ClasesVirtualesAlgebraLinealClase9

Vista previa del material en texto

Clase 9
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo III
Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Clase 9:
Espacios Vectoriales
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Esta es, quizás, el caṕıtulo más importante, desde el punto de vista teórico, de todo el curso, por
lo cual pedimos sea léıdo con mucho detenimiento, la mayor parte de las definiciones y teoremas
tratados acá se usarán con bastante frecuencia en el resto del curso.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Definición 1 (Espacio vectorial)
Un espacio vectorial real es una terna (V,+, ·) formada por un conjunto
no vaćıo V, cuyos elementos llamaremos vectores, y dos operaciones binarias
+ : V × V −→ V, llamada adición vectorial, y · : R × V −→ V, llamada multiplicación
por escalar, satisfaciendo las siguientes condiciones
A0. u+ v ∈ V para cualesquiera u, v ∈ V ( cerradura de la adición vectorial).
A1. u + v = v + u para cualesquiera u, v ∈ V ( conmutatividad de la adición
vectorial).
A2. (u+ v) +w = u+ (v+w) para cualesquiera u, v, w ∈ V ( asociatividad de la
adición vectorial).
A3. Existe 0/V ∈ V tal que v + 0/V = v para cada v ∈ V ( existencia de un elemento
neutro para la adición vectorial).
A4. Para cada v ∈ V existe v′ ∈ V tal que v+ v′ = 0/V ( existencia de un elemento
opuesto para la adición vectorial).
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Definición 1 (Espacio vectorial (continuación))
M0. α · v ∈ V para cualesquiera α ∈ R y v ∈ V ( cerradura de la multiplicación por
escalar).
M1. (α+ β) · v = α · v+ β · v para cualesquiera α, β ∈ R y v ∈ V ( distributividad
de la multiplicación por escalar respecto a la adición escalar).
M2. α · (u+ v) = α · u+α · v para cualesquiera α ∈ R y u, v ∈ V ( distributividad
de la multiplicación por escalar respecto a la adición vectorial).
M3. (αβ) · v = α · (β · v) = β · (α · v) para cualesquiera α, β ∈ R y v ∈ V
( asociatividad de la multiplicación escalar y la multiplicación por escalar).
M4. 1 · v = v para cada v ∈ V ( existencia de un elemento neutro para la multipli-
cación por escalar).
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Observación 1
1 Es de hacer notar que las expresiones a la derecha de las igualdades en M1 y M2 no son
ambiguas pues, a pesar de no haberlo dicho, la operación + tiene mayor jerarqúıa que la
operación ·, esto es, (α · u) + v puede ser escrito como α · u + v, pero en la expresión
α · (u+ v) no pueden suprimirse los paréntesis.
2 La definición 1 se puede extender considerando un campo cualquiera K (ver apéndices en la
gúıa de clases para más detalles) en lugar de R, en cuyo caso diremos que V es un K-espacio
vectorial y los elementos de K son llamados escalares. Por ejemplo, podemos escoger K = C
y en este caso V es llamado espacio vectorial complejo.
3 En lo que resta del caṕıtulo, sólo consideraremos espacios vectoriales reales, salvo que se diga
lo contrario, y nos referiremos a estos como espacios vectoriales (e.v.) en lugar de espacios
vectoriales reales, a menos que haya error a confusión.
4 En adelante, siempre que no haya error a confusión, en lugar de escribir α · v escribiremos αv.
5 Nos referiremos al conjunto V como espacio vectorial, siempre que no se tienda a confusión,
en lugar de la terna (V,+, ·), sobrentendiendo las operaciones + y ·.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Ejemplo 1
1 El conjunto Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R para cada i ∈ {1, . . . , n}} junto con las
operaciones + y · dadas como sigue
(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
α · (x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn)
donde α ∈ R y (x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn, es un espacio vectorial (¡verif́ıque-
lo!). �
2 El conjunto Mm×n(R) junto con las operaciones + y ·, dadas en el caṕıtulo I, es un espacio
vectorial. �
3 Consideremos una matriz A ∈ Mm×n(R). Los conjuntos
S = {x ∈ Mn×1(R) : Ax = 0/m×1}
R = {y ∈ Mm×1(R) : Ax = y para algún x ∈ Mn×1(R)}
junto con las operaciones + y · definidas en el caṕıtulo I, son espacios vectoriales (¡pruébelo!).
El espacio S es llamado espacio solución del sistema homogéneo Ax = 0/m×1 o espacio
nulo de A, y el espacio R es llamado el espacio imagen de A. Estos espacios serán tratados
formalmente y en detalle más adelante. �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Ejemplo 1 (Continuación)
4 Sea n ∈ N. Definamos
Pn[x] = {a0 + a1x+ · · ·+ anxn : a0, a1, . . . , an ∈ R}
Es decir, Pn[x] está formado por todos los polinomios con coeficientes reales, en la variable
x, de grado menor o igual a n, incluyendo al polinomio nulo. Sobre Pn[x] consideremos
las operaciones usuales de adición de polinomios y multiplicación de un número real por un
polinomio. Entonces Pn[x], junto con estas operaciones, es un espacio vectorial (¡pruébelo!).
En general, si definimos el conjunto
P[x] = {p(x) : p(x) es un polinomio en la variable x}
entonces P[x], junto con las operaciones antes mencionadas, es un espacio vectorial (¡pruébe-
lo!).
Es de hacer notar que el polinomio nulo O(x) = 0 ¡no tiene grado! (¿por qué?). Además,
para cada n ∈ N se tiene que Pn[x] 6= ∅ (¿por qué?) y Pn[x] ⊂ Pn+1[x] ⊂ P[x] (¿por
qué?). �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Ejemplo 1 (Continuación)
5 Sean a, b ∈ R con a < b. Definamos el conjunto F [ a , b ] de todas las funciones reales
definidas sobre el intervalo [ a , b ] y consideremos las operaciones usuales de adición de fun-
ciones y multiplicación de una función por un número real. Entonces F [ a , b ], junto con estas
operaciones, es un espacio vectorial (¡pruébelo!). �
6 El conjunto
V = {(x, y) ∈ R2 : y = x+ 1}
junto con las operaciones definidas en la parte 1 de este ejemplo, no es un espacio vectorial ya
que (2, 3), (0, 1) ∈ V (¿por qué?) pero
(2, 3) + (0, 1) = (2 + 0, 3 + 1) = (2, 4) /∈ V
pues 4 6= 3 = 2+ 1, es decir, la adición no es cerrada en V o V no es cerrado bajo la adición.
Sin embargo, si definimos sobre V las operaciones
(x, y) + (z, w) = (x+ z, y + w − 1)
α · (x, y) = (αx, α(y − 1) + 1)
entonces V es un espacio vectorial.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Ejemplo 1 (Continuación)
En efecto, sean (x, y), (z, w), (a, b) ∈ V y α, β ∈ R cualesquiera. Entonces y = x+1, w = z+1
y b = a+ 1, de donde
y + w − 1 = x+ 1 + z + 1− 1 = (x+ z) + 1
y por lo tanto
(x, y) + (z, w) = (x+ z, y + w − 1) ∈ V
(x, y) + (z, w) = (x+ z, y + w − 1) = (z + x,w + y − 1) = (z, w) + (x, y)
y
((x, y) + (z, w)) + (a, b) = (x+ z, y + w − 1) + (a, b)
= ((x+ z) + a, (y + w − 1) + b− 1)
= (x+ (z + a), y + (w + b− 1)− 1)
= (x, y) + (z + a,w + b− 1)
= (x, y) + ((z, w) + (a, b))
por lo que A0, A1 y A2 son satisfechas.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Ejemplo 1 (Continuación)
Ahora bien, definamos 0/V = (0, 1). Entonces 0/V ∈ V (¿por qué?) y además
(x, y) + (0, 1) = (x+ 0, y + 1− 1) = (x, y)
luego se satisface A3.
Si (x, y) ∈ V, entonces (−x,−y + 2) ∈ V ya que
−y + 2 = −(x+ 1) + 2 (¿por qué?)
= −x− 1 + 2 = −x+ 1
Además
(x, y) + (−x,−y + 2) = (x+ (−x), y + (−y + 2)− 1) =(0, 1) = 0/V
en consecuencia se cumple A4.
Verifique que se cumple el resto de la propiedades en la definición 1. ¿Qué podŕıa concluir a partir
de este ejemplo? �
7 Dado un espacio vectorial V. Es fácil probar que el conjunto {0/V}, junto con las operaciones
+ y · definidas sobre V, es un espacio vectorial. �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Teorema 1 (Unicidad del neutro y el opuesto aditivo)
Los elementos 0/V y v
′, dados en A3 y A4, respectivamente, son los únicos elementos de V que
satisfacen dichas propiedades.
Observación 2
Al vector 0/V se le denomina vector nulo de V y el vector v′ es llamado opuesto (aditivo) de v y es
denotado por −v.
En virtud del teorema 1, las propiedades A3 y A4 pueden reescribirse, respectivamente, como sigue
A’3. Existe un único 0/V ∈ V tal que v + 0/V = v para cada v ∈ V ( existencia y
unicidad del elemento neutro para la adición vectorial).
A’4. Para cada v ∈ V existe un único −v ∈ V tal que v + (−v) = 0/V ( existencia y
unicidad del elemento opuesto para la adición vectorial).
Definición 2 (Resta de vectores)
Sean V un espacio vectorial y u, v ∈ V cualesquiera. Definiremos el vector u− v, vector diferencia
de u con v, como u− v = u+ (−v).
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 9 Espacios Vectoriales
Teorema 2 (Ley de cancelación)
Sean V un espacio vectorial y u, v, w ∈ V tales que u+ v = u+ w. Entonces v = w.
Demostración.
¡Ejercicio!
Teorema 3 (Algunas propiedades de las operaciones vectoriales)
Sea V un espacio vectorial. Entonces
1 α 0/V = 0/V para cada α ∈ R.
2 0v = 0/V para cada v ∈ V.
3 Si αv = 0/V, entonces α = 0 o v = 0/V.
4 (−α)v = α(−v) = −(αv) para cualesquiera α ∈ R y v ∈ V, luego (−1)v = −v.
Observación 3
En virtud de las igualdades en la parte 4 del teorema 3, podemos escribir −αv en lugar de −(αv)
sin error a confusión.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
	Clase 9
	Espacios Vectoriales