Numeros enteros

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Capítulo 1
• El conjunto de los números enteros (Z).
• Representación en la recta numérica.
• El orden en Z.
• Módulo o valor absoluto.
• Números opuestos y consecutivos.
• Adición y sustracción.
• Multiplicación y división.
• Potenciación y radicación.
• Operaciones combinadas.
Números 
enteros
Teoría
El conjunto de los números enteros
Colocar el número entero que represente cada situación.
a) Tengo una deuda de noventa pesos. 
b) Estoy a setenta metros sobre el nivel del mar. 
c) La temperatura es de siete grados bajo cero. 
d) Tengo ahorrados ciento cincuenta pesos. 
e) El hecho ocurrió cien años antes de Cristo. 
f) El ascensor está en el quinto subsuelo. 
g) La temperatura es de veinte grados. 
h) Un buzo está a doscientos metros de profundidad. 
Fernando trabaja como mozo en un bar. La tabla muestra las propinas que recibió en una semana.
a) Calcular el promedio diario de propinas.
b) Asignar a cada día un número entero que represente cuánto más o cuánto menos del promedio 
recibe de propina. 
Pensar y responder.
c) ¿Cuánto recibe de propina si el número entero es 8?
d) ¿Y cuánto si el número entero es 9?
e) ¿Y cuánto si es 0? 
1
2
Los números naturales (N) se utilizan básicamente para contar y para expresar cantidades 
enteras. Pero no son suficientes para expresar, por ejemplo, deudas o temperaturas bajo cero, por 
eso, es necesario recurrir a los números negativos.
Los números naturales, el cero y los números negativos forman el conjunto de los números 
enteros (Z). 
Z ... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 ...{ }= − − − −
El 0 no es positivo ni negativo, como tampoco es par ni impar.ti t i i
Z { }... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 ...= { 3
Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Propina $ 55 $ 48 $ 53 $ 47 $ 62 $ 58 $ 34
Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Número entero 
8
Se pesan diez bolsas cuyo peso promedio es de 650 g y se coloca en cada una un número entero que 
indica cuánto más o cuánto menos del promedio pesa cada una.
Colocar el peso de cada bolsa teniendo en cuenta el número entero que le corresponde. 
Colocar el número entero que corresponda.
a) Un buzo está a 25 m y desciende 10 m, ahora está a .
b) La temperatura es de 3°C y aumenta 8°C, ahora es de .
c) Un ascensor que está en el piso 6 y baja 10 pisos llega al .
d) El saldo de una cuenta es $ 120. Si se depositan $ 200, el saldo es de .
e) Un soldado romano falleció en el 35 d. C. y vivió 60 años. Nació en . 
El saldo de una caja de ahorros en un banco se calcula según los depósitos y las extracciones.
a) Completar los movimientos del mes de mayo.
Responder.
b) ¿Cuál era el saldo antes del primer depósito?
c) ¿Cuánto dinero se extrajo en total durante el mes?
d) ¿Cuál es la diferencia de saldo entre el primer y último día?
3
4
5
6 Un submarino estaba a 218 m, descendió una cierta cantidad de metros, ascendió 348 m y quedó a 
26 m de la superficie.
Calcular cuántos metros descendió.
Desafío
Fecha Movimiento de la cuenta Saldo
01/05 Depósito $ 600 $ 250
08/05 Extracción $ 400
11/05 Extracción $ 200
15/05 Depósito $ 550
21/05 $ 100
27/05 $ 400
31/05 $ 300
 9
 12
 17
 8
 6
0
 23
 13
 11
 14
a)
b)
c) e)
f) h) j)
g) i)
d)
9
La recta numérica. Orden
Completar los casilleros con los números que corresponda.
Unir cada número con el o los intervalos a los que pertenece.
7
8
9
Teoría
Para ubicar números enteros en la recta numérica, se toma el 0 como punto de referencia. A su 
derecha, se ubican los números positivos; a su izquierda, los negativos. 
La distancia entre dos números consecutivos debe ser igual en toda la recta.
Los números enteros se ordenan según su ubicación en la recta numérica. Cualquier número es 
mayor que los ubicados a su izquierda y menor que los ubicados a su derecha.
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
En consecuencia:
• Cualquier número positivo es siempre mayor que cualquier número negativo.
• Cualquier número negativo es siempre menor que cualquier número positivo.
• El 0 es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo.
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
Elegir una escala adecuada, ubicar convenientemente el 0 y representar los siguientes números.
a) 8, 10, 11, 3, 17 y 4.
 
b) 15, 20, 80, 35, 95 y 30.
 
a) c)
b) d)
80
30
200 50
60 20
a 3
a 0
a 2
a 1
a 5
a 4
a 3
 3 a 1
 a 1
 5 a 0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
10
Teoría
Módulo de un entero. Números opuestos y consecutivos
• El módulo o valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica 
y siempre es positiva. Al módulo de un número n, se lo simboliza n .
• Dos números enteros son opuestos cuando tienen distinto signo y el mismo módulo.
9 y 9 son números opuestos
• El anterior de un número entero es el que está inmediatamente a su izquierda en la recta 
numérica; y el siguiente, el que está inmediatamente a su derecha.
• Un número y su anterior o un número y su siguiente se denominan consecutivos.
a) 3 es el anterior a 4, y 4 es el anterior a 5; también, 5 es el siguiente de 4, y 4 es el siguiente de 3.
b) 5 es el anterior a 4, y 4 es el anterior a 3; también, 3 es el siguiente de 4, y 4 
es el siguiente de 5.
8 0 7
8 8− = 7 7
9 0 9
9 9− = 9 9
5 4 3 0 3 4 5
13 Escribir todos los valores enteros de a que cumplen con cada condición.
Desafío
Colocar o según corresponda.
Escribir el número que cumple con cada condición.
Observar la recta y colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
a) a 4 b) a 3 c) 5 a 10
a) 0 a 
b) m r 
c) r a 
d) t m 
e) m g 
f) g t 
g) m r 
h) p g 
a) El opuesto de siete. 
b) El anterior a menos diez. 
c) El siguiente de menos tres. 
d) El módulo es cinco y es negativo. 
a) 3 2
b) 1 2
c) 7 6
d) 5 4
e) 0 6
f) 12 11
10
11
12
r 0 a p tg m
11
Repaso
La tabla muestra los movimientos del ascensor de un edificio de oficinas.
Completar la tabla.
La temperatura promedio en la Antártida argentina en septiembre es de 18°C. La tabla muestra la 
temperatura promedio en las distintas bases.
Colocar un número entero que indique cuántos grados más o menos hace en cada base respecto 
del promedio.
Guillermo toma como referencia el momento en que sale de su casa para ir al trabajo y considera los 
minutos anteriores o posteriores como números enteros.
Completar la tabla.
Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
14
15
16
17
Parte de Se desplaza Llega a
7 9 pisos hacia abajo
3 5 pisos hacia arriba
2 1 piso hacia abajo
5 4 pisos hacia arriba
6 pisos hacia arriba 0
7 pisos hacia abajo 4
6 2 
6 4
1 3
Base Belgrano Esperanza Jubany Marambio Orcadas San Martín
Temperatura promedio 3°C 17°C 13°C 22°C 19°C 24°C
Número entero
Actividad Hora Número entero
Se levanta 6:30
Se ducha 25
Desayuna 6:55
Sale de su casa 7:05
Llega al trabajo 7:30
Almuerza 310
Sale del trabajo 16:00
a) 0 2 
b) 5 6 
c) 1 0 
d) 7 3 
e) 23 20 
f) 0 4 
g) 1 500 
h) 28 29 
i) 50 60 
12
Completar las siguientes frases.
a) El opuesto de un número negativo es .
b) Un número negativo es que su anterior y que su siguiente.
c) El opuesto de un número positivo es .
d) Entre dos números negativos, es menor el de módulo.
e) Dos números distintos que tienen el mismo módulo son .
f) Entre dos números negativos, es mayor el de módulo.
Elegir una escala adecuada, ubicar convenientemente el 0 y representar los siguientes números.
 75, 300, 250, 125, 150 y 400.
 
Completar los casilleros con los números que corresponda.
Ubicar en la recta numérica todos los números enteros que cumplen con las siguientes condiciones.
Completar los casilleros con números consecutivos.
23
18
19
20
21
22 Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
a) b)
• Tienen módulo 11.
• Son consecutivos con 5.
• Tienen módulo menor que 4.
• El módulo es mayor que 7 y menor que 10.
a) El anterior de 8 es 7. 
b) El siguiente de10 es 9. 
c) 1 y 1 son números consecutivos. 
d) El opuesto de 21 es 12. 
e) 3 es 5 unidades mayor que 2. 
f) 4 es 3 unidades menor que 1. 
a) 5 
b) 10 
c) 1
d) 14 
e) 9 
f) 33 
0 1
80 3015 0
13
Teoría
Adición y sustracción de números enteros
Resolver las siguientes adiciones y sustracciones.
En la tabla, figuran algunos hechos históricos.
Calcular y responder.
a) La primera Guerra Púnica duró 23 años. ¿En qué año terminó?
b) Augusto murió 41 años después de lograr el título de Emperador, ¿en qué año murió?
c) ¿Cuánto años pasaron desde que en Roma se estableció la República hasta que Grecia fue anexada 
como provincia romana?
d) ¿Cuántos años pasaron desde que Augusto asumió como Emperador hasta la caída del Imperio 
Romano de Occidente?
e) ¿Cuántos años pasaron desde que se establece la República hasta que se divide el Imperio?
a) 7 10 
b) 4 9 
c) 11 8 
d) 3 5 
e) 12 21 
f) 8 15 
g) 13 25 
h) 17 33 
i) 32 19 
a) 7 8 4 10 6 5 9 
b) 12 7 6 10 3 4 2 
c) 8 9 13 17 21 16 2 
d) 15 7 13 34 18 24 9 
Resolver las siguientes sumas algebraicas.
24
25
26
Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas. 
Para resolverla, se suman todos los números positivos y se resta la suma de todos los negativos.
 6 2 3 8 4 9 1 7 2 8 4 1 6 3 9 7 15 25 10
Para sumar y restar números enteros, se realizan los siguientes procedimientos:
7 11 18 Si ambos son positivos, se suman; y la suma es positiva.
5 12 7
8 13 5
2 6 8 Si ambos son negativos, se suman sus módulos; y la suma es negativa.
Si tienen distinto signo, al de mayor módulo, se le resta el de menor 
módulo; y el resultado lleva el signo del número de mayor módulo.
Hechos históricos Año
Se establece la República en Roma. 509 
Comienza la Primera Guerra Púnica. 264
Grecia es convertida en provincia romana. 146
Augusto toma el título de Emperador. 27
Trajano asume como Emperador. 98
Se divide el Imperio en Imperio de Oriente e Imperio de Occidente. 395
Cae el Imperio Romano de Occidente en poder de los invasores. 476
14
Teoría
Supresión de paréntesis
Para suprimir un paréntesis, se debe tener en cuenta el signo que lo antecede.
• Si es un , los signos que están dentro del paréntesis NO cambian.
 a) 7 7 b) 9 9 c) 6 1 6 1 d) 4 3 4 3
• Si es un , los signos que están dentro del paréntesis CAMBIAN.
 a) 2 2 b) 8 8 c) 4 7 4 7 d) 6 10 6 10
30 Colocar los números que faltan para que se verifiquen las siguientes igualdades.
Desafío
Suprimir previamente los paréntesis y luego resolver.
La amplitud térmica es la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima registrada en un día.
Calcular las siguientes amplitudes térmicas.
a) Temperatura máxima: 8°C y temperatura mínima: 3°C Amplitud térmica: 
b) Temperatura máxima: 5°C y temperatura mínima: 2°C Amplitud térmica: 
c) Temperatura máxima: 0°C y temperatura mínima: 6°C Amplitud térmica: 
d) Temperatura máxima: 4°C y temperatura mínima: 8°C Amplitud térmica: 
Calcular y responder.
e) ¿Cuál es la temperatura máxima si la amplitud térmica es de 8°C y la mínima es de 2°C?
f) ¿Cuál es la temperatura mínima si la amplitud térmica es de 7°C y la máxima es de 3°C?
a) 9 6 
b) 7 3 
c) 5 – 5 
d) 2 8 
e) 4 9 6 
f) 10 3 15 
g) 3 11 8 6 
h) 1 4 17 6 
i) 8 3 5 19 
Colocar los signos que faltan para que se verifiquen las siguientes igualdades.
27
28
29
a) 4 7 3
b) 5 3 2
c) 2 2 4
d) 9 5 4
a) 7 12
b) 13 5
c) 13 9 2 
d) 3 1 1
15
Teoría
Multiplicación y división de números enteros
Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones.
Completar con el número entero que verifique las igualdades.
a) 7 . 56
b) . 6 54
c) 40 : 5
d) : 2 13
e) 4 . 36
f) : 5 12
g) 18 . 144
h) : 3 19
i) 15 . 90
a) 8 . 8 
b) 28 : 7 
c) 6 . 9 
d) 51 : 3 
e) 13 . 5 
f) 76 : 4 
g) 8 . 6 : 12 
h) 28 : 7 . 2 
i) 120 : 3 : 8 
j) 9 . 4 . 3 
k) 144 : 18 . 9 
l) 12 . 9 : 12 
a) 36 : 3 2 . 6
b) 3 . 7 3 . 7
c) 9 : 9 12 . 0
d) 8 . 5 10 . 4
e) 35 : 5 . 2 15
f) 0 20 : 4 . 3
a) 12 : 10 6 
b) 3 28 : 5 
c) 2 . 7 13 
d) 4 11 . 12 18 
e) 3 21 : 1 5 
f) 15 47 : 7 15 
g) 17 18 : 22 15
h) 27 63 : 3 15 
Colocar , o según corresponda.
Resolver las siguientes operaciones.
31
32
33
34
Para multiplicar o dividir dos números enteros, se aplica la regla de los signos.
Para resolver más de dos multiplicaciones o divisiones, se respeta el orden de izquierda a 
derecha. Si se altera ese orden, el resultado puede no ser el correcto.
Por ejemplo: 24 : 4 . 3( ) ( )− − 
6 . 3 18( ) ( )− − = + resultado correcto
24 : 12 2( ) ( )− − = + resultado incorrecto
Signo de 
un factor
Signo del 
otro factor
Signo del 
producto o 
cociente
3 . 8 24 o 15 : 3 5
7 . 4 28 o 30 : 5 6
2 . 9 18 o 54 : 6 9
6 . 5 30 o 63 : 9 7
16
a) 18 : 6 35 : 7 11 
b) 7 13 . 2 6 15 : 7 
c) 13 54 : 3 . 8 161 : 7 
d) 126 : 3 : 6 13 32 
e) 72 : 3 : 2 352 : 2 13 
f) 19 9 . 12 8 : 8 33 
g) 26 36 : 4 . 2 174 : 7 1 
h) 256 : 15 1 6 . 15 13 . 3 : 3 
i) 33 67 49 : 7 : 19 7 116 : 4 
j) 338 : 58 9 . 5 2 . 14 7 . 6 
Resolver los siguientes cálculos combinados.35
36 Completar con el número que verifique la igualdad.
Desafío
a) . 2 6 8
b) 3 . 2 10
c) : 4 9 3
d) 60 : 5 7
e) 3 . 4 20
f) 36 : 1 7 2
17
Repaso
Plantear el cálculo y resolver.
Colocar el número que verifique las siguientes igualdades. 
Suprimir los paréntesis y luego resolver.
Unir los cálculos con el mismo resultado.
Escribir tres pares de números que verifiquen cada condición.
37
38
39
40
41
a) Un ascensor está en el segundo subsuelo, sube 
seis pisos, luego baja cinco, vuelve a subir ocho 
y finalmente baja trece. ¿En qué piso se quedó 
el ascensor?
b) El saldo de una caja de ahorros es de $ 230. 
Se depositan $ 180 y luego se retiran $ 420. 
¿Cuánto hay que depositar para que el saldo 
sea de $ 190?
a) 12 4 25 6 6 7 15 2 
b) 2 8 6 5 6 15 3 5 
c) 12 8 9 6 12 7 9 14 3 
d) 7 5 7 11 9 4 3 2 4 
a) Su producto es menor que menos doce.
b) Su cociente es menos cuatro.
c) Son opuestos, y su producto es mayor que 
menos diez.
d) Su cociente es menor que menos seis.
a) 3 4
b) 5 11
c) 9 5
d) 4 12
e) 7 13
f) 2 15
g) 8 17
h) 6 20
i) 11 19
12 . 10 : 15
 40 : 8 . 2
72 : 3 : 3
 21 : 7 . 2
144 : 6 : 4
 52 : 13 . 3
35 : 7 . 2
 27 . 4 : 12
 5 . 7 9
8 . 7 68
3 21 : 2
 10 6 . 3
12 5 . 4
34 : 2 23
 30 : 7 12
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
18
Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones.
Resolver los siguientes cálculos combinados.
a) 2 . 7 18 9 28 : 7 . 3( ) ( )− − + − − =
b) 17 100 : 20 . 4 1 8 . 2 . 2 13( ) ( )− + − + − + =
c) 4 9 . 4 : 3 11 7 . 5 14( )( ) ( ) ( )− + − − + − − =
d) 6 . 7 5 . 8 . 18 : 7 10 7 . 8 13 14( ) ( ) ( ) ( )− + − − + − + + =
e) 15 8 . 3 . 18 : 6 60 : 4 . 5 7 . 5 102 : 1 2( ) ( ) ( )− − − + − − =
f) 42 : 35 42 14 9 . 7 : 5 2 8 . 9( ) ( ) ( ) ( )− − + + − + − − − − =
42 
43
44
Completar las siguientes frases.
a) La suma de dos números opuestos es .
b) La diferencia entre un número y su siguiente es .
c) El cociente de dos números opuestos es .
d) El producto de dos números opuestos es siempre .
a) 23 5 : 5 11 
b) 7 13 . 21 14 
c) 14 16 : 10 20 
d) 9 20 . 13 30 
e) 14 20 13 . 33 40 
f) 45 65 : 15 34 8 
19
Teoría
Potenciación de números enteros
Calcular las siguientes potencias.
Colocar o según corresponda.
a) 5 3 53
b) 2 4 42
c) 1 6 1 0
d) 6 0 1
e) 3 1 3
f) 1 5 5
g) 43 26
h) 8 2 16
i) 1001
a) 10 2 
b) 8 3 
c) 22 
d) 1 7 
e) 2 4 
f) 9 0 
g) 43 
h) 70 
i) 6 3 
a) 2 3 10 
b) 21 42 
c) 52 31 
d) 3 3 52 
e) 102 92 
f) 2 4 42 
g) 7 2 2 102 
h) 82 6 9 4 
Unir cada cálculo con su resultado.
Resolver los siguientes cálculos.
45
46
47
48
La potenciación expresa una multiplicación de factores iguales y su resultado se denomina 
potencia.
a . a . a . a ... a a
n veces Base
n Exponente= a0 1
Cuando la base es un número negativo, el signo de la potencia dependerá del exponente.
 7 2 7 . 7 49
 3 4 3 . 3 . 3 . 3 81
 Si el exponente es par, la potencia es positiva.
 5 3 5 . 5 . 5 125 
 2 5 2 . 2 . 2 . 2 . 2 32
Si el exponente es impar, la potencia es negativa.
Aclaración importante: 6 6
2 2( )− ≠ − 
6 6 . 6 36
6 6 . 6 36
2
2
( ) ( ) ( )− = − − = +
− =− =−
 729
81
16
 343
 128
900
 512
 64
 5 2 3
1 3 7
3 7 2
 12 4 3
 8 5 4
 4 5 3
a)
b)
c)
d)
e)
f)
20
Teoría
Propiedades de la potenciación
La potenciación NO es distributiva respecto de la adición y de la sustracción: a b 2 a2 b2
a b 2 a b . a b a2 ab ab b2 a2 2ab b2
a) 3 2 3 2
5 9 4
25 13
2 2 2
2
( )+ ≠ +
≠ +
≠
b) 5 3 5 3
2 25 9
4 16
2 2 2
2
( )− ≠ −
≠ −
≠
52 Probar que a b 2 a2 2ab b2.
Desafío
Resolver aplicando las propiedades.
Reducir a la mínima expresión utilizando las propiedades.
a) 4 : 45 3( ) ( )− − =
b) 3 . 33 2( ) ( )− − =
c) ( ) ( )− − =2 . 24
d) ( ) ( ) =8 : 86 2 3 3
e) 2 . 2 : 2 . 23 5
7
4
10( ) ( ) =
f) 3 . 3 : 3 . 34
8
2 7
4( ) ( ) =
g) 5 . 5 . 5 : 5 . 53 4
4
3
7( ) ( ) =
h) 4 . 4 . 4 : 4 . 45 3
6
4
10( ) ( ) =
a) x . x . x . x3 2
b) y : y7 2 
c) ( ) =m . m2 4
d) ( ) =n . n : n3 4 5 28
e) ( ) ( ) =a . a . a : a . a4 3 3 2 2 5
f) ( ) ( ) =p . r : p . r3 5 6 5 8 3
Desarrollar los siguientes cuadrados.
49
50
51
a) x 5 2 
b) 2x 1 2 
c) x2 2 2 
d) 5x3 3 2 
Propiedad Simbólicamente Ejemplos
Producto de potencias de igual base an . am an m 53 . 54 53 4 57
Cociente de potencias de igual base an : am an m 75 : 72 75 2 73
Potencia de otra potencia an m an . m 33 2 33 . 2 36
Distributiva respecto de la multiplicación a . b n an . bn 2 . 9 3 23 . 93
Distributiva respecto de la división a : b n an : bn 6 : 3 4 64 : 34
a b 2 a b . a b a2 ab ab b2 a2 2ab b2
21
Teoría
Radicación de números enteros
Calcular las siguientes raíces.
Unir las operaciones con el mismo resultado.
a) − =2163
b) 814
c) 325
d) 289
e) − =273
f) 6254
g) 100
h) − =325
i) − =17
a) + =5 6
b) − −=3 12 3
c) − =15 . 7
d) − −=3 21 2
e) − =2210 8
f) − −=5 2. 5 2
a) ( ) ( )− − =24 8 . 5 . 1 2
b) ( )− + − =5 . 15 47 . 33
c) + =12 . 8 25 . 4
d) − − − − =17 . 8 21 . 7 19 . 8 11 . 73
e) ( )− + + =57 : 3 2 . 8 . 5 5 . 24
Completar con el número que corresponda.
Calcular las siguientes raíces.
53
54
55
56
La radicación se define como: a b
radical base
índice n = si se cumple que bn a
8 23− =− porque 2 3 – 8 243 35− =− porque 3 5 243
Hay raíces como 9 y 164 que no tienen solución en el conjunto de los números enteros.
+ 67 + − 43
169 8
+ −121 1253
5 7293
512 13
1 3433
− +1 000 133
225 7
− +8 6+3
9 2564
1 649
a)
b)
c)
d)
e)
22
60 Unir las expresiones equivalentes.
Desafío
Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
Resolver aplicando las propiedades.
a) + =a a a4 
b) b . b b 
c) k k6 
d) + + =n n n 3 . n 
e) e . e 2 e 
f) s : s 05 5 
g) m m4 8 
h) r . r . r 3r 
a) 1 000 : 83 ( )− =
b) 625
c) 100 . 16
d) − =64 : 83
e) 144 : 9
f) 643
Resolver los siguientes cálculos combinados.
a) 3 . 2 1 . 2 10 8 6 10 . 22 2 2 3( ) ( ) ( ) ( )− + − + − − − + − =
b) 8 . 32 32 : 8 8 . 3 5 30 2
3( ) ( )( )+ − − + − = 
c) 13 5 11 7 . 2 . 2 9 5 . 22 2 3 2( ) ( ) ( ) ( )− + − − − − + − = 
d) 12 . 27 4 3 . 4 . 5 12 : 2 22 2 4( ) ( ) ( ) ( )− − + − + − − − =
57
58
59
Teoría
Propiedades de la radicación
• Distributiva respecto de la multiplicación y división: 
a . b a . b
a : b a : b
n n n
n n n
• Raíz de otra raíz: a amn n . m
• Simplificación del índice: Si a 0 a ann> =
a . b a . bn
 
a : b a : bn
Si a 0 ann> =0 ann
 a amn n m
18
20
12
27
8
32
2 5
3 3
2 2
2 3
3 5
4 2
3 2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
23
Repaso
Colocar V (verdadero) o F (falso) según corresponda.
 Unir los cálculos que tienen el mismo resultado.
Completar con el número que verifica las siguientes igualdades.
Resolver aplicando las propiedades.
a) ( )( ) ( )− − − =3 3 : 35 3
b) 6 . 8 . 3
c) ( )( ) ( )− − =2 : 23
4 7
d) 5 . 5 . 53 2
e) 7 . 7 . 7 . 78 23
f) 6 : 24 4
Factorear las bases, aplicar las propiedades de la radicación y resolver.
61
62
63
64
65
a) − =5 70 0 
b) ( )= −64 2 3 
c) ( ) ( )− = −2 44 2 
d) − = −64 23 2 
e) ( ) ( )− = −3 20 0 
f) − =9 3 
g) ( )− =3 812 
h) ( )− = −512 23 3 
i) ( )+ − = −9 8 13 0 
a) 1 7
3
+ −=)(
b) − =12 7
c) 1 343
3
+ =)( 
d) + =2 12 . 100)(
e) 3 . 2 39− =
f) 1 65
3
− =)(
a) 32 400 b) 1 296 c) 17283 d) 4 0964
22
3( )1 3− (1
7 . 3
3( )3+ (
( )3 .
28
3( )2 6− −28
( )− 12 : ((2 (: (
7 1212
( )−102 ( 2
64 93 0
125
2 3( )5 −)5 −
( ) :) 166
10 . 2 42 22 43
a)
b)
c)
d)
e)
24
Desarrollar los siguientes cuadrados.
a) ( )− =x 3 2
b) ( )+ =3x 2 2
c) ( )− =x 52 2
d) ( )+ =2x 6x3 2
Resolver los siguientes cálculos combinados.
a) 24 : 3 7 . 2 7 . 28 12 20 4
3( ) ( )− − + + − =
b) 3 3 : 3 2 . 5 6 2 . 5 72 2 3 2 0( ) ( )( ) ( ) ( )+ − − − − − + − − =
c) 2 3 . 2 10 3 . 7 . 3 113 3 2 2 0( ) ( ) ( ) ( )− + − + − − − − =
d) 1 3 : 3 1 5 6 . 3 . 2 6 . 242 2( ) ( )( )− − + + − + − =
e) 7 7 : 5 19 . 2 22 0 2 3 63( ) ( ) ( ) ( )− − − + − − − =
f) 144 : 2 : 3 7 . 2 5 . 12 2 401 : 73 2 3
3 3 3( )( ) ( )− − − + − + =
g) 1 944 : 9 5 . 3 20 . 7 216 : 3 : 23 3 3
3 2 3( ) ( ) ( )+ − − − − =
h) 17 . 2 2 6 6 : 5 75 53 3 0 2( )( ) ( ) ( ) ( )− − − − − + − + − =
66
67
25
Integración
La tabla muestra el tiempo que tarda Lucas en la semana para llegar desde su casa hasta el trabajo.
a) Calcular el tiempo promedio.
b) Asignar a cada día un número entero que represente cuánto más o cuánto menos del promedio 
tarda por día. 
Pensar y responder.
c) ¿Cuánto tarda si el número entero es 5? 
d) ¿Y cuánto, si el número entero es 8? 
e) ¿Qué número le corresponde si tarda 42 min? 
Colocar los números que faltan en la siguiente recta.
Escribir el número pedido en cada caso.
Calcular.
a) El siguiente de s. 
b) El anterior a r. 
c) El opuesto de b. 
d) El módulo de d. 
a) ( ) ( )− + − + =104 68 : 24 30
b) ( ) ( )− − − =74 85 . 4 9
c) ( ) ( )− + − − =75 66 . 4 8
d) ( ) ( )− − + =58 103 : 14 23
Suprimir los paréntesis y resolver.
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ − + + − − − − + − − =12 17 28 43 38 13
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− + − − − − + + − − − =25 38 14 37 18 46
c) ( )( ) ( )− − − + − + + − − − + + − =5 8 9 3 7 14 2 8 3 10 6
d) ( )( ) ( )− − − + − + + − + − − + + =8 7 12 6 9 11 8 6 2 4 13
Resolver las siguientes multiplicaciones y divisiones.
e) m s 
f) b g 
g) e d 
h) e r 
i) + =e b
 
j) + =r g
70
71
69
68
0r e d s m b g3
Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Tiempo 45 min 40 min 39 min 51 min 48 min 29 min 
Día Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Número entero
26
Resolver las siguientes potencias y raíces.
a) ( )− =9 . 8 546 : 7 3
b) − − =68 . 7 11 . 233
c) ( )− =13 . 5 4 . 17 5
d) − − =37 . 8 18 . 123
e) ( )− =8 . 6 153 : 3 4
f) − − =781 : 11 29 . 53
Resolver aplicando las propiedades.
a) ( ) ( ) =7 . 7 : 7 . 76 3 7 7 5 5
b) 5 . 5 . 58 93
c) ( ) ( ) =2 . 2 : 2 . 23 3 9 2 5 7
d) 13 . 13 . 1311 85
e) 12 . 12 . 1215 86
Colocar el número que verifique las siguientes igualdades.
Resolver los siguientes cálculos combinados.
a) ( ) ( ) ( ) ( )− − − − + − − =24 7 . 8 : 8 . 5 12 56 : 1 4 . 2 48 : 10 2
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − − − + − − − − =64 : 4 : 2 42 70 : 7 11 12 4 .9 . 2
c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − − + − − − + =60 : 9 6 54 : 3 3 . 4 32 8 . 9 : 5 . 1 7
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− − − + − − − − =14 5 . 8 . 3 35 77 : 3 10 72 : 3 : 2
72
73
74
75
a) 2 . 4 12
b) 30 : 3 6
c) 7 . 4 35
d) 15 : 2 4
e) . 6 : 4 9
f) 60 : . 3 15
27
Integración
Reducir a la mínima expresión aplicando las propiedades.
a) x . x : x14 23 1943
b) y . y : y27 16 1146
Resolver los siguientes cálculos combinados.
a) ( ) ( ) ( ) ( )− − − + − − − − =36 : 3 . 13 4 . 5 3 : 3 42 11 8 2
b) ( )− + + + + =8 5 : 5 2 . 10 3 . 7 12 . 272 2 3 2 2
c) ( )( ) ( )− − − + − − + =24 . 3 3 8 8 : 10 23 . 33 43 0 2 2
d) ( ) ( ) ( ) ( )− − − − − − + =2 : 2 7 48 : 4 . 19 7 . 213 8 2 2
e) ( )+ − − + + =8 . 32 8 2 : 4 2 . 9 57 : 32 3 3 3 2
f) ( )( )− − + − − + =54 . 6 7 9 : 11 3 . 13 3 . 22 2 2 2 6
g) ( )( ) ( )− − + − − =360 : 2 : 3 5 . 3 6 . 23 4 374 : 63 2 3 4 3 3
h) ( ) ( )− + − − + − − =17 2 2 : 9 : 5 17 5 . 2 3 3 : 32 2 2 3 33 11 3 3
77
76
28