de tráfico general en la red de calles principales que se
muestra en la figura. (Las tasas de flujo se dan en automóviles por minuto.)
b) Describa el patrón de tráfico general cuando se cierra el camino cuyo flujo es
x4.
c) Cuando x4 = 0, ¿cuál es el valor mı́nimo de x1?
13. a) Encuentre el patrón de flujo general para la red que se muestra en la figura.
8
b) Si el flujo debe ir en la dirección indicada. ¿cuáles son los flujos mı́nimos en los
arcos denotados por x2, x3, x4 y x5?
14. A menudo, en Inglaterra las intersecciones se construyen en forma de redoma con
un solo sentido, como indica la figura. Suponga que el tráfico debe moverse en la
dirección mostrada. Encuentrela solución general del flujo de la red y el mı́nimo
valor posible para x6.
A continuación daremos otros ejemplos y ejercicios de aplicación de los sistemas de
ecuaciones lineales, el primero de ellos tiene que ver con el diseño de una dieta o un ali-
mento con ciertas caracteŕısticas nutricionales o alimenticias, el segundo es una aplicación
que se enmarca en el estudio de redes eléctricas y la aplicación de la Ley de Ohm y la Ley
de Kirchhoff.
La fórmula para la dieta Cambrige, popular en la década de 1980, se basó en años de
investigación. Un equipo de cient́ıficos, encabezado por el doctor Alan H. Howard, elaboró
esta dieta en Cambrige University después de más de ocho años de trabajo cĺınico con
9
pacientes obesos1. La dieta, que consiste en una fórmula en polvo con muy pocas caloŕıas,
combina en un equilibrio muy preciso de carbohidratos, protéınas de alta calidad y grasa,
además de vitaminas, minerales, elementos traza y electrolitos. Millones de personas han
usado esta dieta en años recientes para lograr una pérdida de peso rápida y sustancial.
Para encontrar las cantidades y proporciones de nutrimientos deseadas, el doctor Ho-
ward tuvo que incorporar una gran variedad de comestibles en la dieta. Cada comestible
proporcionaba varios de los ingredientes necesarios, pero no en las proporciones correctas.
Por ejemplo, la leche desgrasada era una fuente importante de protéınas, pero conteńıa
demasiado calcio. Por ello se usó harina de soya para conseguir una parte de las protéınas,
ya que esta harina contiene muy poco calcio. Sin embargo, la harina de soya aporta una
proporción relativamente alta de grasa, aśı que se agregó suero, pues éste proporciona
menos grasa para una cantidad dada de calcio. Desafortunadamente, el suero contiene
demasiados carbohidratos...
El ejemplo siguiente ilustra el problema a pequeña escala. En el cuadro 2 se mencio-
nan tres de los ingredientes de la dieta, junto con las cantidades de ciertos nutrimientos
proporcionados por 100 gramos de cada ingrediente2.
Cantidades (en gramos) proporcionadas
por 100g de ingredientes
Nutrimiento
Leche
desgrasada
Harina
de soya
Suero
Cantidades proporcionadas
por la dieta Cambrige en
un d́ıa
Protéınas 36 51 13 33
Carbohidrátos 52 34 74 45
Grasa 0 7 1,1 3
Cuadro 2: La Dieta Cambgrige a Pequeña Escala
Ejemplo 4 (Dieta nutritiva para perder peso). Si es posible, encuentre alguna combina-
ción de leche desgrasada, harina de soya y suero que proporcione las cantidades exactas
de protéınas, carbohidratos y grasa proporcionadas por la dieta para un d́ıa dados por el
cuadro 2.
Solución. Denote con x1, x2 y x3, respectivamente, los números de unidades (en cientos
de gramos) de éstos comestibles. Un posible enfoque para encarar el problema es deducir
ecuaciones para cada nutrimiento por separado. Por ejemplo, el producto 36x1, según el
cuadro dado, da la cantidad de protéına proporcionada por x1 unidades de leche desgra-
sada. A ésta cantidad se le agregaŕıan entonces productos similares para harina de soya
(51x2) y suero (13x3), y se igualaŕıa la suma resultante (36x1 + 51x2 + 13x3) a la canti-
dad de protéınas necesarias (33). Deben hacerse cálculos análogos para cada nutrimiento,
obteniendo el siguiente sistema de ecuaciones:
1El primer anuncio de este régimen de pérdida de peso rápida apareció en el International Journal of
Obesity (1978) 2, 321-332.
2Ingredientes de la dieta en 1984: los datos de nutrimientos de los ingredientes están adaptados de
USDA Agricultural Handbooks Núm. 8-1 y 8-6, 1976.
10



36x1 +51x2 +13x3 = 33
52x1 +34x2 +74x3 = 45
7x2 +1, 1x3 = 3
Al aplicar OEF obtenemos que la solución de éste sistema, con una aproximación de tres
d́ıgitos decimales, es:



















x1 =
42933
154868
≈ 0, 277
x2 =
15174
38717
≈ 0, 392
x3 =
1290
5531
≈ 0, 233
es decir, la dieta requiere un aproximado de 27, 7g de leche desgrasada, 39, 2g de ha-
rina de soya y 23, 3g de suero para proporcionar las cantidades deseadas de protéınas,
carbohidratos y grasa.
Es importante que los valores de x1, x2 y x3 encontrados anteriormente sean no ne-
gativos. Esto es necesario para que la solución sea factible f́ısicamente. Con un mayor
número de requisitos en cuanto a nutrimientos, podŕıa ser necesario usar más cantidades
de comestibles para producir un sistema de ecuaciones con una solución “no negativa”.
Aśı, podŕıa ser necesario examinar much́ısimas combinaciones diferentes de comestibles
para encontrar un sistema de ecuaciones lineales con una solución de éste tipo. De hecho,
el inventor de la dieta Cambrige pudo proporcionar 31 nutrimientos en cantidades precisas
usando sólamente 33 ingredientes.
En una red eléctrica sencilla, el flujo de la corriente puede describirse mediante un
sistema de ecuaciones lineales. Una fuente de voltaje, por ejemplo una bateŕıa, obliga a
una corriente de electrones a fluir por la red. Cuando la corriente pasa a través de un
resistor (como un bombillo de luz o un motor), una parte del voltaje se “gasta”. Según la
ley de Ohm, ésta “cáıda de voltaje” a través de un resistor está dada por
V = RI
donde el voltaje V se mide en voltios, la resistencia R en ohms (denotado por Ω) y el flujo
de la corriente I en amperios.
La red de la figura 2 contiene tres circúıtos cerrados. Las corrientes que fluyen por los
circuitos 1, 2 y 3 se denotan mediante I1, I2 e I3, respectivamente. Las direcciones asig-
nadas a tales corrientes de circuito son arbitrarias. Si una corriente resulta ser negativa,
entonces su dirección real es opuesta a la seleccionada en la figura 2. Si la dirección de
la corriente mostrada es desde el lado positivo (más largo) de una bateŕıa (−|pp−) hacia el
lado negativo (más corto), el voltaje es positivo; en caso contrario, el voltaje es nagativo.
Los flujos de corriente de un circuito están gobernados por la siguiente regla:
Ley de Kirchhoff del Voltaje
La suma algebraica de las cáıdas de voltaje RI en una dirección a lo largo de
un circuito es igual a la suma algebraica de las fuentes de voltaje existentes en
la misma dirección alrededor del circuito.
11
Figura 2: Ley de Kirchhoff
Ejemplo 5 (Redes eléctricas). Determine las corrientes de circuito en la red de la figura
2.
Solución. Para el circuito 1, la corriente I1 fluye a través de tres resistores, y la suma
de las cáıdas de voltaje RI es:
4I1 + 4I1 + 3I1 = 11I1
La corriente del circuito 2 también fluye en parte del circuito 1, a través de la rama corta
entre A y B. Aqúı, la cáıda de voltaje RI es 3I2 voltios. Sin embargo, la dirección de la
corriente para la rama AB del circuito 1 es opuesta a la elegida para el flujo del circuito
2, aśı que la suma algebraica de todas las cáıdas RI para el circuito 1 es 11I1−3I2. Como
el voltaje del circuito 1 es de 30 voltios, la ley de Kirchhoff del voltaje implica que
11I1 − 3I2 = 30.
La ecuación para el circuito 2 es:
−3I1 + 6I2 − I3 = 5.
El término −3I1 proviene del flujo de la corriente del circuito 1 a través de la rama AB
(con una cáıda de voltaje negativa debido a que ah́ı el flujo de la corriente es opuesto
al flujo del circuito 2). El término 6I2 es la suma de todas las resistencias del circuito 2,
multiplicada por la corriente de circuito. El término −I3 = −1I3 proviene del flujo de la
corriente del circuito 3 a través del resistor de 1 ohm de la rama CD, en dirección opuesta
al flujo del circuito 2. La ecuación para el circuito 3 es:
−I2 + 3I3 = −25.
12
Observe que la bateŕıa de 5 voltios de la rama CD se cuenta como parte de ambos circuitos
2 y 3, pero es de −5 voltios para el circuito 3 por la dirección elegida para la corriente del
circuito 3. La bateŕıa de 20 voltios es negativa por la misma razón.
Las corrientes de circuito se encuentran al resolver el sistema:



11I1 −3I2 = 30
−3I1 +6I2 −I3 = 5
−I2 +3I3 = −25
cuya solución es: I1 = 3 amperes, I2 = 1 ampere e I3 = −8 amperes.El valor negativo de
I3 indica que la corriente real en el circuito 3 fluye en dirección opuesta a al indicada en
la figura 2.
Ejercicios
15. Una caja de cereal para el desayuno indica, normalmente, el número de caloŕıas
y las cantidades de protéınas, carbohidratos y grasa contenidas en una porción de
cereal. El siguiente cuadro muestra las cantidades para dos conocidos cereales.
Información nutricional por
porción
Nutrimiento
Cheerios de
General Mills
Quaker 100%
cereal natural
Caloŕıas 110 130
Protéınas (g) 4 3
Carbohidrátos (g) 20 18
Grasa (g) 2 5
Suponga que se debe preparar una mezcla de éstos dos cereales que contenga exácta-
mente 295 caloŕıas, 9g de protéınas, 48g de carbohidratos y 8g de grasa.
a) Establezca un sistema de ecuaciones lineales para éste problema. Incluya un
enunciado para explicar qué representa cada variable de la ecuación.
b) Escriba una ecuación matricial equivalente y luego determine si puede prepa-
rarse la mezcla deseada de los dos cereales.
16. Una porción (28g) del salvado de avena Cracklin’Oat Bran proporciona 110 caloŕıas,
3g de protéınas, 21g de carbohidratos y 3g de grasa. Una porción de Crispix de
Kellog’s proporciona 110 caloŕıas, 2g de protéınas, 25g de carbohidratos y 0, 4g de
grasa.
a) Establezcas matrices B y u tales que Bu proporcione las cantidades de caloŕıas,
protéınas, carbohidratos y grasa contenidas en una mezcla de tres porciones de
Cracklin’Oat Bran y dos de Crispix.
b) Suponga que se requiere un cereal con ms protéınas que crispix pero menos
grasa que Cracklin’Oat Bran. ¿Es posible mezclar los dos cereales para propor-
cionar 110 caloŕıas, 2, 25g de protéınas, 24g de carbohidratos y 1g de grasa? Si
la respuesta es positiva, ¿cuál seŕıa la mezcla?
13
17. La dieta de Cambrige proporciona 0, 8g de calcio por d́ıa, además de los nutrimientos
enlistados en el cuadro 2. Las cantidades de calcio que proporciona una unidad
(100g) de los tres ingredientes de la dieta Cambrige son: 1, 26g por leche desgrasada,
0, 19g por harina de soya y 0, 8g por suero. Otro ingrediente de la dieta es protéına
de soya aislada, la cual proporciona los siguientes nutrimientos por unidad: 80g de
protéınas, 0g de carbohidratos, 3, 4g de grasa y 0, 18g de calcio.
a) Establezca una ecuación matricial cuya solución determine las cantidades de
leche desgrasada, harina de soya, suero y protéına de soya aislada necesarias
para proporcionar las cantidades exactas de protéınas, carbohidratos, grasa
y calcio de la dieta Cambrige. Explique qué representan las variables de la
ecuación.
b) Resuelva la ecuación en (17a) y analice su respuesta.
18. Un dietista está planeando una comida que proporcione ciertas cantidades de vita-
mina C, calcio y magnesio. Usará tres comestibles y las cantidades se medirán en
las unidades apropiadas. Los nutrimientos proporcionados por éstos comestibles y
los requisitos dietéticos son los siguientes:
Miligramos (mg) de nutrimiento por
unidad de comestible
Total de
nutrientes
requeridos
Nutrimiento Comestible 1 Comestible 2 Comestible 3 (mg)
Vitamina C 10 20 20 100
Calcio 50 40 10 300
Magnesio 30 10 40 200
Escriba una ecuación matricial para éste problema. Indique lo que representan las
variables y luego resuelva la ecuación.
19. 3 Se va a construir un gran edificio de departamentos usando técnicas de construcción
modular. La distribución de los departamentos e cualquier piso dado se elige entre
tres diseños de piso básicos. El diseño A tiene 18 departamentos en un piso e incluye
3 unidades con tres dormitorios, 7 con dos dormitorios y 8 con un dormitorio. Cada
piso del diseño B incluye 4 unidades con tres dormitorios, 4 con dos dormitorios y 8
con un dormitorio. Cada piso del diseño C incluye 5 unidades con tres dormitorios,
3 con dos dormitorios y 9 con un dormitorio.
a) Elabore un cuadro donde indique la cantidad de departementos de uno, dos y
tres dormitorios por cada uno de los diseños A, B y C.
b) ¿Es posible diseñar un edificio de tal forma que tenga exáctamente 66 unidades
con tres dormitorios, 74 unidades con dos dormitorios y 136 unidades con
un dormitorio? Elabore y resuelva un sistema de ecuaciones lineales, el cual
represente el problema planteado, para sustentar su respuesta.
c) Si la respuesta en la parte (19b) es afirmativa, ¿hay más de una manera de
hacerlo? Explique su respuesta.
3Para éste ejercicio no existe, en ésta gúıa, un ejemplo previo.
14
d) ¿La respuesta en la parte (19c) es la misma si se exige que el edificio tenga al
menos un piso de cada diseño? Explique su respuesta.
20. 4 Estudie cómo los cambios en las temperaturas de frontera sobre una placa de acero
afectan las temperaturas en los puntos interiores de la placa.
Figura 3: Placas de Acero
a) Comience por estimar las temperaturas T1, T2, T3 y T4 en cada uno de los
conjuntos de cuatro puntos de las placas de acero que se muestran en la figura
3. En cada caso, el valor de Tk, con k ∈ {1, 2, 3, 4}, puede aproximarse con el
promedio de las temperaturas de los cuatro puntos más cercanos.
b) Sin realizar ningún cálculo, estime las temperaturas interiores en (a) si todas
las temperaturas de frontera se multiplica por 3. Verifique su estimación.
c) Finalmente, formule una conjetura general acerca de la correspondencia de la
lista de ocho temperaturas de frontera con la lista de cuatro temperaturas
interiores.
4Para éste ejercicio no existe, en ésta gúıa, un ejemplo previo.
15
En los ejercicios 21 a 24, escriba una ecuación matricial que determine las corrientes de
circuito y luego resuelva ésta ecuación para las corrientes de circuito.
21.
22.
16
23.
24.
Respuestas a los ejercicios impares
1. La solución general es pB = 0, 875pS, con pS ≥ 0 libre, donde pB y pS son las produ-
ciones totales, en moneda, de bienes y de servicios, respectivamente. Una solución
de equilibrio es pS = 1000 y pB = 875. Usando fracciones, la solución general puede
escribirse como pB =
7
8
pS, y una selección natural de precios podŕıa ser pS = 80 y
pB = 70. Sólo es importante la razón de los precios. El equilibrio económico no se
ve afectado por un cambio proporcional en los precios.
3. a)
Distribución de la producción de:
Qúımicos
y Metales
Combustible
y Enerǵıa
Maquinaria Comprada por:
0,2 0,8 0,4 Qúımicos y Metales
0,3 0,1 0,4 Combustible y Enerǵıa
0,5 0,1 0,2 Maquinaria
17
b) No es necesario considerar la matriz ampliada del sistema, ya que el sistema es
homogéneo, basta con considerar la matriz del sistema que es:


0, 8 −0, 8 −0, 4
−0, 3 0, 9 −0, 4
−0, 5 −0, 1 0, 8


c) La solución general está dada por: pQ =
17
12
pM , pC =
11
12
pM y pM ≥ 0 libre, donde
pQ, pC y pM son las produciones totales, en moneda, de qúımicos y metales,
combustible y enerǵıa, y maquinarias, respectivamente. Cuando pM = 120,
entonces pQ = 170 y pC = 110.
5. B2S3 + 6H2O → 2H3BO3 + 3H2S
7. 3NaHCO3 +H3C6H5O7 → Na3C6H5O7 + 3H2O + 3CO2
9. 15PbN6 + 44CrMn2O8 → 5Pb3O4 + 22Cr2O3 + 88MnO2 + 90NO
11.







x1 = 20− x3
x2 = 60 + x3
x4 = 60
x3 libre
El mayor valor de x3 es 20.
13. a)











x1 = x3 − 40
x2 = x3 + 10
x4 = x6 + 50
x5 = x6 + 60
x3, x4 ≥ 0 libres
b)







x2 = 50
x3 = 40
x4 = 50
x5 = 60
15. a)







110x1 +130x2 = 295
4x1 +3x2 = 9
20x1 +18x2 = 48
2x1 +5x2 = 8
donde x1 es el número de porciones de Cheerios y x2 es el número de porciones
de Cereal 100% Natural.
b)




110 130
4 3
20 18
2 5




[
x1
x2
]
=




295
9
48
8




Mezcla de 1, 5 porciones de Cheerios junto con 1 porción de Cereal 100%
Natural.
18
17. a)




36 51 13 80
52 34 74 0
0 7 1, 1 3, 4
1, 26 0, 19 0, 8 0, 18








x1
x2
x3
x4




=




33
45
3
0, 8




donde x1, x2, x3 y x4 representan el número de unidades (100g) de leche des-
grasada, harina de soya, suero y protéına de soya aislada, respectivamente,que
se usarán en la mezcla.
b) Al resolver el sistema obtenenmos x1 = 0, 64; x2 = 0, 54; x3 = −0, 09 y x4 =
−0, 21, la cual no es una solución factible para el problema, pues la mezcla no
puede incluir cantidades negativas de algún ingrediente.
19. a)
Diseño
Apartamentos
con tres
dormitorios
Apartamentos
con dos
dormitorios
Apartamentos
con un
dormitorio
A 3 7 8
B 4 4 8
C 5 3 9
b)



3a +4b +5c = 66
7a +4b +3c = 74
8a +8b +9c = 136
donde a, b y c son el número de pisos de los dieños tipo A, B y C, respectiva-
mente.
La solución de éste sistema es: a = 1
2
c + 2 y b = −13
8
c + 15, con a, b, c ∈ N y c
“libre”. Por ejemplo, si tomamos c = 0, tenemos a = 2 y b = 15, por lo tanto
la respuesta a la pregunta es “śı”.
c) Según la solución obtenida en la parte (b), los únicos posibles valores para c
son 0 y 8, luego existen dos posibles soluciones al problema, a saber, a = 2,
b = 15 y c = 0; o bien a = 6, b = 2 y c = 8.
d) De las dos posibles soluciones dadas en (c), la única que cumple la condición
requerida es a = 6, b = 2 y c = 8, por lo tanto existe sólo una solución al
problema con las condiciones pedidas.
21. Ecuación matricial:




5 −2 0 0
−2 11 −3 0
0 −3 17 −4
0 0 −4 25








I1
I2
I3
I4




=




40
−30
20
−10




Solución:




I1
I2
I3
I4




=







74590
9867
−10865
9867
3035
3289
− 830
3289







= 1
9867




74590
−10865
9105
−2490




≈




7, 56
−1, 1
0, 93
−0, 25




, con una aproxi-
mación de dos cifras decimales exactas.
23. Ecuación matricial:




12 −7 0 −4
−7 15 −6 0
0 −6 14 −5
−4 0 −5 13








I1
I2
I3
I4




=




40
30
20
−10




19
Solución:




I1
I2
I3
I4




=







119910
10487
110640
10487
84270
10487
61240
10487







= 1
10487




119910
110640
84270
61240




≈




11, 43
10, 55
8, 04
5, 84




, con una aproxi-
mación de dos cifras decimales exactas.
20