ClasesVirtualesAlgebraLinealClase14

Vista previa del material en texto

Clase 14
Clases de Álgebra Lineal
Caṕıtulo III
Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
MSc. Jorge Campos
Sección de Matemáticas
Departamento de Estudios Generales y Básicos
Vicerrectorado Barquisimeto
UNEXPO
Agosto 2020
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Clase 14:
-Bases
-Dimensión
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Bases
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Según el ejemplo 9 y la parte 2 del ejemplo 12 tenemos que:
1 {1, x, . . . , xn} es un conjunto generador de Pn[x] y además es linealmente independiente.
2 {e1, e2, . . . , en} es un conjunto linealmente independiente y genera a Rn.
3 {E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn} es un conjunto gene-
rador de Mm×n(R) y es linealmente independiente.
Conjuntos con estas caracteŕısticas nos son de mucha utilidad en el estudio de los espacios
vectoriales y dan pie a la siguiente definición.
Definición 8 (Base)
Sea V un espacio vectorial. Un conjunto {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V es una base de V si
1 span({v1, v2, . . . , vn}) = V, es decir, {v1, v2, . . . , vn} es un conjunto generador de V.
2 {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
Observación 9
Si V = {0/V} es el espacio nulo, entonces una base de V, de hecho la única base de V, es el
conjunto vaćıo ∅ = {}
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Ejemplo 18 (Bases canónicas)
1 {1, x, . . . , xn} es una base de Pn[x]. �
2 {e1, e2, . . . , en} es una base de Rn. �
3 {E11, E12, . . . , E1n, E21, E22, . . . , E2n . . . , Em1, Em2, . . . , Emn} es una base de
Mm×n(R). �
Cada una de estas bases es llamada base canónica o estándar del correspondiente espacio.
Ejemplo 19 (Base de P[x])
Ningún conjunto finito de polinomios en x es una base de P[x], en efecto, consideremos un conjunto
finito cualquiera de polinomios, digamos P = {p1(x), p2(x), . . . , pn(x)}. Entonces para cuales-
quiera α1, α2, . . . , αn ∈ R tenemos que α1p1(x) +α2p2(x) + · · ·+ αnpn(x) es un polinomio,
a lo sumo, de grado k, donde k es el máximo entre los grados de los polinomios p1, p2, . . . , pn,
es decir, cualquier combinación lineal de los polinomios p1, p2, . . . , pn es un polinomio a lo su-
mo de grado k. En consecuencia, el polinimio p(x) = xk+1 es tal que p(x) /∈ span(P ) pero
p(x) ∈ P[x], de donde span(P ) 6= P[x]. Lo cual prueba que P[x] no posee una base finita, por lo
tanto concluimos lo afirmado al principio. �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Observación 10
Aunque en este caṕıtulo no trataremos las bases infinitas (ver el apéndice B de la gúıa de clases
para indagar un poco más al respecto), afirmamos que una base para P[x] es
{1, x, x2, . . . , xn, . . .}.
Ejemplo 20 (Base de un subespacio)
Hallar una base del subespacio
W =

 a b
c d
 : −5a+ 6b+ 4c− 2d = 0

Solución. Notemos primero que
 a b
c d
 ∈ W si y sólo si −5a+ 6b+ 4c− 2d = 0 o bien,
si y sólo si d = −
5
2
a+ 3b+ 2c. Aśı que a b
c d
 ∈ W si y sólo si
 a b
c d
 =
 a b
c − 52a+ 3b+ 2c
 = a
 1 0
0 − 52
 + b
 0 1
0 3
 + c
 0 0
1 2

MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Por lo tanto
W = span

 1 0
0 − 52
 ,
 0 1
0 3
 ,
 0 0
1 2


No es dif́ıcil probar que 
 1 0
0 − 52
 ,
 0 1
0 3
 ,
 0 0
1 2

es linealmente independiente y, en consecuencia, es una base de W. �
Ejemplo 21 (Base para P2[x])
Considere los polinomios p1(x), p2(x), p4(x) ∈ P2[x] del ejemplo 14. Pruebe que β =
{p1(x), p2(x), p4(x)} es una base de P2[x].
Solución. Sabemos que el conjunto β = {p1(x), p2(x), p4(x)} es linealmente independiente,
en virtud del ejemplo 14, aśı que sólo falta probar que dicho conjunto genera a P2[x]. Sea p(x) =
a+ bx+ cx2 ∈ P2[x] cualquiera, queremos probar que, para todo x ∈ R, la ecuación α1p1(x) +
α2p2(x)+α4p4(x) = p(x) tiene solución para α1, α2, α4 ∈ R. Pero dicha ecuación es equivalente
al sistema de ecuaciones
2α1 +2α2 +α4 = a
−α1 −2α2 −2α4 = b
2α1 +6α2 +3α4 = c
(¡verif́ıquelo!)
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
La matriz de este sistema es 
2 2 1
−1 −2 −2
2 6 3

y por el ejemplo 14, sabemos que es equivalente por filas a I3, en consecuencia, el sistema en
cuestión, tiene solución (única), lo cual concluye la prueba. �
Ejemplo 22
Considere los polinomios p1(x), p2(x), p3(x) y p4(x) del ejemplo 13. Entonces
{p1(x), p2(x), p3(x), p4(x)} no es una base de P2[x], por ser linealmente dependiente, sin embar-
go es un conjunto generador de P2[x]. El conjunto {p1(x), p2(x)} tampoco es una base de P2[x],
por no ser un conjunto generador de P2[x], pero es linealmente independiente. �
La unicidad de los escalares en el ejemplo 21 es una regla la cual enunciaremos en el siguiente
teorema.
Teorema 14
Sea β = {v1, v2, . . . , vn} una base de un espacio vectorial V. Entonces para cada v ∈ V existen
únicos escalares α1, α2, . . . , αn ∈ R tales que v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Nótese que hemos hallado dos bases de P2[x], a saber la base canónica βc = {1, x, x2} y la
base β = {p1(x), p2(x), p4(x)} del ejemplo 21, y ambas tienen la misma cantidad de vectores, en
este caso tres (3), esta situación no es para nada casual, como veremos en el siguiente teorema.
Teorema 15
Sean β1 = {u1, u2, . . . , un} y β2 = {v1, v2, . . . , vm} dos bases de un espacio vectorial V.
Entonces m = n, esto es, si un espacio vectorial V tiene una base finita, entonces todas sus bases
tienen la misma cantidad de elementos.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Dimensión
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
El teorema 15 da pie a la siguiente definición.
Definición 9 (Dimensión)
Sea V un espacio vectorial. Diremos que V tiene dimensión n si V tiene una base con n elementos,
en este caso diremos que V tiene dimensión finita. Si V no posee una base finita, diremos que V
tiene dimensión infinita. En ambos los casos la dimensión de V se denota por dim(V).
Observación 11
dim({0/V}) = 0.
Ejemplo 23
1 Del ejemplo 18 podemos garantizar que
dim(Pn[x]) = n+ 1, dim(Mm×n(R)) = mn y dim(Rn) = n.
�
2 Si W es el subespacio de M2×2(R) del ejemplo 20, entonces dim(W) = 3. Nótese que en
este caso dim(W) < dim(M2×2(R)). �
3 El espacio vectorial P[x] es un espacio de dimensión infinita (ver ejemplo 19). �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Observación 12
El problema de encontrar la dimensión de un espacio vectorial está relacionado con la búsqueda de
una base de dicho espacio, como vimos en el ejemplo 23.
Teorema 16
Sean v1, v2, . . . , vm ∈ V vectores en un espacio vectorial V de dimensión n.
1 Si {v1, v2, . . . , vm} es linealmente independiente, entonces m ≤ n.
2 Si {v1, v2, . . . , vm} genera a V, entonces m ≥ n.
Demostración.
¡Ejercicio!
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Como consecuencia del teorema 16 se tiene el siguiente teorema.
Teorema 17
Sean V un espacio vectorial de dimensión n y S = {v1, v2, . . . , vn} ⊂ V.
1 Si S genera a V, entonces S es una base de V.
2 Si S es linealmente independiente, entonces S es una base de V.
Demostración.
¡Ejercicio!
Teorema 18
Sea W un subespacio de un espacio vectorial de dimensión finita V. Entonces dim(W) ≤ dim(V).
Además, si dim(W)= dim(V), entonces W = V.
Observación 13
Todo espacio vectorial que contenga un subespacio de dimensión infinita, es también de dimensión
infinita.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Ejemplo 24
Sean a, b ∈ R cualesquiera. Entonces P[x] puede verse como un subespacio de C0 [ a , b ] (¿por
qué?) y como P[x] tiene dimensión infinita (ver parte 3 de ejemplo 23), entonces, por la observación
13, C0 [ a , b ] es de dimensión infinita. Además, en este caso dim(P[x]) < dim(C0 [ a , b ]) (a
pesar de que ambas son infinitas). �
Teorema 19
Sea S = {v1, v2, . . . , vm} un subconjunto de un espacio vectorial V de dimensión n.
1 Si S es linealmente independiente, entonces existe una base β de V tal que S ⊂ β.
2 Si S genera a V, entonces existe una base β de V tal que β ⊂ S.
Ejemplo 25
En el ejemplo 22 afirmamos que S1 = {p1(x), p2(x).p3(x), p4(x)} es un conjunto generador de
P2[x], el lector puede verificar la veracidad de esta afirmación, además, en virtud del ejemplo 14,
sabemos que β = {p1(x), p2(x), p4(x)} es linealmente independiente y, en consecuencia, es una
base para P2[x] (¿por qué?), claramente β ⊂ S1. Ahora bien, el conjunto S2 = {p1(x), p2(x)}
es linealmente independiente (¿por qué?) y es claro que S2 ⊂ β. �
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
Clase 14
Bases
Dimensión
Más adelante veremos cómo “extraer” una base de un espacio V a partir de un conjunto generador
de V, también veremos cómo ”completar” una base de V a partir de un subconjunto de V linealmente
independiente.
MSc. Jorge Campos Caṕıtulo III: Espacios Vectoriales. Bases y Dimensión
	Clase 14
	Bases
	Dimensión