Ejemplo_de_Complemento_y_Proyeccion_Ortogonal

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO DE BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS
SECCIÓN DE MATEMÁTICA
U
N
E
X
P
O
Ejemplo de complemento y proyección ortogonal
Use el producto interno euclidiano para determinar una base para el complemento
ortogonal del subespacio W de P4[x] generado por los vectores
p1(x) = −1 + 2x2 + x3 + 2x4, p2(x) = 3 + x+ x2 − 2x3 − 4x4
p3(x) = 2 + x+ 3x
2 − x3 − 2x4, p4(x) = 7 + 3x+ 7x2 − 4x3 − 8x4
y p5(x) = −4− x+ 8x2 + 4x3 − 2x4
Dado el vector p(x) = 1− x + x2 − x3 + x4, calcule dos vectores q(x) ∈ W y r(x) ∈ W⊥
tales que p = q + r.
Solución. Sabemos que el conjunto G = {p1, p2, p3, p4, p5} genera a W, extraeremos
de G una base para W, para ello consideremos la matriz:
A =
[
[p1]βc [p1]βc [p1]βc [p1]βc [p1]βc
]
=

−1 3 2 7 −4
0 1 1 3 −1
2 1 3 7 8
1 −2 −1 −4 4
2 −4 −2 −8 −2

siendo βc la base canónica ordenada de P4[x]. Al calcular la FERF de A obtenemos:
1 0 1 2 0
0 1 1 3 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Como las columnas pivotes son las columnas 1, 2 y 5, entonces βW = {p1, p2, p5} es una
base para W, por lo que s(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 + ex4 ∈W⊥ si y sólo si
〈s , p1〉 = 〈s , p3〉 = 〈s , p5〉 = 0
pero
〈s , p1〉 = −a+ 2c+ d+ 2e
〈s , p2〉 = −3a+ b+ c− 2d− 4e
〈s , p5〉 = −4a− b+ 8c+ 4d− 2e
obteniendo le siguiente sistema lineal homogéneo
−a +2c +d +2e = 0
−3a +b +c −2d −4e = 0
−4a −b +8c +4d −2e = 0
1
Al resolver este sistema obtenemos
a = −3d− 6e
b = −5d− 10e
c = −d− 4e
Por lo tanto s(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 + ex4 ∈W⊥ si y sólo si
s(x) = (−3d− 6e) + (−5d− 10e)x+ (−d− 4e)x2 + dx3 + ex4
= d(−3− 5x− x2 + x3) + e(−6− 10x− 4x2 + x4)
En consecuencia una base para W⊥ es
βW⊥ = {−3− 5x− x2 + x3,−6− 10x− 4x2 + x4}
Por otro lado, dado que P4[x] es de dimensión finita, entonces para el vector dado
p(x) = 1−x+x2−x3 +x4, los únicos vectores q(x) ∈W y r(x) ∈W⊥ tales que p = q+ r
son q(x) = proyW p(x) y r(x) = proyW⊥ p(x). Ahora bien, como
dim
(
W⊥
)
= 2 < 3 = dim
(
W⊥
)
entonces es más sencillo calcular r(x) y aśı q = r − p.
Procedamos a calcular r(x), para ello es necesario hallar una base ortonormal para
W⊥. Aplicaremos el método de ortonormalización de G-S para obtener tal base a partir
de la base βW⊥ .
Sean q1(x) = −3− 5x− x2 + x3 y q2(x) = −6− 10x− 4x2 + x4. Entonces
‖q1‖ =
√
〈q1 , q1〉 =
√
(−3)2 + (−5)2 + (−1)2 + 12 = 6
Aśı que r1(x) =
1
‖q1‖q1(x) =
1
6
(−3− 5x− x2 + x3) es unitario.
Definamos s2(x) = q2(x)− 〈q2 , r1〉 r1(x). Pero
〈q2 , r1〉 =
1
6
(18 + 50 + 4) = 12
De donde
s2(x) = q2(x)− 12r1(x) = −6− 10x− 4x2 + x4− 2(−3− 5x− x2 + x3) = −2x2− 2x3 + x4
Luego
‖s2‖ =
√
〈s2 , s2〉 =
√
(−2)+(−2)2 + 12 = 3
Aśı que r2(x) =
1
‖s2‖s2(x) =
1
3
(−2x2 − 2x3 + x4) es unitario. En consecuencia, una base
ortonormal para W⊥ es
β̃W⊥ = {r1(x), r2(x)} =
{
1
6
(−3− 5x− x2 + x3), 1
3
(−2x2 − 2x3 + x4)
}
Ahora estamos en posición de poder calcular r(x)
r(x) = proyW⊥ p(x) = 〈p , r1〉 r1(x) + 〈p , r2〉 r2(x)
pero
〈p , r1〉 =
1
6
(−3 + 5− 1− 1) = 0
2
y
〈p , r2〉 =
1
3
(−2 + 2 + 1) = 1
3
De donde
r(x) =
1
9
(−2x2 − 2x3 + x4)
Aśı que
q(x) = p(x)−r(x) = 1−x+x2−x3 +x4− 1
9
(−2x2−2x3 +x4) = 1−x+ 11
9
x2− 7
9
x3 +
8
9
x4
�
3