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Clase 10
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo III
Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 10 Subspacios Vectoriales
Clase 10:
Subespacios Vectoriales
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 10 Subspacios Vectoriales
Subespacios Vectoriales
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 10 Subspacios Vectoriales
Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son, a su vez, espacios vectoriales, considerando
sobre ellos las operaciones + y · de V. En esta sección nos ocuparemos de dichos espacios vectoriales,
los cuales son llamados subespacios vectoriales de V.
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Definición 3 (Subespacio vectorial)
Sea W un subconjunto no vaćıo de un espacio vectorial V. Diremos que W es un subespacio vectorial
o simplemente subespacio de V si W, junto con las operaciones + y · de V, es también un espacio
vectorial.
Ejemplo 2 (Subespacios vectoriales)
1 Dado un espacio vectorial V, entonces W = {0/V} es un subespacio de V, el cual es llamado
espacio vectorial nulo, aśı como también V (ver la parte 7 del ejemplo 1). Estos subespacios
son llamados subespacios triviales de V. Cualquier otro subespacio de V, distinto de estos
dos, es llamado subespacio no trivial de V. Un subespacio de V distinto de V es llamado
subespacio propio de V. �
2 Dada una matriz real A ∈ Mm×n(R). Los espacios S y R, dados en la parte 3 del ejemplo
1, son subespacios de Mn×1(R) y Mm×1(R) respectivamente. �
3 De la parte 4 del ejemplo 1 podemos garantizar que para cada n ∈ N se tiene que Pn[x] es
un subespacio de Pn+1[x] y de P[x]. �
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Ejemplo 2 (Subespacios vectoriales (continuación))
4 Si definimos Hn[x] y Ln[x] como los subconjuntos de Pn[x], formados por todos los polino-
mios en la variable x de grado par, para el primero de estos, y de grado impar, para el segundo
de estos, ambos incluyendo al polinomio nulo, se puede probar que estos son subepsacios de
Pn[x]. Más aún, si H[x] y L[x] son los subconjuntos de P[x], formados por todos los polino-
mios en la variable x de grado par e impar, respectivamente, que incluyen el polinomio nulo,
entonces H[x] y L[x] son ambos subespacios de P[x]. �
5 El conjunto C0 [ a , b ] formado por todas las funciones reales continuas sobre el intervalo
cerrado [ a , b ], es un subespacio de F [ a , b ].
En efecto, es claro que C0 [ a , b ] ⊂ F [ a , b ] (¿por qué?) y además, la función nula está en
C0 [ a , b ] (¿por qué?), por lo tanto C0 [ a , b ] es un subconjunto no vaćıo de F [ a , b ].
Si f, g ∈ C0 [ a , b ] y α ∈ R, entonces, por un conocido resultado del Cálculo, se tiene que
f + g, αf ∈ C0 [ a , b ], cumpliéndose A0 y M0.
Finalmente, no es dif́ıcil probar que el resto de las propiedades en la definición 1 son satisfechas,
con lo cual se obtiene que C0 [ a , b ] es un subespacio de F [ a , b ].
�
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Antes de dar algún otro ejemplo de subespacio vectorial, debemos hacer notar que en realidad,
para probar que un subconjunto no vaćıo de un espacio vectorial es un subespacio de este último, sólo
es necesario probar que satisface las propiedades A0 y M0, como veremos en el siguiente teorema.
Teorema 4 (Caracterización de subespacio)
Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto W de V es un subespacio vectorial de V si y sólo si
1 W 6= ∅.
2 u + v ∈ W para cualesquiera u, v ∈ W, es decir, W es cerrado bajo la adición vectorial
(definida sobre V).
3 αv ∈ W para cualesquiera α ∈ R y v ∈ V, es decir, W es cerrado bajo la multiplicación por
escalar (definida sobre V).
Observación 3
En la demostración del teorema 4 (ver la gúıa de clases), se garantiza que si W es un subespacio
vectorial de un espacio vectorial V, entonces 0/V ∈ W. Aśı que para probar que un subconjunto W
de un espacio vectorial V es un subespacio de éste último, lo primero que debemos probar es que
0/V ∈ W, esto, a su vez, garantiza que W 6= ∅. Si 0/V /∈ W, entonces W no es un subespacio de V.
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El teorema 4 permite probar que un subconjunto de un espacio vectorial V es un subespacio de
éste sólo con probar tres condiciones, sin embargo, el corolario siguiente nos permite hacer la misma
prueba con sólo verificar dos condiciones.
Corolario 5 (Caracterización de subespacio)
Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto W de V es un subespacio de V si y sólo si
1 W 6= ∅.
2 u+ αv ∈ W para cualesquiera α ∈ R y u, v ∈ W.
Observación 4
Según la observación 3, tenemos que la condición 1 tanto en el teorema 4 como en su colorario
(corolario 5), pueden ser sustituidas por la siguiente condición:
1 0/V ∈ W.
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Observación 5
Recordemos que para probar que los conjuntos S y R, definidos en la parte 3 del ejemplo 1,
son subespacios de Mn×1(R) y Mm×1(R), respectivamente (ver la parte 2 del ejemplo 2), fue
necesario probar que son espacios vectoriales (en realidad se dejó como ejercicio), sin embargo, al
usar el teorema anterior o su corolario, vemos que no es necesario. Más adelante en el curso, se dará
una demostración de este hecho usando el corolario anterior.
Veamos cómo se aplica el teorema 4, o bien su corolario (corolario 5), en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3 (Caracterización de subespacio vectorial)
Pruebe que
W = {a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3[x] : 2a− b+ 3c− d = 0; a+ b− 4c− 2d = 0}
es un subespacio de P3[x].
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Solución. Es claro que W ⊂ P3[x]. Por otro lado, el polinomio nulo O(x) = 0 = 0 + 0x +
0x2 + 0x3 (vector nulo de P3[x]) pertenece a W ya que, en este caso, a = b = c = d = 0 y aśı 2a −b +3c −d = 0a +b −4c −2d = 0
Sean p(x) = a1+b1x+c1x
2+d1x
3 y q(x) = a2+b2x+c2x
2+d2x
3 polinomios cualesquiera
en W y α ∈ R cualquiera. Entonces 2a1 −b1 +3c1 −d1 = 0a1 +b1 −4c1 −2d1 = 0 y
 2a2 −b2 +3c2 −d2 = 0a2 +b2 −4c2 −2d2 = 0
En virtud del corolario 5, y según la observación 4, sólo falta probar que
p(x) + αq(x) ∈ W. Pero
p(x) + αq(x) = (a1 + b1x+ c1x
2
+ d1x
3
) + α(a2 + b2x+ c2x
2
+ d2x
3
)
= (a1 + αa2) + (b1 + αb2)x+ (c1 + αc2)x
2
+ (d1 + αd2)x
3
Además
2(a1 + αa2)− (b1 + αb2) + 3(c1 + αc2)− (d1 + αd2)
= 2a1 + 2αa2 − b1 − αb2 + 3c1 + 3αc2 − d1 − αd2
= (2a1 − b1 + 3c1 − d1) + α(2a2 − b2 + 3c2 − d2) = 0 (¿por qué?)
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y
(a1 + αa2) + (b1 + αb2)− 4(c1 + αc2)− 2(d1 + αd2)
= a1 + αa2 + b1 + αb2 − 4c1 − 4αc2 − 2d1 − 2αd2
= (a1 + b1 − 4c1 − 2d1) + α(a2 + b2 − 4c2 − 2d2) = 0 (¿por qué?)
Por lo tanto p(x) + αq(x) ∈ W y en consecuencia, W es un subespacio de P3[x]. �
Finalizaremos la clase de hoy con el siguiente teorema.
Teorema 6
Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V. Entonces W1 ∩W2 es un subespacio de V.
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