Area y Volumen de Solidos geometricos

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Unidad 7: Ángulo inscrito y 
central
• Ángulo central e inscrito
• Aplicación de ángulos cen-
tral e inscrito
Unidad 7. Área y volumen de sólidos geométricos 
Relación y desarrollo
Octavo grado Noveno grado
Utilizar el área y el volumen de cuerpos geométricos para proponer soluciones a situaciones del entor-
no. 
Competencia de la Unidad
• Construcción de ángulos 
usando el transportador
• Clasificación y construc-
ción de triángulos
• Clasificación y construc-
ción de cuadriláteros
• Clasificación de cuerpos 
geométricos
• Figuras simétricas
• Perímetro y área de trián-
gulos y cuadriláteros
• Patrones de cubos y pris-
mas rectangulares y trian-
gulares
• Longitud de la circunferen-
cia y área del círculo
• Longitud y área de secto-
res circulares notables
• Volumen del prisma
• Traslaciones, giros y sime-
tría rotacional 
Séptimo grado
Unidad 8: Figuras planas 
y construcción de cuerpos 
geométricos
• Movimiento de figuras en 
el plano
• Círculos, segmentos y án-
gulos
• Planos, cuerpos geométri-
cos y área total de prisma, 
pirámide y cilindro
Primero y segundo ciclo
Unidad 4: Paralelismo y án-
gulos de un polígono
• Suma de los ángulos inter-
nos y externos de un polí-
gono
• Rectas paralelas y ángulos
Unidad 5: Criterios de con-
gruencia de triángulos
• Congruencia de triángulos
Unidad 6: Características de 
los triángulos y cuadriláteros
• Triángulos
• Paralelogramos
Unidad 7: Área y volumen de 
sólidos geométricos
• Características y elemen-
tos de los sólidos geomé-
tricos
• Cálculo del volumen de só-
lidos geométricos
• Aplicaciones de volúmenes
• Áreas de sólidos geométri-
cos
• Aplicaciones de áreas
Unidad 6: Teorema de Pitá-
goras
• Teorema de Pitágoras
• Aplicación del teorema de 
Pitágoras
Unidad 5: Figuras semejan-
tes
• Semejanza
• Semejanza de triángulos 
• Semejanza y paralelismo
• Aplicación de semejanza y 
triángulos semejantes
Lección Horas Clases
1. Características y elementos 
de los sólidos geométricos 
 
1 1. Sólidos de revolución
1 2. Características y elementos del cono y la esfera
Plan de estudio de la Unidad
2. Cálculo del volumen de sólidos 
geométricos
1 1. Volumen del prisma y del cilindro
1 2. Comparación del volumen del prisma y la pirámide cua-drangular
1 3. Volumen de la pirámide triangular
1 4. Volumen del cono
1 5. Volumen de la esfera
3. Aplicaciones de volúmenes
1 1. Volumen de sólidos compuestos
2 2. Practica lo aprendido
4. Áreas de sólidos geométricos
1 1. Desarrollo del cono y longitud del arco 
1 2. Relación entre los elementos del patrón del cono 
1 3. Área superficial del cono
1 4. Área superficial de la esfera
5. Aplicaciones de áreas
1 1. Áreas superficiales en sólidos compuestos
2 2. Practica lo aprendido
1 Prueba de la Unidad 7
17 horas clase + prueba de la Unidad 7
194
Lección 1: Características y elementos de los sólidos geométricos
A partir de giros de algunas figuras planas al rededor de su eje se pueden generar los sólidos de 
revolución, se encuentran las características que puedan diferenciar a cada uno de estos, así como de 
manera particular se identifican las características y los elementos de la esfera y el cono. 
Lección 2: Cálculo del volumen de sólidos geométricos
En esta lección se deduce el volumen del prisma y el cilindro por medio del apilamiento de figuras. 
Tomando como referencia el volumen del prisma se encuentra el de la pirámide cuadrangular. Por 
último se deduce el volumen del cono y de la esfera utilizando el del cilindro. 
 
Lección 3: Aplicaciones de volúmenes
Luego de haber deducido y encontrado los volúmenes de algunos sólidos, se estudia el volumen de 
sólidos compuestos, y se práctica el cálculo del volumen de cada uno de los sólidos estudiados en las 
lecciones anteriores. 
Lección 4: Áreas de sólidos geométricos
Se inicia estudiando el patrón o plano desarrollado del cono y sus elementos. Luego se calcula el área 
superficial del cono y de la esfera. 
Lección 5: Aplicaciones de áreas
En la lección anterior se encontraron las áreas superficiales y laterales del cono y la esfera, para que en 
esta lección se calculen las áreas superficiales de sólidos compuestos. Además se realizarán problemas 
y ejercicios donde los estudiantes comprendan el algoritmo y en qué situaciones se debe utilizar.
195 Guía Metodológica
Puntos esenciales de cada lección
Fecha: 
Indicador de logro:
196
1.1 Sólidos de revolución
Identifica el sólido que se genera al girar una figura plana 
alrededor de un eje.
Materiales:
Cartulina, palillo de dientes, pegamen-
to.
Secuencia:
En la Unidad 2 de cuarto grado se tra-
bajaron las características de los sóli-
dos mediante la observación de figuras 
en el entorno. Para esta clase se busca 
que el estudiante descubra los sólidos 
que se generan al hacer girar figuras 
planas sobre un eje.
Propósito:
1 , 2 El estudiante debe manipular la 
cartulina en forma de rectángulo con 
el palillo de dientes y observar que al 
girar dicho rectángulo se generará el 
cilindro. 
3 Se presentan dos casos en los que se 
puede trabajar con cartulina o simple-
mente deducir que al girar el triángulo 
rectángulo se genera el cono y para el 
caso del cono truncado el estudiante 
puede notar que solo observando un 
lado del eje, el sólido es generado por 
un trapecio isósceles.
Posibles dificultades:
Para visualizar los sólidos de revolu-
ción que se generan, se necesita hacer 
uso del razonamiento espacial, si los 
estudiantes presentan muchas dificul-
tades, el docente debe orientarles. 
Solución de algunos ejercicios: 
1. b) Dos rectángulos forman dos cilin-
dros de diferente radio.
 
2. a) Es un triángulo isósceles. 
2. b) Es un trapecio isósceles.
U7 1.1
Realiza lo siguiente:
¿Qué se puede observar? 
¿Se forma algún sólido 
que ya conoces?
Al doblar el rectángulo a modo que 
gire, se puede ver que el sólido que se 
forma es un cilindro.
Para generar el sólido, 
la figura plana que se 
ha rotado es la mitad 
de un trapecio isós-
celes, como se puede 
ver a la derecha.
 1. a)
 Es una esfera
P
S
E
R
Gira alredor del palillo el rectángulo y contesta: 
1
2
3
2.
Tarea: página 148 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
197 Guía Metodológica
Materiales:
Llevar un cartel con las figuras que se 
presentan en el Problema inicial.
Secuencia:
En la Unidad 3 de tercer grado se abor-
dó la definición de una esfera y algunos 
de sus elementos con objetos del en-
torno, en la Unidad 2 de cuarto grado 
fueron definidas algunas caracterís-
ticas de los conos, pirámides, prisma 
rectangular y cilindro, en esta clase se 
identificarán algunas características y 
elementos del cono y la esfera. 
Propósito:
1 , 2 Identificar los elementos de 
cada una de las figuras según lo estu-
diado en años anteriores, para poder 
deducir características de cada uno de 
los sólidos geométricos. 
3 El estudiante leerá la conclusión jun-
to con el docente para conocer las ca-
racterísticas y elementos del cono y la 
esfera, no es necesario escribirlo en la 
pizarra, puesto que en la parte de ejer-
cicios ellos podrán realizar el dibujo y 
colocar los elementos de dichos cuer-
pos geométricos. 
Posibles dificultades:
No recordar las características de los 
sólidos geométricos debido a que los 
estudiaron hace varios años, en tal 
caso el docente debe orientarles.
1.2 Características y elementos del cono y la esfera
U7 1.2
Identifica características y elementos del cono y la esfera.
Escribe las características de los siguientes cuerpos geo-
métricos.
a) b) c)
d) e) f) 
a) Tiene dos bases poligonales y sus caras son planas.
b) Tiene una sola base y una cúspide, además sus caras son planas.
c) Está formado por una sola cara plana circular, un vértice y su cara 
lateral es curva.
d) Todas sus caras sonplanas y cuadradas.
e) Tiene dos bases circulares y su cara lateral es curva.
 f) Es una superficie totalmente curva, no tiene caras laterales ni bases.
P
S
R
• Cúspide 
• Altura
• Radio
• Generatriz 
• Base
• Superficie curva
• Diámetro
• Cuerda
• Radio
1
2
3
1. 
Tarea: página 149 del Cuaderno de Ejercicios.
198
Cúspide
Generatriz
Diámetro
Radio
Superficie curva
Fecha: 
Indicador de logro:
199 Guía Metodológica
2.1 Volumen del prisma y del cilindro
U7 2.1
Deduce la fórmula para el cálculo del volumen del cilindro 
de manera análoga al cálculo del volumen del prisma. 
P
S
1 cm
3 cm
5 cm
1 cm3
9π cm2
3 cm
1 cm
Observa las siguientes situaciones, luego contesta: 
1. a) ¿Qué sólido se obtiene 
si se apilan 4 bloques? 
 b) Deduce el volumen del 
sólido formado.
2. Se tiene un disco de radio 3 cm y 
altura 1 cm. 
 a) ¿Qué sólido se obtiene si se 
apilan 5 discos? 
 b) Deduce el volumen del sólido formado.
1. a) Se obtiene un prisma 
rectangular.
 b) V = 15 cm2 × 4 cm
2. a) Se obtiene un cilin-
dro. 
 b) V = 9π cm2 × 5 cm
Materiales:
Un cartel con las figuras del Problema 
inicial, fomi o cubos de madera (estos 
últimos dos en el caso de que se tra-
baje con los estudiantes con material 
concreto).
Secuencia:
En las dos clases anteriores se trabajó 
con las características y elementos de 
algunos cuerpos geométricos, en esta 
ocasión se trabajará en deducir el vo-
lumen del prisma y del cilindro.
Propósito:
1 , 2 Deducir el volumen de un cilin-
dro de manera análoga al cálculo del 
volumen del prisma, apilando cubos y 
discos con 1 cm de altura.
3 El ejemplo de esta clase es para que 
el estudiante observe que entre más 
lados tenga la base del prisma, más se 
acerca al volumen del cilindro.
Solución de algunos ejercicios:
b) Vcilindro = 64π cm
2 × 14 cm
 Vcilindro = 896π cm
3
c) Vcilindro = 36π cm
2 × 15 cm
 Vcilindro = 540π cm
3
d) VPrisma = 50 cm
2 × 3 cm
 VPrisma = 150 cm
3
Vcilindro = AB × h = πr2h
Vcilindro = 25π cm
2 × 12 cm
Vcilindro = 300π cm
3
R
1
2
3
300π cm3 896π cm3 540π cm3 150 cm
3
72 cm3
32 cm3
E
La base se aproxima a 
un círculo. Por tanto, el 
volumen del prisma se 
aproxima al volumen 
del cilindro cuando el 
número de lados de la 
base aumenta.
 Observación: 
Ver imágenes en el LT.
Tarea: página 150 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
200
2.2 Comparación del volumen del prisma y la pirámide cuadrangular
U7 2.2
Determina la relación entre el volumen de un prisma y el 
de una pirámide, cuyas bases son congruentes y se utilizan para resolver pro-
blemas.
P
S
RSi se tiene un prisma y una pirámide que tienen una 
base cuadrangular congruente e igual altura, ¿cuántas 
veces cabe el volumen de la pirámide en el prisma? 
¿Qué se puede concluir con el resultado obtenido?
Se llena de agua la 
pirámide y se vierte en el 
prisma. A partir de este 
resultado se concluye 
que el prisma tiene tres 
veces el volumen de la 
pirámide, es decir, el vo-
lumen de la pirámide es 
la tercera parte del volu-
men del prisma.
h
B a s e s 
iguales
Vpirámide = 
1
3 × AB × h
Vpirámide = 
1
3 × 16 cm
2 × 9 cm 
Vpirámide = 48 cm
3
Materiales
Una pirámide y prisma cuadrangular 
con altura y base congruente.
Agua, arroz, maíz, maicillo, arena, etc., 
lo importante es ver la cantidad de ve-
ces que cabe el volumen de la pirámi-
de cuadrangular en el prisma.
Secuencia:
En la clase anterior se trabajó con el 
volumen de un prisma y un cilindro, 
realizando comparaciones entre el vo-
lumen de ambos, en esta clase se de-
terminará la relación de los volúmenes 
entre el prisma y una pirámide cuando 
sus bases son congruentes. 
Propósito:
1 , 2 Comparar el volumen de una 
pirámide cuadrangular con un prisma 
cuadrangular, que tenga base y altura 
congruentes, con el objetivo de verifi-
car la relación entre volúmenes de es-
tos cuerpos geométricos.
3 En la conclusión se obtiene la fór-
mula general para el volumen de una 
pirámide.
4 Solución del ejercicio 2: 
 Vpirámide = 
1
3 × AB × h
 16 cm3 = 13 × 4 cm
2 × h
 16 cm3 = 43 cm
2 × h
 
 16 cm × 
3
4 = h
 h = 12 cm
Posibles dificultades:
Para el problema 2, puede que los es-
tudiantes tengan problemas con el 
despeje de la variable h, en este caso 
el docente debe orientarles al respec-
to.
1
2
3
4
48 cm3
12 cm
2 415 767 cm3
Tarea: página 151 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
201 Guía Metodológica
2.3 Volumen de la pirámide triangular
Calcula el volumen de una pirámide de base triangular uti-
lizando la fórmula.
E
Secuencia: 
En la clase anterior se realizó la deduc-
ción del volumen de una pirámide cua-
drangular, para esta clase se trabajará 
con la fórmula del volumen de la pirá-
mide triangular. 
Propósito:
1 , 2 Calcular el volumen de una pi-
rámide triangular, mediante la fórmula 
general encontrada en la clase ante-
rior.
Observación: 
Es necesario aclarar que el triángulo 
base de la pirámide del Problema ini-
cial es rectángulo.
3 En el ejemplo se busca que el estu-
diante encuentre el área de la base, 
comprendiendo que hay dos alturas, 
una de la base y la otra de la pirámide. 
Observación:
La base del triángulo es 12 cm, como 
se muestra en el Libro de texto.
4 Solución de algunos ejercicios:
1. b) AB = 
1
2 × 4 × 3 = 
12
2 = 6 cm
2
Vprisma = AB × h = 6 × 15 = 90 cm3
Vpirámide = 
1
3 × Vprisma = 
1
3 × 90 cm
3 
 = 30 cm3
2. Vpirámide = 
1
3 AB × h = 
1
3 × 25 × 9 
 
 = 75 cm3
Posibles dificultades:
En el ejemplo, es posible que los estu-
diantes confundan la altura de la base 
con la altura de la pirámide o el prisma, 
en ese caso pedir que revisen la figura, 
y señalar cuál es la base, para que no 
haya confusión.
En cuanto al problema 3 de la fijación, 
el 25 no es un dato necesario para el 
cálculo del volumen indicado.
U7 2.3
P
S R
Calcula el volumen de 
una pirámide de base 
triangular, si su base 
tiene las dimensiones 
mostradas en la figura 
y la altura es 7 cm.
4 cm
6 cm
AB = 
1
2 × 6 × 4 = 
6 × 4
2 = 
24
2 = 12 cm
2
Se encuentra primero el área de 
la base denominada AB
Luego, el volumen de la pirámide es:
Vpirámide = 
1
3 × 12 × 7 = 28 cm
3
El área de la base es: 
AB = 
1
2 × 12 × 6 = 
12 × 6
2 
 = 36 cm2
Vpirámide = 
1
3 AB × h 
 = 13 × 36 × 5 
 = 60 cm3
1. a) AB = 
1
2 × 3 × 4 = 
12
2 = 6 cm
2
Vprisma = AB × h = 6 × 6 = 36 cm3
Vpirámide = 13 × Vprisma = 
1
3 × 36 cm
3 = 12 cm3
1
2
3
4
12 cm3
36 cm3
30 cm3
90 cm3
75 cm3
840 cm3
Tarea: página 152 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
202
2.4 Volumen del cono
U7 2.4
Determina la relación entre el volumen del cono y el cilin-
dro de igual radio y altura.
P Se tiene un cilindro y un cono de bases 
congruentes, ¿cuántas veces cabe el 
volumen del cono en el cilindro? ¿Qué 
se puede concluir con el resultado ob-
tenido?
h
Bases iguales
S Se llena de agua 
el cono y se vierte en el 
cilindro. A partir de este 
resultado se concluye 
que el cilindro tiene tres 
veces el volumen del 
cono. Es decir, el volu-
men del cono es la terce-
ra parte del volumen del 
cilindro.
R
 Vcilindro = AB × h = πr2h
a) 
12 cm
25
 c
m
 Vcilindro = π(6)
2(25) = 900π cm3
Vcono = 
1
3 Vcilindro= 
1
3 (900π cm
3)
 = 300π cm3
Materiales
Un cono y un cilindro. Se debe cons-
truir con un material en el que se pue-
da utilizar ya sea agua, granos de maíz, 
arroz o arena. 
Secuencia:
En la clase anterior se trabajó con el 
volumen de la pirámide triangular, y en 
la clase 2.1 se dedujo el volumen del 
cilindro mediante el del prisma, ahora 
se determinará el volumen del cono 
mediante el del cilindro.
Propósito:
1 , 2 Comparar el volumen del cilin-
dro con un cono que tenga base y altu-
ra congruentes, con el objetivo de veri-
ficar la relación entre los volúmenes de 
estos cuerpos geométricos. 
3 Enla Conclusión se obtiene la fór-
mula general para el volumen del 
cono. 
4 En el Ejemplo se puede observar 
que entre más lados tenga la base de 
la pirámide más se acerca al volumen 
del cono.
5 Solución del ejercicio 1. b):
Vcilindro = AB × h = πr2h
Vcilindro = π(4.5)
2(20) = 405π cm3
Vcono= 
1
3 Vcilindro = 
1
3 (405 cm
3) = 135π cm3
1
2
3
4
300π cm3900π cm3 135π cm3405π cm3
5
E Solución.
La base se aproxima a un círculo. 
Así, cuando el número de lados de 
la base de una pirámide aumenta 
más y más, esta se aproxima a un 
cono.
Tarea: página 153 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
203 Guía Metodológica
2.5 Volumen de la esfera
Determina la relación entre el volumen de la esfera y el ci-
lindro con igual radio e igual altura.
U7 2.5
Materiales
Una semiesfera y un cilindro. Se deben 
construir con un material en el que se 
pueda utilizar ya sea agua, granos de 
maíz, arroz o arena. 
Secuencia:
En la clase anterior se trabajó con el 
volumen de un cono realizando la 
comparación con un cilindro, de mane-
ra similar se pretende realizar para el 
volumen de una esfera, para este caso 
se trabajará con una semiesfera y lue-
go el resultado se multiplicará por dos.
Propósito:
1 , 2 Comparar el volumen del cilindro 
con una semiesfera que tenga radios 
congruentes, con el objetivo de verifi-
car la relación entre los volúmenes de 
estos cuerpos geométricos.
3 En la conclusión se obtiene la fórmu-
la general para el volumen de la esfera. 
4 Solución de algunos ejercicios: 
2. Vesfera = 
4
3 πr
3
 Vesfera = 
4
3 π(2)
3
 Vesfera = 
32
3 π u
3
 3. Vsemiesfera = 
1
2 
4
3 πr
3 
 Vsemiesfera = 
1
2 
4
3 π(10)
3 
 Vsemiesfera =
2 000
3 cm
3
Se tiene una esfera y un cilindro con el mismo radio, la 
altura del cilindro es el diámetro de la esfera, ¿cuántas 
veces cabe el volumen de la esfera en el cilindro? ¿Qué 
puedes concluir con el resultado obtenido?
P
Bases iguales
r
r
2r
El volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen 
de un cilindro que tenga el mismo radio y su altura sea 
igual al diámetro de la esfera.
S
R
 Vcilindro = AB × h = πr2h
 Vcilindro = π(1)
2(2) = 2π m3
Vesfera = 
2
3 Vcilindro
 = 23 (2π m
3)
Vesfera = 
4
3 π m
3
1
2
3
4
4
3 π m
3
32
3 π u
3
2 000
3 π u
3
Tarea: página 154 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
204
3.1 Volumen de sólidos compuestos 
Secuencia: 
En las clases anteriores se deduje-
ron los volúmenes de algunos sólidos 
geométricos, en esta clase se utilizarán 
para calcular el volumen de algunos 
sólidos compuestos. 
Propósito:
1 , 2 Encontrar el volumen total de 
sólidos compuestos, utilizando las fór-
mulas que se dedujeron en las clases 
anteriores, para ello se desarrollará 
cada uno de los sólidos individuales y 
luego se sumarán. 
3 En la conclusión se destacan los pa-
sos a seguir para determinar el volu-
men de los sólidos compuestos.
4 Solución del ejercicio b: 
Vcilindro = AB × h = πr2h
Vcilindro = π(6)
2(8) = 288π cm3
Vcono = 
1
3 πr2h = 
1
3 π × 62 × 4
 = 1443 π cm
3 = 48π cm3
 V = Vcilindro + Vcono = 288π cm
3 + 48π cm3 
 
 = 336π cm3 
U7 3.1
Utiliza las fórmulas de volúmenes de sólidos geométricos, 
para determinar el volumen de sólidos compuestos.
Calcula el volumen 
del siguiente sólido:
P
5 
cm
12 cm
S 12 Vesfera = 12 43 πr3 = 46 (π × 53) 
 = 
500
6 π = 
250
3 π = 83.3π cm
3
Vcono = 
1
3 πr
2h = 13 π × 5
2 × 12 = 100π cm3
V = 12 Vesfera + Vcono = 
250
3 π cm
3 + 100π cm3 
 
 = 5503 π cm
3 ≈ 183.3π cm3
R a) Vsemiesfera = 12 43 πr3 
= 46 (π
 × 33) = 1086 π 
= 18π cm3
Vcono = 
1
3 πr
2h = 13 π × 3
2 × 5 
 = 453 π cm
3 = 15π cm3
V = Vsemiesfera + Vcono = 18π cm3 + 15π cm3 
 = 33π cm3
1
2
3
4
33π cm3 336π cm3
Tarea: página 155 del Cuaderno de Ejercicios.
205 Guía Metodológica
Indicador de logro:
3.2 Practica lo aprendido 
Resuelve ejercicios y problemas correspondientes a volú-
menes de sólidos. 
Solución de algunos ítems: 
1. Vcono = 
1
3 πr
2h = 13 π × 32 × 9
 = 813 π cm
3 = 27π cm3
Luego para encontrar la cantidad de 
agua que puede contener el cono 
hay que multiplicar el resultado por 
0.0338135 fl oz.
Es decir, si 1 cm3 = 0.0338135 fl oz, en-
tonces 1 = 0.0338135 fl oz 1 cm3
27π cm3 = 27π cm3
 
 = 2.87 fl oz
2. Vesfera = 
4
3 πr
3
 Vesfera = 
4
3 π(18)
3 = 7776π cm3
7 776π cm3 = 7 776π cm3 0.0338135 fl oz 1 cm3
 
 
 = 826.03 fl oz
3. Vesfera = 
4
3 πr
3 
 Vesfera = 
4
3 π(8)
3 = 2 0483 π cm
3
4. Vsemiesfera = 
1
2
4
3 πr
3 = 46 (π
 × 83)
 = 2 0486 π = 
1 024
3 π cm
3
 Vcilindro = AB × h = πr2h
 Vcilindro = π(8)
2(25) = 1 600π cm3
 V = Vsemiesfera + Vcilindro 
 = 1 0243 π cm
3 + 1 600π cm3 
 
 = 5 8243 π cm
3
Observación: 
Para el ejercio 6, dependiendo del ins-
trumento que se utilice para el cálculo, 
pueden variar los últimos dígitos.
0.0338135 fl oz
 1 cm3
2.87 fl oz
826.03 fl oz
2 048
3 π cm
3
Vcono= 
1
3 πr
3
Vsemiesfera = 
2
3 πr
3Vcilindro = πr3
a) 1 033 899 412 000 km3 b) 1 082 148 051 000 km3
c) 1 082 696 932 000 km3
100.8π m3
0.04π l
27π cm3
7 776π cm3
5 824
3 π cm
3
Tarea: página 156 del Cuaderno de Ejercicios.
Indicador de logro:
206
3.3 Practica lo aprendido 
= a
Solución de algunos ítems: 
1. a) Vpirámide = 
1
3 Abh = 
1
3 (250) × 12 
 = 3 0003 cm
3
 
 = 1 000 cm3
 b) Vcono = 
1
3 πr
2h 
 Vcono = 
1
3 π(5)
2(18) = 150π cm3
 c) Vcilindro = πr
2h = π(6)2(12) cm3
 Vcilindro = 432π cm
3
 d) Vesfera = 
4
3 πr
3 
 Vesfera = 
4
3 π(22)
3 = 42 5923 π cm
3
2. Vcilindro = πr
2h
 300π cm3 = π(5 cm)2h
 h = 300π cm325π cm2 = 12 cm
3. Vcilindro = πr
2h
 60π cm3 = π(8 cm)2h
 h = 60π cm364π cm2 = 
15
16 cm
 h = 1516 cm
4. Vcilindro = πr
2h = π(4)2(15) cm3
 Vcilindro = 240π cm
3
5. Vpirámide = 
1
3 Abh = 
1
3 (100) × 15
 Vpirámide = 500 cm
3
6. AB = 
1
2 × 5 × 6 = 
30
2 = 15 cm
2
 Vpirámide = 
1
3 Abh = 
1
3 (15) × 12
 Vpirámide = 60 cm
3
1 000 cm3 150π cm3 432π cm3 42 592
3 π cm
3
12 cm
15
16 cm
 240π cm3
500 cm3
60 cm3
5 cm
48π cm3
3 cm
Resuelve ejercicios y problemas correspondientes a volú-
menes de sólidos.
Tarea: página 157 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
207 Guía Metodológica
4.1 Desarrollo del cono y longitud de arco
1
2
Identifica los elementos del patrón del cono.
U7 4.1
Secuencia:
En esta clase se pretende visualizar a 
detalle cada uno de los elementos del 
patrón o plano desarrollado del cono, 
para ello se realizan recortes al cono 
y se despliega para visualizar las figu-
ras planas que lo forman. Además, se 
aborda la longitud de arco.
Propósito:
1 , 2 Identificar los elementos del 
cono, mediante el plano desarrollado, 
donde se muestran las figuras geomé-
tricas involucradas, a la vez que se en-
cuentra la longitud de arco, la cual se 
utilizará más adelante para encontrar 
el área de un cono.
Posibles dificultades:
En esta clase pueden surgir varias di-
ficultades como definir la longitud de 
arco, que en realidad es trabajar con 
la base de la circunferencia que es 2πr, 
para esto es importante que los estu-
diantes recuerden cuál es la longitud 
de la circunferencia. 
Además, es posible que se les dificulte 
a los estudiantes comprender una for-
ma alternativa para encontrar la longi-
tud de arco, en este caso explicar que 
esta consiste en convertir los grados a 
radianes y como en una vuelta comple-
ta hay 360° por eso el ángulo se divide 
entre esos grados. Como la generatriz 
del sector circularcoincide con el ra-
dio, se tiene la siguiente fórmula:
 L = 2πg × θ360° = 
θ
180° πg
a) Dibuja la figura que se obtiene 
al recortar el cono.
b) ¿Cómo se llama la figura que se 
obtuvo?
c) Describe qué figuras geométricas apare-
cen en el cono desplegado. 
d) Identifica, sobre tu dibujo, las generatrices 
y el radio del cono. ¿Cuál es la longitud de 
arco que forma el patrón de un cono?
P
S a) Una figura compuesta.
b) Patrón o plano desarrollado.
c) Un círculo con radio r, y un sector circular 
de radio g.
d) El arco tiene una longitud de: L = 2πr o
 L = 2πg × θ360° = 
θ
180°πg.
1.R
radio
generatriz Altura o eje
Generatriz 
Radio 
E
a) L = 2πr, entonces L = 2π × 8
 = 16π;
b) L = θ180°πg, entonces
 L = 240°180°π × 12 = 
4
3 π × 12 = 4π × 4 
 = 16π
Tarea: página 158 del Cuaderno de Ejercicios.
208
3 En la conclusión se encuentran las 
dos fórmulas para poder encontrar la 
longitud de arco de un sector circular.
4 Con el ejemplo se pretende que los 
estudiantes practiquen cómo encon-
trar la longitud de arco.
5 Resolución de algunos ítems.
2. L = θ180° πg; entonces,
 L = 60°180° π × 10 
 = 13 π × 10 = 
10
3 π cm
3. L = 2πr entonces,
 L = 2π × 5 = 10π cm.
5
3
4
10π cm
10
3 π cm
radio
generatriz 
eje o altura
Fecha: 
Indicador de logro:
209 Guía Metodológica
Indicador de logro:
209 Guía Metodológica
4.2 Relación entre los elementos del patrón del cono
Determina la relación entre los elementos del patrón del 
cono.
Secuencia:
En la clase anterior se encuentran las 
fórmulas que se pueden utilizar para la 
longitud de arco, por lo que a partir de 
ellas se puede deducir la relación entre 
los elementos que existen en el patrón 
del cono. 
Propósito:
1 , 2 Determinar la relación entre los 
elementos del patrón del cono, para 
ello los estudiantes realizarán los des-
pejes necesarios para encontrar 4 fór-
mulas.
Posibles dificultades:
En esta clase es posible que los estu-
diantes no realicen los despejes de ma-
nera correcta, para ello es importante 
que se realice un recordatorio.
3 Con el ejemplo se espera que el es-
tudiante pueda encontrar el ángulo θ, 
utilizando las dos fórmulas encontra-
das en la clase anterior.
4 Resolución de algunos ítems.
1. 2πr = θ180° × πg; 
 
 θ = 360°g × r = 
360°
18 × 9 = 180°
2. Usando la siguiente fórmula se tie-
ne:
 r = θ360°g = 
120°
360° × 6 = 2 cm
3. g = 360°θ r = 
360°
60° × 4 = 24 cm
4. g = 180°θπ L = 
180°
120°π × 8π = 12 cm
1
2
12 cm
24 cm
2 cm
180°
U7 4.2
P
S
R
E Como 2πr = θ180° × πg, 
luego θ = 360°g × r
sustituyendo los valores se tiene:
θ = 360°g × r = 
360°
30 × 4 = 48°;
1. 2πr = θ180° × πg;
 luego θ = 360°g × r = 
360°
18 × 9
 θ = 180°
Utilizando las fórmulas de la clase ante-
rior, determina las medidas de los siguientes 
elementos:
1. El radio r, dado el ángulo central θ del sector 
circular y la generatriz g del cono.
2. El ángulo central θ del sector circular, dada 
la generatriz g y el radio r del cono. 
3. La generatriz g, dado el ángulo central θ y la 
longitud de arco del sector circular.
4. La generatriz g dado el ángulo central θ y del 
arco del sector circular L.
1. De la relación L = 2πr = θ180°πg se tiene 
que r = θ360°g.
2. θ = 360°g r 3. g = 360°θ r
4. g = 180°θπ L
Tarea: página 159 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
210
4.3 Área superficial del cono
Determina el área total del cono a partir de su patrón o pla-
no desarrollado.
Secuencia:
En la clase anterior se encuentran las 
fórmulas para poder deducir los ele-
mentos del cono, ahora se buscará que 
el estudiante pueda encontrar el área 
superficial del cono.
Propósito:
1 , 2 Determinar el área total del cono, 
para ello se calculará el área lateral y el 
área de su base que es un círculo.
3 Resolución del ítem 2.
2. ALateral = πrg
 120π cm2 = π(6 cm)g
 g = 120 π cm
2
6 π cm = 20 cm
U7 4.3
P Encontrar en el patrón del cono el área 
de lo siguiente: 
a) La cara lateral del cono que es un sec-
tor circular con ángulo θ = 360°g × r, g 
es la generatriz del cono, la cual es el 
radio del sector circular.
b) Un círculo de radio r.
S a) El área lateral del cono ALateral, es el 
área del sector circular en el patrón 
del cono, el cual es proporcional al 
área total del círculo con el radio g; 
πg2, por el ángulo central θ del sector 
circular:
 ALateral = πg2 × θ360° ... (1)
Luego por (1) y sustituyendo 
θ = 360°g × r en (1), se tiene:
 ALateral = πrg
El área de la base es: ABase = πr2
ATotal = ALateral + ABase = πrg + πr2 = πr(g + r)
R ALateral = πrg = π(7)(25) = 175π cm2
ABase = π(7)2 = 49π cm2
ATotal = 175π cm2 + 49π cm2
ATotal = 224π cm2
1
2
ALateral = 175π cm2 ATotal = 224π cm2
20 cm
3
Tarea: página 160 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
211 Guía Metodológica
4.4 Área superficial de la esfera
Determina la relación entre el área superficial de una esfe-
ra y el área del círculo de igual radio.
Materiales:
Una esfera, puede ser de plástico o de 
durapax, o cualquier material que sea 
fácil de manejar, un cordel o nailon, un 
clavo y tijera.
Secuencia:
En la clase anterior se trabajó con el 
área lateral y total del cono, para esta 
clase se calculará el área superficial 
de la esfera, determinando la relación 
entre esta y el área del círculo de igual 
radio. 
Propósito:
1 , 2 Determinar la relación entre el 
área superficial de una esfera y el área 
del círculo de igual radio, realizando el 
experimento con un cordel y una esfe-
ra. 
3 Con el ejemplo se busca que el es-
tudiante también conozca la relación 
para encontrar el área superficial de 
una esfera con el área superficial del ci-
lindro, el cual se encontró en la Unidad 
8 de séptimo grado. De esta manera 
el estudiante tendría otra alternativa 
para encontrar el área de una esfera. 
4 Resolución del ítem 2.
Aesfera = 4πr2
144π cm2 = 4πr2
r2 = 36 cm2
r = 6 cm por lo que el diámetro es 
12 cm, también se puede utilizar el 
problema 1 para deducir que el diáme-
tro es 12 cm.
U7 4.4
P
S
R
1. Aesfera = 4πr2
 Aesfera = 4π(6)2
 Aesfera = 144π cm2
Se tiene una esfera y un círculo de radio r, ¿qué relación 
existe entre el área de la esfera comparada con la del cír-
culo?, ¿qué se puede concluir sobre el área de la esfera?
 r
 Figura A Figura B Figura C
Se corta la esfera en 
dos partes iguales.
Envuelve el cordel alre-
dedor de un alfiler co-
locado en el centro de 
la región circular.
Envuelve el cordel 
alrededor del he-
misferio.
En conclusión, el área de la esfera es cuatro veces el área del 
círculo, entonces: Aesfera = 4πr2.
1
2
12 cm
144π cm2
3
4
E
Se puede concluir 
que, el área de una 
esfera de radio r es 
igual al área lateral 
de un cilindro de 
radio r y altura 2r. 
Es decir, A = 2πrh = 
2πr(2r) = 4πr2
Tarea: página 161 del Cuaderno de Ejercicios.
Fecha: 
Indicador de logro:
212
5.1 Áreas superficiales en sólidos compuestos
Utiliza las fórmulas deducidas sobre áreas superficiales de 
sólidos, para determinar el área superficial de sólidos compuestos.
Secuencia:
En séptimo grado se trabajó con el área 
superficial del cilindro, en las clases an-
teriores de esta unidad se estudiaron 
las del cono y la esfera; es el momen-
to oportuno para trabajar con sólidos 
compuestos.
Propósito:
1 , 2 Calcular las áreas superficiales 
de sólidos compuestos. Es importan-
te que el estudiante observe que hay 
áreas que se comparten entre los sóli-
dos las cuales no se deben contar dos 
veces. 
Posibles dificultades:
En el cálculo del área total de un sólido 
es posible que el estudiante no repare 
en que hay figuras compartidas y que 
se cuenten sus áreas dos veces, para 
ello se debe orientar para que tengan 
esta consideración.
3 Resolución de algunos ítems.
2. 
a) Aesfera = 4πr2 = 4π(5)2 = 100π cm2
b) Aesfera = 4πr2 = 4π(10)2 = 400π cm2
c) Aesfera = 4πr2 = 4π(50)2 = 10 000π cm2
3.Área lateral del cilindro: ALateral = 2πrh
100π cm2 = 2πr(10 cm)
 100π cm
2
20π cm = r
 r = 5 cm
U7 5.1
P
S
R
Encuentra el área superficial del siguiente sólido:
6
8
5
4
2
Área de la semiesfera: Asemiesfera = 
1
2 (4πr
2)
Área lateral del cilindro: ALateral = 2πrh
Área lateral del cono: ALcono = πrg
Área del círculo: Acírculo = πr2
ASemiesfera = 
1
2 (4πr2) = 2 × π × 32 = 18π cm2
 Área lateral del cilindro: ALateral = 2πrh = 2π × 2 × 8 
 = 32π cm2
 ALcono = πrg = π × 2 × 5 = 10π cm2
Luego del área del círculo de la semiesfera se resta el 
área del círculo de la tapa del cilindro:
ACírculos = π 62
2
 ‒ π 42
2
 = 9π ‒ 4π = 5π cm2
AFigura = ASemiesfera + ALateral + 
ALcono + ACírculos 
= 18π + 32π + 10π + 5π 
= 65π cm2
ASemiesfera = 12 (4πr2)
= 2 × π × 52 
 = 50π cm2
ALcono = πrg = π × 5 × 8 
 = 40π cm2
AFigura = 50π cm2 + 40π cm2
 = 90π cm2
1
2
90π cm2
100π cm2, 400π cm2, 10 000π cm2
5 cm
3
Tarea: página 162 del Cuaderno de Ejercicios.
213 Guía Metodológica
Indicador de logro:
5.2 Practica lo aprendido
Resuelve ejercicios y problemas correspondientes a áreas 
y volúmenes de sólidos.
Solución de algunos ítems:
1. ALateral = πrg = π(3 cm)(5 cm)
 = 15π cm2
 ABase = πr2 = π(3)2 = 9π cm2
 ATotal = 15π cm
2 + 9π cm2 = 24π cm2
2. ASemiesfera = 
1
2 (4πr2) 
 = 2 × π × 102 = 200π cm2
3. Vesfera = 
4
3 πr3
 144π cm3 = 43 πr3
 108 cm3 = r3
 r = 4.76 cm 
Entonces el área de la esfera es: 
 Aesfera = 4πr2 = 4π(4.76)2
 = 90.63π cm2
4. La cantidad de material necesario 
es:
 Vcapa = 43 (R3 − r3)π
 Vcapa = 43 (53 − 43)π
 Vcapa = 2443 π cm
3
5. a) ASemiesfera = 
1
2 (4πr2)
 
 = 2 × π × 52 
= 50π cm2 
 ALcono = πrg = π × 5 × 12
 = 60π cm2
 AFigura = 50π cm
2 + 60π cm2
 = 110π cm2
 b) ASemiesfera = 
1
2 (4πr2) = 2 × π × 122 
 = 288π cm2
Área lateral del cilindro: ALateral = 2πrh 
 ALateral = 2π × 12 × 14 = 336π cm
2
 ACírculo = π(12)
2 = 144π cm2
AFigura = 288π cm
2 + 336π cm2 + 144π cm2 
 = 768π cm2
15π cm2 y 24π cm2
200π cm2
90.63π cm2
768π cm2110π cm2
192π cm3
244π
3 cm
3
6. Vfigura = Vcilindro + Vcono 
 
 = πr2h + 
1
3 πr
2h 
 = π6
2(5) + 13 π(3)
2(4)
 
 = 180π + 12π
 = 192π cm
3
Tarea: página 163 del Cuaderno de Ejercicios.
214
Indicador de logro:
5.3 Practica lo aprendido
Resuelve ejercicios y problemas correspondientes a áreas y 
volúmenes de sólidos.
Solución de algunos ítems:
1. Vcilindro = πr2h = π(3)2(15)
 = π(9)(15) = 135π cm3
2. a) Aesfera = 4πr2 = 4π(6)2 = 144π cm2
 Vesfera = 
4
3 π(6)
3 = 8643 π cm
3
 = 288π cm3
b) Acono = πr(g + r) = π(6)(10 + 6)
 = π(6)(16) = 96π cm2
 Vcono = 
1
3 πr
2h 
 Vcono = 
1
3 π(6)
2 (8) = 96π cm3
c) Acilindro = 2πr(h + r)
 = 2π(6)(14 + 6)
 = 12π(20) = 240π cm2
 Vcilindro = πr2h = π(6)2(14)
 = π(36)(14) = 504π cm3
3. Acono = πr(g + r) = π(10)(14 + 10)
 = π(10)(24) = 240π cm2
4. Vcono = 
1
3 πr
2h 
 Vcono = 
1
3 π(5)
2 (12) = 100π cm3
5. Vpirámide = 
1
3 AB × h
 AB = 10 cm × 10 cm = 100 cm
2
 Vpirámide = 13 100 cm
2 × 12 cm
 = 400 cm3
6. Acono = πr(g + r) = π(7)(25 + 7)
 = π(7)(32) = 224π cm2
 Vcono = 
1
3 πr
2h 
 Vcono = 
1
3 π(7)
2(24) = 392π cm3
135π cm3
144π cm2 y 288π cm3
100π cm3
240π cm2
400 cm3
96π cm2 y 96π cm3 240π cm2 y 504π cm3
224π cm2 y 392π cm3
Área 36π cm2 Volumen 883 π cm
3
Tarea: página 164 del Cuaderno de Ejercicios.
215 Guía Metodológica
Prueba de la Unidad 7
Descripción: 
La prueba de esta unidad está formada 
por 8 numerales, pero el último tiene 
dos literales, por lo que será conside-
rada con un total de 9 ítems. 
Criterios para asignar puntos parcia-
les: 
Ítem 1. No se da punto parcial. 
Del ítem 2 al ítem 4. Plantea y evalúa 
correctamente en la fórmula del volu-
men de cada uno de los sólidos, pero 
realiza mal el cálculo y da la respuesta 
incorrecta. 
Ítem 2. Vpirámide = AB × h
Ítem 3. ASemiesfera = 
1
2 (4πr
2)
Ítem 4. Vcilindro = πr2h
 
216
Continuación de la prueba de la unidad 7
Criterios para asignar puntos parcia-
les: 
Ítem 5. Encuentra los volúmenes de la 
semiesfera y del cilindro, pero no suma 
correctamente el volumen de ambos. 
Ítem 6. Identifica correctamente el 
área lateral del cono y sustituye correc-
tamente los elementos del área lateral, 
pero realiza mal el cálculo. 
Ítem 7. Calcula el área lateral, pero ol-
vida calcular el área de la base y por 
tanto no llega a la respuesta correcta. 
Ítems 8 y 9. Sustituye correctamente 
en la fórmula de área y volumen res-
pectivamente, pero realiza mal el cál-
culo.